Introdução à Matemática Financeira

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Faculdade de Ciências da Administração de PE – FCAP / UPE - 
 Matemática Financeira – GLÊDESTON EMERENCIANO DE MÉLO
 
1 -Conceitos Introdutórios
 1.1 - Juros
 a) São o pagamento que se faz pela utilização de recursos financeiros de terceiros 
 (despesa);
 b) São a remuneração percebida por quem põe recursos financeiros à disposição de 
 terceiros (receita).
 Unidade de Medida : Os juros são expressos segundo uma taxa percentual, relativa 
 a uma unidade de tempo, a sua unidade de referência.
 Ex.: 18%a.a. (18 por cento ao ano) 
 8%a.s. ( 8 por cento ao semestre )
 4%a.t. ( 4 por cento ao trimestre )
 2%a.m. (2 por cento ao mês)
 0,67%a.d. (0,67 por cento ao dia)
 A unidade de referência da taxa determina o período de capitalização da operação 
 financeira ou seja, o período que, sempre que completado , capitaliza-se o valor ini -
 cialmente aplicado (agregam-se juros a esse valor).
 1.2 - Montante 
 Chama-se montante de uma operação financeira à soma do capital inicialmente aplica- 
 do ( principal ) com os juros acumulados ao longo de todo o prazo da operação.
 Montante = Principal + juros acumulados
1.3 - Fluxo de caixa
 
 É o conjunto de entradas ( recebimentos ) e saídas ( pagamentos ) de dinheiro de uma 
 empresa, de um indivíduo, de um projeto, ou de uma operação financeira qualquer, du- 
 rante um determinado período, ou toda a sua vida.
 O fluxo de caixa pode ser representado graficamente através de uma reta orientada, em 
 escala de tempo, como segue: 
 200 230 320 350 320
 (-) (-) (+) (+). . . (+) 
 
 0 1 2 3 . . . n
 Onde :
 - O ponto zero indica o instante inicial da operação financeira considerada;
 - Os pontos 1, 2, 3, ..., n indicam o final do primeiro, segundo etc. períodos, res- 
 pectivamente;
 - As entradas de dinheiro ( os recebimentos) são representadas por setas voltadas 
 para cima e por convenção têm sinal positivo;
 - As saídas de dinheiro (os pagamentos ) representam-se por setas voltadas pa- 
 ra baixo e convenciona-se terem sinal negativo.
1.4 - Simbologia Adotada 
 - PV = Principal (capital inicial)
 - FV= Montante
 - n = Prazo da operação, ou número de períodos
 - i = Taxa de juros (na calculadora, expressa em percentual: nas fórmulas, em decimais, ou seja, dividida por cem )
1.5 - Tipos de juros
 Os juros classificam-se quanto à forma de cálculo e podem ser simples ou compostos.
 Juros simples são aqueles em que, para qualquer período, o valor dos juros é dado sem 
 pre pela aplicação da taxa sobre o principal ( o capital inicial );
 Juros compostos são aqueles em que, para qualquer período, o valor dos juros é obtido 
 sempre pela incidência da taxa sobre o saldo inicial do período.
 Como exemplo, a aplicação de R$ 100,00 à taxa de 10%a.m. produziria, ao final dos 
 quatro primeiros meses , nos dois regimes de capitalização, os saldos (montantes) vis- 
 tos na tabela abaixo :
 Regime Período(mês) Saldo Inicial Juros do Período Saldo Final (FV)
 1 100,00 100x0,1=10,00 110,00
 2 110,00 100x0,1=10,00 120,00
 simples 3 120,00 100x0,1=10,00 130,00
 4 130,00 100x0,1= 10,00 140,00
 
 1 100,00 100x0,1 = 10,00 110,00
 Com- 2 110,00 110x0,1 = 11,00 121,00
 posto 3 121,00 121x0,1 = 12,10 133,10
 4 133,10 133,1x0,1=13,31 146,41
 Obs.: 
 1) No regime simples de capitalização, apenas o principal produz juros; no composto, 
 além do principal, os juros de cada período produzem novos juros nos períodos se- 
 guintes, dando-se a “ incidência de juros sobre juros”.
 2)No regime simples o montante cresce em P.A. de razão PV.i ( crescimento linear ) 
 no composto o montante cresce em P.G. de razão (1 + i) ( crescimento exponen -
 cial). 
 Consequentemente , o dinheiro cresce mais rapidamente no regime composto do 
 que no simples. 
1.6 - Amortização
 
 Todo pagamento futuro de dívidas é constituído de amortização e juros.
 A parcela de amortização destina-se a repor o capital. Portanto, 
 Amortização = PV;
 A parcela de juros destina-se a remunerar o capital.
 Assim, FV = PV + juros , ou Valor Futuro = Amort. + juros 
2 - JUROS SIMPLES
2.1 - Expressão dos Juros Acumulados
 No exemplo anterior sobre juros simples, o valor dos juros acumulados ao final do : 
 Período 1, foi de 10,00, ou seja, de PV.i;
 Período 2, foi de 20,00, ou seja, de 2.PV.i;
 Período 3, foi de 30,00, ou seja, de 3.PV.i;
 Período 4, foi de 40,00, ou seja, de 4.PV.i.
 
 E por indução conclui-se que, ao final de um número n qualquer de períodos, esse valor 
 seria de n.PV.i .
 Assim, a aplicação de um principal de valor PV, a uma taxa i de juros simples produz, ao 
 final de n períodos, juros acumulados de valor dado por: 
 
 Juros Acumulados = PV i n
2.2 - Expressão do Montante - Fator de Capitalização Simples
 A aplicação de um principal de valor PV a uma taxa simples i produz, ao final de n períodos, um montante de valor FV dado por : FV = PV + Juros Acumulados.
 Portanto, FV = PV +PVin , ou FV = PV(1+in)
 Obs. :
 1) As duas fórmulas acima contêm a taxa em sua forma decimal i. Portanto, antes de 
 utilizá-las, é necessário que se converta a taxa a essa forma, dividindo-a por cem;
 2) As fórmulas foram deduzidas sob a hipótese de que a unidade de tempo da taxa é 
 a mesma do prazo da operação, e só nesta condição elas podem ser utilizadas.No entanto,na prática nem sempre ocorre tal compatibilidade entre as unidades 
 de tempo, exigindo uma conversão na taxa, que no regime simples é feito através 
 das chamadas taxas proporcionais.
 Duas ou mais taxas são ditas proporcionais quando, ao serem aplicadas a um mesmo 
 principal durante um mesmo prazo , produzem montantes iguais, no regime simples de 
 capitalização. Ex. : 36%a.a. e 3%a.m.
 Fórmulas para Cálculo de Taxas Proporcionais
 Aplicando-se um principal de valor PV a uma taxa anual ia e a uma taxa mensal im obtém-se, no regime simples, ao final de um ano, os seguintes montantes, respectivamente 
 a) FV = PV (1+ia) e b) FV = PV (1+12im).
 Se as taxas forem proporcionais, os montantes serão iguais, tendo-se :
 PV (1+ia) = PV (1+12im).
 Portanto, 1+ ia = 1+12 im , ou ia = 12 im. Ou ainda, 
 ia = 12 im.
 De forma análoga, deduz-se que : 
 ia = 2is = 4it = 12im = 360id
 Convenção : Ano comercial (360 dias), mês comercial (30 dias).
2.3 - Desconto Simples
 Todo título de crédito apresenta uma data de vencimento e um valor de resgate , ou 
 valor nominal , o valor a ser pago pelo título na sua data de vencimento.
 No entanto, se o título é resgatado, ou negociado com terceiros, antes da data de ven - 
 cimento, é comum se conceder um desconto, obtendo-se assim o valor atual do títu 
 lo, na data de renegociação.
 Há duas modalidades de cálculo do desconto : o racional e o comercial.
 
