Matemática FInanceira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Prof. Guilherme M. Amorim 
 
 
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Capítulo 1 
 
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FI-
NANCEIRA 
 
1.1 Conceito de Juro 
 
Juro é a remuneração do capital sob forma de moeda a qualquer titulo. Também, é a 
importância paga pelo uso do dinheiro emprestado ou é a remuneração do capital em-
pregado em atividades lucrativas. Ou, de maneira fácil, é o aluguel pago pelo uso do 
dinheiro. 
Ao se dispor a emprestar, o possuidor de dinheiro, para avaliar a taxa de remuneração 
para seus recursos, deve atentar para os seguintes fatores: 
 
 RISCO: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro. 
 DESPESAS: todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a 
formalização do empréstimo e à efetivação da cobrança. 
 INFLAÇÃO: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para 
o prazo do empréstimo. 
 GANHO (ou LUCRO): fixado em função das demais oportunidades de investi-
mentos; justifica-se pela privação, por parte do seu dono, da utilidade do 
capital. 
 
Assim, a receita de juros deve ser suficiente para cobrir o risco, as despesas e a perda 
do poder aquisitivo do capital emprestado, além de proporcionar certo lucro ao seu 
aplicador. 
 
1.2 Capital 
 
É qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. 
 
1.3 Taxa de Juros 
É a importância cobrada ou paga pela utilização da unidade de capital durante o perí-
odo considerado. O prazo da aplicação ou do empréstimo deve ser expresso na mes-
ma unidade a que se refere a taxa considerada. É, também, a razão entre os juros 
recebidos (ou pagos) no final de um certo período de tempo e o capital inicialmente 
aplicado (ou emprestado). 
 
A taxa de juros, representada pela letra i, é dada sob duas formas: 
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 Taxa percentual: 
 
Exemplos: 6% a; 12% a.a; 36% a.s. 
 
 Taxa unitária: 
 
Exemplos: 0,06 a; 0,12 a.a; 0,36 a.s. 
 
Quando anunciada ou em respostas, a taxa deve ser dada na forma percentual. Mas, 
nas fórmulas deve ser usada na forma unitária. 
 
A taxa de juros é encontrada através da fórmula matemática: 
 
 
 
 
 
Onde: 𝑖 é a taxa de juros; 
 𝐽 o valor dos juros; 
 𝑃𝑉 o capital inicial (valor presente ou valor atual). 
 
O valor do juro pode ser encontrado fazendo-se a diferença entre o valor resgatado 
(futuro ou montante) e o capital inicial. Assim, 
 
 
 
Onde: 𝑀 é o montante 
 
EXEMPLO: Qual a taxa de juros cobrada num empréstimo de R$ 1.000,00 a ser res-
gatado por R$ 1.400,00? 
 
DADOS: 𝑃𝑉 = 1000 Taxa = 𝑖 = ? 
 𝐽 = 1400 − 1000 = 400 
 
𝑖 =
𝐽
𝑃𝑉
=
400
1000
= 0,40 
 
𝑖 = 40% 
 
A taxa de juros de 40% refere-se ao período da operação. Se o prazo dessa operação 
for de 1 ano, a taxa é de 40% a.a. e assim por diante. A taxa de juros, como visto ante-
riormente, é definida para certa unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano, 
etc.). 
 
𝑖 =
𝐽
𝑃𝑉
 
𝐽 = 𝑀 − 𝑃𝑉 
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Capítulo 2 
 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
2.1 Conceito 
É aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial. Neste regime 
de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, isto é, podemos con-
verter taxa diária em mensal (multiplica-se por 30), anual em mensal (divide-se por 
12), e assim por diante. 
O juro simples, produzido ou cobrado, é diretamente proporcional ao valor presente 
(capital inicial, principal) e ao período em que foi empregado. Assim, considerando a 
taxa i como fator de proporcionalidade, temos: 
 
 
 
 
Onde: J = juros ao final do período (n) analisado. 
 PV = valor do capital 
 𝑖 = taxa de juros 
 n = prazo (período) 
 
EXEMPLO 1: Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 10.000,00, 
pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% a.m? 
 
DADOS: PV = 10000 𝑖 = 0,03 am 
 n = 5 meses 
 
𝐽 = 10000.0,03.5 
 
𝐽 = 1500 
 
𝑅$ 1.500,00 
 
EXEMPLO 2: Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de 
R$ 7.875,00. Qual a taxa correspondente? 
 
DADOS: PV = 25000 n = 7 meses 
 J = 7875 
 
𝐽 = 𝑃𝑉. 𝑖. 𝑛 → 𝑖 =
𝐽
𝑃𝑉. 𝑛
 
 
𝑖 =
7875
25000.7
= 0,045 
 
Taxa de juros é de 4,5% a.m. 
𝐽 = 𝑃𝑉. 𝑖. 𝑛 
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2.1.2 Exercícios Propostos 
1. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de 
R$ 8.250,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 
 
2. Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00 foram obtidos com aplicação de R$ 
7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, calcule o prazo dessa aplicação. 
 
3. Qual o capital que, à taxa de 4% a.m, rende juros de R$ 9.000,00 em um ano? 
 
4. Um empréstimo de R$ 23.000,00 é liquidado por R$ 29.200,00 no final de 152 dias. 
Calcular a taxa mensal. 
 
5. Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$ 20.000,00, feita a 
uma taxa de 4,94% a.m, pelo prazo de 76 dias. 
 
