MAT INSTR NT - AULA 11 -REVISAO - 07-06 (1)

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Disciplina: MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
Profª Leila Muniz
2021
Ii unidade
7 10/05 DEF. / TIPOS DE FUNÇÃO ‘
8 17/05 FUNÇÃO DO 1° GRAU
9 24/05 F. DO 2° E 3° GRAUS / F. EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA GRUPOS 1 E 2
10 31/05 TRIGONOMETRIA / FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS GRUPOS 3 E 4
11 07/06 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS / REVISÃO GRUPOS 5 E 6
12 14/06 AV2
13 21/06 2ª CHAMADA - AV1
14 28/06 AV3
15 05/07
- 07/07 FINAL DO SEMESTRE
Ii unidade – pontuação
ATIVIDADE RECREATIVA
5ª A.R. - 2,0
6ª A.R. 21/06 1,0
AV2 14/06 7,0 
5ª ATIVIDADE RECREATIVA - NT
GRUPOS INTEGRANTES TEMA DATA
GRUPO 01
Deivison da Silva Macedo 202104480504
FUNÇÕES DO 2º E 3º 
GRAUS
24/05
Joice de Almeida Silva 202104159251
Bruno Moraes Lima 202103413668
Rafael Amaral Machado 202103089755
GRUPO 02
Guilherme Dabrowska de Lelis 202102012465
FUNÇÕES EXPONENCIAL 
E LOGARÍTMICA
24/05
Lucas Mota dos Santos 202102120896
Rafael Oliveira da Silva 202102120721
Pedro França Alves Moura 202103495583
GRUPO 03
Geovana Jesus dos Santos 202102178631
FUNÇÕES SENO E 
COSSECANTE
31/05
Jonathan Jones Pinheiro de Barros 202104037856
Rodolfo Lima de Oliveira 202104186215
Beatriz de Jesus Aleluia Santos 201951323874
GRUPO 04
Marcelo Vinícius Santos Barros 202102363861
FUNÇÕES COSSENO E 
SECANTE
31/05
Diego Luiz Albuquerque dos Santos 202103286755
Caio Teixeira Rocha 202051761393
Felipe Martins Passos 202103185861
GRUPO 05
João Vitor Lemos De Araújo 202103024394
FUNÇÕES TANGENTE E 
COTANGENTE
07/06
Luiza Moreira Caldas Azi 202103250572
Danilo Dos Santos Andrade 202104035268
Mauricio Eirado Lima 202103840256
GRUPO 06
Gabriel Bispo de Santana Araújo 202103817475
FUNÇÕES RACIONAL E 
MODULAR
07/06
Vladimir Lopes Garcia Júnior 202104101201
David Lucas Miranda Jesus 202102120871
Gilberto Assis da Silva filho 202104085621
Sobre AVD
Nem todas as disciplinas Aura farão, nesse semestre, AVD. 
Lista de disciplinas elegíveis:
https://preparadigital.myportfolio.com/sobre
Tem uma página bem interessante que roteiriza o estudante:
https://avdaura.myportfolio.com/inicio
https://preparadigital.myportfolio.com/sobre
https://avdaura.myportfolio.com/inicio
REVISÃO
Intervalo até 21:20
PROFESSORA : LEILA MUNIZ
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
Ii unidade
FUNÇÃO: DEFINIÇÃO / TIPOS / CARACTERÍSTICAS
FUNÇÕES DO 1°, 2° E 3° GRAUS
FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
TRIGONOMETRIA
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
- SENO / COSSECANTE
- COSSENO / SECANTE
-TANGENTE / COTANGENTE
função
Uma função de A em B significa associar cada elemento pertencente ao
conjunto A à um único elemento do conjunto B, sendo assim, um valor de
A não pode estar ligado a dois valores de B.