 Desconto Racional, ou “Por Dentro”- Nesta modalidade o valor atual, referido à da- 
 ta de renegociação , é financeiramente equivalente ao valor nominal, ou valor futuro, 
 referido à data de vencimento.
 Para tanto, o seu valor é calculado segundo a mesma fórmula utilizada para o cálculo do 
 valor nominal , ou seja, N = PV (1+in). Nesta fórmula, substituindo-se o principal PV pelo 
 valor atual A, a taxa de juros i pela taxa de desconto d e o prazo n pelo
 número de períodos antecipados t, obtém-se: 
 A = N 
 1 + dt
 O valor D do desconto concedido é dado por : D = N - A, ou D = N - N / (1+ dt) 
 ou ainda, 
 D = N [ 1 - 1/ ( 1+ dt )]
 Desconto Comercial , ou “ Por Fora ” - Sob o pretexto de praticidade de cálculo, nes 
ta modalidade o valor do desconto é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor nomi- 
nal, pelo número de períodos antecipados. Assim,
 D = N d t
 
 O valor Atual ‘A” é dado por : A = N - D , ou A = N - N d t . 
 Portanto, 
 A = N ( 1 - d t )
Desconto Bancário - Pode ser entendido como uma extensão do desconto comercial. Con- 
siste no desconto comercial acrescido de uma taxa prefixada, cobrada sobre o valor nomi- 
nal, a título de despesas administrativas da instituição que faz a operação.
Sendo h o valor da taxa de despesas administrativas, o desconto bancário é dado por :
 Db = Dc + Nh , ou Db = Ndt + Nh , ou ainda : Db = N ( dt + h ) .
O valor atual Ab obtém-se de : Ab = N - Db , ou Ab = N - N ( dt + h ) ,ou
 Ab = N [ 1 - ( dt + h ) ]
Taxa de juros efetiva
Denomina-se de taxa de juros efetiva de uma operação de desconto a taxa de juros que, a 
plicada sobre o valor atual comercial ou bancário, gera, no período considerado, um mon- 
tante igual ao valor nominal.
Sendo if a taxa efetiva, por definição se tem :
 N = Ac ( 1 + if. t ), de onde se conclui que N - 1 
 Ac 
 if = t 
Da mesma forma, N - 1
 if = Ab
 t
3 - JUROS COMPOSTOS
3.1 - Expressão do Montante - Fator de Capitalização Composto 
 A aplicação de um principal de valor PV a uma taxa i produz , no regime composto , ao final de cada um dos n primeiros períodos, os saldos (montantes) vistos na tabela:
 Período Saldo Inic.do Período Juros do Período Saldo Final do Período 
 01 PV PV.i PV + PV.i = PV(1+i) 
 02 PV(1+1) PV(1+i) . i PV(1+i) + PV(1+i) .i =PV(1+i)2
 03 PV(1+i )2 PV(1+i)2 . i PV(1+i)2 + PV(1+i)2 .i =PV(1+i)3
 . . . . . . . . . . . .
 n PV(1+i )n-1 PV(1+i)n-1 . i PV ( 1+i )n 
 Portanto, 
 FV = PV ( 1 + i )n
 
 O fator ( 1 + i )n é o fator de capitalização composto e está tabelado para diversos valores de i e de n. 
3.2 - Expressão do Valor Atual - Descapitalização Composta 
 Em se conhecendo o valor FV do montante que se deseja produzir através de uma aplicação a uma taxa composta i e após um determinado número n de períodos, para se determinar o valor do principal PV necessário à produção desse montante, basta se inverter a expressão do montante, FV = PV ( 1 + i )n, obtendo-se : 
 PV = FV 
 ( 1 + i )n 
 O fator 1/ (1+i)n é o fator de descapitalização composto e está tabelado para diversos valores de i e de n. 
3.3 - Conversão de Taxas de Juros
 Assim como no regime simples , no composto também só se podem utilizar as fórmulas deduzidas se as unidades de tempo da taxa e do prazo coincidirem. Em caso contrário, faz-se necessária a conversão da taxa para a mesma unidade de tempo do prazo da operação.
 No regime composto há dois casos distintos de conversão: quando a taxa é real, ou efetiva, e quando é apenas nominal.
A TAXA É REAL, ou EFETIVA, quando o seu período de capitalização é determinado pela própria unidade de referência. 
 Neste caso, a conversão é feita através das chamadas taxas equivalentes.
 Duas ou mais taxas de juros são ditas Equivalentes quando , ao serem aplicadas a um mesmo principal , durante um mesmo prazo , produzem montantes iguais , no regime composto.
 Expressões para Cálculo de Taxas Equivalentes
 Aplicando-se um principal PV a uma taxa anual ia e a uma taxa mensal im, obtém-se, a -
 pós 1 ano, os seguintes montantes, respectivamente :
 a) FV = PV (1 + ia) e b) FV = PV (1 + im)12 .
 Se as taxas foremequivalentes, os montantes serão iguais, tendo-se : 
 PV (1+ ia ) = PV (1+ im )12 e finalmente, 
 ( 1 + ia ) = ( 1 + im )12
 De maneira análoga deduz-se que : 
 (1+ ia) = (1+ is)2 = (1+ it)4 = (1+ im)12 = (1+ id)360
 Obs.: Se duas ou mais taxas são proporcionais ( regime simples ), jamais serão equiva - 
 valentes ( regime composto ). 
 Ex.: 36%a.a. e 3%a.m. são proporcionais; portanto, não são equivalentes.
 b) A TAXA de juros é uma taxa NOMINAL quando o período de capitalização é diferente da sua unidade de referência. Neste caso, a conversão é feita através da fórmula de taxas proporcionais adequada ao caso (tal como se procederia no regime simples), apesar de se estar tratando do regime composto. Por isto é que se diz que a taxa dada não é real, mas apenas nominal.
 Exs.: Taxa Nominal Taxa efetiva embutida
 36%a.a. capitalizados mensalmente 3%a.m. 
 24%a.s. capitalizados trimestralmente 12%a.t.
 18% compostos semestralmente 9%a.s.
 A taxa nominal dada não é utilizada na operação financeira, mas sim a denominada Taxa Efetiva Embutida, que é uma taxa cuja unidade de referência é igual ao período de capitalização da taxa nominal dada e cujo valor é obtido aplicando-se a essa taxa a fórmula de taxas proporcionais adequada.
3.4 -Taxa de Inflação Acumulada
 Quando se tem uma taxa de juros mensal e se pretende calcular , por exemplo, a taxa anual acumulada, utiliza-se a fórmula de taxas equivalentes ( 1 + ia ) = ( 1 + im )12 , ou seja,
 (1 + ia ) = (1+ im ) . (1+ im ) . (1+ im ) . . . . (1+ im )
 12 vezes
 Esta fórmula pode ser agregada na expressão ( 1 + im )12 , pelo fato de que a taxa de juros tem o mesmo valor durante os doze meses considerados. No caso da inflação, em que a taxa mensal não é fixa, mas sim variável, a agregação da fórmula não é possível 
 Tem-se, então :
 ( 1+ ia ) = ( 1+ i1) . ( 1 + i2 ) . (1 + i3) . ... .( 1 + i12) ,
 Onde : 
 ia - É a taxa de inflação acumulada anual, expressa em decimais.
 i1, i2 ... i12 - São as taxas de inflação dos meses 1, 2, ... 12, respectivamente.
CONVENÇÕES LINEAR E EXPONENCIAL
No regime composto de capitalização, quando o prazo da operação financeira é constituído de uma parte inteira e mais uma fração de período , há duas modalidades usuais de cálculo do montante, no que diz respeito à parte fracionária do período : Adotando-se a fórmula do regime simples (convenção linear), ou aplicando-se a fórmula do regime composto (convenção exponencial).
a) Convenção Linear
 Neste caso, a aplicação de um principal de valor PV a uma taxa i produziria, ao final de n períodos inteiros e mais um número p de subperíodos q , um montante cujo valor FV seria igual a: 
 FV = PV ( 1+ i )n.( 1 + i . p/q )
Ex.:Aplicando-se R$ 2.300,00 a 15% a.a., durante 30 meses, o montante seria: 
 FV = 2.300(1,15)2.(1+0,15x 6/12) = 3.269,
b) Convenção Exponencial Por esta modalidade de cálculo, FV = PV (1+i)n.(1+i)p/q , ou 
 FV = PV (1+i)n + p/q
 No exemplo dado, S = 2.300.(1,15)2 + 6/12 , ou S = (1,15)30/12 
 ou ainda, S = 2.300.(1,15)2,5 = 3.261,91 
 
