Lista3 SMA0300, Geometria Analítica

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Lista de exerc´ıcios de SMA-0300 - Geometria Anal´ıtica - Prof. Valdir Menegatto #2
1. Esboce a hipe´rbole 2x2 − 2√3xy = 5. Determine as ass´ıntotas dela, expressando-as em
relac¸a˜o a`s varia´veis originais e em relac¸a˜o a`s varia´veis do referencial no qual a equac¸a˜o
na˜o tem o termo misto.
2. Esboce a elipse 3x2 + 5
√
3xy + 8y2 = 10. Determine os focos dela, com relac¸a˜o ao
referencial original e ao referencial em relac¸a˜o ao qual a equac¸a˜o da elipse toma a forma
reduzida.
3. Esboce a para´bola 9x2 − 6xy + y2 − 3x + y − 2 = 0. Expresse a diretriz da para´bola
em relac¸a˜o a`s varia´veis originais e com relac¸a˜o ao referencial apo´s rotac¸a˜o do referencial
original.
4. Identifique o lugar geome´trico determinado pelas equac¸o˜es abaixo. Fac¸a um esboc¸o em
cada caso.
(i) x2 + 2xy + y2 − 4x− 4y + 4 = 0;
(ii) 3x2 + 6xy + 3y2 − 5x− 5y + 2 = 0;
(iii) x2 + y2 − 4x− 6y + 13 = 0;
(iv) 8x2 + 10xy − 3y2 − 6x− 16y − 5 = 0; (v) 17x2 − 12xy + 8y2 = 0;
(vi) 19x2 + 6xy + 11y2 + 38x+ 6y + 29 = 0.
5. Encontre a equac¸a˜o da coˆnica que passa pelos pontos (0, 0), (3, 1), (5,−5), (7,−1) e
(8,−4).
6. Sabe-se que uma coˆnica passa pelos pontos (4,−6), (8, 0) e (16, 6). Determine a coˆnica
sabendo-se que seu gra´fico e´ sime´trico com relac¸a˜o a` origem (0, 0).
7. Discuta a natureza do lugar geome´trico definido pela equac¸a˜o kx2 + (1− k)y2 = 1 em
func¸a˜o do paraˆmetro k.
8. Qual e´ o lugar geome´trico dos pontos que satisfazem (xy+ y− x− 1)(x2− y2− 4) = 0?
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