Aulas de Calculo I

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Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E M´ınimo
Jairo Menezes e Souza
UFG/CAC
18/06/2013
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E M´ınimo
Definic¸a˜o
Uma func¸a˜o f tem ma´ximo absoluto ( ou ma´ximo global)
em c se
f (c) ≥ f (x) ∀ x ∈ Df
O nu´mero f (c) e´ chamado valor ma´ximo de f em Df .
Uma func¸a˜o f tem m´ınimo absoluto ( ou m´ınimo global)
em d se
f (d) ≤ f (x) ∀ x ∈ Df
O nu´mero f (d) e´ chamado valor m´ınimo de f em Df .
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E M´ınimo
Definic¸a˜o
Uma func¸a˜o f tem ma´ximo absoluto ( ou ma´ximo global)
em c se
f (c) ≥ f (x) ∀ x ∈ Df
O nu´mero f (c) e´ chamado valor ma´ximo de f em Df .
Uma func¸a˜o f tem m´ınimo absoluto ( ou m´ınimo global)
em d se
f (d) ≤ f (x) ∀ x ∈ Df
O nu´mero f (d) e´ chamado valor m´ınimo de f em Df .
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = f (x)
d c
Na figura temos que o valor m´ınimo global e´ atingido em f (d) e o
valor ma´ximo global e´ atingido em f (c).
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = f (x)
d c
Na figura temos que o valor m´ınimo global e´ atingido em f (d) e o
valor ma´ximo global e´ atingido em f (c).
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = x2
Temos que 0 e´ o valor m´ınimo global da func¸a˜o f (x) = x2 que e´
atingido em d = 0. A func¸ao˜ f na˜o possui valor ma´ximo global.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = x2
Temos que 0 e´ o valor m´ınimo global da func¸a˜o f (x) = x2 que e´
atingido em d = 0. A func¸ao˜ f na˜o possui valor ma´ximo global.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = x3
A func¸a˜o f (x) = x3 na˜o possui ma´ximo nem m´ınimo
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = x3
A func¸a˜o f (x) = x3 na˜o possui ma´ximo nem m´ınimo
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Definic¸a˜o
Uma func¸a˜o f tem ma´ximo local ( ou ma´ximo relativo) em
c se
f (c) ≥ f (x) ∀ x ∈ I
onde I e´ um intervalo aberto contendo c .
O nu´mero f (c) e´ chamado valor ma´ximo local de f em Df .
Uma func¸a˜o f tem m´ınimo local ( ou m´ınimo relativo) em
d se
f (d) ≤ f (x) ∀ x ∈ I
Onde I e´ um intervalo aberto contendo c O nu´mero f (d) e´
chamado valor m´ınimo local de f em Df .
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Definic¸a˜o
Uma func¸a˜o f tem ma´ximo local ( ou ma´ximo relativo) em
c se
f (c) ≥ f (x) ∀ x ∈ I
onde I e´ um intervalo aberto contendo c .
O nu´mero f (c) e´ chamado valor ma´ximo local de f em Df .
Uma func¸a˜o f tem m´ınimo local ( ou m´ınimo relativo) em
d se
f (d) ≤ f (x) ∀ x ∈ I
Onde I e´ um intervalo aberto contendo c O nu´mero f (d) e´
chamado valor m´ınimo local de f em Df .
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = 1
y = −1
y = cos x
A func¸a˜o f (x) = cos x assume valor ma´ximo (local e global) 1
infinitas vezes, ja´ que cos 2kpi = 1 para todo k ∈ Z e
−1 ≤ cos x ≤ 1.Do mesmo modo cos (2k + 1)pi = −1 para todo
k ∈ Z e −1 e´ o valor m´ınimo.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = 1
y = −1
y = cos x
A func¸a˜o f (x) = cos x assume valor ma´ximo (local e global) 1
infinitas vezes, ja´ que cos 2kpi = 1 para todo k ∈ Z e
−1 ≤ cos x ≤ 1.
