Lista5 SMA0300, Geometria Analítica

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Lista de exerc´ıcios de SMA-0300 - Geometria Anal´ıtica - Prof. Valdir Menegatto #5
1. Seja B = {~u,~v, ~w} uma base do espac¸o. Verifique que B′ = {~u+~v− ~w, ~u−~v+ ~w,−~u,+~v+
~w} tambe´m e´ uma base. Encontre as coordenadas de um vetor ~t em relac¸a˜o a` base B
sabendo-se que as coordenadas do mesmo em relac¸a˜o a` base B′ sa˜o (1, 3,−2). Determine
as coordenadas de ~u em relac¸a˜o a` base B′.
2. Fixe uma base B e considere os seguintes conjuntos de vetores dados em relac¸a˜o a
B: F = {(1, 1, 1), (1, 2, 0), (1, 1, 0}, G = {(2, 1,−1), (3, 0, 1), (2, 0, 1)}. Verifique que F
e G sa˜o bases do espac¸o. Determine as matrizes de mudanc¸a de base MGF e M
F
G . Se
~w = (m, 2, 1)F , ~u = (1, 1, 1)G e ~v = (2,−1, 1)G, determine m de modo que {~u,~v, ~w} na˜o
seja uma base.
Daqui para frente assuma que uma base ortonormal (~i,~j,~k) esta´ fixada.
3. Determine o aˆngulo entre os vetores (−1, 1, 1) e (1, 1, 1).
4. Encontre α de modo que os vetores (α+ 1, 1, 2) e (α− 1,−1,−2) sejam ortogonais.
5. Sejam A,B e C treˆs pontos do espac¸o. Verifique que o vetor |−−→BC|−→BA + |−→BA|−−→BC e´
paralelo a` bissetriz do aˆngulo ÂBC.
6. Encontre todos os vetores ~u de mo´dulo 3
√
3, ortogonais a (2, 3, 1) e (2,−4, 6) simul-
taneamente. Decida qual deles forma um aˆngulo agudo com o vetor (1, 0, 0).
7. Encontre um vetor ~u ortogonal a ambos (4,−1, 5) e (1,−2, 3), e satisfazendo ~u·(1, 1, 1) =
−1.
8. Encontre um vetor ~u de mo´dulo
√
5, ortogonal a (2, 1,−1), e tal que o conjunto de
vetores {~u, (1, 1, 1), (0, 2,−2)} seja l.d.
9. Encontre um vetor ~u de mo´dulo
√
2, ortogonal a (1, 1, 0), e fazendo um aˆngulo de pi/4
com (1,−1, 0).
10. Se ~u,~v e ~w sa˜o vetores de mo´dulos 3/2, 1/2 e 2 respectivamente e cuja soma e´ o vetor
nulo, determine ~u · ~v + ~v · ~w + ~w · ~u.
11. Decompor o vetor (−2,−6, 4) como soma de dois vetores ~u e ~v satisfazendo: {~u, (0, 1, 3)}
e´ l.d. e ~v e´ ortogonal a (0, 1, 3).
12. Decompor o vetor (−2, 0,−6) como soma de dois vetores ~u e ~v satisfazendo: ~v e´ ortog-
onal a ambos (2, 2, 2) e (1,−1,−2) e {~u, (2, 2, 2), (1,−1,−2} e´ l.d.
13. Deduza que se treˆs vetores ~u,~v e ~w sa˜o tais que ~u e´ ortogonal a ~v − ~w e ~v e´ ortogonal
a ~w − ~u enta˜o ~w e´ ortogonal a ~u− ~v.
14. Deduza que o conjunto {~u,~v} e´ l.d. se e somente se |~u · ~v| = |~u| |~v|.
15. Deduza que se ~u e ~v sa˜o vetores quaisquer enta˜o ||~u| − |~v|| ≤ |~u− ~v|. Tente determinar
quando vale a igualdade na desigualdade acima.
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