 
2.2 Montante e Valor Atual 
O montante (ou valor futuro), que vamos indicar por FV, é igual à soma do capital ini-
cial mais os juros referentes ao período da aplicação. Assim, 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
EXEMPLO: Calcule o montante da aplicação de um capital de R$ 8.000,00, pelo prazo 
de 12 meses, à taxa de 3% a.m. 
 
𝐹𝑉 = 8000. 1 + 0,03.12 → 𝐹𝑉 = 8000 1 + 0,36 
 
𝐹𝑉 = 8000.1,36 → 𝐹𝑉 = 10880 
 
𝐹𝑉 = 𝑅$ 10.880,00 
 
2.2.1 Exercícios Propostos 
1. Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$ 60.000,00, sa-
bendo-se que a taxa de juros é de 5% a.m e que faltam 4 meses para o seu vencimen-
to. 
 
2. Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% a.a 
rende R$ 72.000,00 de juros, determine o montante. 
 
3. Um empréstimo de R$ 40.000,00 deverá ser quitado por R$ 80.000,00 no final de 
12 meses. Determinar as taxas mensal e anual cobradas nessa operação. 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 + 𝐽 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖. 𝑛) 
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4. Em que prazo uma aplicação de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$ 
53.375,00, considerando-se uma taxa de 30% a.a? 
 
2.3 Leitura Complementar 
O chamado método hamburgês foi muito difundido e extremamente utilizado no Bra-
sil na época em que os bancos pagavam juros sobre depósitos a vista; até recente-
mente era utilizado também para o cálculo dos juros incidentes sobre os saldos deve-
dores das chamadas contas garantidas, cujo exemplo mais conhecido é o cheque 
especial. Esse método apenas introduz uma simplificação nos cálculos de juros sim-
ples, nos casos em que se tem uma única taxa de juros remunerando dois ou mais 
capitais, aplicados por dois ou mais prazos diferentes. 
 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
1. Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% a.a, 
durante 7 meses. 
 
2. Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 
11.200,00. Determine a taxa anual. 
 
3. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00, resultante da aplica-
ção de certo capital à taxa de 42% a.a, durante 13 meses? 
 
4. Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente um em-
préstimo de R$ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre? 
 
5. Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado no dia 19/06/91 e resgatado em 20/01/92. 
Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% a.a, calcular o valor dos juros, 
considerando-se o número de dias efetivo entre as duas datas. 
 
6. Obteve-se um empréstimo de R$ 10.000,00, para ser liquidado por R$ 14.765,00 no 
final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação? 
 
7. Calcular o valor do capital, que aplicado uma taxa de 6,2% a.m, por 174 dias, pro-
duziu um montante de R$ 543.840,00. 
 
8. Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ 58.000,00 no final 
de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre. 
 
9. A aplicação de R$ 35.600,00 gerou montante de R$ 58.028,00 nofinal de 9 meses. 
Calcular a taxa anual. 
 
10. Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa 
de juros é de 5% ao mês e o prazo de 8 meses, calcular o valor dos juros. 
 
 
 
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Capítulo 3 
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
É aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros a-
cumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização, o valor dos juros 
cresce em função do tempo. 
 
3.1 Montante e Valor Futuro 
O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a 
soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo 
da aplicação ou da dívida. 
 
EXEMPLO: Consideramos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da ca-
derneta de poupança tinha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. 
Se uma pessoa depositou R$ 100,00 no dia 01 de janeiro de 1994, poderíamos montar 
uma tabela para obter o resultado acumulado ao final dos 5 meses. 
 
MÊS DATA 
VALOR 
PRESENTE 
(PV) 
JUROS 
MONTANTE 
(FV) 
0 01/01/1994 R$ 100,00 0 R$ 100,00 
1 01/02/1994 R$ 100,00 100 x 0,50 =R$ 50,00 R$ 150,00 
2 01/03/1994 R$ 150,00 150 x 0,5 =R$ 75,00 R$ 225,00 
3 01/04/1994 R$ 225,00 225 x 0,5 =R$ 112,50 R$ 337,50 
4 01/05/1994 R$ 375,50 337,50 x 0,5 = R$ 168,75 R$ 506,25 
5 01/06/1994 R$ 506,25 506,25 x 0,5 = R$ 253,13 R$ 759,38 
 
Observando o quadro, os juros foram calculados sobre os valores presentes nos iní-
cios dos meses que correspondiam aos montantes finais dos meses anteriores. Com 
isso, definimos juros compostos, como: 
 
 
 
 
 
 
A situação apresentada acima, pode ser descrita com uma fórmula matemática: 
 
 
 
 
Onde: FV = montante, PV = valor presente, i = taxa de juros e n = número de períodos 
(parcelas). 
 
 
JUROS COMPOSTOS SÃO JUROS 
SOBRE JUROS 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛 
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EXEMPLOS: Calcular o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, pelo prazo de 6 
meses, à taxa de 3% a.m. 
 
DADOS: PV = 15000 
 n = 6 meses 
 i = 0,03 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛 
 
𝐹𝑉 = 15000. (1 + 0,03)6 
 
𝐹𝑉 = 𝑅$ 17.910,78 
 
No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00 
referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, corres-
pondentes a uma taxa de 4% a.m. Qual o valor emprestado? 
 
