CP2_ALinear I- Matrizes

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Álgebra Linear 5858 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
ÁLGEBRA LINEAR 
 CCCAAAPPPÍÍÍTTTUUULLLOOO IIIIII 
MMAATTRRIIZZEESS,, DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS EE SSIISSTTEEMMAASS DDEE EEQQUUAAÇÇÕÕEESS LLIINNEEAARREESS 
 
 
s Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de 
transformações lineares. Os fundamentos e operações básicas com matrizes, determinantes e 
sistemas de equações lineares são importantes no desenvolvimento de conceitos da Álgebra 
Linear e portanto, pré-requisito para o estudo da mesma. Nesta unidade, vamos abordar os 
conceitos e operações envolvendo matrizes, determinantes e sistemas lineares no enfoque algébrico 
e geométrico. 
 
Os temas abordados neste capítulo são: 
SUMÁRIO 
 
I MATRIZES .................................................................................................................................................. 60 
1 Introdução ............................................................................................................................................ 60 
2. Definição .............................................................................................................................................. 60 
3. Tipos de Matrizes ................................................................................................................................ 63 
4. Proposições: Igualdade de Matrizes e Matriz Oposta ....................................................................... 65 
5. Matriz Transposta ................................................................................................................................ 66 
6. Simetria em Matrizes........................................................................................................................... 66 
Lista 1 de Atividades - Matrizes ........................................................................................................ 68 
7. Operações com Matrizes ..................................................................................................................... 70 
7.1 Adição e Subtração de matrizes ..................................................................................................... 70 
7.2 Multiplicação por um escalar ......................................................................................................... 71 
7.3 Multiplicação entre matrizes ......................................................................................................... 72 
8. Potência de uma Matriz ...................................................................................................................... 77 
9. Propriedades das Operações com Matrizes ........................................................................................ 78 
Lista 2 de Atividades – Operações com Matrizes ............................................................................. 80 
10. Equivalência de Matrizes ................................................................................................................... 83 
Lista 3 de Atividades – Equivalência de Matrizes/escalonamento .................................................. 86 
II DETERMINANTES E MATRIZES ................................................................................................................. 88 
1 Introdução ............................................................................................................................................ 88 
2 Cálculo do Determinante de uma matriz ............................................................................................. 89 
2.1 Determinante de 1ª ordem ............................................................................................................ 91 
2.2 Determinante de 2ª ordem ............................................................................................................ 91 
2.3 Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus ................................................................................ 91 
2.4 Determinante de ordem n > 3: Teorema de LAPLACE ................................................................... 93 
2.5 Processo de triangulação para cálculo de determinante .............................................................. 95 
 
A 
 Álgebra Linear 5959 
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3 Propriedades dos determinantes ......................................................................................................... 95 
4 Determinante e Matriz Inversa .......................................................................................................... 100 
Lista 4 de atividades – Determinantes e Matrizes ......................................................................... 102 
5 Aplicação matemática do conceito de determinantes na geometria................................................ 106 
Lista 5 de atividades - Determinantes ............................................................................................ 107 
III SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES ................................................................................. 108 
1 Equações Lineares .............................................................................................................................. 108 
2 Sistema de Equações Lineares ............................................................................................................ 110 
2.1 Conceito ....................................................................................................................................... 110 
2.2 Representação Matricial de um Sistema de Equações Lineares ................................................. 110 
2.3 Classificação dos Sistemas de Equações Lineares ....................................................................... 112 
2.4 Equivalência de Sistemas de Equações Lineares ......................................................................... 114 
2.5 Resolução de Sistemas de Equações Lineares pelo princípio da equivalência: Método de 
condensação ou de eliminação de Gauss-Jordan .............................................................................. 115 
2.6 Solução de um sistema de equações lineares pela Regra de Cramer ......................................... 118 
3 Sistema Homogêneo de Equações Lineares: Discussão da solução .................................................. 119 
4 Sistema de Equações Lineares e Vetores ........................................................................................... 120 
4.1: Combinação Linear de Vetores em R2 ........................................................................................ 120 
4.2: Dependência e Independência Linear de Vetores ...................................................................... 121 
4.3: Bases do Plano de do Espaço ...................................................................................................... 122 
Lista 6 de atividades – Parte I ......................................................................................................... 123 
Lista 6 de atividades - Parte II ......................................................................................................... 123 
Lista 6 de atividades - Parte III ........................................................................................................ 124 
5 Discussão de um Sistema de Equações Lineares homogênio e não-homogênio .............................. 132 
Lista 7 de atividades ........................................................................................................................133 
Bibliografia ............................................................................................................................................. 133 
APÊNDICE A............................................................................................................................................ 134 
Matriz de Co-Fatores e Adjunta Clássica. .............................................................................................. 134 
Aplicação de Determinante: Adjunta Clássica e Matriz Inversa ........................................................... 134 
1 Encontrando a Matriz de Co-fatores .............................................................................................. 134 
2 Encontrando a Matriz Adjunta Clássica .......................................................................................... 135 
Igualmente, verificamos o Teorema de Cauchy: Somando os produtos dos elementos da primeira 
linha pelos cofatores dos elementos de outra linha é zero. Assim, multiplicando os elementos da 1ª 
linha de A pelos cofatores dos elementos da 2ª linha e somando os produtos, obtemos: ............. 136 
3 Encontrando a Matriz Inversa por Determinante .......................................................................... 137 
Lista de atividades – Determinantes, Matriz Inversa e Adjunta Clássica ....................................... 138 
 
1_Matrizes_Det_sistemas/2012_ava/CP3_MDS_Cad_Pedagogico_ALinear.doc#_Toc368004651
1_Matrizes_Det_sistemas/2012_ava/CP3_MDS_Cad_Pedagogico_ALinear.doc#_Toc368004651
1_Matrizes_Det_sistemas/2012_ava/CP3_MDS_Cad_Pedagogico_ALinear.doc#_Toc368004651
 Álgebra Linear 6060 
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I MATRIZES 
 
1 Introdução 
 
requentemente nos deparamos com conjuntos de números ou outros objetos matemáticos, que 
podem ser tratados em blocos por serem operados essencialmente da mesma maneira. Para 
isso, usamos matrizes. 
As matrizes são tabelas de números, utilizados como instrumentos de cálculo, surgidas em meados 
do século XVII como um novo instrumento que, de início, servia para resolver sistemas lineares. 
Dentre as matrizes as que mais uso teve e tem, é a matriz quadrada. 
As primeiras concepções sobre matrizes na Matemática, surgiram com o inglês Arthur Cayley (1821-
1895). Sua preocupação vinculava-se na forma e na estrutura em Álgebra. Sob esse aspecto, criou 
um modelo considerado referência mas sem a menor idéia de qualquer possível utilidade prática. 
Hoje a teoria das matrizes é uma das partes da matemática mais férteis em aplicação: na 
Matemática, na Física, na Física Atômica, na Estatística, na Economia, na Engenharia, na 
Computação, etc. Várias operações executadas por cérebros eletrônicos são computações por 
matrizes. As matrizes são tabelas de números, utilizados como instrumentos de cálculo. Dos eventos 
e atividades nos quais somos, direta ou indiretamente, envolvidos no cotidiano, muitos deles podem 
ser dispostos em forma de tabela/matrizes. 
VVVooocccêêê sssaaabbbiiiaaa qqquuueee::: 
A geração dos movimentos e deformações que vemos nos efeitos especiais do cinema, da TV, dos 
games de computadores e nas visualizações das simulações científicas está baseada na multiplicação 
de matrizes 4x4 no caso espacial e 3x3 no caso plano. Nessas aplicações o problema computacional 
não está no tamanho das matrizes mas na quantidade delas e na rapidez de processamento das 
multiplicações (para que se tenha um movimento realístico). 
Em muitas outras aplicações, temos uma situação quase que oposta: uma única matriz é suficiente 
mas seu tamanho pode ir a ordem de centenas e mesmo milhares de linhas e colunas. Isso ocorre 
normalmente em problemas que envolvem o estudo de campos elétricos, magnéticos, de tensões 
elásticas, térmicos, etc, os quais - por um processo de discretização - são reduzidos a um sistema 
de equações lineares, cuja matriz tem grande tamanho. Esse tipo de problema é um dos mais 
comuns em vários campos da Engenharia. Outra situação que nos leva a nos envolvermos com 
matrizes enormes são as associadas a grandes redes de distribuição de energia elétrica, redes de 
comunicações, redes de transporte, etc. (SILVEIRA, 1999). 
 