 Obs.: A calculadora HP-12c utiliza, na sua modalidade padrão, a convenção linear. Para convertê-la à modalidade de convenção exponencial, acionam-se, consecutivamente, as teclas STO e EEX. Com isto, aparece no visor da calculadora a letra cê, indicando estar a calculadora naquela modalidade. Acionando-se novamente as duas teclas mencionadas, volta-se à modalidade padrão.
4 - SÉRIES FINANCEIRAS
4.1 - Conceito
 Série Financeira é qualquer sucessão de valores ( pagamentos ou recebimentos ) o- 
 correndo de forma periódica.
 Ex. : 340 410 430 410 520 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 mês
 Os valores que constituem uma série são denominados de parcelas, ou termos da série. 
4.2 - Montante de uma Série Financeira
 O montante produzido por uma série financeira constituída de n parcelas e calculado no ponto em que ocorre a enésima parcela, a uma taxa composta i dada , é igual à soma dos montantes produzidos por cada uma das suas parcelas, até o referido período, e segundo a taxa dada.
4.3 - Valor Atual de uma Série Financeira
 O valor atual de uma série financeira, calculado a uma certa taxa , é igual à soma dos valores atuais das suas parcelas, calculados segundo a mesma taxa. 
 No entanto, em se conhecendo o valor FV do montante produzido pela série, à taxa dada , para se determinar o valor atual da série basta se descapitalizar o valor do montante, segundo essa taxa , até o ponto zero.
4.4 - Classificações das Séries Financeiras
 
 I - Quanto ao número de termos: a) Finitas (núm. limitado de termos) 
 P1 P2 P3 . . . Pn
 
 0 1 2 3 . . . n 
 b) Infinitas (núm. ilimitado de termos) 
 P1 P2 P3 . . . 
 
 0 1 3 . . .
 
 
 II - Quanto ao vencimento : a) Vencidas (as parcelas ocorrem no final dos respectivos 
 períodos) 
 P1 P2 P3 . . . Pn
 0 1 2 3 . . . n
 b) Antecipadas (as parcelas ocorrem no início dos respec- 
 tivos períodos)
 P1 P2 P3 . . . Pn0 1 2 . . . n-1 n
 III -Quanto ao prazo: a) Imediatas (a primeira parcela ocorre no primeiro período)
 Pode ser imediata vencida, ou imediata antecipada
 b) Diferidas (a primeira parcela se dá em um período posterior ao 
 primeiro)
 P1 P2 P3 . . . Pn
 0 1 2 3 . . . m m+1 m+2 m+3 . . . m+n 
 IV - Quanto ao valor das parcelas :
 a) Uniformes ( todas as parcelas têm o mesmo valor )
 b) Variáveis ( as parcelas têm valores distintos entre si )
4.5 - Séries Uniformes
 As séries finitas , uniformes , imediatas e vencidas , tipo de séries de maior aplicação prática, costumam ser resumidamente chamadas de séries uniformes , e desta maneira serão tratadas no presente texto.
 Genericamente, a representação gráfica destas séries é feita como segue : 
 PMT
 . . .
 
 0 1 2 3 . . . n 
 As fórmulas que serão deduzidas para este tipo de série servirão, com algumas adaptações, para resolver problemas envolvendo outros tipos , desde que finitas e não variáveis.
4.5.1-Montante de uma “Série Uniforme” 
 
 De acordo com o conceito de montante de uma série , visto anteriormente , uma série constituída de n aplicações periódicas, todas de valor PMT, a uma taxa i de juros compostos, produziria, ao final do período n, um montante cujo valor FV seria obtido como segue :
 PMT
 0 1 2 3 . . . n-2 n-1 n
FV = PMT(1+i)n-1 + PMT(1+i)n-2 + PMT(1+i)n-3 + . . . + PMT(1+i)2 + PMT(1+i) + PMT logo, 
 FV = PMT[ (1+i)n-1 + (1+i)n -2 + (1+i)n-3+ . . . + (1+i)2 + (1+i) + 1 ]
 Aplicando à expressão entre colchetes a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG, 
 obtém-se : 
 FV = PMT . ( 1 + i )n - 1 
 i
 A fração [( 1 + i )n -1] / i está tabelada para alguns valores de i e de n.
 
 
4.5.2-Valor Atual de uma “Série Uniforme” 
 Como o valor atual de uma série financeira, a uma certa taxa, pode ser obtido pelo cálculo do valor atual do seu montante segundo essa mesma taxa , então o valor atual de uma série constituída de n pagamentos, todos de valor PMT, com o primeiro ocorrendo ao final do primeiro período (“série uniforme”) , pode também ser obtido desta forma , ou seja , descapitalizando-se o seu montante FV até o ponto zero (instante inicial do financiamento), segundo a mesma taxa de juros pela qual esse montante foi calculado.
 Desta maneira , PV = FV / (1+ i)n . 
 Portanto, PV =PMT . (1+ i)n -1 ou PV = PMT (1+ i )n - 1 
 i (1 + i)n i (1+ i)n
 
 A fração (1+ i)n - 1 está tabelada para valores de r e de n. 
 1(1 + i)n
4.5.3-Valor da Aplicação Periódica, Conhecido o Montante 
 Para se determinar o valor PMT das n aplicações periódicas que, efetuadas a uma taxa composta i produzem, ao final do período n, um montante de valor FV conhecido, basta se inverter a expressão do montante de uma série, obtendo-se : 
 PMT = FV . i
 (1+ i)n - 1
 A fração i foi tabelada para diversos valores de i e de n. 
 (1+i)n-1 
4.5.4-Valor da Prestação Periódica, Conhecido o Principal PV 
 Para se determinar o valor PMT das n prestações periódicas que, iniciadas no final do 1o período e a uma taxa r de juros compostos são suficientes para amortizar um principal de valor PV conhecido, basta se inverter a expressão do valor atual, obtendo-se : 
 PMT = P . i(1+ i)n
 (1+ i)n -1 
 A fração i(1+ i)n está tabelada para diversos valores de i e de n.
 (1+ i)n - 1 
4.5.6-Amortização, Juros e Saldo Devedor
 Em qualquer série de pagamentos de um financiamento obtido no início da operação, todas as n prestações são constituídas de duas parcelas: amortização e juros. 
 PMT = A + J
 Em se tratando de “ séries uniformes ” , o valor dos juros de cada parcela é obtido aplicando-se a taxa sobre o saldo devedor no início do período correspondente. 
 Desta maneira, a maior parcela de juros está contida na primeira prestação, já que ela é calculada sobre o principal integral ( saldo devedor no início do primeiro período ). A partir daí, o valor dos juros decresce a cada prestação, na medida em que o saldo devedor vai sendo amortizado.
 O valor da amortização de cada parcela é igual à diferença entre o valor dessa parcela e os juros nela contidos. Como na “série uniforme” o valor PMT das parcelas é constante e o dos juros é decrescente , o inverso ocorre com a amortização , que é relativamente pequena na primeira prestação e cresce a partir daí.
 O valor At da amortização contida na prestação de ordem t pode ser calculado capitalizando-se por ( t -1) períodos a amortização A1 contida na primeira parcela. 
 At = A1 ( 1+ i)t-1
 
 Saldo Devedor
 
 O saldo devedor SD após o pagamento da prestação de ordem t pode ser calculado de duas formas alternativas :
 a) Calculando-se o valor atual, no instante t , das (n - t) prestações restantes (obtém-se 
 assim o total que falta amortizar ) , ou 
 b) Calculando-se o valor atual , no instante zero , das t prestações já pagas (valor já a- 
 mortizado) , subtraindo-se esse valor do principal PV e capitalizando-se a diferença 
 por t períodos. 
 