DADOS: FV = 200000 
 n = 2 anos = 24 meses 
 i = 0,04 a.m 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. 1 + 𝑖 𝑛 → 𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
 1 + 𝑖 𝑛
 
 
𝑃𝑉 =
200000
(1 + 0,04)24
→
200000
1,0424
→
200000
2,5633
= 78024,42 
 
𝑃𝑉 = 𝑅$ 7.824,42 
 
A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.000,00, 
sem entrada para pagamento em única prestação de R$ 22.753,61 no final de 8 me-
ses. Qual a taxa de juros mensal cobrada pela loja? 
 
DADOS: FV = 22753,61 
 PV = 16000 
 n = 8 meses 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛 
 
22753,61 = 16000. (1 + 𝑖)8 
 
22753,61
16000
= (1 + 𝑖)8 
 
1,42210 = (1 + 𝑖)8 
 
A solução matemática dessa expressão pode ser obtida facilmente com o auxílio de 
uma calculadora que possua a função potência 𝑦𝑥 . Como se trata de uma igualdade, o 
valor de 𝑖 pode ser obtido extraindo-se a raiz oitava de ambos os lados (que é o mes-
mo que elevar ambos os membros ao expoente 1 8 ), logo: 
 
( 1 + 𝑖 8)1/8 = (1,42210)1/8 
 
1 + 𝑖 = (1,42210)1/8 = 1,045 
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𝑖 = 1,045 − 1 = 0,045 
 
𝑖 = 4,5% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
 
Em que prazo um empréstimo de R$ 30.000,00 pode ser quitado em um único paga-
mento de R$ 51.310,18, sabendo-se que a taxa de juros contratada é de 5% a.m? 
 
DADOS: FV = 51310,18 
 PV = 30000 
 i = 0,05 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛 → (1 + 𝑖)𝑛 =
𝐹𝑉
𝑃𝑉
 
 
(1,05)𝑛 =
51310,18
30000
= 1,71034 
 
A solução direta deste problema somente pode ser obtida através de logaritmo. 
 
(1,05)𝑛 = 1,71034 
 
𝑛 × ln(1,05) = ln(1,71034) 
 
𝑛 × 0,04879 = 0,53669 
 
𝑛 =
0,53669
0,04879
= 11 
 
Logo, é necessário 11 meses. 
 
3.1.1 Exercícios Propostos 
1. Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 10.000,00, pelo pra-
zo de 7 meses, a uma taxa de 3,387% a.m. 
 
2. A que taxa um capital de R$ 43.000,00 pode ser dobrado em 18 meses? 
 
3. Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 10.000,00 no seu vencimento, 
que ocorrerá dentro de três meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 
40% a.a, determinar seu valor presente. 
 
4. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é 
de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$ 20.000,00 será 
resgatado por R$ 36.018,23. 
 
3.2 Leitura Complementar 
Diz-se que a taxa mensal 𝑖𝑚 é equivalente à taxa anual 𝑖𝑎 quando: 
𝑃𝑉. 1 + 𝑖𝑎 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖𝑚 )
12 
Dada a taxa mensal determina-se a taxa anual e vice-versa. 
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EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
1. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital 
de R$ 100.000,00 à taxa de 3,75% a.m. 
 
2. Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de 
dois anos. Calcular a taxa mensal desse empréstimo. 
 
3. Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% a.a, para ter R$ 1.000.000,00 no final 
de 19 meses? 
 
4. Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 700.000,00 que será liquidado, de uma 
só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, 
calcule o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado. 
 
5. Em que prazo uma aplicação de R$ 374.938,00, à taxa de 3,25% a.m, gera um res-
gate de R$ 500.000,00. 
 
6. A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, 
pelo dobro do seu valor? 
 
7. A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% a.a, gerou um montante de R$ 
820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros. 
 
8. Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% 
a.m., ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo a juros simples de 5% a.m? 
 
9. No fim de quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% a.m, quadruplica o seu 
valor: 
a) no regime de capitalização composta; 
b) no regime de capitalização simples. 
 
10. A aplicação de R$ 400.000,00 proporcionou um resgate de R$ 610.461,56 no final 
de seis meses. Determine a taxa anual dessa operação. 
 
 
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10 
Capítulo 4 
 
DESCONTOS 
 
A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o va-
lor futuro (FV) de um título e se quer determinar o seu valor atual – presente (PV). O 
desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um título e 
o seu valor presente na data da operação, ou seja: D = FV – PV, onde D representa o 
valor monetário do desconto. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto tam-
bém está associado a uma taxa e a determinado período de tempo. 
Embora seja freqüente a confusão entre juros e desconto, trata-se de dois critérios 
diferentes, claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa 
referente ao período da operação incide sobre o capital inicial, no desconto a taxa do 
período incide sobre o seu montante (FV). 
De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em simples e 
compostos, sendo o simples também conhecido como bancário ou comercial. 
 
4.1 Desconto Simples (Bancário ou 
Comercial) 
É aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o montante (FV). É utilizado 
no Brasil de maneira ampla e generalizada, principalmente nas chamadas operações 
de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo por essa razão, também 
conhecido por desconto bancário ou comercial. 
 
 
 
 
Onde 𝑑 representa a taxa de desconto e 𝑛 o prazo. E para se obter o valor presente, 
também chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do mon-tante do título: 
 
 
 
 
EXEMPLOS: Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 2.000,00, com ven-
cimento para 90 dias, à taxa de 2,5% a.m? 
 
