Unidade IV

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João Pessoa, PB
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Energias Alternativas e Renováveis
Departamento de Engenharia de Energias Renováveis
Professora: Cristiane K. F. da Silva
2
Apresentação
• 4.1. Métodos Numéricos
• 4.2. Formulação por Diferenças Finitas da Equação do Calor
• 4.2.1. A Rede Nodal
• 4.2.2. Condução de Calor Estacionária Unidimensional
• 4.2.3. Condução de Calor Estacionária Bidimensional
• 4.3. Formulação pelo Método do Balanço de Energia da Equação do Calor
• 4.4. Resolvendo as Equações de Diferenças Finitas
Profª: Cristiane K. 
3
4.1. Métodos Numéricos
• Resolução de problemas de condução de calor em diferentes geometrias de forma
sistemática, por meio:
1) Obtenção da Equação de Diferencial
Governante;
2) Definição das Condições de Contorno;
3) Resolução da Equação Diferencial e
Aplicação das Condições de Contorno para
determinar as constantes de integração.
1
𝑟2
𝑑
𝑑𝑟
 𝑟2
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 +
𝑞 
𝑘
= 0 
• Solução: Analítica
𝑞𝑟 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= 4𝜋𝑟3
𝑞 
3
 
𝑇 𝑟 = 𝑇1 +
𝑞 
6𝑘
 𝑟20 − 𝑟
2 
A solução analítica do problema também é
chamada solução exata, uma vez que ela
satisfaz a equação diferencial e as
condições de contorno.
Taxa de transferência de calor em qualquer local dentro
da esfera ou na superfície.
7
• Existem várias maneiras de se obter a formulação numérica do problema de
condução de calor:
4.1. Métodos Numéricos
• Método das Diferenças Finitas
• Método dos Elementos Finitos
• Método dos Elementos de Contorno
• Método do Balanço de Energia
Os métodos numéricos usados para resolver equações diferenciais se baseiam
na aproximação (substituição) das equações diferenciais por equações
algébricas.
Profª: Cristiane K. 
8
4.2. Formulação por Diferenças Finitas da Equação do Calor
As derivadas nada mais são que o quociente entre diferenças, sendo que, no denominador deste
quociente, a diferença deve tender a zero.
O método das diferenças finitas baseia-se na substituição das derivadas existentes na equação
diferencial por aproximações baseadas nas diferenças finitas.
𝑑𝑓 𝑥 
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑓
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
(1)
𝑑𝑓 𝑥 
𝑑𝑥
≅
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
Forma de diferenças finitas da primeira derivada
Expansão em Série de Taylor:
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
+
∆𝑥2
2
𝑑2𝑓(𝑥)
𝑑𝑥2
+ ⋯ 
(2)
(3)
𝑑𝑓 𝑥 
𝑑𝑥
≅
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 (4)
9
4.2.1. A Rede Nodal
•Uma solução numérica permite a determinação da temperatura somente em pontos discretos.
•Considere uma região retangular onde a condução de calor é significativa nas direções x e y.
Ponto Nodal: ponto de referência.
Rede Nodal: agregado de pontos.
As coordenadas do nó (m,n) são: x=m∆x e
y=n ∆y
A temperatura no nó (m,n) é: Tmn
A rede nodal identifica pontos discretos em que
a temperatura será determinada, e usa uma
notação (m,n) para designar sua localização.
Como a precisão da solução é afetada pela construção da rede nodal? Quais são as
compensações entre a seleção de uma malha fina ou uma malha grossa?
Profª: Cristiane K. 
10
4.2. 2. Condução de Calor Estacionária Unidimensional
• Considere a condução de calor estacionária unidimensional em uma parede plana de
espessura L com geração de energia.
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
+
𝑞 
𝑘
= 0 (5)
 Equação do Calor:
A solução numérica da equação para o domínio
estudado requer que a mesma seja resolvida para
todos os pontos nodais.
A coordenada do nó (m) é: x=m∆x
A temperatura no nó (m) é: T(x)=Tm
Formulação Através do Conceito de Derivada
Profª: Cristiane K. 
 Segunda derivada d2T/dx2 da temperatura.
 𝑑
2𝑇
𝑑𝑥2
 