 (1+i)n-t -1 (1+i)t -1
 Resumo: SDt = PMT ou SDt = [ PMT - PV] (1+i)t 
 i (1+i)n-t i(1+1)t 
 Jt = SDt-1 . i ou Jt = R - At
 At = A1(1 + i)t-1 ou At = R - Jt
5 - EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA
 Dois ou mais fluxos de caixa são ditos equivalentes,a uma certa taxa de juros, quando os seus valores atuais, calculados a essa taxa, são iguais.
 Obs. :
 a)Se os fluxos de caixa são equivalentes , a uma dada taxa de juros , não o são segundo qualquer outra taxa;
 b)Se os fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma certa taxa, além dos seus valores atuais, também são iguais os seus valores correspondentes calculados, segundo essa taxa, em qualquer outra data.
 Significado Prático :
 Dizer-se que dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes , segundo uma taxa dada, significa dizer que , a essa taxa , é indiferente, tanto para quem paga quanto para quem recebe, optar por qualquer dos fluxos.
6 - VALOR ATUAL LÍQUIDO DE UM FLUXO DE CAIXA
 Chama-se de Valor Atual Líquido de um fluxo de caixa, a uma certa taxa, à soma algébrica dos valores atuais dos seus pagamentos (negativos) e dos seus recebimentos ( positivos), calculados segundo a taxa dada.
7 - Taxa Interna de Retorno de um Fluxo de Caixa 
 Denomina-se de TIR de um fluxo de caixa a taxa de desconto que anula o seu VAL , ou seja, que faz com que os valores atuais dos seus pagamentos e recebimentos , calculados à essa taxa, se igualem ( em valores absolutos) .
 Cálculo da Taxa Interna de Retorno
 Quando o fluxo de caixa contém mais de um valor futuro não constituinte de uma série, o cálculo do valor exato da sua taxa interna de retorno só é possível através de um processo de tentativas, por meio de convergências sucessivas. É este o processo utilizado nos computadores eletrônicos , inclusive as calculadoras financeiras.
 Como tal processo é impraticável para ser adotado manualmente, utiliza-se um método que, através de uma interpolação linear, permite calcular um valor satisfatoriamente aproximado do valor real da taxa de retorno.
 Esse método consiste nos seguintes passos :
 a) Atribua um valor à taxa de desconto e calcule o correspondente VAL do fluxo. Se esse VAL for igual a zero, a taxa atribuída é a TIR do fluxo; se não, execute o passo se- 
 guinte;
 b) Atribua um novo valor à taxa de desconto ( analisando se este deve ser maior ou menor que o anterior, em função do valor do VAL anteriormente obtido ) e calcule o 
 respectivo VAL. Se este for igual a zero, o último valor atribuído à taxa é o da TIR. 
 c) Se o novo VAL tiver o mesmo sinal que o anterior , repita o passo ( b ) . Se o novo VAL tiver sinal contrário ao do anterior, então :
 TIR = i1 + x , 
 onde o valor de x é calculado através da expressão : VAL1 = VAL2 ,
 x (i2 -i1 ) -x
 sendo :
 - i1, a menor entre as duas últimas taxas de desconto atribuídas;
 - i2 , a maior entre as duas últimas taxas de desconto atribuídas;
 - VAL1 , o VAL calculado através de i1;
 - VAL2 , o VAL calculado através de i2.
 Para que a primeira atribuição não seja feita de forma totalmente aleatória, atribui-se a ii o valor do que se chama de taxa média de juros, calculado como segue :
 Taxa Média de Juros = taxa de juros totais / prazo médio , onde: 
 Tx. de Juros Totais = Juros totais / soma dos pagamentos ( ou dos recebimentos, o 
 que for menor ) x 100
 Juros Totais = soma algébrica dos pagamentos e dos recebimentos 
 Prazo Médio = n / 2 ( ou n+1 / 2 , se n for ímpar ).
EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES
1-Qual o valor dos juros produzidos por R$ 60.000,00 aplicados a uma taxa de 12%a.a.,
 durante 20 dias? R.: R$ 400,00
2-Calcular a taxa de juros necessária para que um capital de R$ 48.000,00 produza, ao final 
 de 5 meses e 10 dias, juros de R$ 1.536,00 . .R.: 7,2%a.a. 
3-Durante quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$ 276.000,00, a uma taxa 
 de 12%a.a., para que se obtenha R$ 920,00 de juros?
4-Comprou-se um lote de ações de uma firma e, ao fim de 15 meses, obteve-se com a sua
 venda 9/6 do capital empregado. Qual a taxa de juros recebida? R.: 40%a.a.
5-Qual o tempo necessário para se obter 11/8 de um capital aplicado a juros simples de
 12%a.a.? R.: 3 anos,1 mês e 15 dias. 
6-Emprega-se 3/5 de um capital a 7,5%a.a. e o restante a 12%a.a. Ao final de 10 meses 
 obtêm-se juros de R$ 585,90. Qual o capital empregado? R.: R$ 7.560,00
7-Um débito de R$720,00 foi pago por R$ 691,20, em virtude de se ter antecipado o 
 pagamento em quatro meses. Qual foi a taxa de desconto obtida? R.: 12,5%a.a.
8-A companhia X emprestou a uma companhia Y a quantia de R$ 135.000,00 à taxa de
 5%a.a., recebendo posteriormente R$ 137.625,00. Por quanto tempo o capital foi 
 empregado? R.: 4 meses e 20 dias.
9-Qual a taxa de juros que faz com que um capital aumente em 50% num prazo de 5 
 anos?R.:10%a.a. 
10-Uma pessoa necessita de R$ 25.500,00 dentro de 4 meses. Quanto ela deve depositar
 hoje, em um banco que paga 6%a.a. de juros, para obter aquela quantia, no prazo 
 desejado ? R.: R$ 25.000,00. 
11-Duas pessoas aplicaram quantias iguais, em títulos de empresas diferentes. Ao fim de 
 18 meses a primeira recebeu de volta 8/5 do que empregou e, ao fim de 24 meses, a 
 segunda recebeu 7/4 do seu capital. Qual das aplicações foi mais vantajosa ?
 R.: A primeira, pois r1 > r2.
12-Que capital, colocado à taxa de 10%a.a., produz juros de R$ 10.000,00 em 6 meses ?
 R.: R$ 200.000,00
13-Após quanto tempo o capital de R$ 1.000.000,00, aplicado à taxa de 3%a.a., produz 
 juros de R$ 12.500,00 ? R.: 150 dias.
15-Dois capitais, um de R$ 2.400,00 e o outro de R$ 1.800,00, foram postos a juros 
 segundo uma mesma taxa. O primeiro, em 48 dias, rendeu R$ 17,00 a mais que o 
 segundo em 30 dias. Calcular a taxa de juros. R.: 10%a.a.
16-Uma indústria estocou 10.000 ton. de produto, recusando a oferta de um atacadista 
para comprá-lo a R$ 300,00 por tonelada. Passados 5 meses, a indústria vendeu todo o estoque a R$330,00 por tonelada. Considerando que a taxa corrente de juros é de 8%a.a., a indústria teve lucro ou prejuízo com a sua decisão de estoque ? De quanto ?
 R.: Lucro de R$ 200.000,00.
17-Uma pessoa fez um empréstimo à taxa de 9%a.a. Um mês e dez dias depois pagou a dívida e contraiu um novo empréstimo, no dobro do valor do anterior, mas pagando juros `a taxa de 6%a.a. Dez meses depois desse segundo empréstimo liquidou o débito, verificando ter pago ,ao todo, R$ 110.000,00 de juros. Qual o valor do primeiro empréstimo? R.: R$ 1.000.000.,00
18-Uma mercadoria no valor de R$ 1.000,00 é vendida com prazo de 8 meses, a juros de 20%a.a., emitindo-se na ocasião, dia 01 de abril de 1994, uma nota promissória. No entanto, essa nota foi vendida, no dia 14 de julho de 1994, a uma pessoa para quem o dinheiro vale 21%a.a. Quanto foi pago por essa pessoa, pelo título de crédito ?
 R.: R$ 1.050,00
19-Dois capitais foram colocados a juros, sendo o primeiro, de valor R$ 10.000,00, a uma taxa 20% maior que a taxa do segundo, e em um prazoigual à metade do prazo do segundo. Sabendo-se que os juros produzidos por cada um dos capitais foi igual a R$ 600,00 e que a taxa anual do segundo é igual ¼ do seu prazo em dias, calcular os prazos e as taxas dos dois capitais.
 R.: n1=60 dias, n2= 120 dias, i1=36%aa, r2=30aa.
EXERCÍCIOS SOBRE DESCONTO SIMPLES
1. Determinar o desconto racional das hipóteses seguintes:
	 Valor Nominal
	Taxa
	Prazo até Vencimento
	