DADOS: FV = 2000 
 n = 90 dias = 3 meses 
 d = 2,5% a.m 
 
𝐷 = 2000.0,025.3 
 
𝐷 = 𝑅$ 150,00 
 
𝐷 = 𝐹𝑉 × 𝑑 × 𝑛 
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 − 𝐷 
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O desconto de uma duplicata gerou um crédito de R$ 70.190,00 na conta de uma em-
presa. Sabendo-se que esse título te um prazo a decorrer de 37 dias até o seu venci-
mento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% a.m nessa operação, cal-
cular o valor da duplicata. 
 
DADOS: PV = 70190 
 d = 5,2% a.m 
 n = 37 dias 
 FV = ? 
 
𝐷 = 𝐹𝑉 × 𝑑 × 𝑛 
 
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉 
 
Juntando as equações, temos: 
 
𝐹𝑉 − 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 × 𝑑 × 𝑛 → 𝐹𝑉 − 𝐹𝑉 × 𝑑 × 𝑛 = 𝑃𝑉 
 
𝐹𝑉 1 − 𝑑 × 𝑛 = 𝑃𝑉 → 𝐹𝑉 =
𝑃𝑉
1 − 𝑑. 𝑛
 
 
𝐹𝑉 =
70190
 1 −
0,052
30 . 37 
=
70190
0,93587
= 75000 
 
𝐹𝑉 = 𝑅$ 75.000,00 
 
 
4.1.1 Exercícios Propostos 
1. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de 
resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor presente é de R$ 880,00? 
 
2. Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um 
crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo ban-
co é de 3,2% a.m, determinar o prazo de vencimento da duplicata. 
 
3. Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao des-
conto de uma duplicata no valor de R$ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se 
que o Banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% a.m? 
 
4. Um duplicata de R$ 70.000,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi 
descontada por um banco à taxa de 2,7% a.m. Calcule o valor líquido entregue ou 
creditado ao cliente. 
 
5. Determinar o valor nominal ou de face de um título, com 144 dias para o seu venci-
mento, que descontado à taxa de 48% a.a proporcionou um valor presente (valor líqui-
do creditado) de R$ 38.784,00. 
 
 
 
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4.2 Desconto Composto 
É aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante (FV), ou valor futuro, 
deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. É obtido 
em função de cálculos exponenciais e praticamente não é utilizado em nenhum país 
do mundo. Raramente se toma conhecimento de um caso em que esse critério tenha 
sido aplicado. Tem importância meramente teórica. 
No caso do desconto simples, a taxa de desconto incide somente sobre o valor futuro 
dos títulos, tantas vezes forem os períodos unitários. 
Já no caso do desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de desconto inci-
de, no primeiro período, sobre o valor futuro do título; no segundo período, sobre o 
valor futuro do título menos o valor do desconto correspondente ao primeiro período; 
no terceiro período, sobre o valor futuro do título menos os valores dos descontos refe-
rentes ao primeiro e ao segundo período, e assim sucessivamente até o enésimo perí-
odo. Assim: 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: para os casos em que a taxa de desconto e o prazo não estiverem na 
mesma unidade de tempo, é sempre mais fácil alterar o prazo. 
 
EXEMPLOS: Uma duplicata no valor de R$ 28.800,00, com 120 dias para o seu ven-
cimento, é descontada a uma taxa de 2,5% a.m, de acordo com o conceito de descon-
to composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto conce-
dido. 
 
DADOS: FV = 28.800,00 
 n = 120 dias = 4 meses 
 d = 2,5% a.m 
 PV = ? 
 D = ? 
 
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉. 1 − 𝑑 𝑛 → 𝑃𝑉 = 28800. 1 − 0,025 4 = 26.026,21 
 
𝑃𝑉 = 𝑅$ 26.026,61 
 
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉 
 
𝐷 = 28800 − 26026,21 
 
𝐷 = 𝑅$ 2.773,79 
 
 
Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% a.m, produzindo um 
desconto no valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título. 
 
DADOS: D = 1379,77 
 d = 3% a.m 
 n = 90 dias = 3 meses 
 FV = ? 
 
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉 
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉. (1 − 𝑑)𝑛 
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13 
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉. (1 − 𝑑)𝑛 
 
Juntando as duas, temos: 
 
𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝐹𝑉. 1 − 𝑑 𝑛 
 
𝐷 = 𝐹𝑉. [1 − 1 − 𝑑 𝑛 ] 
 
1379,77 = 𝐹𝑉. 1 − 1 − 0,03 3 = 𝐹𝑉. 0,087327 
 
𝐷 =
1379,77
0,087327
= 15800 
 
𝐷 = 𝑅$ 15.800,00 
 
 
4.2.1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Uma empresa descontou um título no valor de R$ 67.300,00, com 51 dias de prazo, 
recebendo um crédito em conta no valor de R$ 61.680,12. Calcular a taxa mensal de 
desconto cobrada pelo Banco. 
 
2. Calcular o valor presente de um título de valor de resgate igual a R$ 90.000,00, com 
4 meses a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3,25% a.m. 
 
 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
1. Calcular o valor do desconto de um título de R$ 100.000,00, com 115 dias a vencer, 
sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% a.m. 
 
2. Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, com 150 
dias a vencer, gerou um crédito de R$ 22.075,06 na conta do cliente, determinar a 
taxa mensal de desconto. 
 
3. Um título de R$ 140.000,00 foi descontado a 33% a.a, 5 meses antes do seu ven-
cimento. Determinar o valor líquido entregue ao portador. 
 