2. Definição 
 
hamamos de matriz de ordem m por n a qualquer quadro ou tabela formada por m x n 
elementos (números, polinômios, frações, etc.) dispostos em m linhas e n colunas. 
Ou, uma matriz é qualquer tabela formada por números ou outro tipo de objeto matemático 
que se pretende operar em bloco, simultaneamente. 
Ou, uma matriz é um conjunto ordenado de números e estão associdados a duas dimensões: a 
dimensão das linhas e a das colunas. Um importante exemplo prático de matriz surge na 
informática: os programas conhecidos como planilhas eletrônicas correspondem a matrizes. Uma 
planilha, tal como uma matriz, está dividida em linhas e colunas e, cada célula da planilha 
representa um elemento da matriz. 
F 
C 
 Álgebra Linear 6161 
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De forma genérica, uma matriz pode ser representada por uma letra maiúscula do alfabeto ou por 
seus elementos representativos. Estes elementos são dispostos normalmente entre parênteses ( ) 
ou entre colchetes [ ] ou duplas barras  . Da mesma forma, cada elementos está associado a 
dois subíndices que indicam sua posição na matriz. 
Exemplo: A2x4 = 





0152
1421
ou A2x4 = 
0152
1421
 ou A2x4 = 





0152
1421
 
Assim, podemos dizer que cada elemento de uma mátria A é representado por aij, onde i representa 
a linha e j a coluna, onde o elemento a se encontra localizado. A matriz com m linhas e n colunas 
possui dimensão mxn (lê-se m por n) e indicamos por Amxn. 
 
Exemplo 1: 
(a) A2x3 = 







534
012
 é uma matriz de 2 linhas e 3 colunas onde cada elemento de A ocupa 
um lugar determinado na matriz. O elemento (-5), por exemplo está na segunda linha (i=2) e 
terceira coluna (j=3) que indicamos por a23 = -5. Os demais elementos indicamos por: 
534
012
232221
131211


aaa
aaa
 
(b) B2x2 = 
4
91
i
é uma matriz de ordem 2 x 2 ou B = [bij]2x2 
(c) C1x4 =  9422  é uma matriz de ordem 1 x 4 ou C = [cij]1x4 
 
Exemplo 2: Consideremos a situação-problema de 03 pessoas, candidatas a um emprego e 
submetidas a testes. Podemos representar o resultado dos testes num quadro de avaliação: 
 
 1º teste 2º teste 3º teste 
Teresa 4,0 3,5 1,0 
Paulo 5,0 7,3 8,0 
Marcos 4,8 7,2 3,0 
André 9,0 8,8 6,5 
Os números distribuidos na horizontal representam a pessoa avaliada e formam o que 
denominamos de linha e, os colocados na vertical representam o grau de aprovação no teste e 
são chamados de coluna. A tabela de valores resultante do quadro é denominada matriz e 
cada número é chamado de elemento. 
Neste exemplo, temos uma tabela/matriz de ordem quatro por três (4 x 3) ou seja, é uma a 
matriz com 4 linhas e 3 colunas. Assim, representamos a situação-problema em: 
A4x3 = 














5,68,80,9
0,32,78,4
0,83,70,5
0,15,30,4
 
 Álgebra Linear 6262 
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Exemplo 3: Vamos considerar agora, a representação em matriz da seguinte situação: 
Analisando a pontuação (de 0 a 10) obtida por Paulo, André e Luana, no programa deformação continuada da empresa em que trabalham, nos últimos anos, temos: Paulo, com 8, 
7, 9 e 8 pontos; André, com 6, 6, 7, 6 e Luana, com 4, 8, 5, 9. 
Esta situação-problema pode ser representando num quadro ou numa matriz com a pontuação 
dos três por ano. Observe: 
Representando num quadro: 
 2004 2005 2006 2007 
Paulo 8 7 9 8 
André 6 6 7 6 
Luana 4 8 5 9 
Representando numa matriz: 
 
 
 
 
 
Para saber a pontuação de André, por exemplo, em 2006, basta procurar o número que fica na 
2ª linha e na 3ª coluna da tabela ou da matriz. Temos nesse caso, uma matriz de ordem 3 x 4 
ou seja, nossa matriz tem 3 linhas e 4 colunas e indicamos por A3x4. 
Se uma matriz tem o número de linhas igual ao número de colunas, é chamada de matriz 
quadrada. 
Exemplo 4: Vamos avaliar uma outra situação-problema na comparação entre pessoas com 
seus respectivos pesos, alturas e idade. Podemos representar no quadro abaixo os valores 
encontrados: 
 Altura(m) Massa(kg) Idade(anos) 
Eduardo 1,83 72 18 
Fernando 1,75 54 14 
Este quadro pode ser representada por uma matriz A de ordem 2 x 3 ou seja com 2 linhas e 3 
colunas. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita. 
 A2x3 = 





145475,1
187283,1
 LINHAS 
 
 COLUNAS 
 
 Resumindo: 
1. Algebricamente, usamos letras maiúsculas (A, B, ...) para indicar as matrizes genéricas e 
letras minúsculas ou números para indicar os elementos. 
1ª linha 
2a linha 
3ª coluna 
2a coluna 
1a coluna 
 
 Álgebra Linear 6363 
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2. As tabelas com m linhas e n colunas são denominadas matrizes de ordem m x n. Portanto: 
Denomina-se matriz de ordem m x n (lê-se: m por n) com m, n  1, a uma tabela formada 
por m x n elementos (números, polinômios, funções, etc.), dispostos em m linhas e n 
colunas. 
3. A representação genérica de uma matriz A de ordem m x n é: 
Amxn = 














mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
...
...............
...
...
321
2232221
1131211
, com m e n  N* 
Indica-se a matriz acima por: 
Amxn = [ aij ] m x n com i  {1, 2, ..., m}  N e j  { 1, 2, ..., n}  N ou 
Amxn = [ aij ] , (1  i  m e 1  j  n). 
Note que cada elemento aij da matriz A, está vinculado a dois índices: i e j. O primeiro 
indica a linha e o segundo a coluna em que o elemento pertence. Exemplo: O elemento a25 
indica que o elemento a está localizado na 2ª linha e 5ª coluna da matriz A. 
4. As linhas ou colunas de uma matriz são representações de vetores e podem ser denominados 
de vetor linha ou vetor coluna. 
5. A representação de uma matriz a partir de uma lei de formação permite encontrar o seu 
número de elementos e determiná-los. 
Exemplo: Encontre a matriz A = (aij)3x2 sabendo que aij = 2i – 3j. 
Resolvendo: A representação abreviada de A = (ai j)3 x 2 indica que A tem ordem 3 x 2 ou seja 3 
linhas e 2 colunas. Então m x n = 3 x 2 = 6. Assim, nossa matriz tem 6 elementos e sua 
representação genérica é A3x2 = 










3231
2221
1211
aa
aa
aa
. Logo, para aij = 2i – 3j temos: 
a11 = 2.1 - 3.1 = 2 – 3 = -1 
a21 = 2.2 – 3.1 = 4 – 3 = 1 
a31 = 2.3 – 3.1 = 6 – 3 = 3 
 
a12 = 2.1 – 3.2 = 2 – 6 = -4 
a22 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2 
a32 = 2.3 – 3.2 = 6 – 6 = 0. 
 
A matriz procurada é A3x2 = 












03
21
41
 
 
 
3. Tipos de Matrizes 
lgumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Vamos 
conhecer! 
 
1. Matriz Retangular: Se m  n então A é dita matriz retangular de ordem m x n. 
Exemplo: A3x4=










34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
 é uma matriz retangular de ordem 3  4 ou A = [aij]3x4 
A 
 Álgebra Linear 6464 
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2. Matriz Linha ou vetor linha: É a matriz de ordem 1 x n, ou 
seja, formada por uma única linha. Exemplo: A1x4 = 
 8513  
3. Matriz Coluna ou vetor coluna: É a matriz de ordem m x 1, 
ou seja, com uma única coluna. Exemplo: B2x1 = 





9
4
. 
 
4. Matriz Nula ou matriz nula: É a matriz em que todos os elementos são nulos. É representada 
por 0m x n. Exemplo: 02x3 = 





000
000
 
 
Exemplo complementar: A tabela a seguir apresenta os preços dos produtos químicos para 
tratamento de água P1, P2, P3, P4 das empresas A, B, e C. 
 P1 P2 P3 P4 
 A 190 182 204 179 
B 191 180 200 177 
C 192 181 205 175 
 Neste exemplo temos uma matriz retangular de ordem 3 x 4, formada por 3 linhas 
e 4 colunas. 
 Os preços da empresa A formam a matriz linha 1x4 indicada por A = 
 179204182190 . Idem para os preços das empresas B e C. 
 Os preços do produto P1, relacionados as empresas A, B e C formam a matriz coluna 
3x1, indicada por P1=










192
191
190
. Idem para os produtos P2, P3 e P4 . 
5. Matriz Quadrada: Se m = n então a matriz A é denominada matriz quadrada de ordem n 
isto é, A é uma matriz que tem um número igual de linhas e colunas. Exemplos: 
A3x3=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 e B2x2= 




 
40
31
. A é uma matriz quadrada de ordem 3 e B tem ordem 2. 
 Os elementos aij da matriz quadrada quando i = j formam a diagonal principal da matriz. 
A outra diagonal é chamada diagonal secundária. 
 