	
	
	a) R$ 10.000,00
	23% a.a
	3 meses
	
	
	
	b) R$ 7.500,00
	29% a.a
	100 dias
	
	
	
	c) R$ 8.200,00
	20,5% a.a
	1 ano e 2 meses
	
	
	
	d) R$ 3.000,00
	26% a.a
	3 meses e 20 dias
 R.: a) 543,74 b) 559,13 c) 1.582,65 d) 220,79
2. Determinar o valor atual racional dos seguintes títulos:
	 Valor Nominal
	Taxa
	Prazo até Vencimento
	
	
	
	a) R$ 20.000,00
	15,9% a.a
	50 dias
	
	
	
	b) R$ 12.500,00
	21% a.a
	125 dias
	
	
	
	c) R$ 6.420,00
	30% a.a
	8 meses
	
	
	
	d) R$ 5.000,00
	26,4% a.a
	181 dias
 R.: a) 19.567,88 b) 11.650,49 c) 5.350,00 d) 4.414,10
Quanto devo pagar por um título no valor nominal de R$ 15.000,00, com vencimento em 150 dias, se quero ganhar 36% a.a? R.: 13.043,48
 
O valor nominal de uma promissória com vencimento em 15/11/96 é de R$ 2.700,00. Se o dinheiro valer 36% a.a. e a promissória for saldada dia 19/08/96, de quanto será o desconto por dentro obtido? Qual o valor atual? R.: 218,38 2.481,62
 
Se o desconto racional concedido for de R$ 57,63, qual será a taxa considerada, uma vez que a valor nominal é de R$ 600,00 e o período de antecipação 5 meses? R.: 25,5%a.a.
 
Um título de valor nominal R$ 1.300,00 foi resgatado antes do seu vencimento, sendo por isso bonificado com um desconto racional de R$ 238,78. Considerando a taxa de 27% a.a., qual foi a antecedência? R.: 300 dias 
7.O valor atual de uma promissória é de R$ 1.449,28, tendo sido adotada a taxa de 18% a.a. Qual será o prazo de antecedência, se o desconto racional for de R$ 50,72? R.: 70 dias
8 Um título cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do vencimento foi negociado à taxa de 23% a.a. Qual era o valor nominal do título, uma vez que o valor atual racional recebido foi de R$ 1.921,95? R.: 2.100,00 
 
9 Calcular o desconto comercial das hipóteses seguintes:
	 Valor Nominal
	Taxa
	Prazo até Vencimento
	
	
	
	a) R$ 12.500,00
	37% a.a
	250 dias
	
	
	
	b) R$ 18.000,00
	35% a.a
	3 meses
	
	
	
	c) R$ 20.000,00
	28% a.a
	8 meses
	
	
	