4. Sendo de R$ 3.419,44 o valor do desconto, uma duplicata, descontada à taxa de 
3,55% a.m, 120 dias antes do seu vencimento calcular o valor creditado na conta do 
cliente. 
 
5. Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 
9.800,00, que sofreu um desconto de R$ 548,50 à taxa de 32% a.a. 
 
6. Uma empresa desconta uma duplicata no valor de R$ 44.000,00 e com 60 dias de 
prazo até o vencimento. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto de 
5,3% a.m, calcular o valor creditado na conta dessa empresa e a taxa efetiva de juros, 
calculada de acordo com o regime de capitalização composta, cobrada nessa opera-
ção. 
 
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14 
7. Sabendo-se que o valor líquido creditado na conta de um cliente foi de R$ 
57.170,24, correspondente ao desconto de um título de R$ 66.000,00, à taxa de 5% 
a.m, determinar o prazo a decorrer até o vencimento desse título. 
 
8. Calcular a que taxa mensal um título de R$ 100.000,00, com 75 dias a vencer, gera 
um desconto no valor de R$ 11.106,31. 
 
9. Calcular o valor do desconto concedido num Certificado de Depósito Bancário, de 
valor de resgate igual a R$ 200.000,00, sabendo-se que faltam 90 dias para o seu 
vencimento e que a taxa de desconto é de 3,8% a.m. 
 
 
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15 
Capítulo 5 
 
SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
5.1 Noções sobre Fluxo de Caixa 
Fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou de paga-
mentos, em dinheiro, previstos para determinado período de tempo. 
A fim de facilitar o entendimento dos problemas a serem apresentados, será utilizada a 
representação gráfica do fluxo de caixa, como mostra o exemplo a seguir, corresponde 
a um fluxo mensal. 
 
Recebimentos previstos Pagamentos previstos 
Dia Valor (R$) Dia Valor (R$) 
05 10.000,00 09 12.000,00 
11 28.000,00 14 14.000,00 
17 9.000,00 17 7.000,00 
25 16.000,00 28 20.000,00 
 
 
Representação gráfica do fluxo mensal 
 
 28.000 
 16.000 
 10.000 9.000 
 
 
 5 9 11 14 17 25 28 
 12.000 7.000 
 14.000 20.000 
 
No eixo horizontal é representado o tempo, subdividido em períodos unitários (dia, 
mês, trimestre, ano, etc.), orientados da esquerda para a direita, de tal forma que to-
dos os pontos são considerados como momentos futuros em relação ao ponto “zero” 
(inicio do eixo). Os recebimentos (entrada de caixa) são representados na parte supe-
rior do eixo horizontal, indicados por setas orientadas para cima; os pagamentos (saí-
da de caixa) são representados na parte inferior do eixo, representados por setas ori-
entadas para baixo. Obviamente, se houver pagamentos e recebimentos num mesmo 
ponto, poder-se-á representar somente a diferença entre os dois. Assim, no exemplo 
dado,no dia 17 as duas setas, orientadas em sentidos opostos (entrada e saída), po-
deriam ser substituídas por uma orientada para cima, indicando o saldo a receber de 
R$ 2.000,00. Os recebimentos estão associados ao sinal (+) e os pagamentos, ao si-
nal (-). 
A representação gráfica do fluxo de caixa é feita de acordo com os dados apresenta-
dos em cada caso, sendo as setas orientadas em função da interpretação do enuncia-
do do problema. 
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16 
Fluxo de caixa é um diagrama, largamente, empregado na resolução de problemas de 
Matemática Financeira. É uma ótima ferramenta para auxiliar o administrador de de-
terminada empresa nas tomadas de decisões. Através deste gráfico que os custos 
fixos e variáveis ficam evidentes, permitindo-se, desta forma, um controle efetivo sobre 
determinadas questões empresarias. O fluxo de caixa pode, também, ser feito através 
de planilhas no EXCEL. 
 
 
 
 
 
Seria um erro, acima de tudo, considerar que o fluxo de caixa possa ser utilizado ape-
nas por empresas. Atualmente, cada vez mais pessoas físicas se interessam por uma 
organização financeira mais eficiente. Existem hoje no mercado diferentes tipos de 
ferramentas que tem por objetivo facilitar a confecção do fluxo de caixa. Algumas em-
presas oferecem inclusive ferramentas específicas para pessoas físicas e jurídicas, 
além de excelentes manuais de funcionamento e materiais didáticos. 
 
EXEMPLO: Um banco concede um empréstimo de R$ 40.000,00 a um cliente, para 
pagamente em 6 prestações iguais de R$ 9.000,00. Represente graficamente o fluxo 
de caixa. 
 40.000,00 
 
 
 
 1 2 3 4 5 6 
 0 
 
 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 
 
 
5.1.1 EXERCÍCIO PROPOSTO 
1. O Sr. Miguel resolve aplicar, em uma instituição financeira, 5 parcelas iguais, men-
sais e consecutivas de R$ 4.000,00. Sabendo-se que a primeira parcela será efetivada 
hoje e o Sr. Miguel deseja saber o valor do montante no final do 5º mês, representar o 
fluxo de caixa correspondente. 
 