Do mesmo modo cos (2k + 1)pi = −1 para todo
k ∈ Z e −1 e´ o valor m´ınimo.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = 1
y = −1
y = cos x
A func¸a˜o f (x) = cos x assume valor ma´ximo (local e global) 1
infinitas vezes, ja´ que cos 2kpi = 1 para todo k ∈ Z e
−1 ≤ cos x ≤ 1.Do mesmo modo cos (2k + 1)pi = −1 para todo
k ∈ Z e −1 e´ o valor m´ınimo.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
−1 1 2 3 4
y = 3x4 − 16x2 + 18x2
(−1, 37)
(1, 5)
(3,−27)
(4, 32)
A func¸a˜o f (x) = 3x4 − 16x2 + 18x2 definida no intervalo [−1, 4]
possui ma´ximo global 37 no ponto −1 e m´ınimo global −27 no
ponto 3. Alem disso temos que f atinge m´ınimo local em 0 e
ma´ximos locais em 1 e 4.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
−1 1 2 3 4
y = 3x4 − 16x2 + 18x2
(−1, 37)
(1, 5)
(3,−27)
(4, 32)
A func¸a˜o f (x) = 3x4 − 16x2 + 18x2 definida no intervalo [−1, 4]
possui ma´ximo global 37 no ponto −1 e m´ınimo global −27 no
ponto 3. Alem disso temos que f atinge m´ınimo local em 0 e
ma´ximos locais em 1 e 4.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Teorema de Weierstrass
Se f for cont´ınua em um intervalo fechado [a, b], enta˜o f assume
um valor ma´ximo global f (c) e um valor m´ınimo global f (d) para
pontos c e d em [a, b].
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
c da b x
y
c d = ba
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = f (x)
d1 d2a = c1 b = c2e
Temos que f (x) atinge o valor ma´ximo global nas extremidades a e
b. E atinge m´ınimo global em d1 e d2. Temos ainda um ma´ximo
local atingindo em e.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = f (x)
d1 d2a = c1 b = c2e
Temos que f (x) atinge o valor ma´ximo global nas extremidades a e
b. E atinge m´ınimo global em d1 e d2. Temos ainda um ma´ximo
local atingindo em e.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = f (x)
a b
Temos que f (x) e´ definida em um intervalo fechado mas na˜o
possui valor ma´ximo. Acontece que f (x) na˜o e´ cont´ınua.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = f (x)
a b
Temos que f (x) e´ definida em um intervalo fechado mas na˜o
possui valor ma´ximo. Acontece que f (x) na˜o e´ cont´ınua.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
Temos que f (x) e´ cont´ınua mas na˜o possui valor ma´ximo.
Acontece que f (x) na˜o esta´ definida em um intervalo fechado.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
Temos que f (x) e´ cont´ınua mas na˜o possui valor ma´ximo.
Acontece que f (x) na˜o esta´ definida em um intervalo fechado.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
(c , f (c))
(d , f (d))
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Teorema De Fermat
Se uma func¸a˜o f e´ diferencia´vel em um intervalo aberto I e atinge
ma´ximo local (global) ou m´ınimo local (global) em um nu´mero c ,
enta˜o f ′(c) = 0
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Teorema De Fermat
Se uma func¸a˜o f e´ diferencia´vel em um intervalo aberto I e atinge
ma´ximo local (global) ou m´ınimo local (global) em um nu´mero c ,
enta˜o f ′(c) = 0
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Demonstrac¸a˜o.
Suponha que f (c) e´ valor ma´ximo, enta˜o f (c) ≥ f (c + h) para h
pro´ximo de 0. Da´ı
f (c + h)− f (c) ≤ 0
Vamos calcular a derivada usando limites laterais. Fazendo h > 0,
temos
f (c + h)− f (c)
h
≤ 0
Da´ı usando o Teorema da Conservac¸a˜o do sinal temos que
lim
h→0+
f (c + h)− f (c)
h
≤ lim
h→0+
0 = 0
Como f ′(c) existe, temos que o limiteexiste e e´ igual aos limites
laterais da´ı
f ′(c) ≤ 0 (1)
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Demonstrac¸a˜o.
