Unidade II

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João Pessoa, PB
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Energias Alternativas e Renováveis
Departamento de Engenharia de Energias Renováveis
Professora: Cristiane K. F. da Silva
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Apresentação
• 2. Introdução: Transferência de Calor é uma Grandeza Vetorial
• 2.1. A Equação da Taxa da Condução (Lei de Fourier)
• 2.2. A Equação da Difusão de Calor (Difusão Térmica)
• 2.3. Condições de Contorno e Inicial
• 2.4. As Propriedades Termofísicas da Matéria
Profª: Cristiane K. 
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 Embora a transferência de calor e a temperatura estejam intimamente relacionadas,
ambas têm natureza diferente.
2. Introdução
• Temperatura tem apenas magnitude: quantidade escalar.
• Transferência de calor tem magnitude e direção: grandeza vetorial.
 A força motriz de qualquer forma de
transferência de calor é a diferença de
temperatura.
 A especificação da temperatura em um ponto
do meio requer primeiro a especificação da
localização daquele ponto no espaço.
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 Transferência de Calor Estacionária versus Transiente
2. Introdução
• O termo estacionário implica que não há variação em nenhum ponto no meio ao longo do
tempo.
• O termo transiente implica variação ao
longo do tempo.
• A maioria do problemas de transferência de
calor são transientes, contudo, presumem-se
condições de regime estacionário.
q1 q2= q1
q1 q2≠ q1
Profª: Cristiane K. 
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 Lei de Fourier é Fenomenológica
2.1. A Equação da Taxa da Condução
 Experimento: bastão cilíndrico de material conhecido, com superfície lateral isolada
termicamente, e duas faces restantes mantidas a temperaturas diferentes (T1>T2)
 Determinar como qx varia em função de A,
∆x e ∆T
 Comportamento observado:
 ∆T e ∆x constantes e A variando:𝑞𝑥 ∝ 𝐴 
 ∆T e A constantes e ∆x variando:𝑞𝑥 ∝
1
∆𝑥
 
 ∆x e A constantes e ∆T variando:𝑞𝑥 ∝ ∆𝑇 
𝑞𝑥 ∝ 𝐴
∆𝑇
∆𝑥
 
Profª: Cristiane K. 
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2.1. A Equação da Taxa da Condução
 Mudança de material: manteve a proporcionalidade,
mas variou o valor de qx.
𝑞𝑥 = 𝐾𝐴
∆𝑇
∆𝑥
 
𝑞𝑥 ∝ 𝐴
∆𝑇
∆𝑥
 
A taxa de condução de calor através de um meio é
diretamente proporcional à sua condutividade.
q = 4010 W
q = 1480 W
Profª: Cristiane K. 
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Lei de Fourier
2.1. A Equação da Taxa da Condução
A equação de taxa que permite a determinação do fluxo térmico de condução
a partir do conhecimento da distribuição de temperatura em um meio.
𝑞𝑥 = −𝐾𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 (2.1)(W)
Fluxo térmico:𝑞"𝑥 =
𝑞𝑥
𝐴
= −𝐾
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 (2.2)(W/m²)
 O calor é conduzido no sentido da diminuição da
temperatura, portanto o gradiente de temperatura é
negativo quando o calor é conduzido na direção
positiva do eixo x.
O fluxo térmico é uma grandeza
direcional.
Profª: Cristiane K. 
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2.1. A Equação da Taxa da Condução
 Enunciado geral para a Equação da Taxa da Condução (Lei de Fourier)
𝑞" = −𝐾∇𝑇 = −𝐾 𝑖
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+ 𝑗
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 
(2.3)
 Relação geral para a lei de condução de calor de Fourier
q“x
q“z
q“y
q“n
O vetor fluxo térmico no ponto P, nessa superfície,
deve ser perpendicular à superfície e apontar no
sentido em que a temperatura diminui.
𝑞"𝑛 = −𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑛
 (2.4)
𝑞" = 𝑖𝑞"𝑥 + 𝑗𝑞"𝑦 + 𝑘𝑞"𝑧 (2.5)
𝑞"𝑥 = −𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 𝑞"𝑦 = −𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 𝑞"𝑧 = −𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 
 