5.2 Séries de Pagamentos 
As séries de pagamentos podem ser definidas como uma sucessão de pagamentos ou 
recebimentos 𝑅1 ,𝑅2 ⋯𝑅𝑛 , e com vencimentos sucessivos 𝑛1 ,𝑛2 ⋯𝑛𝑛 . Dentro da ma-
temática financeira tradicional, as séries de pagamentos são objeto de uma classifica-
ção muito ampla e complexa, que em vez de facilitar ao estudante, normalmente o 
confunde. Para facilitar, vamos mostrar as séries de pagamentos com as seguintes 
características: 
 
a) A diferença de prazo entre cada termo e o seguinte é constante, ou seja, os 
vencimentos dos termos, a partir do primeiro, variam de 30 em 30 dias, de 60 
em 60 dias, de 180 em 180 dias e assim por diante. 
 Um modelo de fluxo de caixa – planilha no EXCEL, você encontra no 
site: br.geocities.com/guifisica_rs/finan 
 
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17 
b) O número de termos é finito; não vamos tratar, neste curso das rendas perpé-
tuas, cujo número de termos é infinito. 
c) Os valores dos termos que compõem a série podem ser: 
- constantes (iguais e uniformes); 
- variáveis (de forma aleatória) 
d) Os vencimentos dos termos de uma série de pagamentos podem ocorrer no fi-
nal de cada período (termos vencidos ou postecipados) ou no início (termos 
antecipados), o entendimento desta classificação, como veremos, é de funda-
mental importância. 
 
Com base nessas características, vamos desenvolver séries de pagamentos de acor-
do com a seguinte classificação: 
 
1. série de pagamentos iguais com termos vencidos; 
2. série de pagamentos iguais com termos antecipados; 
3. série de pagamentos variáveis com termos vencidos; 
4. série de pagamentos variáveis com termos antecipados. 
 
As séries de pagamentos se baseiam no conceito de capitalização composta. 
Neste curso, estudaremos apenas as séries de pagamentos iguais postecipadas e 
antecipadas. 
 
5.3 Séries de Pagamentos Iguais 
com Termos Vencidos (POSTECI-
PADOS) 
Cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais será representado por R; 
as demais variáveis serão representadas pelos símbolos já conhecidos: 
 
i = taxa de juros 
n = número de prestações (períodos) 
PV = valor presente 
FV = montante ou valor futuro 
 
Para cálculos do montante, em séries de pagamentos postecipados utilizamos a fór-
mula: 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: Determinar o valor do montante, no final do 5º mês, de uma série de 5 
aplicações mensais e consecutivas, no valor de R$ 100,00 cada uma, a taxa de 4% 
a.m, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a 
30 dias da data tomada como início, e que a última, no final do 5º mês, é coincidente 
com o momento em que é pedido o montante. 
 
𝐹𝑉 = 100 ×
(1 + 0,04)5 − 1
0,04
= 100 ×
1,045 − 1
0,04
= 100 × 5,4163 
 
𝐹𝑉 = 𝑅 ×
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
 
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18 
𝐹𝑉 = 𝑅$ 541,63 
 
Logo, o montante de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, de R$ 100,00 cada, 
à taxa de 4% a.m, com séries de pagamentos postecipadas, é de R$ 541,63. 
 
Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por mês, durante 
esse prazo, em um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 3% a.m? 
 
n = 48 prestações 
𝐹𝑉 = 500 ×
(1 + 0,03)48 − 1
0,03
= 500 ×
(1,03)48 − 1
0,03
= 500 × 104,408396 
 
𝐹𝑉 = 𝑅$ 52.204,20 
 
Quanto uma pessoa terá que aplicar mensalmente num “Fundo de Renda Fixa”, du-
rante 5 anos, para que possa resgatar R$ 200.000,00 no final de 60 meses, sabendo 
que o fundo proporciona um rendimento de 2% a.m? 
 
200000 = 𝑅 ×
(1 + 0,02)60 − 1
0,02
 
 
200000 = 𝑅 × 114,0515 
 
𝑅 = 1.753,59 
 
O fator de acumulação de capital pode ser calculado por: 
 
 
 
 
 
 
5.3.1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por mês, duran-
te esse prazo, em um Fundo de Renda Fixa, à taxa de 3% a.m? 
 
2. Quantas prestações de R$ 4.000,00 devo aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao 
trimestre, para acumular um montante de R$ 100.516,08 no final de certo prazo? E 
qual esse prazo? 
 
3. A que taxa devo aplicar R$ 15.036,28 por ano, para que eu tenha um montante de 
R$ 500.000,00 no final de 10 anos? 
 
4. Qual valor que, financiado à taxa de 4% a.m, pode ser pago ou amortizado em 5 
prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 100,00 cada uma? 
 
5. Qual o valor da aplicação trimestral necessária para obter um montante de R$ 
1.000.000,00, no final de 7 anos, à taxa de 6% ao trimestre? 
 
𝐹𝐴𝐶 = 
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
 
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19 
5.4 Séries de Pagamentos Iguais, 
com Termos Antecipados 
 
Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no iní-
cio de cada período unitário. Assim, a primeira prestação é sempre paga ou recebida 
no momento “zero”, ou seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento ou 
de qualquer outra prestação que implique pagamentos ou recebimentos de presta-
ções. 
Para este tipo de séries, temos a fórmula: 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no 
final de 36 meses, um montante de R$ 300.000,00, sabendo que o rendimento firmado 
é de 34,489% a.a, e que as prestações são iguais e consecutivas, e em número de 
36? 
 