Exemplo: A3x3=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
 
 
Na diagonal principal estão os elementos que têm os dois índices iguais  a11, a22, ... ann 
 
Na diagonal secundária estão os elementos aij tais que i+j = n+1 ou seja, que têm soma dos 
índices igual a n+1  São: a1n, a2(n-1), ... an1. 
 
As matrizes quadradas se classificam em: 
Diagonal principal 
Diagonal secundária 
Note que: Matrizes com a 
característica de ser linha ou 
coluna têm papel importante 
na Álgebra e são 
denominadas vetores. E 
estes têm representação 
geométrica no plano e no 
espaço tridimensional. 
 Álgebra Linear 6565 
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5.1 Matriz diagonal: É a matriz quadrada em que 
todos os elementos que não estão na diagonal 
principal são iguais a zero ou seja, se A=[ aij ], 
então aij = 0 quando i  j. Indicamos por D = 
diag (a11, a22, ... ann ). 
Exemplo 1: D3x3 = 











200
0310
005
 
5.2 Matriz identidade ou matriz unidade: É a 
matriz quadrada em que todos os elementos da 
diagonal principal são iguais a 1 e os demais são 
nulos. É representada por In, sendo n a ordem 
da matriz ou simplesmente I. 
Ou, matriz identidade é uma matriz diagonal 
com os elementos não nulos iguais a 1. 
Exemplo: I3 = 










100
010
001
 
Pode ser representada genericamente por: 
In = [ aij ] com aij = 





j i se 0,
j i se ,1
 
Note que: A multiplicação de qualquer matriz 
pela identidade resulta na matriz original. 
5.3 Matriz escalar ou singular: É a matriz 
diagonal cujos elementos da diagonal principal 
são iguais. Note que toda matriz identidade é 
uma matriz escalar. 
Exemplo: A3 = 










500
050
005
 
5.4 Matriz triangular superior: É a matriz 
quadrada cujos elementos abaixo da diagonal 
principal são nulos ou é a matrizA=[aij] cujos 
elementos aij são nulos (aij = 0) para i  j 
Exemplo:A4 = 













2000
0100
1220
1865
 
5.5 Matriz triangular inferior: É a matriz 
quadrada cujos elementos acima da diagonal 
principal são nulos ou é a matriz quadrada 
A=[aij] cujos elementos aij são nulos (aij = 0) 
para i  j 
Exemplo:A4 = 













2523
0119
0020
0005
 
Note que: Uma Matriz diagonal é simultaneamente triangular superior e triangular inferior. Por 
exemplo: 
Uma agência de automóveis efetuou de vendas, 
durante o quatro trimestre: 106 Gols no 1o mês, 45 
Zafiras no 2o mês, no último mês foram 20 Passats. 
Observe, ao lado, a tabela de vendas e a matriz 
diagonal que é simultaneamente triangular. 
 Gol Zafir
a 
Passat ou 
M1 10
6 
0 0 
M2 0 45 0 
M3 0 0 20 
 
 
4. Proposições: Igualdade de Matrizes e Matriz Oposta 
 
4.1 Duas matrizes de mesma ordem podem ser iguais. 
Duas matrizes A = [ aij ] e B =[ bij ], de mesma ordem, são iguais se, e somente se, todos seus 
elementos correspondentes são iguais ou seja, se aij = bij. 
 
Exemplo 1: A matriz A = [ 2 -4 1,5 ] é igual a matriz B = [ a -4 1,5 ] se, cada 
um dos seus elementos são iguais. Neste caso, a = 2. 










2000
0450
00106
 Álgebra Linear 6666 
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Exemplo 2: Seja A = 





dc
ba
 e B = 





 51
61
. A=B se a = 1, b = 6, c = -1 e d = 5. 
Exemplo 3: Seja A = 




 
22
41
 e B = 







wy
zx
1
2
 temos que A = B ou B = A se 
 




 
22
41
 = 







wy
zx
1
2
 











2
42
21
1
w
z
y
x












2
2
1
1
w
z
y
x
 
4.2 Toda matriz A tem uma matriz oposta (-A). 
 
Se A = [ aij ] m x n então existe uma matriz oposta de A representada por (-A) de modo que aij 
= - aij. A matriz (-A) oposta de A é obtida trocando-se todos os sinais dos elementos de A ou 
multiplicando A pelo escalar (-1). 
Exemplo 1: Se A= 




 
40
31
então (-A) = 







40
31
. 
Exemplo 2: Se A= 




 
22
41
 então B é oposta de A se B = 







22
41
 
 
5. Matriz Transposta 
 
ada uma matriz Am,n, chama-se transposta de A a matriz A
t que se obtem trocando 
ordenadamente as linhas pelas colunas. 
Ou, a matriz transposta de uma matriz A= [aij], de ordem mxn, é a matriz A
t, de ordem nxm, 
que se obtém escrevendo ordenadamente as linhas de A como colunas ou vice-versa. 
Exemplo: Se A = 







324
611
então At = 












36
21
41
 
 
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna. 
 
Obs: Algumas propriedades se definem nas transpostas envolvendo soma e produto 
de matrizes. Portanto, serão comentadas após as operações com matrizes. 
 
 
6. Simetria em Matrizes 
 
ma matriz qualquer quadrada, pode ser simétrica e anti-simétrica. Observe: 
D 
U 
 Álgebra Linear 6767 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
6.1 Matriz simétrica: É a matriz quadrada de ordem 
n tal que A = At. É a matriz cujos elementos aij = 
aji. Em geral a matriz simétrica é indicada pela 
letra S 
Também podemos dizer que: Se uma matriz 
(quadrada) A e a sua transposta At são iguais, isto 
é, as jiij aa  para todo i e j, então a matriz A é 
simétrica (com relação a sua diagonal principal). 
A = At  Matriz Simétrica 
 
Exemplo: A = 












712
130
205
 = At = S 
Observe que na Matriz simétrica os 
elementos dispostos simetricamente em 
relação a diagonal principal são iguais. 
Neste exemplo, temos: 
 a12 = a21= 0 
 a13 = a31= 2 
 a23 = a32= -1 
6.2 Matriz anti-simétrica: É a matriz quadrada de 
ordem n tal que At = (-A) ou é a matriz cujos 
elementos aij = (-aji) para ij e aij=0 para i=j. Em 
geral a matriz simétrica é indicada pela letra S´ 
A = -At  Matriz anti-simétrica 
Observe nos exemplos que, como A=(-At ) então A 
é simétrica e 
 a12 = - a21, 
 a13 = - a31, 
 a23 = - a32 
 a11 = a22 = a33 = 0 
NNNooottteee qqquuueee::: Se uma matriz A é anti-simétria, seus 
elementos dispostos simétricamente em relação à 
diagonal principal são opostos e os elementos da 
diagonal principal são nulos. 
Exemplo 1: A=













012
105
250
=-At = S´ 
Exemplo 2: B=












031
304
140
=-Bt = S´ 
 
Agora, tente você! 
Resolva a Lista 1 de atividades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Álgebra Linear 6868 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Lista 1 de Atividades - Matrizes 
1.Uma agência de automóveis efetuou de vendas, durante o quarto trimestre: 106 Gols, 40 Zafiras e 
12 Passats no 1o mês, 100 Gols, 22 Zafiras e 6 Passats no 2o mês, no último mês foram 86 Gols, 
40 Zafiras e 20 Passats. Monte a tabela de vendas e transforme em matriz. 
 
2.Encontre as matrizes definidas em: 
 
(a) A=(aij)3x2 com aij=i–5j 
 
(b) B=(bij)4x4 com bij =





j i se ,0
j i se 1
 
 
3.Encontre as matrizes definidas em: 
 
(a) A=(aij)3x2 com aij=4i–j 
 
(b) B=(bij)3x3 com bij =i
2+j2 
(c) C=(cij)2x3 com cij =







j i se ,2
j i se 
4
ji
j
i
 
(d) D = (dij)3x3, matriz identidade 
4.Considere a matriz B = 












5,68,80,9
0,32,78,4
0,83,77,5
0,15,30,4
. Encontre os valores dos seguintes elementos de B: 
a) b11 b) b12 c) b42 d) b21 e) b31 f) b24 
 