(2.6)
A transferência de calor é mantida pelo gradiente
de temperatura ao longo de n.
Profª: Cristiane K. 
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2.2. A Equação da Difusão de Calor ( Difusão Térmica)
Equação da Condução do Calor
 Análise da condução de calor: objetiva determinar o campo de temperatura em um
meio, resultante da imposição de condições em suas fronteiras (distribuição de
temperaturas).
 Baseada na aplicação de conservação de energia em um V.C. diferencial através
do qual a transferência de energia é exclusivamente por condução.
 Metodologia de aplicação da lei de conservação de energia:
1ª Etapa: Definição de um volume de controle apropriado;
2ª Etapa: Identificação da base de tempo apropriada;
3ª Etapa: Identificação dos processos de transferência de energia relevantes para o V.
C.;
4ª Etapa: Substituição das equações das taxas de transferência de calor apropriadas,
na equação da conservação de energia.
Profª: Cristiane K. 
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2.2. A Equação da Difusão de Calor ( Difusão Térmica)
1ª Etapa: Definição de um volume de controle apropriado
Figura 2.11. Volume de controle diferencial, dxdydz, para análise da condução em coordenadas cartesianas.
2ª Etapa: Identificação da base de tempo apropriada.
 Coordenadas Cartesianas
Profª: Cristiane K. 
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2.2. A Equação da Difusão de Calor ( Difusão Térmica)
3ª Etapa: Identificação dos processos de transferência de energia relevantes para o
V.C.
Taxa de 
condução de 
calor em x, y, 
z
Taxa de 
condução de 
calor em x+dx, 
y+dy, z+dz
Taxa de geração 
de calor dentro 
do V.C.
Taxa de variação 
da energia 
acumulada no 
V.C.
(I) (II) (III) (IV)
Direção x:
𝑞𝑥 
𝑞𝑦 
𝑞𝑧 
𝐸 𝑒𝑛𝑡 − 𝐸 𝑠𝑎𝑖 + 𝐸 𝑔 = 𝐸 𝑎𝑐𝑢 
(1.11c)
Direção y:
Direção z:
Profª: Cristiane K. 
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2.2. A Equação da Difusão de Calor ( Difusão Térmica)
Direção x:
Direção y:
Direção z:
𝑞𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑥 +
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥 
𝑞𝑦+𝑑𝑦 = 𝑞𝑦 +
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦 
𝑞𝑧+𝑑𝑧 = 𝑞𝑧 +
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧 
(2.11a)
(2.11b)
(2.11c)
(2.12)𝐸 𝑔 = 𝑞 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
𝐸 𝑎𝑐𝑢 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (2.13)
Profª: Cristiane K. 
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2.2. A Equação da Difusão de Calor ( Difusão Térmica)
4ª Etapa: Substituição das equações das taxas de transferência de calor apropriadas, na
equação da conservação de energia.
𝐸 𝑎𝑐𝑢 = 𝐸 𝑒𝑛𝑡 − 𝐸 𝑠𝑎𝑖 + 𝐸 𝑔 
(1.11c)
−
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥 −
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦 −
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧 + 𝑞 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (2.15)
Substituindo as expressões anteriores:
Usando a lei de Fourier: Eq. (2.6) :
𝑞𝑥 = −𝑘𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 𝑞𝑦 = −𝑘𝑑𝑥𝑑𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 𝑞𝑧 = −𝑘𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 (2.16a,b,c)
𝜕
𝜕𝑥
 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 +
𝜕
𝜕𝑦
 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 +
𝜕
𝜕𝑧
 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 + 𝑞 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 (2.17)
Em qualquer ponto do meio, a taxa líquida de transferência de energia por condução para o
interior de um volume unitário somada à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve
ser igual á taxa de variação da energia térmica acumulada no interior deste volume.
𝜕
𝜕𝑥
 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 𝑑𝑥 = 𝑞"𝑥 − 𝑞"𝑥+𝑑𝑥 
(2.18)
Substituindo as Eqs. (2.16) na Eq. (2.15):
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2.2. A Equação da Difusão de Calor ( Difusão Térmica)
 Versões simplificadas da equação (2.17):
a) Condutividade Térmica Constante
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
+
𝑞
𝑘
 
