Questão resolvida - Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s) - multiplicadores de Lagrange - Cálculo II - Unicamp

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Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da 
função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
 
f x, y = x y; x + 2y = 6( ) 2 2 2
 
Resolução: 
 
 Pela relação de Lagrange, encontramos os valores extremos usando a definida dada por;
 
𝛻F x, y = 𝜆𝛻g x, y( ) ( )
 
 é a função objetivo, aqui é dada por;F x, y( )
 
F x, y = x y( ) 2
 
E a restrição é dada por; g x, y( )
 
g x, y = x + 2y = 6( ) 2 2
 
Agora, fazendo os gradiente de e , temos;𝛻F x, y( ) 𝛻g x, y( )
 
𝛻F x, y = ⟨ , ⟩ = ⟨2xy, x ⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
2
 
𝛻g x, y = ⟨2x, 2 ⋅ 2y⟩ = ⟨2x, 4y⟩( )
 
Substituindo os gradientes encontrados na equação 1, fica;
 
⟨2xy, x ⟩ = 𝜆⟨2x, 4y⟩2
 
⟨2xy, x ⟩ = ⟨2x𝜆, 4y𝜆⟩2
 
 
Isso nos leva ao seguinte sistema;
 
2xy = 2x𝜆
x = 4y𝜆2
 
Isolando lambda na primeira equação, temos;
 
2xy = 2x𝜆 2𝜆 = 2y 𝜆 = 𝜆 = y⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪e invertendo a igualdade ⏫⏪ 
2y
2
→ →
 
y = 𝜆
 
substituindo a igualdade encontrada para na segunda equação, fica;𝜆
 
𝜆 = y x = 4𝜆𝜆 x = 4𝜆 x = ± x = ±→ 2 → 2 2 → 4𝜆2 → 4 𝜆2
 
x = ±2𝜆
 
Substituindo os valores encontrados para e na restrição, temos; x y
 
±2𝜆 + 2𝜆 = 6 ±2 𝜆 + 2𝜆 = 6 4𝜆 + 2𝜆 = 6 6𝜆 = 6 𝜆 =( )2 2 → ( )2 2 2 → 2 2 → 2 → 2
6
6
 
𝜆 = 1 𝜆 = ± 𝜆 = ±12 → 1 →
 
Vamos substituir os valores de 𝜆 nas equações 1 e 2;
 
𝜆 = 1 y = 1 e x = ±2→
 
𝜆 = -1 y = -1 e x = ±2 - x = ±2→ ( ) →
 
Vamos substituir os valores de em (perceba que como está elevado a potência 2, y F x, y( ) x
não importa se seu valor é nagativo ou positivo;
 
Se y = 1 e x = ±2 F ±2, 1 = ±2 ⋅ 1 F ±2, 1 = 4 ⋅ 1 F ±2, 1 = 4→ ( ) ( )2 → ( ) → ( )
 
 
Se y = -1 e x = ±2 F ±2, 1 = ±2 ⋅ -1 F ±2, 1 = 4 ⋅ -1 F ±2, 1 = - 4→ ( ) ( )2 ( ) → ( ) ( ) → ( )
 
 
"cortando" o x 
(1)
(2)
 
Logo, temos que;
 
4 é valor de máximo e - 4 é valor de mínimo!
 
 
(Resposta )