Suponha que f (c) e´ valor ma´ximo, enta˜o f (c) ≥ f (c + h) para h
pro´ximo de 0. Da´ı
f (c + h)− f (c) ≤ 0
Vamos calcular a derivada usando limites laterais. Fazendo h > 0,
temos
f (c + h)− f (c)
h
≤ 0
Da´ı usando o Teorema da Conservac¸a˜o do sinal temos que
lim
h→0+
f (c + h)− f (c)
h
≤ lim
h→0+
0 = 0
Como f ′(c) existe, temos que o limite existe e e´ igual aos limites
laterais da´ı
f ′(c) ≤ 0 (1)
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Demonstrac¸a˜o.
Suponha que f (c) e´ valor ma´ximo, enta˜o f (c) ≥ f (c + h) para h
pro´ximo de 0. Da´ı
f (c + h)− f (c) ≤ 0
Vamos calcular a derivada usando limites laterais. Fazendo h > 0,
temos
f (c + h)− f (c)
h
≤ 0
Da´ı usando o Teorema da Conservac¸a˜o do sinal temos que
lim
h→0+
f (c + h)− f (c)
h
≤ lim
h→0+
0 = 0
Como f ′(c) existe, temos que o limite existe e e´ igual aos limites
laterais da´ı
f ′(c) ≤ 0 (1)
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Demonstrac¸a˜o.
Suponha que f (c) e´ valor ma´ximo, enta˜o f (c) ≥ f (c + h) para h
pro´ximo de 0. Da´ı
f (c + h)− f (c) ≤ 0
Vamos calcular a derivada usando limites laterais. Fazendo h > 0,
temos
f (c + h)− f (c)
h
≤ 0
Da´ı usando o Teorema da Conservac¸a˜o do sinal temos que
lim
h→0+
f (c + h)− f (c)
h
≤ lim
h→0+
0 = 0
Como f ′(c) existe, temos que o limite existe e e´ igual aos limites
laterais da´ı
f ′(c) ≤ 0 (1)
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Demonstrac¸a˜o.
Suponha que f (c) e´ valor ma´ximo, enta˜o f (c) ≥ f (c + h) para h
pro´ximo de 0. Da´ı
f (c + h)− f (c) ≤ 0
Vamos calcular a derivada usando limites laterais. Fazendo h > 0,
temos
f (c + h)− f (c)
h
≤ 0
Da´ı usando o Teorema da Conservac¸a˜o do sinal temos que
lim
h→0+
f (c + h)− f (c)
h
≤ lim
h→0+
0 = 0
Como f ′(c) existe, temos que o limite existe e e´ igual aos limites
laterais da´ı
f ′(c) ≤ 0 (1)
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Demonstrac¸a˜o.
Suponha que f (c) e´ valor ma´ximo, enta˜o f (c) ≥ f (c + h) para h
pro´ximo de 0. Da´ı
f (c + h)− f (c) ≤ 0
Vamos calcular a derivada usando limites laterais. Fazendo h > 0,
temos
f (c + h)− f (c)
h
≤ 0
Da´ı usando o Teorema da Conservac¸a˜o do sinal temos que
lim
h→0+
f (c + h)− f (c)
h
≤ lim
h→0+
0 = 0
Como f ′(c) existe, temos que o limite existe e e´ igual aos limites
laterais da´ı
f ′(c) ≤ 0 (1)
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Demonstrac¸a˜o.
Fazendo o limite pela esquerda temos para h < 0
f (c + h)− f (c)
h
≥ 0
Da´ı
lim
h→0−
f (c + h)− f (c)
h
≥ lim
h→0−
0 = 0
E enta˜o
f ′(c) ≥ 0 (2)
Logo por 16 e 17 temos que
f ′(c) = 0
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Demonstrac¸a˜o.