=
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 (2.19)
b) Regime Estacionário
𝜕
𝜕𝑥
 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 +
𝜕
𝜕𝑦
 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 +
𝜕
𝜕𝑧
 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 + 𝑞 = 0 
c) Regime Estacionário e Condutividade Térmica constante
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
+
𝑞
𝑘
 
= 0 
Equação de Poisson
(2.20)
d) Regime Estacionário, Condutividade Térmica constante e sem Geração de Energia
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
= 0 
Equação de Laplace
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2.2. A Equação da Difusão de Calor ( Difusão Térmica)
e) Transferência de calor Unidimensional, e sem Geração de Energia
𝑑
𝑑𝑥
 𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 = 0 (2.21)
Coordenadas Cartesianas
 Laplaciano do sistema de interesse:
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Esféricas
∇2=
𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝜕𝑧2
 
∇2=
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
 𝑟
𝜕
𝜕𝑟
 +
1
𝑟2
𝜕2
𝜕∅2
+
𝜕2
𝜕𝑧2
 
∇2=
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
 𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
 +
1
𝑟2 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
 +
1
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕2
𝜕∅2
 
Profª: Cristiane K. 
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2.2. A Equação da Difusão de Calor ( Difusão Térmica)
 Coordenadas Cilíndricas
𝑥 = 𝑟 cos ∅ 𝑦 = 𝑟 sin ∅ 𝑧 = 𝑧 
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
 𝑘𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝑟
 +
1
𝑟2
𝜕
𝜕∅
 𝑘
𝜕𝑇
𝜕∅
 +
𝜕
𝜕𝑧
 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 + 𝑞 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 (2.24)
Profª: Cristiane K. 
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2.2. A Equação da Difusão de Calor ( Difusão Térmica)
 Coordenadas Esféricas
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
 𝑘𝑟2
𝜕𝑇
𝜕𝑟
 +
1
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕
𝜕∅
 𝑘
𝜕𝑇
𝜕∅
 +
1
𝑟2 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
 𝑘 sin 𝜃
𝜕𝑇
𝜕𝜃
 + 𝑞 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
𝑥 = 𝑟 cos ∅ sin 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin ∅ sin 𝑢 𝑧 = cos 𝜃 
(2.27)
Profª: Cristiane K. 
18
2.3. Condições de Contorno e Inicial
A descrição de um problema de transferência de calor em um meio não está completa
sem uma descrição das condições térmicas nas superfícies limitantes do meio.
 Resolver uma equação diferencial é essencialmente um
processo de remoção de derivadas.
 A temperatura em qualquer ponto de uma parede
depende das condições nas duas superfícies da parede.
 Condições de Contorno: são as expressões matemáticas das condições
térmicas nas fronteiras.
Profª: Cristiane K. 
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2.3. Condições de Contorno e Inicial
 Duas condições de contorno devem ser fornecidas para cada direção do sistema de
coordenadas na qual a transferência de calor é significativa.
Número de condições de contorno em uma direção = ordem da equação diferencial na
mesma direção.
 Condição Inicial: é a expressão matemática
para a distribuição inicial de temperatura
no meio.
Para condução de calor transiente, a equação de calor é de primeira ordem no tempo, exigindo
especificação de uma distribuição de temperatura inicial:
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑡=0 = 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 0) 
Profª: Cristiane K. 
20
2.3. Condições de Contorno e Inicial
• 1. Temperatura da Superfície Constante: condição de Diriclet ou 
de Primeira Espécie 
• 2. Fluxo Térmico na Superfície Constante: condição de Neumann 
ou de Segunda Espécie 
• 3. Condição de Convecção na Superfície: Terceira Espécie 
• 4. Condição de Radiação na Superfície
• 5. Condições de Contorno Generalizadas
Profª: Cristiane K. 
21
2.3. Condições de Contorno e Inicial
A temperatura da superfície exposta geralmente pode ser medida de maneira simples e direta.
1. Temperatura da Superfície Constante: condição de Diriclet ou de Primeira Espécie 
𝑇(0, 𝑡) = 𝑇𝑠 
(2.29)
𝑇 0, 𝑡 = 𝑇1 𝑒 𝑇 𝐿, 𝑡 = 𝑇2 
• C.C. de temperatura especificada em ambas as superfícies de uma parede plana
Profª: Cristiane K. 
22
2.3. Condições de Contorno e Inicial
2. Fluxo Térmico na Superfície Constante: condição de Neumann ou de Segunda 
Espécie 
a) Fluxo térmico diferente de zero
Quando há informações suficientes sobre interações de energia na superfície, podem-se
determinar a taxa de transferência de calor e também o fluxo de calor na superfície.
𝑞"𝑠 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=0
 (2.30)
Na fronteira x = 0:
50 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=0
 