𝑚
≅
 𝑑𝑇
𝑑𝑥 𝑚+1/2
− 
𝑑𝑇
𝑑𝑥 𝑚−1/2
∆𝑥
 (6)
11
4.2. 2. Condução de Calor Estacionária Unidimensional
Logo:
 𝑑
2𝑇
𝑑𝑥2
 
𝑚
≅
𝑇𝑚+1 − 2𝑇𝑚 + 𝑇𝑚−1
∆𝑥2
 (8)
Representação em diferenças finitas da segunda
derivada no nó interno geral m.
Substituindo a Eq.(8) na Eq.(5):
𝑇𝑚+1 − 2𝑇𝑚 + 𝑇𝑚−1
∆𝑥2
+
𝑞 𝑚
𝑘
= 0 𝑚 = 1,2,3, … , 𝑀 − 1 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
+
𝑞 
𝑘
= 0 
𝑇𝑚+1 − 2𝑇𝑚 + 𝑇𝑚−1
∆𝑥2
+
𝑞 𝑚
𝑘
= 0 
(9)
Equação da transferência de calor expressa na
forma de diferenças finitas.
 Primeira derivada da temperatura dT/dx nos pontos médios m+1/2 e m-1/2.
 𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
𝑚+1/2
≅
𝑇𝑚+1 − 𝑇𝑚
∆𝑥
; 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
𝑚−1/2
≅
𝑇𝑚 − 𝑇𝑚−1
∆𝑥
 (7)
13
4.2. 3. Condução de Calor Estacionária Bidimensional
• Domínio bidimensional ao qual é sobreposto uma rede nodal.
O que é representada pela temperatura
determinada no ponto nodal, como por
exemplo, Tmn?
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
= 0 (15)
 Equação do Calor:
Formulação Através do Conceito de Derivada
 Segunda derivada da temperatura em relação à variável x.
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
 
𝑚 ,𝑛
≈
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑚+1/2,𝑛
−
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑚−1/2,𝑛
∆𝑥
 (4.24)
• Primeira derivada da temperatura ∂ T/ ∂ x nos pontos
m+1/2,n e m-1/2,n.
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑚+1/2,𝑛
≈
𝑇𝑚+1,𝑛 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥
; 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 
𝑚−1/2,𝑛
≈
𝑇𝑚 ,𝑛 − 𝑇𝑚−1,𝑛
∆𝑥
 
(4.25) (4.26)
m,n m+1/2,nm-1,n m-1/2,n m+1,n
m,n-1
m,n+1
m,n+1/2
m,n-1/2
14
4.2. 3. Condução de Calor Estacionária Bidimensional
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
 
𝑚 ,𝑛
≈
𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 − 2𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥2
 (4.27)
Substituindo as Eqs.(4.25) e (4.26) na Eq.(4.24): Expressão aproximada para a segunda derivada
da temperatura T em relação à variável x.
 Segunda derivada da temperatura em relação à variável y.
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
 
𝑚 ,𝑛
≈
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 
𝑚 ,𝑛+1/2
−
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 
𝑚 ,𝑛−1/2
∆𝑦
≈
𝑇𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 − 2𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑦2
 (4.28)
Substituindo as Eqs.(4.27) e (4.28) na Eq.(15):
𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 − 2𝑇𝑚 ,𝑛
 ∆𝑥 2
+
𝑇𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 − 2𝑇𝑚 ,𝑛
 ∆𝑦 2
= 0 
 
(16)
 Temperatura Tm,n explicitada:
𝑇𝑚 ,𝑛 =
 ∆𝑦 2 𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 + ∆𝑥 
2 𝑇𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 
2 ∆𝑥 2 + ∆𝑦 2 
 
 
(17)
 Se ∆x = ∆y:𝑇𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 + 𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 − 4𝑇𝑚 ,𝑛 = 0 
 
(4.29)
A temperatura de um ponto interno ao
domínio, depende da temperatura dos
quatro pontos vizinhos mais próximos.
15
 Método do Balanço de Energia:
𝑇𝑚+1 − 2𝑇𝑚 + 𝑇𝑚−1 = 0 𝑚 = 1,2,3, … , 𝑀 − 1 
𝑇𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 + 𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 − 4𝑇𝑚 ,𝑛 = 0 
 