	d) R$ 22.000,00
	27% a.a
	4 meses e 12 dias
 R.: a) 3.211,80 b) 1.575,00 c) 3.733,33 d) 2.178,00 
Determinar o valor descontado (valor atual comercial) das hipóteses apresentadas no exercício anterior.
Se o desconto comercial for de R$ 1.125,00, qual será o valor nominal, se a taxa considerada for de 27% a.a. e o prazo de antecedência 100 dias? R.: 15.000,00
Uma nota promissória foi descontada 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 265 a.a. sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 18.266,67, qual seria seu valor nominal? 
 R.:20.000,00
Um título com vencimento em 28/08 foi descontado dia 01/03 do mesmo ano. Qual seria a taxa contratada se o valor nominal fosse de R$ 12.000,00 e o desconto comercial de R$ 1.500,00? R.: 25%a.a.
O valor nominal de um título é 15 vezes o desconto comercial a 30% a.a. Qual será o prazo de antecipação, se o desconto comercial for de R$ 640,00? R.: 80 dias
O valor atual comercial recebido de um título é de R$ 23.600,00, considerando-se a taxa de 285 a.a. e o prazo de antecipação de 72 dias. Pergunta-se: Qual é o desconto comercial?
 R.: 1.400,00
Se a taxa de juros corrente for de 30% a.a., qual será o valor atual comercial se o desconto de um título no valor de R$ 18.000,00 ocorrer 90 dias antes de seu vencimento? R.: 16.650,00
Uma pessoa tomou emprestado R$ 10.000,00 para pagar após um ano, tendo sido contratada a taxa de 25% a.a. Quatro meses antes do vencimento o devedor resolveu resgatar o título, contanto que fosse efetuado desconto comercial e à taxa, então vigorante no mercado, de 26,5% a.a. Qual o valor líquido que o devedor se propõe pagar? R.: 11.395,84
Pelo valor nominal de R$ 10.000,00 uma pessoa recebeu R$ 9.556,94 como sendo o valor atual comercial. Qual foi a antecipação, se a taxa de juros adotada tivesse sido de 29% a.a.?
 R.: 55 dias
Qual será o desconto bancário em uma operação onde o valor nominal é de R$ 7.000,00 e o prazo de antecipação é de 105 dias? Considerar juros correntes de 23,5% a.a. e taxa administrativa de 2%. R.: 619,79
João, desejando comprar um carro, pediu empréstimo de R$ 17.000,00 pelo prazo de 3 meses. Sabendo-se que o banco Alfa cobra 2% de despesas administrativas e que a taxa de juros de mercado é de 28,4% a.a., qual é o preço do carro? (O valor recebido é o preço do carro.)
 R.: 15.453,00
Se uma empresa necessitar de R$ 10.740,00 para saldar uma duplicata, que compromisso deverá assumir por 90 dias, se a taxa corrente for de 36% a.a. e o banco cobrar 1,5% de taxa de serviço? R.: 12.000,00
O Banco X anuncia que sua taxa de juros é a menor do mercado, cobrando apenas 3% de taxa administrativa. Exemplifica, dizendo que, para 6 meses, se o cliente pedir R$ 45.000,00, sofrerá um desconto de apenas R$ 8.550,00. Qual é a taxa de juros considerada? R.: 32%a.a.
Por um empréstimo de R$ 5.000,00 a 4 meses João recebeu líquido R$ 4.291,67. Tendo perguntado ao gerente qual fora a taxa de juros empregada, este lhe garantiu que era de 24,5% a.a. Qual foi a taxa de serviço cobrada? R.: 6%
Um empréstimo de R$ 4.000,00 foi retirado de um banco cuja taxa administrativa é de 2,5%. Se o desconto bancário fosse de R$ 564,00 e a taxa de juros 27,84% a.a., qual seria o prazo contratado para tal empréstimo? R.: 5 meses
Um título a vencer em 90 dias, no valor de R$ 10.000,00, foi descontado por R$ 9.375,00 (valor atual comercial). Qual é a taxa de desconto e qual a taxa efetiva? 
 R.: 25%a.a. 26,67%a.a.
Uma duplicata de valor nominal R$ 8.000,00 foi descontada 90 dias antes de seu vencimento a 23,5% a.a. Qual é o desconto comercial? Qual a taxa efetiva? R.: 470,00 24,97%a.a. 
Um fornecedor oferece 3 meses de prazo em suas vendas. O cliente que optar pelo pagamento a vista receberá um desconto de 10% sobre o valor nominal. Que taxa de juros anual efetiva está sendo cobrada? R.: 44,44%a.a.
Se uma instituição desejar ganhar 36% a.a. (taxa efetiva), que taxa de desconto deverá aplicar para operações com os prazos de:
	a) 1 mês;
	b) 3 meses;
	c) 6 meses.
 R.: 34,95%a.a. 33,03%a.a. 30,15%a.a. 
O Banco Alfa cobra 2% de taxa de serviço e como taxa de juros emprega 26% a.a. Qual é o desconto bancário de um título com valor nominal de R$ 3.000,00 e vencimento a 4 meses? Qual é a taxa efetiva? 
Uma empresa vai ao banco para descontar uma duplicata de R$ 7.200,00 com vencimento a 5 meses. Se a taxade juros for de 25% a.a. e a taxa de serviço de 2,5%, qual será o valor líquido recebido e a taxa efetiva paga pela empresa?
Se o banco exigir 2% como taxa administrativa, qual será a taxa efetiva se a taxa de juros corrente for de 27% a.a. e os prazos de desconto forem:
	a) 1 mês;
	b) 3 meses;
	c) 6 meses.
A diferença entre o desconto comercial e o desconto racional é de R$ 36,13. Sabendo-se que o prazo de antecipação é de 3 meses e que a taxa de juros considerada é de 25,44% a.a., qual é o valor nominal do compromisso?
O quociente entre os descontos comercial e racional é de 1,06. Qual será o prazo de antecipação se a taxa de juros for de 24% a.a.?
O desconto comercial supera o desconto racional em R$ 36,00 e o prazo de antecipação é de 90 dias. Qual é o desconto comercial, uma vez que o valor nominal do compromisso é de R$ 10.600,00?
A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de R$ 416,51, sendo o prazo de antecipação 8 meses e a taxa de juros 28,2% a.a. Qual é o valor nominal do título?
O desconto bancário supera o desconto racional em R$ 733,23, considerando-se a taxa de juros de 30,6% a.a. e antecipação de 4 meses. Qual será a taxa administrativa no desconto bancário se a diferença entre os descontos comercial e racional for de R$ 283,23?
EXERCÍCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS 
1-Calcular os juros produzidos por um capital de R$1.000,00 colocado à taxa de 5%a.a. durante 10 anos. R.: R$ 628,89
2-Determinar a quantia que deve ser aplicada em uma instituição financeira que paga a taxa de 8%a.a., para que se obtenha R$ 1.000,00 ao fim de 4 anos. R.: R$735,00
3-Determunar a taxa de juros que faz com que um capital aumente em 50% ao fim de 5 anos. R.: 8,44%a.a.
4- Uma pessoa colocou em uma companhia de investimentos, à taxa de 5%a.m., a importância de R$ 10.000,00. Quanto essa pessoa terá no fim de 10 meses ? R.:16.288,95
5-Em quanto tempo um capital empregado à taxa de 3%a.m. dobrará ? R.: 1a, 11m e 14d
6-Quanto se terá daqui a 46 meses, ao se aplicar R$ 2.000,00 hoje, a uma taxa de 2%a.m. 
 R.: R$ 4.975,18
7-Quanto se terá daqui a 6 anos e 6 meses, ao se aplicar R$ 1.000,00 hoje, a uma taxa de 2%a.m. ? R.: R$ 4.686,12
8-Certa pessoa deve R$ 10.000,00 com vencimento em 1 mês e R$ 30.000,00 com vencimento em 4 meses. Concorda em pagar R$ 20.000,00 hoje e o restante em 2 meses. De quanto será esse último pagamento, se o dinheiro vale 2%a.m.? R.: R$18.227,06
9-Certa pessoa, em cumprimento a obrigações assumidas com um outro indivíduo, deve os seguintes pagamentos: R$ 1.000,00 na data de hoje, R$ 2.000,00 no fim de 6 meses e R$ 3.000,00 no fim de 1 ano e meio. Se o custo do dinheiro acertado entre as partes é de 1%a.m., e supondo que o devedor deseje reformular seus compromissos originais de maneira a efetuar apenas dois pagamentos iguais, sendo o primeiro de hoje a um ano e o segundo no fim de 18 meses, determinar o valor desses pagamentos. R.: R$3.128,03
10-Qual o montante acumulado em 15 anos a uma taxa de juros de 5%a.a., se o capital aplicado foi de R$ 7.500,00. R.: R$ 15.591,96
11-Qual o principal necessário para que se tenha um montante de R$ 150.000,00 daqui a 5 anos, sabendo-se que a taxa de juros é de 3%a.m.? R.: R$ 129.391,32
12-Qual o montante acumulado em 14 meses, a uma taxa de juros de 1,65%a.m., se o principal aplicado foi de R$2.000,00 ? R.: R$ 2.514,97 
13-Quanto se terá ,daqui a 57 meses, aplicando-se hoje a importância de R$ 3.000,00 à taxa de 12%a.a.? R.: R$ 5.142,59
14-Qual o montante acumulado em 7 anos, à taxa de 5,65%a.a., com um capital inicial de R$ 150.000,00 ? R.: R$ 220.382,84
15-Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de 3%a.m.. Algum tempo depois, encontrando quem lhe emprestasse dinheiro à taxa de 2%a.m., contraiu um novo débito, com a finalidade de liquidar o primeiro empréstimo. 18 meses após ter tomado o primeiro empréstimo, liquidou o que devia , verificando ter pago juros num total de R$ 46.500,00. Determinar os prazos de cada um dos dois empéstimos.
 R.: n1 = 2 meses e 18 dias, n2 = 15 meses e 12 dias
16-A que taxa de juros deverá ser colocado um certo capital, para que ele triplique, ao fim de 10 anos,
a) a juros simples? R .: 20%a.a.
b) a juros compostos? R.: 11,6%a.a.
17-Qual o principal necessário para se ter um montante de R$ 10.000,00 após seis semestres, à uma taxa de 12% a.s. ? R.: R$ 5.066,31
18-Um indivíduo recebe uma proposta de investir hoje uma quantia de R$ 1.000,00, para receber R$ 1.343,92 após 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto? R.: 3%a.m.
19-Um banco comercial diz emprestar dinheiro a “2,5%a.m.”, ou seja, a “7,5%a.t.”. Entretanto, exige que os juros sejam pagos por ocasião da liberação do crédito. Assim, assina-se uma nota promissória de R$ 1.000,00, com vencimento de 3 meses, e o banco libera ao financiado apenas R$ 925,00, pois os R$ 75,00 de juros são descontados no ato da operação de crédito. Qual a taxa mensal efetivamente cobrada nesta operação? R..: 2,63%a.m. 
20-Foram feitas as seguintes dívidas : R$ 20.000,00 a serem pagos após 5 semestres, com juros já incluídos, a 7%a.s.; R$ 30.000,00 , com prazo de 7 semestres e juros já capitalizados,a 6%a.s. Se os dois débitos fossem pagos através de duas prestações iguais, o correndo ao final de 3 e de 6 semestres a contar da data inicial da operação, qual seria o valor dessas prestações adotando-se para o seu cálculo a taxa de 9%a.s. ? R.: 25.000,00
21-A importância de R$ 5.000,00 foi depositada em um banco a juros de 10%a.a. e a de R$ 4.000,00 a 12%a.a. No fim de quanto tempo teremos montantes iguais? R.: 12 anos,4 meses e 18 dias.
22-Calcular os juros da aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 12%a.a., durante 4 anos. R.: R$ 2.867,60
23-Calcular os juros da aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 12% a.a. capitalizados mensalmente, durante 4 anos. R.: R$ 3.061,15.
24-Quanto deverá pagar, após 5 meses, quem tomou R$ 3.200,00 emprestados, a 66%a.a. R.: R$ 3.951,66.
25-Certa pessoa toma emprestado R$ 600,00 e concorda em reembolsar o principal com juros de 3%a.a. capitalizados semestralmente. Quanto ela deve no fim de quatro anos? R.: R$ 675,89.
26-Em 1 de abril de 1966, uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 2.000,00, a 5%a.a. capitalizados trimestralmente. Quanto estava ela devendo em 1 de outubro de 1978? R.: R$ 3.722,04
27-Seis anos depois que alguém colocou R$ 2.500,00 numa conta de poupança que pagava juros de 2,5%a.a. capitalizáveis semestralmente, a taxa de juros foi elevada para 3%a.a., com mesmoperíodo de capitalização. Qual o saldo de sua conta 10 anos após a elevação da taxa de juros ? R.: R$ 3.908,42.
28-Determinar o montante de R$ 2.000,00 aplicados por 6 anos a 4%a.a. capitalizados trimestralmente. R.: R$ 2.538,46
29-Calcular as taxas de juros anual e diária equivalentes a : a) 16%a.t.; b) 28%a.s.
 R.: a) ra= 81,06%; rd= 0,16% ; b) ra=63,84%; rd=0,137%
30-Calcular o montante de R$ 6.000,00 colocados durante 1 ano e 6 meses a 22%a.a., capitalizados trimestralmente. R.: R$ 8.273,0
 31-Qual a taxa de juros anual equivalente a 84%a.a. compostos trimestralmente?
 R..: ra = 114,36% 
 