Na fronteira x = L:
−𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=𝐿
= −50 
𝑞"0 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=0
 
−𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=𝐿
= 𝑞"𝐿 
• C.C. de fluxo de calor especificado em ambas as 
superfícies de uma placa plana
Parede de espessura L sujeita a um fluxo de calor de 50 
W/m² em ambos os lados:
Profª: Cristiane K. 
23
2.3. Condições de Contorno e Inicial
b) Superfície Isolada Termicamente ou Adiabática 
Uma superfície bem isolada pode ser modelada como superfície com fluxo de calor nulo.
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=0
= 0 𝑜𝑢 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=0
= 0 
(2.31)
• C.C. de isolamento e temperatura constante em uma placa plana
 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=0
= 0 𝑒 𝑇 𝐿, 𝑡 = 60℃ 
Profª: Cristiane K. 
24
2.3. Condições de Contorno e Inicial
c) Simetria Térmica
Alguns problemas de transferência de calor têm simetria térmica em consequência da simetria
imposta pelas condições térmicas.
 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=𝐿/2
= 0 
Não há fluxo de calor ao longo do plano central.
Profª: Cristiane K. 
25
2.3. Condições de Contorno e Inicial
3. Condição de Convecção na Superfície: Terceira Espécie 
A convecção é provavelmente a condição de contorno mais comumente encontrada na prática.
ℎ 𝑇∞ − 𝑇(0, 𝑡) = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=0
 (2.32)
Condução de 
calor na 
superfície na 
mesma direção
Convecção de 
calor na 
superfície em 
direção 
selecionada
• C.C. de convecção sobre duas superfícies de uma parede
𝑇∞2 , ℎ2 
𝑇∞1 , ℎ1 
−𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=𝐿
= ℎ2 𝑇 𝐿, 𝑡 − 𝑇∞2 
Na fronteira x = 0:
Na fronteira x = L:
ℎ1 𝑇∞1 − 𝑇 0, 𝑡 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=0
 
−𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=𝐿
= ℎ2 𝑇 𝐿, 𝑡 − 𝑇∞2 
ℎ1 𝑇∞1 − 𝑇(0, 𝑡) = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=0
 
27
2.3. Condições de Contorno e Inicial
4. Condição de Radiação na Superfície
Em aplicações espaciais e criogênicas, a superfície em que ocorre a transferência de calor é
envolta por uma região de vácuo.
Condução de 
calor na 
superfície na 
mesma direção
Troca de 
radiação na 
superfície em 
direção 
selecionada
𝜀1𝜎 𝑇
4
𝑣𝑖𝑧 ,1 − 𝑇
4(0, 𝑡) = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=0
 