(4.29)
4.3. Formulação pelo Método do Balanço de Energia
 “Intuitivo” e pode lidar mais facilmente com as Condições de Contorno;
 Não exige que se tenha equação diferencial;
 Se baseia na subdivisão do meio em um número suficiente de volumes de controle e no
balanço de energia em cada V.C.;
 A temperatura varia linearmente entre os nós.
Como uma conveniência para evitar a necessidade de pré-estabelecer o sentido do
fluxo térmico: formular o balanço de energia supondo que todos os fluxos térmicos
estão dirigidos para dentro da região nodal de interesse.
Formulação pelo Método das Diferenças Finitas:
Profª: Cristiane K. 
16
• Considere a transferência de calor unidimensional estacionária na parede plana:
𝑞 𝑚 
𝑞(𝑚−1)→𝑚 
𝑞(𝑚+1)→𝑚 
 A coordenada do nó (m) é: xm=m∆x
 A temperatura no nó (m) é: T(xm)=Tm
 Todos os elementos internos representados
pelos nós internos são elementos inteiros: ∆x
• Balanço de energia no V. C. ao redor do 
ponto nodal interior (m):
𝐸 𝑒𝑛𝑡 + 𝐸 𝑔 = 0 
Taxa de 
condução de 
calor no lado 
esquerdo
Taxa de 
geração de 
calor dentro do 
V.C.
Taxa de 
mudança de 
conteúdode 
energia do 
V.C.
Taxa de 
condução de 
calor no lado 
direito
(18)
4.3.1. Condução de Calor Estacionária Unidimensional
17
4.3.1. Condução de Calor Estacionária Unidimensional
 Taxa de geração de calor dentro do V.C.:
𝐸 𝑔 = 𝑞 𝑚𝐴∆𝑥 
(19)
 Condução de calor para dentro do V.C.:
Forma simplificada da lei de Fourier: 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 . = 𝑘𝐴
∆𝑇
𝐿
 
(20)𝐸 𝑒𝑛𝑡 = 𝑞(𝑚−1)→𝑚 + 𝑞(𝑚+1)→𝑚 
Qual é a característica da análise que garante o uso da
lei de Fourier?
A distribuição de temperaturas entre os nós pode ser 
aproximada como linear.
As aproximações são a razão para se classificarem os 
métodos numéricos como métodos aproximados.𝑞(𝑚−1)→𝑚 = 𝑘𝐴
𝑇𝑚−1 − 𝑇𝑚
∆𝑥
 𝑒 
𝑞(𝑚+1)→𝑚 = 𝑘𝐴
𝑇𝑚+1 − 𝑇𝑚
∆𝑥
 