Fazendo o limite pela esquerda temos para h < 0
f (c + h)− f (c)
h
≥ 0
Da´ı
lim
h→0−
f (c + h)− f (c)
h
≥ lim
h→0−
0 = 0
E enta˜o
f ′(c) ≥ 0 (2)
Logo por 16 e 17 temos que
f ′(c) = 0
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Demonstrac¸a˜o.
Fazendo o limite pela esquerda temos para h < 0
f (c + h)− f (c)
h
≥ 0
Da´ı
lim
h→0−
f (c + h)− f (c)
h
≥ lim
h→0−
0 = 0
E enta˜o
f ′(c) ≥ 0 (2)
Logo por 16 e 17 temos que
f ′(c) = 0
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Demonstrac¸a˜o.
Fazendo o limite pela esquerda temos para h < 0
f (c + h)− f (c)
h
≥ 0
Da´ı
lim
h→0−
f (c + h)− f (c)
h
≥ lim
h→0−
0 = 0
E enta˜o
f ′(c) ≥ 0 (2)
Logo por 16 e 17 temos que
f ′(c) = 0
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Demonstrac¸a˜o.
Fazendo o limite pela esquerda temos para h < 0
f (c + h)− f (c)
h
≥ 0
Da´ı
lim
h→0−
f (c + h)− f (c)
h
≥ lim
h→0−
0 = 0
E enta˜o
f ′(c) ≥ 0 (2)
Logo por 16 e 17 temos que
f ′(c) = 0
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y y = x3
Exemplo
Temos que para f (x) = x3
f ′(x) = 3x2
Enta˜o temos que f ′(0) = 0 mas
f na˜o atinge ma´ximo e nem
m´ınimo em 0
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y y = x3
Exemplo
Temos que para f (x) = x3
f ′(x) = 3x2
Enta˜o temos que f ′(0) = 0 mas
f na˜o atinge ma´ximo e nem
m´ınimo em 0
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y y = x3
Exemplo
Temos que para f (x) = x3
f ′(x) = 3x2
Enta˜o temos que f ′(0) = 0 mas
f na˜o atinge ma´ximo e nem
m´ınimo em 0
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y y = |x |
Exemplo
Temos que f (x) = |x | atinge
m´ınimo global em 0 mas f ′(0)
na˜o existe.
Note que na˜o vale a rec´ıproca do Teorema De Fermat.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y y = |x |
Exemplo
Temos que f (x) = |x | atinge
m´ınimo global em 0 mas f ′(0)
na˜o existe.
Note que na˜o vale a rec´ıproca do Teorema De Fermat.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y y = |x |
Exemplo
Temos que f (x) = |x | atinge
m´ınimo global em 0 mas f ′(0)
na˜o existe.
Note que na˜o vale a rec´ıproca do Teorema De Fermat.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Definic¸a˜o
Um Nu´mero cr´ıtico de uma func¸a˜o f e´ um nu´mero c tal que
f ′(c) = 0 ou que f ′(c) na˜o exista.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Exemplo
Encontre os nu´meros cr´ıticos da func¸a˜o f (x) = x 3/5(4− x).
Resoluc¸a˜o.
f ′(x) =
(
3
5
x
3
5
−1
)
(4− x) + (−1)x 35
=
3(4− x)
5x
2
5
− x 35 = 12− 3x − 5x
5x
2
5
=
12− 8x
5x
2
5
Temos que f ′(0) na˜o esta´ definida. E que f ′
(
3
2
)
= 0.
Enta˜o os nu´meros cr´ıticos sa˜o 32 e 0.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Exemplo
Encontre os nu´meros cr´ıticos da func¸a˜o f (x) = x 3/5(4− x).
Resoluc¸a˜o.
f ′(x) =
(
3
5
x
3
5
−1
)
(4− x) + (−1)x 35
=
3(4− x)
5x
2
5
− x 35 = 12− 3x − 5x
5x
2
5
=
12− 8x
5x
2
5
Temos que f ′(0) na˜o esta´ definida. E que f ′
(
3
2
)
= 0.