𝑇𝑣𝑖𝑧 ,1, 𝜀1 
−𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=𝐿
= 𝜀2𝜎 𝑇
4 𝐿, 𝑡 − 𝑇4𝑣𝑖𝑧 ,2 − 
𝑇𝑣𝑖𝑧 ,2, 𝜀2 
Na fronteira x = 0:
Na fronteira x = L:
𝜀1𝜎 𝑇
4
𝑣𝑖𝑧 ,1 − 𝑇
4(0, 𝑡) = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=0
 
−𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑥=𝐿
= 𝜀2𝜎 𝑇
4 𝐿, 𝑡 − 𝑇4𝑣𝑖𝑧 ,2 
28
2.3. Condições de Contorno e Inicial
5. Condições de Contorno Generalizadas
Em geral, a transferência de calor em uma superfície pode envolver os três modos
simultaneamente.
Transferência de 
calor para a 
superfície em 
todos os modos
Transferência de calor a 
partir da superfície em 
todos os modos
Profª: Cristiane K. 
29
2.5. As Propriedades Termofísicas da Matéria
Propriedades Termofísicas
Propriedades de Transporte
(k, ν)
Propriedades Termodinâmicas
(ρ, cp)
2.5.1. Condutividade Térmica 
 Depende da estrutura física da matéria, atômica e
molecular, que está relacionada ao estado da matéria.
𝑘𝑥 ≡ −
𝑞"𝑥
(𝜕𝑇 𝜕𝑥) 
 
 A condutividade térmica de um material é a medida da
capacidade do material conduzir calor.
 Um alto valor de condutividade térmica indica que o
material é bom condutor de calor, enquanto um valor baixo
indica que o material é mau condutor ou isolante.
Tabela 2.1
Profª: Cristiane K. 
30
2.5. As Propriedades Termofísicas da Matéria
Sólido > Líquido > Gás
 A condutividade térmica dos
materiais varia ao longo de ampla
faixa.
 A condutividade térmica de um
sólido pode ser mais do que
quatro ordens de grandeza
superior à de um gás.
Profª: Cristiane K. 
31
2.5. As Propriedades Termofísicas da Matéria
 A temperatura é uma medida da energia cinética de
partículas como moléculas ou átomos de uma substância.
Quanto maior a temperatura, mais rápido é movimento das
moléculas e maior o número de colisões, assim, melhor é a
transferência de calor.
 O Estado Sólido
Ondas de vibração + Movimento dos elétrons livres;
A condutividade térmica relativamente alta de metais puros
se deve principalmente ao componente eletrônico;
O componente da rede da condutividadetérmica depende
fortemente como as moléculas são arranjadas.
 O Estado Fluido
Espaçamento intermolecular muito maior e o movimento das
moléculas é mais aleatório;
Transporte de energia térmica é menos efetivo;
As condutividades térmicas de líquidos normalmente estão
no intervalo entre os valores de sólidos e gases.
Profª: Cristiane K. 
32
2.5. As Propriedades Termofísicas da Matéria
 As condutividades térmicas dos materiais variam com a
temperatura
 É prática comum avaliar a condutividade
térmica na temperatura média e tratá-la
como uma constante nos cálculos.
Profª: Cristiane K. 
33
2.5. As Propriedades Termofísicas da Matéria
2.5.2. Outras Propriedades Relevantes 
 Calor Específico cp (kJ/kg.K): é a medida da capacidade do material de armazenar energia
térmica.
Água: cp = 4,18 kJ/(kg.K) e Ferro: cp = 0,45 kJ/(kg.K)
 Capacidade Calorífica Volumétrica ρcp (J/m³.K): é a medida da capacidade do material
de armazenar energia térmica.
 Difusividade Térmica α (m²/s): mede a capacidade do
material conduzir energia térmica em relação à sua
capacidade de armazená-la.
𝛼 =
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
𝐴𝑟𝑚𝑎𝑧𝑒𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
=
𝑘
𝜌𝑐𝑝
 
Tabela 2.2
Um material com alta condutividade térmica ou baixa
capacidade calorífica volumétrica terá grande difusividade
térmica. Quanto maior for a difusividade térmica, mais
rapidamente será a propagação do calor no meio.
Profª: Cristiane K.