5.Uma matriz possui 8 elementos. Quais os tipos possíveis para essa matriz? 1x8, 2x3, 5x7, 4x2, 
2x4, 2x6! 
6. Quantos elementos tem uma matriz de ordem 4 por 7? 
7. Encontre a tabela de carros financiados por uma agência bancária nos meses de junho, julho e 
agosto. No mês de junho foram financiados 106 carros do modelo A, 5 do modelo B e 2 do 
modelo C. No mês de julho foram financiados 98 carros do modelo A, 45 do modelo B e 10 do 
modelo C. No mês de agosto foram financiados 115 carros do modelo A, 15 do modelo B e 20 do 
modelo C. Represente em matriz e analise: (a) Qual o modelo de carro mais financiado? (b) Em 
qual mês houve um maior número de carros financiados. (c) Qual o total de carros financiados 
pela agência mensalmente e, ao final dos três meses? 
8. Dê exemplo de: 
(a) Matriz simétrica S e anti-simétrica S´de ordem 3. 
(b) Matriz escalar de ordem 4. 
(c) Matriz Identidade de ordem 5. 
9. Considere as matrizes retangulares A = 
6200
4531 x
 e B = 
6400
4631
y
. 
(a) Determine os valores de x e y de forma que as matrizes A e B sejam iguais; 
 (b) Encontre At e Bt. 
10. A partir da matriz A = [aij]3x3 cuja a lei de formação é definida por aij = 





jiii
jiji
j se 2
 se 
 encontre 
matrizes que tenham alguns ou todos os elementos de A com as características de serem: 
(a) A é matriz quadrada; (b) B é matriz linha; (c) C é matriz coluna; (d) D é matriz triangular 
superior; (e) E é matriz triangular inferior; (f) F é matriz diagonal. 
11. Determine a matriz oposta de A2x3 = 




 
250
321
 
12. A partir de uma matriz triangular superior de ordem 3, encontre a sua matriz oposta. 
 Álgebra Linear 6969 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da SilvaFabris 
13. A partir de uma matriz diagonal de ordem 4, encontre sua transposta. 
14. Encontre a transposta da matriz A = [aij]3x2 em que aij = 





jiij
jiji
 se 
 se 
 
15. Para a matriz linha A = [aij]1x3 em que aij =2i-j, prove que (A
t)t = A. 
16. Encontre a matriz diagonal A = [aij] de ordem 3, sabendo que aij = 3i-j. Após, determine a soma 
dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária. 
17. Para A = 











215
36
420
y e B = 









 
z
x
84
13
560
 encontre os valores de x, y e z para B = At. 
18. Verifique se a matriz identidade de ordem 3 é simétrica ou anti-simétrica e justifique. 
19. Determine uma matriz triangular superior A e uma matriz triangular inferior B de ordem 3, para 
aij = i+j e bij = i-j. 
20. Considere a matriz A = 
18
9
431
z
yx . Para que valores de x, y e z, A é uma matriz simétrica. 
 
Respostas da Lista de Atividades 1 
 
(1) Gol Zafira Passat 
 M1 106 40 12 
M2 100 22 6 
M3 86 40 20 
 (2) A= 













72
83
94
 (2) B = 


















0111
1011
1101
1110
(3) A = 










1011
67
23
 (3) B = 










181310
1385
1052
 (3) C = 





3/868
3/423
; 
(3) D = 










100
010
001
 (4) (a) b11=4,0 (b) b12=3,5 (c) b42=8,8 (d) b21=5,7 (e) b31=4,8 (f) b24=não existe; 
(5) 1x8, 4x2 e 2x4 (6) 4x7 = 28 elementos (7) 










2015115
104598
25106
 (a) modelo A; (b) mês 07; (c) mês 06 = 113; mês 07 = 
153 e mês 08 = 150. Ao final de 3 meses financiaram 416 carros. 
 (8)(a) S = 












2042
4453
23106
; S=












042
403
230
 (b) E=












2000
0200
0020
0002
 (c) I = 
















10000
01000
00100
00010
00001
 (9a) x=1 e y = 6 
(9b)At=












64
26
03
01
Bt; (11) (-A)=








250
321
, (12) A=










1800
1380
1052
, (-A) =













1800
1380
1052
 (13) D = 













7000
0100
0030
0002
 = Dt. 










204086
622100
1240106
Dica: A é simétria se aij = aji 
 Álgebra Linear 7070 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
(14) At








101
210 (15) A =  101  , At = 










1
0
1
, (At)t =  101  = A (provado) (16) D = 










33
22
11
00
00
00
a
a
a
=










600
040
002
→ 
(2+4+6)+(0+4+0) = 16. (17) x= 2 , y=8 e z=2 ou S={( 2 ,8,2)}; (18) É simétrica pois aij = aji para i ≠ j e não é anti-
simétrica pois aij  0 para i = j; (19) A = 










600
540
432
, B = 










012
001
000
 (20) A é simétrica para x=3, y = 8 e z = 4 
 
 
7. Operações com Matrizes 
 
7.1 Adição e Subtração de matrizes 
 
uas matrizes, A = [aij] e B = [bij], só podem ser adicionadas ou subtraídas se tem a mesma 
ordem. Neste caso, a soma (adição) de A com B é uma matriz C = [cij], indica-se por A + B 
= C, tal que: 
cij = aij + bij 
 
A diferença (subtração) entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é definida pela soma de A 
com (-B), indica-se: A + (-B) = A – B, tal que: 
 
cij = aij - bij 
 
Assim, duas matrizes podem ser somadas (ou subtraídas) se e somente se elas possuem a mesma 
dimensão ijij ba  
Exemplo 1: Se 












2221
1211
2221
1211
bb
bb
B
aa
aa
A e 












2221
1211
2221
1211
bb
bb
B
aa
aa
A então 








22222121
12121111
baba
baba
BA 
 
Exemplo 2: A tabela a seguir mostra o número de embalagens em mil, dos modelos C1, C2, 
C3 produzidas numa semana pelas industrias A, B e C integrantes de um mesmo grupo 
empresarial, numa semana: 
 
 C1 C2 C3 
A 18 41 17 
B 17 52 15 
C 25 48 19 
A matriz correspondente a produção das embalagens é indicada por P1 = 










194825
155217
174118
. 
Considerando que a quantidade de embalagens semanais produzidas não se altera, qual o total 
de embalagens produzidas pelo grupo, por indústria e por modelo, ao final de duas semanas? 
1ª semana + 2ª semana = P1 + P2 = 










194825
155217
174118
+ 










194825
155217
174118
 = 










389650
3010434
348236
. 
A matriz P1 + P2 indica a produção por empresa e produto ao final de duas semanas. Temos 
então: 
Indústria A: produziu 36 mil embalagens do modelo C1, 82 mil do C2 e 34 mil de C3. 
D 
 Álgebra Linear 7171 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Indústria B: produziu 34 mil embalagens do modelo C1, 104 mil do C2 e 30 mil de C3. 
Indústria C: produziu 50 mil embalagens do modelo C1, 96 mil do C2 e 38 mil de C3. 
Este é um exemplo de soma de matrizes 
Analisando a matriz resultante, podemos encontrar outros dados, facilmente. Por exemplo: 
 O total de embalagens produzidas do modelo C1 (= 120 000), do modelo C2 (= 282 000), do 
modelo C3 (=102 000). 
 O total de embalagens produzidas, por industria, nos três modelos: A (=152 000), B (=168 
000) e C = (184 000) 
 O total de embalagens produzidas nas três industrias (=504 000) 
 
Exemplo 3: Se A = 





02
41
 e B = 





68
35
então A + B = 





02
41
+ 





68
35
 = 





610
76
 
Exemplo 4: Se A = 





02
41
 e B = 





68
35
 então A - B = 





02
41
 - 





68
35
 = 







66
14
 
Exemplo 5: Se A=











753
234
321
 e B=











351
484
323
 então, 
A+B=











753
234
321
+











351
484
323
=













375513
)4(28344
332231
=











10104
650
644
=C 
A–B=











753
234
321
-











351
484
323
=













375513
)4(28344
332231
=












402
2118
002
=D 
 
Exemplo 6: Se A =  12 b e B = 





32
3
1
  A + B = 





 22
3
7
b 
 
Exemplo 7: Se A =  152  e B =  423  então A + (-B) = A–B =  571  
 
7.2 Multiplicação por um escalar 
 
eja A = [aij] e k um escalar (número) real ou complexo. O produto da matriz A pelo escalar k, 
é a matriz B = [bij] tal que bij = k aij , ou seja, é a matriz obtida multiplicando-se cada 
elemento de A por k  bij = kaij 
 
Exemplo 1: k A = k 





02
41
= 





02
4
k
kk
 se k=5 temos 5A = 5 





02
41
= 





010
205
=B 
 
Exemplo 2: Se A=  423  então A.
3
1
 423.
3
1
 = 





 4.
3
1
2.
3
1
3.
3
1
= 





 
3
4
3
2
1 . 
 
S 
 Álgebra Linear 7272 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Exemplo 3: Considermos o mesmo problema anterior do quadro demonstrativo de produção 
de embalagens de indústrias que integram o mesmo grupo empresarial. A tabela a seguir 
mostra o número de embalagens em mil, dos modelos C1, C2, C3 produzidas pelas industrias A, 
B eC, numa semana: 
 C1 C2 C3 
A 18 41 17 
B 17 52 15 
C 25 48 19 
A matriz correspondente a produção das embalagens é indicada por P1 = 










194825
155217
174118
. Para 
atender as necessidades do mercado, a produção precisa dobrar nas duas últimas semanas do 
mês. Qual deve ser o quadro de produção da empresa num mês de 04 semanas? 
 1ª semana: P1 = 










194825
155217
174118
= P2  2ª semana; 
3ª semana: P3 = 2.P1 = 2.