Estudo de sinal
𝑓:ℝ → ℝ
𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙:
→ 𝑓 𝑥 > 0 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
→ 𝑓 𝑥 < 0 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
+
- -
+
Classificação Função
Crescente: uma função é
crescente quando para
quaisquer valores 𝒙𝟏 𝑒 𝒙𝟐
do domínio:
𝒙𝟏 < 𝒙𝟐, temos 
que 𝒇(𝒙𝟏) < 𝒇(𝒙𝟐).
Função Crescente, Decrescente e Constante
𝑥 𝑦
Decrescente: uma função
é decrescente quando para
quaisquer
valores 𝒙𝟏 𝑒 𝒙𝟐 do domínio:
𝒙𝟏 < 𝒙𝟐,temos
que 𝒇 𝒙𝟏 > 𝒇(𝒙𝟐).
𝑥 𝑦
Constante: uma
função é constante
quando para quaisquer
valores 𝒙𝟏 𝑒 𝒙𝟐 do
domínio, temos
que 𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 𝒙𝟐
𝑥 𝑦
Classificação Função
Tipos de Funções
Podemos classificar com algumas propriedades específicas que retratam o
comportamento.
Injetora
𝒇: 𝑨 → 𝑩 é injetora se, 
e somente se, os 
elementos distintos 
em A possuem elementos 
distintos em B.
Sobrejetora
𝒇: 𝑨 → 𝑩 é sobrejetora
se, e somente se, todo 
elemento de B é imagem 
de pelo menos um 
elemento de A.
Bijetora
𝒇: 𝑨 → 𝑩 é bijetora ou se,
e somente se, ela
for injetora e sobrejetora.
Todos os elementos de B é
imagem de apenas um
elemento de A.
Classificação Função (2)
Tipos de 
Funções
Uma função é par quando:
𝒇 𝒙 = 𝒇 −𝒙 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).
Uma função é ímpar quando:
𝒇 𝒙 = − 𝒇 −𝒙 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).
Classificação Função (2)
Função Par: exemplo
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟑
teste:
𝒙 = 𝟏 𝒆 − 𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝒇 𝟏 = 𝟏 + 𝟑 = 𝟒
𝒙 = −𝟏 ⇒ 𝒇 −𝟏 = 𝟏 + 𝟑 = 𝟒
Logo, 𝑓 1 = 𝑓(−1)
A função é par, pois:
𝒇 𝒙 = 𝒇 −𝒙 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).
Classificação Função (2)
Função Ímpar: exemplo
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙
teste:
𝒙 = 𝟏 𝒆 − 𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝒇 𝟏 = 𝟏 − 𝟒 = −𝟑
𝒙 = −𝟏 ⇒ 𝒇 −𝟏 = −𝟏 + 𝟒 = 𝟑
Logo, −𝑓 1 = 𝑓(−1)
A função é ímpar, pois:
−𝒇 𝒙 = 𝒇 −𝒙 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)
Classificação Função (2)
Função Ímpar ou Par?: exemplo
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒
teste:
𝒙 = 𝟐 𝒆 − 𝒙 = −𝟐
𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝒇 𝟐 = 𝟒 + 𝟔 + 𝟒 = 𝟏𝟒
𝒙 = −𝟐 ⇒ 𝒇 −𝟐 = 𝟒 − 𝟔 + 𝟒 = 𝟐
Logo, 𝑓 2 ≠ 𝑓(−2)
A função é nem par, nem ímpar
FUNÇÕES
PROFESSORA : LEILA MUNIZ
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
(ENEM-2015) Atualmente existem diversas locadoras de veículos, permitindo
uma concorrência saudável para o mercado, fazendo com que os preços se
tornem acessíveis. Nas locadoras P e Q, o valor da diária de seus carros depende
da distância percorrida, conforme gráfico.
Questão 1:
O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora 
P para distâncias, em quilômetros, presentes em qual(is) intervalo(s)?