32-Qual o preço de uma mercadoria que foi vendida através de um pagamento inicial de 20%, um de R$ 52,00 após 2 meses e outro de R$ 61,00 ao final de 4 meses ,se a taxa de juros cobrada foi de 72%a.a. ? R.: R$ 123,03
33-Uma mercadoria no valor de R$ 420,00 foi vendida através de uma entrada de 25%, um pagamento de R$ 135,00 após 2 meses e o restante no fim de 3 meses. Qual o valor desse pagamento, se a taxa foi de 84%a.a. ? R.: R$ 224,81
34-Quanto se terá ao final de sete meses de aplicação de R$ 3.500,00 à taxa de 96%a.a., capitalizados trimestralmente ? R.: R$ 5.780,25
35 - Os índices de inflação dos 5 primeiros meses do ano foram, respectivamente, de: 2,06%, 2,34% 2,54%, 2,08% e 1,99%. Qual a inflação acumulada no período ?
5 - A inflação acumulada nos 5 primeiros meses foi de 7,46%.Qual a do sexto mês, se a do semestre foi de 9,87% ? 
6 - O índice de inflação do trimestre foi de 6,53%. Nos dois primeiros meses foi de 2,53% e de 1,07%. Qual o índice do terceiro mês ?
EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES FINANCEIRAS
 1- De quanto disporá, após 8 meses, alguém que aplica mensalmente a importância de R$ 5 0.000,00, à 72%a.a. capitalizados mensalmente ? R.: R$ 494.873,40
 