194825
155217
174118
 = 










389650
3010434
348236
= P4  4ª semana; 
Produção nas 4 semanas: P1+P2+ P3 + P4 = 3. P4 = 










114288150
90312102
102246108
 
 
OU podemos resolver fazendo Pi = 6.P1= 6. 










194825
155217
174118
= 










114288150
90312102
102246108
 
 
7.3 Multiplicação entre matrizes 
 
Vamos introduzir o conceito a partir de exemplos: 
 
Exemplo 1: Em três lojas A, B, C, de uma rede, são vendidos mensalmente, calçados do tipo C1, C2 
e C3 conforme tabela: 
 
Tabela Matriz 
 C1 C2 C3 
A 18 41 17 
B 17 52 15 
C 10 39 16 
 
V =










163910
155217
174118
 
Se os calçados do tipo C1, C2 e C3 são vendidos respectivamente no valor de 50, 40 e 60 reais cada, 
então os preços das mercadorias podem ser representadas pela matriz P = 










60
40
50
. 
 Álgebra Linear 7373 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
O valor recebido pelas vendas dos calçados na loja A é obtido pela multiplicação de cada elemento 
da 1ª linha da matriz V pelos correspondentes elementos da matriz P. Assim, 
V =










163910
155217
174118
. P = 










60
40
50
= 18.50+41.40+17.60 = 900+1640+1020 = 3560 reais  Loja A 
Da mesma forma, obtemos o valor recebido pelas vendas das lojas B e C. 
V =










163910
155217
174118
. P = 










60
40
50
= 17.50+52.40+15.60 = 850+2080+900 = 3830 reais  Loja B 
V =










163910
155217
174118
. P = 










60
40
50
= 10.50+39.40+16.60 = 500+1560+960 = 3020 reais  Loja C 
Portanto, o valor recebido pelas vendas dos três tipos de calçados nas lojas A, B e C é representado 
pela matriz V.P =










163910
155217
174118
. 










60
40
50
= 










3020
3830
3560
. Assim, o valor recebido pelas lojas A, B e C na 
venda mensal dos calçados do tipo C1, C2 e C3 é de R$ 10.410,00 que equivale a R$ 3.560,00 da 
Loja A, R$ 3.830,00 da Loja B e R$ 3.020,00 da Loja C. 
 
Exemplo 2:Uma empresa produz dois tipos de produtos, P1 e P2. São usados três tipos de 
ingredientes na produção: x, y, z nas seguintes proporções: 
Tabela Matriz 
 P1 P2 
x 3 1 
y 4 2 
z 3 7 
 
Ip =










73
24
13
 
 
Diariamente são fabricados 80 produtos do tipo P1 e 120 do tipo P2. Esta quantidade de 
produtos pode ser representada pela matriz produção P = 





120
80
. 
Para saber a quantidade de ingredientes utilizados diariamente, fazemos: 
Ingrediente x  3.80+1.120 = 240+120=360 
Ingrediente y  4.80+2.120 = 320+240=560 
Ingrediente z  3.80+7.120 = 240+840=1080 
Esta quantidade de produtos pode ser representada pela matriz Pi = 










1080
560
360
. 
Podemos obter esta matriz Pi denominada de matriz produto de Ip por P, da seguinte forma: 










73
24
13
. 





120
80
= 













120.780.2
120.280.4
120.180.3
 = 










1080
560
360
= Pi 
 Álgebra Linear 7474 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Note que: cada elemento da matriz final é a soma dos produtos ordenados de uma linha da 
primeira matriz pela coluna da segunda matriz ou seja: 
360 = 3.80+1.120 
560 = 4.80+2.120 
1080= 3.80+7.120 
Este é mais um exemplo de multiplicação de matrizes. 
 
Conceituando o produto de matrizes: 
 
Utilizamos na definição de produto de matrizes o conceito de somatório: Vamos rever este conceito? 
 
Saiba Mais: 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: 
Produto entre duas matrizes A e B só é possível se o número de colunas da primeira é igual 
ao número de linhas da segunda matriz. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz 
produto é dado pelo número de linhas de Ae pelo número de colunas de B. Pode existir o 
produto de A por B, mas não existir o produto de B por A. 
 
Dadas as matrizes A = (aik)mxn e B = (bik)mxp, define-se como produto de A por B a matriz C = 
(cij)mxp tal que o elemento cij é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos 
correspondentes da j-ésima coluna de B. 
C = A  B  cij = ).(
1 ik
p
k ik
BA  
Se considerarmos, por exemplo, as matrizes A = [ aij ]2xn e B = [ bij ]mx1, com m = n, o produto AB, 
nesta ordem, é a matriz C = [ cij ]2x1 tal que, cij é a soma dos produtos, na ordem em que estão 
dispostos, dos elementos da matriz-linha A, pelos elementos da matriz-coluna B. Note que a matriz 
resultante C tem o mesmo número de linhas de A e o número de colunas de B. 
Exemplo 1: Seja A =  423  , B = 










4
2
1
, C = 





352
624
e D = 










6721
0132
1425
. 
a) A x B = ? 
Resolução: A1x3 x B3x1 = [(3x1) + (-2x2) + (4x4)] = [3-4+16] = [15] = C1 x 1. 
 
b) B x C = ? 
Resolução: B3x1 x C2x2 =? Não existe produto BC pois o nº de colunas de B é diferente do 
nº de linhas de C ou 1  2. 
 
c) C x D = ? 
O 
Na multiplicação de matrizes, utilizamos o símbolo de somatório  (letra 
sigma maiúscula do alfabeto grego) para representar uma soma. Por exemplo, 
a soma a1+ a2+ a3+ a4+ a5 pode ser representada abreviadamente por: 


5
1i
ia (lê-se: somatório de ai com i variando de 1 a 5). Assim, 

5
1i
ia = a1+ a2+ 
a3+ a4+ a5. Generalizando: 

n
mi
ia = am+ am+1+ am+2+...+ an. Neste caso, i é o 
índice da soma, m é o limite inferior do somatório e n é o limite superior do 
somatório. 
Exemplo: 

5
1
23
i
i = 3.12+3.22+3.32+3.42+3.52=3.1+3.4+3.9+3.16+3.25=165. 
 Álgebra Linear 7575 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Resolução: C2x3 x D3x4 = 





352
624
x 










6721
0132
1425
= M2x4 = 





24232221
14131211
aaaa
aaaa
 
Para determinar M que é o produto das matrizes C x D, consideramos cada linha da 
matriz A como uma matriz-linha e cada coluna da matriz B como matriz-coluna. 
Calculamos cada elementos aij da matriz M = CD. Como? 
(1) Multiplicamos a 1ª linha de C pela 1ª coluna de D. A seguir, multiplicamos a 1ª linha 
de C pela 2ª coluna de D. E, assim, sucessivamente, multiplicamos a 1ª linha de C 
pela 3ª e 4ª colunas de D. Obtemos respectivamente, os elementos a11, a12, a13 e a14 
que formam a primeira linha da matriz M. 
(2) Encontramos a segunda linha de M, multiplicando a 2ª linha de C pela 1ª, 2ª, 3ª e 
4ª coluna de D e assim sucessivamente. Ou seja: 
a11 = (1ª linha de C)x(1ª coluna de D) = 4x5 + 2x2 + 6x1 = 20 + 4 + 6 = 30 
a12 = (1ª linha de C)x(2ª coluna de D) = 4x2 + 2x3 + 6x2 = 8 + 6 + 12 = 26 
a13 = (1ª linha de C)x(3ª coluna de D) = 4x4 + 2x1 + 6x7 = 16 + 2 +42 = 60 
a14 = (1ª linha de C)x(4ª coluna de D) = 4x1 + 2x0 + 6x6 = 4 + 0 + 36 = 40 
a21 = (2ª linha de C)x(1ª coluna de D) = 2x5+ 5x2 + 3x1 = 10 + 10 + 3 = 23 
a22 = (2ª linha de C)x(2ª coluna de D) = 2x2 + 5x3 + 3x2 = 4 + 15 + 6 = 25 
a23 = (2ª linha de C)x(3ª coluna de D) = 2x4 + 5x1 + 3x7 = 8 + 5 + 21= 34 
a24 = (2ª linha de C)x(4ª coluna de D) = 2x1 + 5x0 + 3x6 = 2 + 0 + 18= 20 
 
Portanto, o produto das matrizes C(2,3) e D(3,4) é a matriz M(2,4) = 





20342523
40602630
 
 
Exemplo1 2: Sejam as matrizes A e B defindas por: A = 





43
21
 e B = 





24
31
. Determinar a 
matriz C resultante do produto de A por B. 
Resolução: O produto de A com B resulta numa matriz C, quadrada de ordem 2. 
Procedemos multiplicando os elementos equivalentes de cada linhas de A por cada 
colunas de B, adicionando os resultados. Vejamos: 
 A2x2 x B2x2 = C2x2 = 





2221
1211
cc
cc
. Fazendo A.B temos A.B = 





43
21
. 