(21)
𝐸 𝑒𝑛𝑡 = 𝑘𝐴
𝑇𝑚−1 − 𝑇𝑚
∆𝑥
+ 𝑘𝐴
𝑇𝑚+1 − 𝑇𝑚
∆𝑥
 (22)
Substituindo a Eq. (21) na Eq. (20):
18
4.3.1. Condução de Calor Estacionária Unidimensional
Substituindo as Eqs. (19) e (22) na Eq. (18):
𝑇𝑚−1 − 2𝑇𝑚 + 𝑇𝑚+1
∆𝑥2
+
𝑞 𝑚
𝑘
= 0, 𝑚 = 1,2,3, … , 𝑀 − 1 (23)
É possível que todo o calor flua para dentro da região nodal m?
𝑘𝐴
𝑇1 − 𝑇2
∆𝑥
− 𝑘𝐴
𝑇2 − 𝑇3
∆𝑥
+ 𝑞 𝑚𝐴∆𝑥 = 0 
𝑇1 − 2𝑇2 + 𝑇3 +
𝑞 𝑚∆𝑥
2
𝑘
= 0 
𝑘𝐴
𝑇1 − 𝑇2
∆𝑥
+ 𝑘𝐴
𝑇3 − 𝑇2
∆𝑥
+ 𝑞 𝑚𝐴∆𝑥 = 0 
𝑇1 − 2𝑇2 + 𝑇3 +
𝑞 𝑚∆𝑥
2
𝑘
= 0 
Essa equação é aplicável a cada um dos nós internos M-1, e sua
aplicação resulta em equações M-1 para determinação das
temperaturas em nós M+1.
• Supor que a condução de calor ocorra para dentro do V.C. do
lado esquerdo e para fora do V.C. do lado direito.
Envolve Tm-Tm+1 em vez de Tm+1-Tm, que é subtraído em vez de ser
adicionado.
É conveniente pressupor que a condução de calor seja
para dentro do V.C. em todas as superfícies, e não se
preocupar com o sinal dos termos de condução.
𝑞 𝑚 
𝑞 𝑚 
Idêntica à Eq.( 9)
19
4.3.2. Condução de Calor Estacionária Bidimensional
• Considere a transferência de calor bidimensional estacionária em um V.C. de tamanho ∆x. ∆y.1 
 Fluxo térmico para o interior do nó (m,n);
 A temperatura varia linearmente entre os nós;
 Área de transferência de calor: Ax = ∆y.1 = ∆y e Ay = ∆x.1 = ∆x 
• Balanço de energia no V. C. ao redor do ponto nodal 
interior (m,n):
Taxa de 
condução nas 
superfícies 
esquerda, 
superior, 
direita e 
inferior
Taxa de 
geração de 
calor dentro do 
V.C.
Taxa de 
mudança de 
conteúdo de 
energia do 
V.C.
𝐸 𝑒𝑛𝑡 + 𝐸 𝑔 = 0 
(4.30)
 𝑞(𝑖)→(𝑚 ,𝑛)
4
𝑖=1
+ 𝑞( ∆𝑥. ∆𝑦. 1) = 0 (24)
Assim,
20
4.3.2. Condução de Calor Estacionária Bidimensional
𝑞(𝑚−1,𝑛)→(𝑚 ,𝑛) = 𝑘 ∆𝑦. 1 
𝑇𝑚−1,𝑛 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥
 
 Taxas de condução de calor:
𝑞(𝑚+1,𝑛)→(𝑚 ,𝑛) = 𝑘 ∆𝑦. 1 
𝑇𝑚+1,𝑛 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥
 
𝑞(𝑚 ,𝑛+1)→(𝑚 ,𝑛) = 𝑘 ∆𝑥. 1 
𝑇𝑚 ,𝑛+1 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑦
 
𝑞(𝑚 ,𝑛−1)→(𝑚 ,𝑛) = 𝑘 ∆𝑥. 1 
𝑇𝑚 ,𝑛−1 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑦
 
(4.31)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
Substituindo as Eqs. (4.31) a (4.34) na Eq. (24):
𝑘 ∆𝑦 
𝑇𝑚−1,𝑛 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥
+ 𝑘 ∆𝑦 
𝑇𝑚+1,𝑛 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥
+ 𝑘 ∆𝑥 
𝑇𝑚 ,𝑛+1 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑦
+ 𝑘 ∆𝑥 
𝑇𝑚 ,𝑛−1 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑦
+ 𝑞 ∆𝑥∆𝑦 = 0 
(25)𝑇𝑚−1,𝑛 − 2𝑇𝑚 ,𝑛 + 𝑇𝑚+1,𝑛
∆𝑥2
+
𝑇𝑚 ,𝑛−1 − 2𝑇𝑚 ,𝑛 + 𝑇𝑚 ,𝑛+1
∆𝑦2
+
𝑞 
𝑘
= 0 
(26)
 Calor chega à região nodal (m,n) por condução em quatro direções:
21
4.3.2. Condução de Calor Estacionária Bidimensional
• Malha Quadrada: ∆x = ∆y
𝑇𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 + 𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 − 4𝑇𝑚 ,𝑛 +
𝑞 ∆𝑥 2
𝑘
= 0 (4.35)
• Sem geração de calor:
𝑇𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 + 𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 − 4𝑇𝑚 ,𝑛 = 0 Idêntica à Eq.( 4.29)
ou
𝑇𝑚 ,𝑛 =
𝑇𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 + 𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛
4
 