Enta˜o os nu´meros cr´ıticos sa˜o 32 e 0.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Exemplo
Encontre os nu´meros cr´ıticos da func¸a˜o f (x) = x 3/5(4− x).
Resoluc¸a˜o.
f ′(x) =
(
3
5
x
3
5
−1
)
(4− x) + (−1)x 35
=
3(4− x)
5x
2
5
− x 35 = 12− 3x − 5x
5x
2
5
=
12− 8x
5x
2
5
Temos que f ′(0) na˜o esta´ definida. E que f ′
(
3
2
)
= 0.
Enta˜o os nu´meros cr´ıticos sa˜o 32 e 0.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Exemplo
Encontre os nu´meros cr´ıticos da func¸a˜o f (x) = x 3/5(4− x).
Resoluc¸a˜o.
f ′(x) =
(
3
5
x
3
5
−1
)
(4− x) + (−1)x 35
=
3(4− x)
5x
2
5
− x 35 = 12− 3x − 5x
5x
2
5
=
12− 8x
5x
2
5
Temos que f ′(0) na˜o esta´ definida. E que f ′
(
3
2
)
= 0.
Enta˜o os nu´meros cr´ıticos sa˜o 32 e 0.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Exemplo
Encontre os nu´meros cr´ıticos da func¸a˜o f (x) = x 3/5(4− x).
Resoluc¸a˜o.
f ′(x) =(
3
5
x
3
5
−1
)
(4− x) + (−1)x 35
=
3(4− x)
5x
2
5
− x 35 = 12− 3x − 5x
5x
2
5
=
12− 8x
5x
2
5
Temos que f ′(0) na˜o esta´ definida. E que f ′
(
3
2
)
= 0.
Enta˜o os nu´meros cr´ıticos sa˜o 32 e 0.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Figura : y = x
3/5(4− x)
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Me´todo Do Intervalo Fechado
Para encontrar o valor ma´ximo e m´ınimo da func¸a˜o cont´ınua f em
um intervalo fechado [a, b] siga os seguintes passos.
1 Ache o valor de f nos nu´meros cr´ıticos dentro do intervalo
(a, b).
2 Ache o valor de f nas extremidades. f (a) e f (b).
3 O maior valor nos passos 1 e 2 e´ o valor ma´ximo, e o menor
valor nos passos 1 e 2 e´ o valor m´ınimo.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Me´todo Do Intervalo Fechado
Para encontrar o valor ma´ximo e m´ınimo da func¸a˜o cont´ınua f em
um intervalo fechado [a, b] siga os seguintes passos.
1 Ache o valor de f nos nu´meros cr´ıticos dentro do intervalo
(a, b).
2 Ache o valor de f nas extremidades. f (a) e f (b).
3 O maior valor nos passos 1 e 2 e´ o valor ma´ximo, e o menor
valor nos passos 1 e 2 e´ o valor m´ınimo.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Me´todo Do Intervalo Fechado
Para encontrar o valor ma´ximo e m´ınimo da func¸a˜o cont´ınua f em
um intervalo fechado [a, b] siga os seguintes passos.
1 Ache o valor de f nos nu´meros cr´ıticos dentro do intervalo
(a, b).
2 Ache o valor de f nas extremidades. f (a) e f (b).
3 O maior valor nos passos 1 e 2 e´ o valor ma´ximo, e o menor
valor nos passos 1 e 2 e´ o valor m´ınimo.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Me´todo Do Intervalo Fechado
Para encontrar o valor ma´ximo e m´ınimo da func¸a˜o cont´ınua f em
um intervalo fechado [a, b] siga os seguintes passos.
1 Ache o valor de f nos nu´meros cr´ıticos dentro do intervalo
(a, b).
2 Ache o valor de f nas extremidades. f (a) e f (b).
3 O maior valor nos passos 1 e 2 e´ o valor ma´ximo, e o menor
valor nos passos 1 e 2 e´ o valor m´ınimo.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Exemple
Encontre o valor ma´ximo e o valor m´ınimo de f (x) = x3 − 3x2 + 1
em −12 ≤ x ≤ 4.