24
31
= 
C11 =resultado do produto e soma da 1ª linha com 1ª coluna 
 
 C12 =resultado do produto e soma da 1ª linha com 2ª coluna 
 
C21 =resultado do produto e soma da 2ª linha com 1ª coluna 
 
1
 SOMATEMATICA: Ensino Superior: Teoria, Exercícios. (CD-Room). Virtuous Tecnologia da Informação Ltda. 2008 
 Álgebra Linear 7676 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
 
 C22 =resultado do produto e soma da 2ª linha com 2ª coluna 
 
Portanto, A2x2 x B2x2 = C2x2 = 





2221
1211
cc
cc
= 





1713
77
 
 
Observe que, fazendo B.A, neste caso, obtemos um resultado diferente de A.B. 
B2x2 x A2x2 = 





24
31
. 





43
21
= 
 
Portanto, B2x2 x A2x2 = D2x2 = 





2221
1211
dd
dd
= 





1610
108
. 
 
Exemplo 3: Considere o problema a seguir: Qual o custo de produção de cada um dos produtos 
1, 2, 3 e 4 sabendo a quantidade de insumo usada por produto e o preço por unidade de cada 
insumo? Para atingir o mínimo de custo de produção, qual o melhor fornecedor de insumos? 
 
Tabela: Produto versus quantidade (em unidades) de insumos empregados. 
 Insumo A Insumo B Insumo C Insumo D 
Produto 1 20 3 18500 20200 
Produto 2 14000 14500 14200 14000 
Produto 3 6000 5500 7000 5450 
Produto 4 3300 2200 2800 2600 
Tabela: Preço por insumo (em unidade) versus fornecedor 
 Fornecedor 1 Fornecedor 2 Fornecedor 3 
Insumo A 0,14 0,15 0,13 
Insumo B 0,20 0,20 0,19 
Insumo C 0,28 0,21 0,28 
Insumo D 0,28 0,11 0,13 
Resolução: 
 Álgebra Linear 7777 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 












4 Produto do 
3 Produto do 
2 Produto do 
1 Produto do 
Custo
Custo
Custo
Custo
=














2600280022003300
5450700055006000
14000142001450014000
2020018500320
x














13,011,028,0
28,021,028,0
19,020,020,0
13,015,014,0












4 Produto do 
3 Produto do 
2 Produto do 
1 Produto do 
Custo
Custo
Custo
Custo
= 














00,969.100,809.100,414.2
50,493.450,069.400,426.5
00,371.1000,522.900,756.12
17,809.760,110.640,839.10
 que equivale ao custo de produção 
 
por produto x fornecedor. Para atingir o mínimo de custo de produção, os Insumos deveriam 
ser comprados do fornecedor 2. Caso fosse possível comprar os insumos separadamente a 
melhor compra seria, Insumo A e B do fornecedor 3; Insumo C e D do fornecedor 2. 
 
 
 
8. Potência de uma Matriz 
 
ma matriz quadrada A pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que resulta 
dessas operações, e que representamos por An é denominada potência n da matriz A . 
Exemplo 1: A = 





02
11
 A2 = A.A = 





02
11
. 





02
11
= 





22
13
. Assim, a matriz 





22
13
 é a 






22
13
 é a potência 2 da matriz A e indicamos por A2. 
 
Note que: 
 
 Se An = A para n  2 então A é uma matriz periódica. Em particular se a matriz é periódica para 
n = 2 ou seja, se A2 = A então A também é chamada de uma matriz idempotente. 
 
 Se existir um número n, inteiro e positivo, tal que An=0 então A é uma matriz nihilpotente. 
Note que, se A2 = 0, então A3 = A4 = A5 = ... = An = 0 
 
Exemplo 1: 
Para A = 













344
232
112
 temos A.A =













344
232
112
.













344
232
112
 =













344
232
112
=A 
Como A2 = A então A é uma matriz periódica e idempotente. 
 
Exemplo 2: 
Para A = 





11
01
 temos A.A = 





11
01
. 





11
01
= 





10
01
A, logo A não é idempotente pois A2 A 
Entretanto, A3 = A  A2.A = 





10
01
. 





11
01
 = 





11
01
 = A logo A é periódica. 
 
 
 
U 
 Álgebra Linear 7878 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Exemplo 3: 
Para A=













444
333
111
temos A.A = 













444
333
111
.













444
333
111
= 










000
000
000
. Logo A é uma 
matriz2 nihilpotente de índice 2 porque A2 = 0. Note que, se A2 = 0 então A3 = A2.A = 0.A = 0, 
A4 = A3.A = 0.A = 0, ...., e portanto An = 0. 
 
Exemplo 4: 
A matriz B = 










 312
625
311
 também é nihilpotente mas de ordem 3 porque A3 = 0. 
Observe: A2=










 312
625
311
.










 312
625
311
=










 311
933
000
0. 
Mas, A3=A2.A=










 311
933
000
.










 312
625
311
=










000
000
000
=0. Como A3 = 0 então A4=A5=...=An=0 
Exemplo 5: As matrizes A = 





 64
96
 e B = 





 129
1612
 também são nihilpotente de índice 
2 porque A2 = 0 e B2 = 0. Verifique! 
 
 
9. Propriedades das Operações com Matrizes 
 Propriedades da adição de matrizes 
Para as matrizes A, B e C, de mesma ordem, valem as seguintes propriedades: 
1) Comutativa 
2) Associativa 
3) Elementro Neutro 
4) Simétrica 
A + B = B + C 
A+ (B + C) = (A + B) + C 
A + 0 = 0 + A, sendo 0 a matriz Nula 
A + (-A) = A - A = 0 
 
 Propriedades do produto de uma matriz por um escalar 
Para as matrizes A e B, de mesma ordem e k e k’, escalares quaisquer, então: 
k(A + B) = kA + kB e (k  k’) A = kA  k’A. 
E, também, (kk’) A = k(k’ A) e se kA = kB então A = B. 
 
 Propriedades do produto de matrizes 
Sejam as matrizes A, B e C. Verificadas as condições de existência para a multiplicação de 
matrizes, valem as seguintes propriedades: 
1) Associativa 
2) Distributiva em relação à adição 
3) Elementro Neutro 
A(BC) = (AB)C 
(A+B)C = AC + BC ou C(A+B) = CA + CB 
AIn = InA = A, sendo In a matriz Identidade de ordem n 
 
2
 Steinbruch (1987, p.406) 
 Álgebra Linear 7979 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Note que: 
(i) 
(ii) 
(iii) 
(iv) 
 
 
 
(v) 
Se o produto AB é possível, então (kA)B = A(kB) = k(AB) para qualquer k escalar. 
Se AB= 0, não implica necessariamente que A = 0 ou B = 0 
Se AB=AC,não implica necessariamente que B=C 
Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos 
AB e BA podem ser calculados. Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos 
fatores não é indiferente. Em geral, AB  BA. 
A2x2 = 







01
11
, B2x2 = 





43
21
 então AB = 







21
24
e BA = 







31
13
 
Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas. 
 
 Propriedades da matriz transposta 
Sejam A e B, matrizes, k um escalar qualquer e, se satisfazem as condições de adição e 
multiplicação de matrizes, são válidas as propriedades: 
1) (A + B)t = A t + B t 
2) (kA)t = kA t 
3) (AB)t = B t A t  (AB) t  A t B t 
4) (At) t = A 
5) (-A)t = -(A t) 
 
 
 Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas 
Sejam A e B, matrizes, k um escalar qualquer e, se satisfazem as condições de adição e 
multiplicação de matrizes, são válidas as propriedades: 
1) O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica S Assim, A  
At = S 
2) A soma de uma matriz quadrada A com sua transposta At é uma matriz simétrica S 
Assim, S = A + At = St 
3) A diferença entre uma matriz A e sua transposta At, é uma matriz anti-simétrica S’ 
Assim, A - At = S’ 
 
Exemplo 1: Consideremos as matrizes A e sua transposta At para: 
A = 




 
40
31
 e sua transposta At = 





 43
01
. 
 Fazendo A  At = 




 
40
31
 





 43
01
= 







4.40.0)3.(41.0
4).3(0.1)3).(3(1.1
= 







1612
1210
 = S. 
Note que a matriz resultante S é uma matriz simétrica pois s12 = s21 
 Fazendo A + At = 




 
40
31
+ 





 43
01
= 







83
32
= S 
Note que a matriz resultante S é uma matriz simétrica pois s12 = s21 
 Fazendo A - At = 




 
40
31
- 





 43
01
= 




 
03
30
= S’ 
Note que a matriz resultante S’ é uma matriz anti-simétrica porque (-
s12) = s21 e sua diagonal principal é nula 
 
AAAgggooorrraaa,,, ttteeennnttteee vvvooocccêêê!!! Resolva a Lista 2 de Atividades 
 Álgebra Linear 8080 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
 