(27)
Profª: Cristiane K. 
22
4.3.2. Condução de Calor Estacionária Bidimensional
 Casos Especiais
O que acontece nas regiões de contorno do problema?
É importante observar que uma equação de diferenças finitas é necessária para cada ponto nodal 
com temperatura desconhecida. 
 Ponto nodal em um vértice interno com convecção
 Ponto nodal em um vértice externo com convecção
 Ponto nodal em uma superfície plana com fluxo térmico uniforme
 𝑞
𝑇𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠
 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
= 0 
(28)
Balanço de Energia:
Temperatura em uma superfície exposta a condições de convecção: a equação de diferenças
finitas será completamente diversa.
Profª: Cristiane K. 
23
4.3.2. Condução de Calor Estacionária Bidimensional
 Ponto nodal em um vértice interno com convecção
 Calor chega à região nodal (m,n) por condução em 
quatro direções:
𝑞(𝑚−1,𝑛)→(𝑚 ,𝑛) = 𝑘 ∆𝑦. 1 
𝑇𝑚−1,𝑛 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥
 
𝑞(𝑚+1,𝑛)→(𝑚 ,𝑛) = 𝑘 
∆𝑦
2
. 1 
𝑇𝑚+1,𝑛 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥
 
𝑞(𝑚 ,𝑛+1)→(𝑚 ,𝑛) = 𝑘 ∆𝑥. 1 
𝑇𝑚 ,𝑛+1 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑦
 
𝑞(𝑚 ,𝑛−1)→(𝑚 ,𝑛) = 𝑘 
∆𝑥
2
. 1 
𝑇𝑚 ,𝑛−1 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑦
 
(4.36)
(4.37)
(4.38)
(4.39)
 Calor chega à região nodal (m,n) por convecção em duas direções:
𝑞(∞)→(𝑚 ,𝑛) = 𝑕 
∆𝑥
2
. 1 𝑇∞ − 𝑇𝑚 ,𝑛 + 𝑕 
∆𝑦
2
. 1 𝑇∞ − 𝑇𝑚 ,𝑛 
(4.40)
 𝑞(𝑖)→(𝑚 ,𝑛)
4
𝑖=1
+ 𝑞(∞)→(𝑚 ,𝑛) = 0 
24
4.3.2. Condução de Calor Estacionária Bidimensional
𝑘 ∆𝑦. 1 
𝑇𝑚−1,𝑛 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥
+ 𝑘 ∆𝑥. 1 
𝑇𝑚 ,𝑛+1 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑦
+ 𝑘 
∆𝑦
2
. 1 
𝑇𝑚+1,𝑛 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥
+ 𝑘 
∆𝑥
2
. 1 
𝑇𝑚 ,𝑛−1 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑦
+ 𝑕 
∆𝑥
2
. 1 𝑇∞ − 𝑇𝑚 ,𝑛 + 𝑕 
∆𝑦
2
. 1 𝑇∞ − 𝑇𝑚 ,𝑛 = 0 
(4.41)
• Malha Quadrada: ∆x = ∆y
𝑇𝑚−1,𝑛 + 𝑇𝑚 ,𝑛+1 +
1
2
 𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 +
𝑕∆𝑥
𝑘
𝑇∞ − 3 +
𝑕∆𝑥
𝑘
 𝑇𝑚 ,𝑛 = 0 
2 𝑇𝑚−1,𝑛 + 𝑇𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 +
2𝑕∆𝑥
𝑘
𝑇∞ − 2 3 +
𝑕∆𝑥
𝑘
 𝑇𝑚 ,𝑛 = 0 
Substituindo:
(29)
Profª: Cristiane K. 
25
4.3.2. Condução de Calor Estacionária Bidimensional
 Ponto nodal em um vértice externo com convecção
 Calor chega à região nodal (m,n) por condução em duas 
direções:
𝑞(𝑚−1,𝑛)→(𝑚 ,𝑛) = 𝑘 
∆𝑦
2
. 1 
𝑇𝑚−1,𝑛 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥
 
𝑞(𝑚 ,𝑛−1)→(𝑚 ,𝑛) = 𝑘 
∆𝑥
2
. 1 
𝑇𝑚 ,𝑛−1 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑦
 