300000 = 𝑅. (1 +
0,34489
12
). 
(1 +
0,34489
12
)36 − 1
0,34489
12
 
 
300000 = 𝑅. 1,028.59,31759 
 
𝑅 =
300000
61,02
 
 
𝑅 = 𝑅$ 4.916,42 
 
Quantas aplicações mensais de R$ 1.000,00 são necessárias para se obter um mon-
tante de R$ 33.426,47, sabendo-se que a taxa é de 3% a.m, e que a primeira aplica-
ção é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resgate daque-
le valor? 
 
33426,47 = 1000. 1 + 0,03 . 
(1 + 0,03)𝑛 − 1
0,03
 
 
33426,47 = 1000.1,03. 
1,03𝑛 − 1
0,03
 
 
33426,47 = 1030. 
1,03𝑛 − 1
0,03
 
 
33426,47
1030
. 0,03 + 1 = 1,03𝑛 
 
1,97358 = 1,03𝑛 → log 1,97358 = 𝑛. log 1,03 
 
𝐹𝑉 = 𝑅. 1 + 𝑖 . 
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
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20 
0,295256 = 𝑛. 0,012837 
 
𝑛 = 23 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 
 
5.4.1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Qual o valor da aplicação trimestral necessária para obter um montante de R$ 
1.000.000,00, no final de 7 anos, à taxa de 6% ao trimestre? 
 
2. Calcular o montante, no final do 8º mês, resultante da aplicação de 8 parcelas men-
sais e consecutivas, à taxa de 2,25% a.m, sendo as 4 primeiras de R$ 12.000,00 cada 
uma e as 4 restantes de R$ 18.000,00 cada uma, sabendo-se que se trata de uma 
série de pagamentos com termos antecipados. 
 
3. Um terreno é colocado à venda por R$ 180.000,00 a vista ou em 10 prestações bi-
mestrais, sendo a primeira prestação paga na data do contrato. Determinar o valor de 
cada parcela, sabendo-se que o proprietário está cobrando uma taxa de 34% a.a pelo 
financiamento. 
 
5.5 Séries Diferidas 
 
São aquelas em que o primeiro pagamento é feito depois de um prazo contado da 
época zero até o início dos pagamentos, que podem ser postecipados ou antecipados. 
 
5.6 Séries Perpétuas 
 
São aquelas cujo prazo é ilimitado (infinito), não tem previsão de terminar. O valor fu-
turo não pode ser calculado, pois o número de pagamentos não é definido. 
 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
1. Calcular o montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas 
iguais e mensais de R$ 1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos vencidos, 
sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% a.m. 
 
2. Sabendo-se que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais de R$ 
2.500,00 cada uma, e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4,75% a.m, 
calcular o valor líquido a ser entregue ou creditado ao financiado: 
a) de acordo com o conceito de termos postecipados; 
b) de acordo com o conceito de termos antecipados. 
 
3. Calcular, para as taxas de 2%, 3%, 4% e 5% a.m, quais os montantes obtidos no 
final de 5 anos pela aplicação de 60 parcelas iguais de R$ 2.000,00, de acordo com o 
conceito de termos postecipados. 
 
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21 
4. Um veículo “zero km” foi adquirido por R$ 57.876,99, sendo 70% financiado em 12 
parcelas iguais. Sabendo-se que a financeira cobra uma taxa de 4,5% a.m, calcular o 
valor da prestação. 
 
5. Em quantos pagamentos trimestrais de R$ 5.700,25 podemos liquidar um financia-
mento de R$ 50.000,00, à taxa de 3,228% a.m, de acordo com o conceito de termos 
vencidos ou postecipados? 
 
6. Quanto devo aplicar mensalmente, durante 15 meses, à taxa de 3,25% ao mês, 
para que tenha R$ 150.000,00 no final do 15º mês, dentro dos conceitos de termos 
antecipados e postecipados? 
 
7. No final de quantos meses terei o montante de R$ 124.892,78, aplicando R$ 400,00 
por mês, a uma taxa mensal de 2%, de acordo com o conceito de termos vencidos? 
 
8. Em quantas prestações anuais de R$ 20.000,00 poderei amortizar uma dívida de 
R$ 48.711,40, à taxa de 2,21045% a.m? 
 
9. Um veículo é financiado para pagamentos em 36 prestações mensais, à taxa de 
4,5% a.m. Sabendo-se que o valor financiado foi de R$ 245.000,00, calcular o valor 
das prestações: 
a) de acordo com o conceito de termos postecipados; 
b) de acordo com o conceito de termos antecipados. 
 
10. Qual o valor financiado que pode ser liquidado em 18 prestações mensais, à taxa 
de 4% a.m, sendo as 9 primeiras prestações de R$ 4.000,00 e as 9 restantes de R$ 
3.000,00. 
 
11. Um empréstimo de R$ 50.000,00 deve ser liquidado em 12 prestações iguais. Sa-
bendo-se que a primeira prestação vence no final do 4º mês e que a taxa de juros co-
brada pela instituição financeira é de 5% a.m, determinar o valor da prestação. 
 
 
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22 
Capítulo 6 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS TAXAS DE JU-
ROS 
 
No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita 
confusão quanto aos conceitos de taxas de juros, principalmente no que se refere às 
taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem 
dificultado o fechamento de negócios pela conseqüente falta de entendimento entre as 
partes. 
 