Soluc¸a˜o.
f ′(x) = 3x2 − 6x = 0⇒ 3x(x − 2) = 0
⇒ x = 0 ou x = 2
x f (x)
−12 18
0 1
2 −3
4 17
Da´ı temos que −3 e´ o valor
m´ınimo e e´ atingido em x = 2.
E 17 e´ o valor ma´ximo e e´
atingido em x = 4
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Exemple
Encontre o valor ma´ximo e o valor m´ınimo de f (x) = x3 − 3x2 + 1
em −12 ≤ x ≤ 4.
Soluc¸a˜o.
f ′(x) = 3x2 − 6x = 0
⇒ 3x(x − 2) = 0
⇒ x = 0 ou x = 2
x f (x)
−12 18
0 1
2 −3
4 17
Da´ı temos que −3 e´ o valor
m´ınimo e e´ atingido em x = 2.
E 17 e´ o valor ma´ximo e e´
atingido em x = 4
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Exemple
Encontre o valor ma´ximo e o valor m´ınimo de f (x) = x3 − 3x2 + 1
em −12 ≤ x ≤ 4.
Soluc¸a˜o.
f ′(x) = 3x2 − 6x = 0⇒ 3x(x − 2) = 0
⇒ x = 0 ou x = 2
x f (x)
−12 18
0 1
2 −3
4 17
Da´ı temos que −3 e´ o valor
m´ınimo e e´ atingido em x = 2.
E 17 e´ o valor ma´ximo e e´
atingido em x = 4
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Exemple
Encontre o valor ma´ximo e o valor m´ınimo de f (x) = x3 − 3x2 + 1
em −12 ≤ x ≤ 4.
Soluc¸a˜o.
f ′(x) = 3x2 − 6x = 0⇒ 3x(x − 2) = 0
⇒ x = 0 ou x = 2
x f (x)
−12 18
0 1
2 −3
4 17
Da´ı temos que −3 e´ o valor
m´ınimo e e´ atingido em x = 2.
E 17 e´ o valor ma´ximo e e´
atingido em x = 4
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Exemple
Encontre o valor ma´ximo e o valor m´ınimo de f (x) = x3 − 3x2 + 1
em −12 ≤ x ≤ 4.
Soluc¸a˜o.
f ′(x) = 3x2 − 6x = 0⇒ 3x(x − 2) = 0
⇒ x = 0 ou x = 2
x f (x)
−12 18
0 1
2 −3
4 17
Da´ı temos que −3 e´ o valor
m´ınimo e e´ atingido em x = 2.
E 17 e´ o valor ma´ximo e e´
atingido em x = 4
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Exemple
Encontre o valor ma´ximo e o valor m´ınimo de f (x) = x3 − 3x2 + 1
em −12 ≤ x ≤ 4.
Soluc¸a˜o.
f ′(x) = 3x2 − 6x = 0⇒ 3x(x − 2) = 0
⇒ x = 0 ou x = 2
x f (x)
−12 18
0 1
2 −3
4 17
Da´ı temos que −3 e´ o valor
m´ınimo e e´ atingido em x = 2.
E 17 e´ o valor ma´ximo e e´
atingido em x = 4
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = x3 − 3x2 + 1
−12 1 2 3 4
5
10
15
20
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = x − 2 sen x
Exemplo
Use um software gra´fico
para estimar o valor
ma´ximo e m´ınimo de
f (x) = x − 2 sen x em
0 ≤ x ≤ 2pi.
Use ca´lculo para encontrar
os valores exatos.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
Valores Ma´ximo E Mı´nimo
x
y
y = x − 2 sen x
Exemplo
Use um software gra´fico
para estimar o valor
ma´ximo e m´ınimo de
f (x) = x − 2 sen x em
0 ≤ x ≤ 2pi.
Use ca´lculo para encontrar
os valores exatos.
Jairo Menezes e Souza Valores Ma´ximo E Mı´nimo
	Valores Máximo E Mínimo