Questão 1 (cont.):
O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora 
P para distâncias, em quilômetros, presentes em qual(is) intervalo(s)?
a) De 20 a 100
b) De 80 a 130
c) De 100 a 160
d) De 0 a 20 e de 100 a 160
e) De 40 a 80 e de 130 a 160
Uma empresa fabrica um determinado produto com um custo
fixo de R$5,00 e custo variável de R$2,00.
Sabendo-se que este produto é vendido a R$6,00 a unidade,
Carlinhos precisa vender, pelo menos quantas unidades do
produto para não ter prejuízo?
Questão 2:
Custo: 𝐶 𝑥 = 2𝑥 + 5
Receita: 𝑅 𝑥 = 6𝑥
Lucro → 𝐿 𝑥 = 𝑅 − 𝐶
𝑅 = 𝐶
6𝑥 = 2𝑥 + 5
4𝑥 = 5
𝒙 =
𝟓
𝟒
= 𝟏, 𝟐𝟓
Questão 2 (cont.): Custo: 𝐶 𝑥 = 2𝑥 + 5
Receita: 𝑅 𝑥 = 6𝑥
Lucro → 𝐿 𝑥 = 𝑅 − 𝐶
Lucro = 0 ⇒ 𝑅 = 𝐶
Carlinhos precisa vender pelo menos 2 unidades do produto para não ter
prejuízo.
Questão 3: Dadas as proposições:
p: Existem funções que não são pares nem ímpares.
q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao eixo y.
t: O gráfico cartesiano da função 𝑦 =
𝑥
𝑥
= 1 (reta) tem ponto máximo.
Podemos afirmar que são falsas:
A sentença t é falsa
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
f(-1) = 3 ⇒ 𝑥 = −1 𝑒 𝑦 = 3 ⇒ 𝟑 = −𝒂 + 𝒃
f(3) = 1 ⇒ 𝑥 = 3 𝑒 𝑦 = 1 ⇒ 𝟏 = 𝟑𝒂 + 𝒃
Questão 4: 
A função f é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que f(-1) = 3 e 
f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:
ቊ
3 = −𝑎 + 𝑏 (1)
1 = 3𝑎 + 𝑏 (2)
⇒ 1 − 2 ⇒ 2 = −4𝑎 ⇒ 𝑎 = −
1
2
𝑦 = −
𝟏
𝟐
𝑥 +
𝟓
𝟐
f(1)=? ⇒ 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 =?
𝑦 = −
1
2
+
5
2
= 2
𝒇(𝟏) = 𝟐
𝑦 =
1
𝑥 − 1
Condição existência: 𝑥 − 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ 1
Domínio: D = ℝ − {1}
Imagem: 𝑰𝒎 = ℝ− {𝟎}
Questão 5: O conjunto imagem da função 𝑦 =
1
𝑥 − 1
é o conjunto:
Questão 6: (UEFS) Se 𝑥1 e 𝑥2 são os zeros da função (raízes)
𝑦 = 3𝑥2 + 4𝑥 − 2
então o valor de
1
𝑥1
+
1
𝑥2
é igual:
3𝑥2 + 4𝑥 − 2 = 0
Raízes: 𝑥 =
−4± 16+24
6
=
−4± 40
6
=
−4±2 10
6
=
−2± 10
3
logo
𝑥1 =
−2+ 10
3
e 𝑥2 =
−2− 10
3
1
𝑥1
+
1
𝑥2
3
−2 + 10
+
3
−2 − 10
1
𝑥1
+
1
𝑥2
3
−2 + 10
+
3
−2 − 10
M.M.C.