Lista 2 de Atividades – Operações com Matrizes 
1. Encontre os elementos da matriz A=(aij)3x2 para aij =i+j e da matriz B=(bij)3x2 em que aij = i - j . 
Encontre: 
(b) A + B; (c) A + (-B); (d) 5A + 3B. 
2. Considere as matrizes A = 







22
11
, B = 







20
54
, C = 







312
119
 e D = 




 
342
111
. 
(a) Verifique se A  B = B  A; 
(b) Determine (A  C) + (B  D); 
(c) É possível determinar C  D? Justifique. 
3. Para as matrizes quadradas de ordem 3 definidas por A=(aij) com aij =i
2 e B=(bij) com bij=-j
2 
encontre: 
(a) A+B (b) A+(-B) (c) A.2B (d) (AB)+(BA) 
4. Se A = 
263
174
952
 calcule: 
(a) A + At = S. Verifique se S é uma matriz simétrica e justifique; 
(b) A - At = P. Verifique se P é uma matriz anti-simétrica e justifique. 
5. Considere as matrizes A = 





 75
32
, B = 












918
721
534
 e C = 












695
243
172
. Encontre as 
matrizes S indicadas a seguir e verifique se são simétricas e/ou anti-simétricas. 
(a) S = A.At (b) S = C+Ct (c) S = C - Ct (d) S = B – Bt (e) S = B + Bt 
6. Para atender a um projeto experimental de tratamento de esgoto, foram elaborados dois 
modelos de experimentos E1 e E2. Nos dois modelos serão utilizados os mesmos produtos x, y e 
z para tratamento com dosagens diferentes. No experimento E1 serão utilizados 5 medidas do 
produto x, 8 medidas do produto y e 1 medida do produto z. No experimento E2 a dosagem 
equivale a 4, 6 e 3 medidas de x, y e z, respectivamente. Para controle, serão produzidas 75 
amostras do experimento E1 e 96 amostras do experimento E2. Estruture o problema em tabela 
e matriz e determine: 
(a) quantas dosagens de produtos serão utilizados para a produção das amostras? 
(b) Considerando que, o custo de dosagem dos produtos equivalem a: R$ 1,30 para x, R$ 
2,30 para y e R$ 7,50 para z. Qual o custo por amostra? Qual o custo total para a 
produção das amostras? 
7. Considere as matrizes triangulares superiores A e B e as matrizes triangulares inferiores C e D, 
definidas por A = 










200
310
112
, B =









 
200
130
121
, C = 










111
011
002
 e D =










 121
010
002
. 
Determine: 
(a) E = A.B; (b) F = C.D; (c) Classifique E e F por triangular inferior ou superior. 
 Álgebra Linear 8181 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
8. Prove que, o produto de duas matrizes diagonais resulta numa matriz diagonal. Utilize matrizes 
de ordem 3. 
9. Considere as matrizes A= 







 sen- cos
 cos - sen
, B= 





 53
106
,C= 





 42
105
 e D= 







 sen- cos
 cos sen
. 
(a) Verifique se A.At = I sendo I a Matriz Identidade. 
 
(b) Verifique se B e C são matrizes idempotentes, periódicas ou nihilpotente. Analise para 
o período 1 ou seja para B2 e C2 somente. 
(c) Verifique se D.Dt = I sendo I a Matriz Identidade. 
10. Verifique se as matrizes A e B são nihilpotentes, para A = 





 64
96
e B = 





 129
1612
 
11. Dadas as matrizes diagonais A = 










800
010
001
e B = 










600
040
002
calcular AB e classificar este produto. 
12. Considere a matriz A = 













344
232
112
. Calcule A2 e classifique A. (STEINBRUCH, 1987, p.413) 
 
Respostas da Lista de Atividades 2 
(1) A = 










54
43
32
, B =









 
12
01
10
(a) A+B=










66
44
22
 (b) A+(-B)= 










42
42
42
 (c) 5A+3B=










2826
2018
1210
 
(2a) A.B= 







68
34
≠ B.A= 







44
66
 (2b) 







8414
427
+ 







684
19166
= 







14410
23141
(2c) Não é possível 
determinar o produto C.D pois a dimensão das linhas de C é diferentes da dimensão das colunas de D. 
(3) A =










999
444
111
B=













941
941
941
(3ª) A+B=












058
503
830
(3b) A+(-B)=










181310
1385
1052
(3c) 













48621654
2169624
54246
 
(3d) 













24310827
1084812
27123
+













989898
989898
989898
=













341206125
206146110
125110101
(4a) 










4712
7149
1294
(4b) 












056
501
610
 
(4ª), (5a), (5b) e (5e) são simétricas pois aij = aji para i ≠ j e (4b), (5c) e (5d) são anti-simétrica S pois aij = (-aji) para i ≠ j 
e aij = 0 para i = j. (5a) S= 







7411
1113
 (5b)













1276
784
644
(5c)












0114
11010
4100
(5d) 












083
804
340
 
(5e)












18613
642
1328
 (6a) x = 759, y = 1176 e z = 363 ou 










363
1176
759
. (6b) O custo por amostra é: E1 = R$ 32,40; E2 = 41,50 
ou C =  50,4140,32 . O custo total para a produçãodas amostras é de R$ 6.414,00 =  50,4140,32 





96
75
. (7a) E = 










400
730
172
; (7b) F = 










131
012
004
; (7c) E é triangular superior e F é inferior. 
Dica: Relações Trigonométricas 
sen
2
x+ cos
2
x = 1 e 2senx.cosx = sen2x 
Dica: Classificar uma matriz potência A significa verificar se é 
periódica (A
n
=A); Idempotente (A
2
=A) ou Nihilpotente (A
n
=0) 
 Álgebra Linear 8282 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
(8) Criar matrizes e provar. (9a) A.At = I
xsen
xsen






12
21
 (9b) As matrizes B e C são idempotentes de ordem 2 ou de 
período 1 porque B.B=B2=B e C2=C; (9c) Sim, D.Dt =I 
(10) A é nihilpotentes de ordem 2 pois A2=0=A3=A4 =... A matriz B não é nihilpotente pois B20. (11) AB=










4800
040
002
e AB 
é uma matriz diagonal. (12) A2 = 













344
232
112
. Como A2  A não é idempotente. 
 
 Álgebra Linear 8383 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
 
10. Equivalência de Matrizes 
10.1 Conceito 
 
izemos que duas matrizes A e B, de mesma ordem, são equivalentes quando são obtidas a 
partir de operações elementares efetuadas entre elas ou: 
Dada uma matriz A, diz-se que uma matriz B, de mesma ordem, é equivalente a matriz A 
(indica-se B  A) se for obtida a partir de operações elementares efetuadas em A, onde 
cada linha ( Li ou j ) de B é uma combinação linear das linhas de A. 
 
A matriz B encontrada é equivalente a matriz A e também é denominada, matriz escalonada por 
linhas de A . As operações elementares possíveis são: 
1. Li  Lj 
2. Li  k.Lj com k  0 
3. Li  k.Lj + Li com k  0 
1. Troca de linhas entre si; 
2. Multiplicação de linha por escalar; 
3. Substituição de uma linha pela adição de k vezes 
outra linha. 
 
Note que: 
 Se aplicarmos as inversas das operações em B, obtemos A. 
 A matriz B encontrada é dita matriz escalonada por linhas de A . 
Exemplo 1: Se A = 





 43
21
 então podemos encontar uma matriz B = 





100
21
 dita 
matriz escalonada por linhas de A . 
 
10.2 Determinando matrizes equivalentes (forma escalonada ou escada) 
 
ara determinar matrizes equivalentes, aplicamos as operações elementares entre linhas. 
Exemplo 1: Para a matriz A = 


















13141
11500
11131
11072
 encontre sua matriz B, equivalente 
equivalente a A ou seja encontre a matriz escalonada por linhas de A. 
Resolução: Nosso objetivo é encontrar uma matriz B cujos elementos abaixo da diagonal 
formada pelos elementos (2), (3), (-5), (-3) sejam todos iguais a zero. Para isso 
aplicamos as operações elementares de linhas Li: 
A = 


















13141
11500
11131
11072
 
 
 
L4  L3 
(troca de linhas entre si) 



















11500
13141
11131
11072
 
 
L2  L1 + 2L2; 
L3  L1 - 2L3. 


















11500
37210
33210
11072
 
D 
P 
 Álgebra Linear 8484 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
 
 
L3  L2 + L3. 
 


















11500
610400
33210
11072
 
 
 
L4  5L3 + 4L4. 
 

















2654000
610400
33210
11072
 = B 
Note que a matriz B encontrada é equivalente a matriz A e, 
abaixo da diagonal todos os elementos são nulos. 
A matriz B também é chamada, forma escalonada de A. 
