 Calor chega à região nodal (m,n) por convecção em duas direções:
𝑞(∞)→(𝑚 ,𝑛) = 𝑕 
∆𝑥
2
. 1 𝑇∞ − 𝑇𝑚 ,𝑛 + 𝑕 
∆𝑦
2
. 1 𝑇∞ − 𝑇𝑚 ,𝑛 
 𝑞(𝑖)→(𝑚 ,𝑛)
2
𝑖=1
+ 𝑞(∞)→(𝑚 ,𝑛) = 0 
(30)
(31)
(32)
Profª: Cristiane K. 
26
4.3.2. Condução de Calor Estacionária Bidimensional
𝑘 
∆𝑦
2
. 1 
𝑇𝑚−1,𝑛 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥
+ 𝑘 
∆𝑥
2
. 1 
𝑇𝑚 ,𝑛−1 − 𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑦
+ 𝑕 
∆𝑥
2
. 1 𝑇∞ − 𝑇𝑚 ,𝑛 
+ 𝑕 
∆𝑦
2
. 1 𝑇∞ − 𝑇𝑚 ,𝑛 = 0 
Substituindo:
• Malha Quadrada: ∆x = ∆y
 𝑇𝑚−1,𝑛 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 +
2𝑕∆𝑥
𝑘
𝑇∞ − 2 
𝑕∆𝑥
𝑘
+ 1 𝑇𝑚 ,𝑛 = 0 
𝑇𝑚−1,𝑛 − 𝑇𝑚 ,𝑛
2
+
𝑇𝑚 ,𝑛−1 − 𝑇𝑚 ,𝑛
2
+
𝑕∆𝑥
𝑘
𝑇∞ − 
𝑕∆𝑥
𝑘
𝑇𝑚 ,𝑛 = 0 
(4.43)
(33)
Profª: Cristiane K. 
27
4.4. Resolvendo as Equações de Diferenças Finitas
O processo de discretização das equações diferenciais resulta em um sistema de N equações
algébricas lineares com N temperaturas nodais desconhecidas.
 𝐴 𝑇 = 𝐶 Matriz de coeficiente
Vetor que contém os valores da variável
Vetor que contém os termos independentes
 Método de Eliminação: eliminar todas as incógnitas exceto uma e, em seguida, determinar
essa incógnita.
 Métodos Diretos: envolvem um número
fixo e predeterminado de operações aritméticas.
• Método da Inversão da Matriz.
 Métodos Iterativos: são baseados na
estimativa inicial da solução, que é refinada
até que determinado critério deconvergência
seja satisfeito.
• Método de Gauss-Seidel.
Profª: Cristiane K. 
28
4.4.1. O Método da Inversão da Matriz
Seja um sistema composto por N equações de diferenças finitas correspondente a N temperaturas
desconhecidas.
 𝐴 𝑇 = 𝐶 
• Apresentação das equações:
(4.47)
• Notação Matricial:
Matriz de coeficiente (NxN)
Vetor solução
Vetor do lado direito
(4.48)
𝐴 ≡ 
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑁
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑁
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑁1 𝑎𝑁2 ⋯ 𝑎𝑁𝑁
 , 
 
 𝑇 ≡ 
𝑇1
𝑇2
⋮
𝑇𝑁
 , 
 
 𝐶 ≡ 
𝐶1
𝐶2
⋮
𝐶𝑁
 
 
𝑎11𝑇1 + 𝑎12𝑇2 + 𝑎13𝑇3 + ⋯ +𝑎1𝑁𝑇𝑁 = 𝐶1
𝑎21𝑇1 + 𝑎22𝑇2 + 𝑎23𝑇3 + ⋯ +𝑎2𝑁𝑇𝑁 = 𝐶2
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑁1𝑇1 + 𝑎𝑁2𝑇2 + 𝑎𝑁3𝑇3 + ⋯ +𝑎𝑁𝑁𝑇𝑁 = 𝐶𝑁
 
 
Profª: Cristiane K. 
29
4.4.1. O Método da Inversão da Matriz
• Vetor Solução:
 𝑇 = 𝐴 −1 𝐶 
Matriz inversa de [A]
 𝐴 −1 ≡ 
𝑏11 𝑏12 ⋯ 𝑏1𝑁
𝑏21 𝑏22 ⋯ 𝑏2𝑁
⋮ ⋮ ⋮
𝑏𝑁1 𝑏𝑁2 ⋯ 𝑏𝑁𝑁
 