Produto Notável: 
𝑎 + 𝑏 . 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏²
−2 + 10 . −2 − 10 = 4 − 10 = −6
Questão 6 (cont.):
3 −2 − 10
−2 + 10 . −2 − 10
+
3 −2 + 10
−2 + 10 . −2 − 10
−6 − 3 10
−6
+
−6 + 3 10
−6
−12
−6
2
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜,
1
𝑥1
+
1
𝑥2
= 2
Questão 7: Sabe-se que −2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o
ponto (−1,8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25
b) o seu valor mínimo é 1,25
c) o seu valor máximo é 0,25
d) o seu valor mínimo é 12,5
e) o seu valor máximo é 12,5
Observando os pontos no plano cartesiano:
A Concavidade da parábola é para baixo, sendo assim a função temponto 
máximo acima de 𝑦 = 8.
Portanto, o seu valor máximo é 12,5
Questão 8: (PUC-RS) Seja a função definida por 𝑓 𝑥 =
2𝑥 − 3
5𝑥
. O
elemento do domínio de f que tem −
2
5
como imagem é:
𝑦 = −
2
5
⇒ 𝑥 =?
−
2
5
=
2𝑥 − 3
5𝑥
−10𝑥 = 10𝑥 − 15
20𝑥 = 15
𝑥 =
15
20
=
3
4
𝑦 = −
2
5
⇒ 𝒙 =
𝟑
𝟒
(UFPB 2011) Com o objetivo de aumentar a produção de alimentos em certa
região, uma secretaria de agricultura encomendou a uma equipe de agrônomos
um estudo sobre as potencialidades do solo dessa região. Na análise da
temperatura do solo, a equipe efetuou medições diárias, durante quatro dias
consecutivos, em intervalos de uma hora.
As medições tiveram início às 6 horas da manhã do primeiro dia (t = 0). Os
estudos indicaram que a temperatura T, medida em graus Celsius, e o tempo t,
representando o número de horas decorridas após o início das observações,
relacionavam-se através da expressão:
𝑇 𝑡 = 26 + 5 cos
𝜋
12
𝑡 +
4𝜋
3
Com base nessas informações, identifique as afirmativas corretas:
( ) a) A temperatura do solo, às 6 horas da manhã do primeiro dia, foi de 23,5° 𝐶.
( ) b) A função T(t) é periódica e tem período igual a 24 h.
( ) c) A função T(t) atinge valor máximo igual a 30º C.
( ) d)A temperatura do solo atingiu o valor máximo, no primeiro dia, às 14 h.
( ) e) A função T(t) é crescente no intervalo [0,8].
Questão 10:
Questão 10 (cont.):
( ) a) A temperatura do solo, às 6 horas da manhã do primeiro dia, foi de
23,5°𝐶.
Como 6 horas da manhã do primeiro dia ⇒ 𝑡 = 0
𝑇 𝑡 = 26 + 5 cos
𝜋
12
𝑡 +
4𝜋
3
𝑡 = 0 ⇒ 𝑇 0 = 26 + 5 cos
𝜋
12
0 +
4𝜋
3
𝑇 0 = 26 + 5 cos
4𝜋
3
𝑇 0 = 26 + 5 −
1
2
𝑻 𝟎 = 𝟐𝟑, 𝟓°𝑪
Verdadeira
Questão 10 (cont.):
( ) b) A função T(t) é periódica e tem período igual a 24 h.
Como 6 horas da manhã do primeiro dia ⇒ 𝑡 = 0
𝑇 𝑡 = 26 + 5 cos
𝝅
𝟏𝟐
𝑡 +
4𝜋
3
...
Questão 10 (cont.):
( ) c) A função T(t) atinge valor máximo igual a 30 ºC.
Como 6 horas da manhã do primeiro dia ⇒ 𝑡 = 0
𝑇 𝑡 = 30° ⇒ 𝑡 =? (𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜)
30 = 26 + 5 cos
𝜋
12
𝑡 +
4𝜋
3
Questão 10 (cont.):
( ) d)A temperatura do solo atingiu o valor máximo, no primeiro dia, às 14 h.
( ) e) A função T(t) é crescente no intervalo [0,8].
𝑇(𝑡) = 26 + 5 cos
𝜋
12
𝑡 +
4𝜋
3