2654000
610400
33210
11072
 = B 
 
10.3 Determinando matrizes equivalentes reduzidas por linhas 
 
ara a solução de alguns problemas matemáticos, uma matriz B, escalonada por linhas de A, 
necessita apresentar-se numa forma mais reduzida, ou seja, na forma escalonada reduzida 
por linhas. 
Dizemos que, uma matriz B equivalente a uma matriz A é matriz escalonada reduzida por linhas 
(ou matriz na forma canônica por linhas quando se apresenta na forma de matriz identidade) 
se: 
 os elementos distinguidos3 são únicos não nulos de suas respectivas colunas; 
 os elementos distinguidos são iguais a 1. 
Exemplo 1: B = 





10
01
 
 
Exemplo 2: B = 










4100
7010
2001
 
Exemplo 3:C = 










100
010
001
 Exemplo 4: D = 









 
10000
07100
03021
 
 
As matrizes A, B, C e D estão representadas na forma escalonada reduzida por linhas 
pois são matrizes escalonadas e o 1º elemento de cada linha é igual a 1 e é o único não 
nulo em sua respectiva coluna. As matrizes A e C também são chamadas de matriz 
canônica pois são matrizes identidade. 
 
Neste caso, pode-se afirmar que: 
Uma matriz B equivalente a A é dita matriz escalonada reduzida por linhas (ou matriz na 
forma canônica por linhas) se, e somente se, seus elementos distinguidos são iguais a um 
e são os únicos não nulos de suas respectivas colunas. 
 
3
 Elementos distinguidos são os primeiros elementos não nulos das linhas de uma matriz 
P 
 Álgebra Linear 8585 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
Para encontrar uma matriz escalonada reduzida por linhas aplicamos as operações elementares 
por linhas até conseguirmos a matriz pretendida. Observe: 
Exemplo 1: Para a matriz A = 


















13141
11500
11131
11072
encontramos uma matriz B equivalente, 
cuja forma é B=
















2654000
610400
33210
11072
. A matriz B representa a forma escalonada por linhas da 
matriz A. Podemos encontrar forma escalonada reduzida por linhas a partir de B. Como? 
A = 


















13141
11500
11131
11072
 
 
 
 
 
B=
















2654000
610400
33210
11072
 
Fazendo 
 
 
 
L1  L1 -7L2 
 
 
L3  L3 /2 
 
 
L4  L4 /2 
 

















2654000
610400
33210
11072
 Obtemos 
















1327000
35200
33210
20201402
 
 
Fazendo L1  L1 +7L3. 
 

















1327000
35200
33210
20201402
Obtemos 















1327000
35200
33210
115002
 
Fazendo L1 9L1 -5L4 
 
















1327000
35200
33210
115002
Obtemos 
















1327000
35200
33210
5600018
 
 
Fazendo L2 L2 –L3 
 

















1327000
35200
33210
5600018
Obtemos 
 Álgebra Linear 8686 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
















1327000
35200
02010
5600018
 
 
Fazendo L2 27L2 +2L4 
 

















1327000
35200
02010
5600018
Obtemos 
















1327000
35200
2600270
5600018
 
 
 
Fazendo L3 27L3 -5L4 
 

















1327000
35200
2600270
5600018Obtemos 
















1327000
1605400
2600270
5600018
 
Fazendo L1 L1/18 
Fazendo L2 -L2/27 
Fazendo L3 L3/54 
Fazendo L4 L4/27 
 

















1327000
1605400
2600270
5600018
Obtemos 
















27/131000
27/80100
27/260010
9/280001
=C 
Note que a nova matriz C encontrada é equivalente a matriz A e B. 
Os elementos não nulos que iniciam linha são iguais a 1 e, são os 
únicos não nulos de suas respectivas colunas. 
Este tipo de matriz é chamada de matriz escalonada REDUZIDA 
POR LINHAS DE A. 
 
 
AAAgggooorrraaa,,, ttteeennnttteee vvvooocccêêê!!! Resolva a Lista 3 de atividades 
 
Lista 3 de Atividades – Equivalência de Matrizes/escalonamento 
1. Encontre a forma escalonada por linhas das matrizes A. Indique-as por A´. 
a) A = 













231
110
012
121
 b) B = 

















1240
511
412
023
 c) C=











 
0110
2001
0201
1011
 d) D = 















3
2
3
63
42
 
2. Encontre a forma escalonada por linhas das matrizes e verifique se estão corretas as 
equivalências: 
a) A=












5013
0121
2001











0100
2120
2001
=A´ b) B=












18512
6243
1121













5100
3120
1121
=B´ 
 
c)C=













7283
2131
1241













8000
1110
1241
=C´ 
d) D = 





 90
20
 





00
20
= D´ 
 
3. Encontre a forma canônica por linhas das matrizes: 
 Álgebra Linear 8787 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
a) A=













521
614
436
 b) B = 













56263
32142
12121
 
c) C=















4350
1200
3140
2310
 
4. Encontre a matriz triangular superior que seja equivalente a cada uma das matrizes dadas. 
A = 










1053
521
132
 B =













242
431
121
 
C = 












 1103
2221
0342
1231
 
D = 













521
614
436
 
E = 
22262
13452
11131
4321


 
F = 










875
654
321
 G = 
223
142
111


 H = 













241
132
111
 
5. Encontre a matriz escada, equivalente por linhas 
A = 











2242
1111
1121
 B = 













52333
42123
13212
 C= 












1111
2212
5103
 D = 
3213
2212
1321


 
6. Resolva o sistema S=








19234
4422
632
zyx
zyx
zyx
aplicando a equivalência de matrizes. 
 
Respostas da Lista de Atividades 3 
(1a) A´= 













000
300
250
121
(1b) B´=















000
4500
1270
023
 (1c) C´=















0000
2200
1210
1011
(1d) D´=









 
00
00
42
 
(2a) e (2b) Ok, são equivalentes (2c) não são equivalentes C  









 
0000
1110
1241
 C´ 
(3a) A´=













000
9
2610
9
701
(3b) B´=













6
11000
00100
3
40021
(3c) C´=












0000
1000
0100
0010
(4a) A 











400
910
521
(4b) B 












000
310
121
(4c) C 













1000
4100
2120
1231
(4d) D












000
52180
436
(4e) E 
0000
2200
7410
4321


(4f) F










100
210
321
(4g) G  









 
1100
120
111
 (4h) H  












000
350
111
 
(5a) A










0000
2010
1121
 (5b) B  













82000
55410
13212
 (5c) C












2200
0010
1111
(Observe que houve troca de linhas no inicio do 
escalonamento: 1ª com 3ª linha); (5d) D













10700
4430
1321
 (6) Resposta comentada 








19234
4422
632
zyx
zyx
zyx
 













19234
4422
6321
 












1100
4530
6321
  








1
453
632
z
zy
zyx
 x = 3, y = 3 e z = 1 ou S = {(3,3,1)}. 
Dica: O sistema equivale a 
matriz estendida 













19
4
6
234
422
321
 
 Álgebra Linear 8888 
Prof (ªs): MSc.Elisa Netto Zanette, Drª. Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris 
 
II DETERMINANTES E MATRIZES 
 
1 Introdução 
A história dos determinantes começou antes da origem das matrizes para resolver 
sistemas lineares e era utilizados de forma semelhante como ainda é hoje, na maioria dos casos. 
Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de 
seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Desta forma, 
descobriram um método muito prático de resolução: por eliminação. Neste método, anulam-se os 
coeficientes por meio de operações elementares que verem os a seguir. Exemplos desse 
procedimento são encontrados no texto “Nove capítulos sobre a arte da matemática” que data 
provavelmente do século CXI (111) a.C. 
Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Takakazi Seki Kowa (1642-
1708), que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de 
números) foi apresentada em forma de publicação. Kowa, considerado o maior 
matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas 
lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações 
apenas). 
O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos (1693) após com um trabalho do 
teólogo, matemático, filósofo e alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) que desenvolveu 
a noção de determinantes, também associado a sistemas lineares. Leibniz, que 
também estudou direito e ficou famoso por seus estudos no Cálculo Diferencial 
e Integral. Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de 
três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3, que 
deve ser nulo, formado pelos coeficientes e pelos termos independentes. Foi 
Leibniz quem criou a notação com índices para os coeficientes, mas de uma 
maneira diferente da que usamos atualmente: a notação a12 era indicada por 
Leibniz como 12. 
A palavra determinante, com o significado atual, surgiu em 1812 
num trabalho do matemático francês, Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) que 
foi apresentado à Academia de Ciências. No trabalho, ele numerou e simplificou 
tudo quer era conhecido até então sobre determinante, melhorando muito a sua 
notação e a compreensão destes cálculos. Mas, a atual notação com duas barras 
verticais ladeando o quadrado de números só surgiu em 1841 com Arthur Cayley. 
Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos 
determinantes foi o alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), chamado de "o grande 
algorista". Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje 
elementarmente. Como algorista, Jacobi era um entusiasta da notação de determinante, com suas 
potencialidades. 
Em matemática, determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um 
escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são 
precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. 
Aplicações: Os determinantes são utilizados principalmente