 
• Matriz Inversa:
(4.49)
• Equações finais:
𝑇1 = 𝑏11𝐶1 + 𝑏12𝐶2 + ⋯ +𝑏1𝑁𝐶𝑁 
 𝑇2 = 𝑏21𝐶1 + 𝑏22𝐶2 + ⋯ +𝑏2𝑁𝐶𝑁 
 𝑇𝑁 = 𝑏𝑁1𝐶1 + 𝑏𝑁2𝐶2 + ⋯ +𝑏𝑁𝑁𝐶𝑁 
 
(4.50)
Profª: Cristiane K. 
30
4.4.2. Iteração de Gauss-Seidel
Seja um sistema composto por N equações de diferenças finitas correspondente a N temperaturas
desconhecidas.
1) Ordenar as equações de tal forma que: 𝑎11 > 𝑎12 , 𝑎13 , ⋯ , 𝑎1𝑁 ; 𝑎22 > 𝑎21 , 𝑎23 , ⋯ , 𝑎2𝑁 
2) Escrever cada uma das N equações na forma explícita para a temperatura associada ao seu
elemento na diagonal:𝑇𝑖
(𝑘) =
𝐶𝑖
𝑎𝑖𝑖
− 
𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑖
𝑖−1
𝑗 =1
𝑇𝑗
(𝑘) − 
𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑖
𝑁
𝑗 =𝑖+1
𝑇𝑗
(𝑘−1) 
 
(4.51)
(4.47)
𝑎11𝑇1 + 𝑎12𝑇2 + 𝑎13𝑇3 + ⋯ +𝑎1𝑁𝑇𝑁 = 𝐶1
𝑎21𝑇1 + 𝑎22𝑇2 + 𝑎23𝑇3 + ⋯ +𝑎2𝑁𝑇𝑁 = 𝐶2
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑁1𝑇1 + 𝑎𝑁2𝑇2 + 𝑎𝑁3𝑇3 + ⋯ +𝑎𝑁𝑁𝑇𝑁 = 𝐶𝑁
 
 
𝑇1
(𝑘) =
𝐶1
𝑎11
−
𝑎12
𝑎11
𝑇2
(𝑘−1) −
𝑎13
𝑎11
𝑇3
(𝑘−1) − ⋯ −
𝑎1𝑁
𝑎11
𝑇𝑁
(𝑘−1) 
𝑇2
(𝑘) =
𝐶2
𝑎22
−
𝑎21
𝑎22
𝑇1
(𝑘) −
𝑎23
𝑎22
𝑇3
(𝑘−1) − ⋯−
𝑎2𝑁
𝑎22
𝑇𝑁
(𝑘−1) 
Profª: Cristiane K. 
31
4.4.2. Iteração de Gauss-Seidel
6) Repetir o processo iterativo até que a convergência dentro de algum erro tolerável seja
alcançada.
 𝑇𝑖
(𝑘) − 𝑇𝑖
(𝑘−1) =≤ 𝜀 
 (4.52)
5) Usando a Eq.(4.51), o procedimento iterativo é continuado pelo cálculo de novos valores de
Ti
(k)
3) Fazer razoável estimativa inicial para cada temperatura nodal desconhecida.
4) Usar equações explícitas para calcular novos valores para cada temperatura nodal.
𝑇1
(1) =
𝐶1
𝑎11
−
𝑎12
𝑎11
𝑇2
(0) −
𝑎13
𝑎11
𝑇3
(0) − ⋯ −
𝑎1𝑁
𝑎11
𝑇𝑁
(0) 
𝑇2
(1) =
𝐶2
𝑎22
−
𝑎21
𝑎22
𝑇1
(1) −
𝑎23
𝑎22
𝑇3
(0) − ⋯ −
𝑎2𝑁
𝑎22
𝑇𝑁
(0) 
Cada valor pode ser calculado usando-se as Estimativas mais Recentes.
Profª: Cristiane K. 
32
4.4.2. Iteração de Gauss-Seidel
Tabela 1: Aplicação do método iterativo de Gauss-Seidel, para cinco equações e cinco
temperaturas nodais.
Profª: Cristiane K.