2- Uma pessoa recebeu um empréstimo, comprometendo-se a pagar R$ 25.000,00 mensais, durante 10 meses, com o primeiro pagamento se dando 30 dias após a negociação. Qual o valor do empréstimo, se os juros cobrados foram de 60,1%a.a. ?
 R.: R$ 202.772,39
3- Uma mercadoria no valor de R$ 200.000,00 foi vendida através de 7 prestações mensais e iguais, a primeira vencendo-se 1 mês após a venda. Qual o valor da prestação, se os juros foram de 5%a.m. ? 
 R.: R$ 34.563,96
4- Quanto deverá depositar mensalmente, em uma instituição que paga juros de 18%a.t. compostos mensalmente, uma pessoa que deseja dispor de R$ 400.000,00 ao final de 9 meses ? R.: R$ 34.808,89
5- Uma mercadoria no valor de R$ 150.000,00 foi financiada através de 4 pagamentos trimestrais, no valor de R$ 43.457,36. Qual a taxa de juros da operação ? R.: 6,17%a.t.
6- Quantas aplicações mensais de R$ 30.000,00, a 6%a.m., serão necessárias à produção de um montante de R$ 449.149,28 ? R.: n = 11
7- Desejando dispor de R$ 450.000,00, uma pessoa deposita, semestralmente, a importância de R$ 38.000,00, à taxa de 12%a.s. Pergunta-se :
 a) Quantos depósitos de R$ 38.000,00 deverá efetuar ? R.: 7 depósitos
 b) Qual a importância adicional que, aplicada junto com o último daqueles depósitos, completa o valor desejado ? R.: R$ 66.617,55
8- Uma mercadoria cujo preço é de R$500.000,00 será vendida através de prestações mensais e iguais, a primeira se dando após 30 dias, com juros de 84,78%a.a. Se o cliente deseja pagar R$ 45.000,00 por mês,
 a) Quantas prestações nesse valor terá que pagar ? R.: n = 17
 b) Qual o valor adicional que, efetuado 1 mês após o último pagamento normal, liquidaria o débito ? R.: R$ 5.044,94
9- Uma pessoa que necessita constituir uma poupança de R$ 1.000.000,00 irá depositar, mensalmente, a 10%a.m., a importância de R$ 48.000,00. Pergunta-se :
 a) Quantos depósitos terá que efetuar naquele valor ? R.: n = 11
 b) Qual o valor que terá que adicionar, um mês após o último depósito, para completar a poupança desejada ? R. : R$ 21.554,38
10- Determine os valores atuais dos fluxos abaixo, à taxa de 4% ao período :
 5.000 15.000 700 300 1.200
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
 1.000 600 900 500 900 400
 c) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 R.: a) R$ 39.753,99 b) R$ 5.338,22 c) R$ 7.730,52 d) R$ 5.853,49
11- Resolva o exercício anterior, à taxa de 8% ao período. R.: a) R$ 6.201,39 b) R$ c) R$ d) R$
12-Calcule os montantes dos fluxos abaixo, no 13° mês e a 5%a.m.:
 2.000 400 b) 900 300 500
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
 600 800 900 700 
 c) d)
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
 R.: a) R$ 10.856,49 b) R$ 10.779,59 c) R$ 9.417,65 d) R$ 12.195,44 
13- Resolva o exercício anterior à taxa de 10%a.m.
 R.: a) R$ b) R$ c) R$ d) R$ 16.793,05
14- Uma mercadoria no valor de R$ 2.500,00 foi vendido através de uma entrada de 20% e o restante em 7 pagamentos mensais e iguais, o primeiro se vencendo 180 dias após a venda. Determine o valor dos pagamentos mensais, sendo a taxa de 6%a.m. R.: R$ 479,45
15- Um veículo foi vendido através de um sinal de 30% e o restante em 5 pagamentos mensais de R$ 3.500,00, iniciando-se após 150 dias da data de venda. Determine o preço do veículo, sabendo que os juros cobrados foram de 9%a.m. R. : R$ 13.777,63
16- Um empréstimo de R$ 200.000,00 foi acordado para ser pago em 10 prestações mensais e iguais , com início após 30 dias. No entanto, 5 meses após ainda não havia sido paga nenhuma das prestações. Qual o valor que, pago naquele instante, poria o débito em dia, se a taxa de juros da operação foi de 4%a.m.? R.: R$ 133.556,70
17- Determine o valor de “R” nos fluxos abaixo, à taxa de 5%a.m.:
5.000 R 2.000 7.000 1.500 RR 4.500 1.200 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
 R.: a) 651,90 b) 1.350,51 c) 
18- Uma loja declara vender as suas mercadorias em 3 pagamentos iguais,”sem juros”, com o 1º após 30 dias. Mas diz conceder “um desconto” de 10% nas vendas a vista. Qual a taxa de juros mensal efetivamente cobrada nas vendas a prazo? Resp.: 5,46%am
19- Uma loja declara vender as suas mercadorias em 3 pagamentos iguais,”sem juros”, com o 1º no ato da compra. Mas diz conceder “um desconto” de 10% nas vendas a vista. Qual a taxa de juros mensal efetivamente cobrada nas vendas a prazo? Resp.: 11,55%am
EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA
1-Calcular o valor de K , sabendo que os dois fluxos abaixo são equivalentes, ‘a 2,5%a.m. R: PV = 3.904,82
 800 k 
 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 
2-Uma instituição financeira realiza operações com taxa de 5%a.m. Para um financiamento de R 100.000,00 amortizado em 18 meses, qual o valor da prestação, a) mensal? b) trimestral? C) semestral? 
 R: 8.555,00, 26.969,64 e 58.190,34
3-Um imóvel no valor de R$ 500.000,00 poderá ser vendido com uma entrada de 50% e o restante financiado, a 2%a.m., através de um dos planos abaixo. Determine os valores desconhecidos em cada um dos três planos, de moda a que eles sejam equivalentes, segundo aquela taxa.
 a) 24 prestações mensais e iguais, vencidas;
 b) 24 prestações mensais, vencidas, de R$ 7.000,00 e mais 4 parcelas intercaladas semestrais e iguais;
 c) 24 parcelas mensais e iguais, vencidas, e mais 4 parcelas intercaladas semestrais de R$ 40.000,00.
 R.: a) 13.217,00 b) 39.220,74 c) 6.876,00
4-Se o dinheiro vale 6% composto mensalmente, substituir pagamentos de R$ 2.000,00, ao fim de cada ano, por pagamento equivalente, ao fim de cada mês. R: 162,14
5-Se o dinheiro vale 4% composto trimestralmente, substituir pagamentos de R$ 3.000,00, no princípio de cada ano, por pagamentos equivalentes no final de cada trimestre. R: 768,84
6-Certa pessoa deseja acumular R$ 7.500,00 em um fundo que paga 5% compostos semestralmente, efetuando depósitos semestrais de R$ 250,00. a) Quantos depósitos completos deve efetuar? b) Qual o valor do depósito adicional que, efetuado por ocasião do último depósito completo, elevaria o saldo ao valor de R$ 7.500,00? 
 R: a) 22 depósitos b) R$ 284,28
7-Compra-se um bem por R$ 16.250,00, fazendo-se um pagamento inicial de R$ 2.500,00. Um mês depois inicia-se uma série de pagamentos mensais de R$ 500,00. Se os juros pactuados são de 12%a.a. compostos mensalmente, a) quantos pagamentos completos devem-se realizar? b) Que quantia, paga um mês após o último pagamento completo, liquidaria inteiramente esse débito? R: a) 32 pagamentos b) R$ 159,98
8-Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 1.000.000,00 para pagar com 10 prestações anuais iguais, com taxa de juros de 9%aa. Depois de pagar a 4ª prestação, a fim de abreviar o prazo do empréstimo, propôs ‘a instituição credora pagar a 8ª junto com a 5ª, a 9ª com a 6ª e a 10ª com 7ª. Calcular o valor das anuidades antecipadas.
 R: 120.321,70
9-Qual a taxa de retorno do investimento representado pelo fluxo de caixa abaixo?
 3.000 5.000,00 
 0 1 2 3 4 5 R: 10,78%
10-O preço a vista de um bem é R$ 10.000,00. Uma loja está vendendo-a em 4 prestações mensais de R$ 2.800,00. Qual a taxa de juros mensal que está sendo cobrada? R: 4,71%a.m.
11-O estudo de viabilidade econômica de um projeto conduziu aos fluxos de caixa abaixo, expressos em milhares de reais. Qual a sua rentabilidade anual?
	ANO
	 RECEBIMENTOS
	PAGAMENTOS
	SALDOS
	0
	
	 3.000
	-3.000
	1
	 1.080
	 480
	 600
	2
	 1.350
	 600
	 750
	3
	 1.560
	 720
	 840
	4
	 1.800
	 840
	 960
	5
	 2.040
	 960
	 1.080
 R: 11,46%a.a.
12- Determinar o valora atual do fluxo de caixa abaixo, a juros de 10% por período.
 200 500 
 0 1 2 3 4 5 
 100 100 100 100 100 R:R$ 96,67
13- Determinar a série uniforme equivalente ao fluxo do exercício anterior. R$ 25,50
14-Um banco financia empreendimentos, supostamente a 24%a.a., adotando a seguinte sistemática de cálculo: adiciona 24% à quantia emprestada e divide o total por 12, para obter o valor das 12 prestações mensais. Qual a taxa de juros anual efetivamente cobrada?
15-Desdobrar em amortização e juros as 6 prestações mensais de um financiamento com principal de R$ 15.000,00, prazo de 6 meses e juros de 69,59%a.a. 
 
 16-Determinar o valor do PMT no fluxo abaixo, para que a rentabilidade do investimento seja de 3%a.m.
 20.000 PMT 6.000 PMT 6.000 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
17-Um veículo poderia ser financiado em 3 prestações mensais de R$ 2.200,00. Como um cliente considerou esse valor muito elevado, o vendedor propôs um plano constituído de 5 prestações mensais de R$ 1.600,00. Qual a taxa de juros aplicada sobre o primeiro plano de pagamentos para originar o segundo plano?
18-Uma mercadoria foi vendida, com juros de 4,5%a.m., através de 5 pagamentos mensais de R$ 345,00, com o primeiro ocorrendo 4 meses após a venda, e mais um de R$ 820,00 ao final de 11 meses. Desejando o cliente liquidar o débito através de 6 pagamentos mensais e iguais, com o primeiro se dando ao final de 1 mês, qual o valor dessa prestação?
19-Resolva a questão anterior, para o caso do cliente desejar iniciar os 6 pagamentos mensais no ato da compra ( um inicial mais cinco mensais ).
20-Uma mercadoria no valor de R$ 2.590,00 foi financiada através de um pagamento de 15% ao final de dois meses, e o restante em 7 pagamentos mensais e iguais, iniciando-se ao final de três meses. No entanto, decorridos 6 meses, nenhum pagamento foi efetuado. a) Qual o valor do pagamento que, efetuado nesse momento, poria o débito em dia, se a taxa de juros da operação foi de 8,25%a.m.? b) E para liquidar todo o débito, qual o valor do pagamento a ser feito nesse instante?
21-Qual o VAL do investimento abaixo, a) à taxa de 4%? b) a 7%? c) Qual a sua rentabilidade?
 10.500 1.500 1.850 2.350 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12
22-Em sendo de 8%a.m. a taxa de juros do mercado, seria interessante para o tomador o financiamento abaixo? (resolver em função do seu VAL a essa taxa) Qual o custo do financiamento ? 
 13.860 2.300 1980 1998 2.450 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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