P1 MTM5186 14.2 Bortolan

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1a PROVA - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV
Professor: Matheus C. Bortolan
Nome:___________________________________________ Matrícula: _____________
(a) (b) (c)
Questão 1
Questão 2
Questão 3
Questão 4 xxxxx xxxxx
Total / 10.0
Orientações para a avaliação
• Leia atentamente cada uma das questões da prova.
• Justifique cada uma de suas respostas. Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
• As respostas devem estar escritas à caneta e as resoluções devem estar legíveis.
• A prova é individual e sem consulta a nenhum material.
• Não é permitido sair da sala durante o período da avaliação.
• Não é permitido uso nenhum tipo de calculadora, celulares, tablets, notebooks e
smartphones. O não cumprimento desta regra anulará completamente a sua avaliação.
• Faça cada questão com calma e tenha uma boa prova! =)
(Valor 2.5) Questão 1: Considere a função complexa f (z) = z.
(1.0) (a) Sejam r > 0 e γ o círculo |z|= r. Calcule ∮
γ
f (z)dz.
(0.5) (b) Usando o item (a), conclua que f não é analítica no disco |z|¶ r.
(1.0) (c) Mostre que f não é diferenciável em nenhum ponto de C.
(Valor 2.5) Questão 2: Sejam C o círculo |z|= 1 e r a reta {4+ i y : y ∈ R}.
(1.0) (a) Defina z1 = 1, z2 = i, z3 = −1, w1 = 4− i, w2 = 4 e w3 = 4 + i. Construa uma
transformação de Möbius T que leva C em r, e tal que T (zi) = wi, para i = 1, 2,3.
(0.5) (b) Para qual lado da reta r a transformação T leva o interior do círculo C? Justifique.
(1.0) (c) Sabendo que a função f (z) = z + 3 leva a reta r na reta s = {7+ i y : y ∈ R}, use o
item (a) para encontrar uma transformação de Möbius S que leva C em s .
(Valor 4.0) Questão 3: Calcule
∮
γ
z+ 1
z2(z2− 4)dz, onde:
(1.5) (a) γ é o círculo |z|= 1;
(1.5) (b) γ é o círculo |z|= 3.
(1.0) (c) γ é o círculo |z− 2i|= 1.
(Valor 1.0) Questão 4: Considere a função complexa f (z) = e−iz(3z2 + 1). Encontre o valor má-
ximo para | f (z)| no disco |z|¶ 2.
Dica: Lembre-se que |e−iz|= eIm(z).