6.1 Conceito e Classificação 
A taxa de juros pode ser definida como a relação entre os juros pagos (ou recebidos) 
no final do período e o capital inicialmente tomado (ou aplicado). Assim, se uma pes-
soa aplica R$ 1.000,00 e recebe R$ 1.300,00 no final de certo período, a taxa de juros 
é de 30% nesse período, ou seja , é a relação entre os juros de R$ 300,00 recebidos 
no vencimento do prazo combinado, e o capital de R$ 1.000,00 inicialmente aplicado. 
 
As taxa de juros podem ser classificadas: 
a) quanto ao regime de capitalização: simples (ou linear) e composto (ou exponencial). 
b) quanto ao valor do capital inicial tomado como base de cálculo: nominal, efetiva e 
real. 
 
6.1.1 Classificação Quanto ao Regime 
de Capitalização 
Como dito anteriormente, as taxas de juros quanto ao seu regime de capitalização 
podem ser simples ou compostas. 
A taxa de juros é simples quando o valor dos juros é resultante da sua incidência so-
mente sobre o capital inicial, ou seja, a taxa não incide sobre o valor dos juros acumu-
lados periodicamente. 
 
EXEMPLO: Seja um capital de R$ 100.000,00 aplicado por 6 meses, à taxa de 4% ao 
mês, monte uma tabela mostrando a evolução da aplicação para juros simples e com-
postos. 
 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: 
 
𝐽 = 𝑃𝑉. 𝑖. 𝑛 
 
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23 
Como vimos em juro simples, o valor do juro para cada parcela será sempre o mesmo. 
Então, precisamos calcular apenas para n = 1. Lembrando que na capitalização sim-
ples, o juro incide apenas sobre o capital aplicado. 
 
JURO: 𝐽 = 100000.0,04.1 = 4000 
 
JURO FINAL: 𝐽 = 100000.0,4.6 = 24000 
 
N 
SALDO 
INICIAL 
JUROS 
JUROS 
ACUMULADOS 
SALDO 
FINAL 
1 R$ 100.000,00 R$ 4.000,00 R$ 4.000,00 R$ 104.000,00 
2 R$ 104.000,00 R$ 4.000,00 R$ 8.000,00 R$ 108.000,00 
3 R$ 108.000,00 R$ 4.000,00 R$ 12.000,00 R$ 112.000,00 
4 R$ 112.000,00 R$ 4.000,00 R$ 16.000,00 R$ 116.000,00 
5 R$ 116.000,00 R$ 4.000,00 R$ 20.000,00 R$ 120.000,00 
6 R$ 120.000,00 R$ 4.000,00 R$ 24.000,00 R$ 124.000,00 
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛 
𝐹𝑉 = 100000. (1,04)6 = 100000.1,26532 
 
𝐹𝑉 = 𝑅$ 126.532,00 
 
𝐽 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉 = 126532 − 100000 
 
𝐽 = 𝑅$ 26.532,00 
 
A taxa de juros é dita composta (ou exponencial) quando o valor total dos juros é re-
sultante da sua incidência sobre o capital inicial e também sobre o valor dos juros a-
cumulados periodicamente. Assim, temos: 
 
N 
SALDO 
INICIAL 
JUROS 
JUROS 
ACUMULADOS 
SALDO 
FINAL 
1 R$ 100.000,00 R$ 4.000,00 R$ 4.000,00 R$ 104.000,00 
2 R$ 104.000,00 R$ 4.160,00 R$ 8.160,00 R$ 108.160,00 
3 R$ 108.160,00 R$ 4.326,00 R$ 12.486,00 R$ 112.486,00 
4 R$ 112.486,00 R$ 4.500,00 R$ 16.986,00 R$ 116.986,00 
5 R$ 116.986,00 R$ 4.679,00 R$ 21.665,00 R$ 121.665,00 
6 R$ 121.665,00 R$ 4.867,00 R$ 26.532,00 R$ 126.532,00 
 
Como visto no capítulo 3, a capitalização composta é juros sobre juros. Sempre calcu-
lamos o juros da parcela seguinte no montante da parcela anterior e assim sucessiva-
mente. 
 
6.1.2 Taxa Nominal 
A palavra nominal, no mundo financeiro, diz respeito ao valor monetário ou à taxa de 
juro escrita em um título de crédito ou em um contrato qualquer. Assim, se uma dupli-
cata for emitida por R$ 10.000,00, diz-se que o seu valor nominal é de R$ 10.000,00 
porque esse é o valor que está escrito no título. Da mesma forma, se em um título de 
crédito constar que o mesmo paga juros de 5% ao mês, essa é a taxa nominal. 
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24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1.3 Taxa Efetiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1.4 Taxa Real 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
É A TAXA CALCULADA COM BASE NO VALOR NOMINAL DA APLICAÇÃO OU DO EM-
PRÉSTIMO, OU SEJA, COM BASE NO VALOR EXPLICITADO NO TÍTULO OU NO CONTRA-
TO; CASO ELA SEJA CONHECIDA, PODEMOS AFIRMARQUE É A TAXA QUE INCIDE SOBRE 
O VALOR NOMINAL DA APLICAÇÃO OU DO EMPRÉSTIMO. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 =
𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 
É A TAXA CALCULADA COM BASE NO VALOR EFETIVAMENTE APLICADO OU EMPRES-
TADO, OU SEJA, O VALOR COLOCADO À DISPOSIÇÃO DO BANCO OU DO CLIENTE NA 
DATA DA APLICAÇÃO OU DO CONTRATO. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 =
𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜
 
É A TAXA CALCULADA COM BASE NO VALOR EFETIVAMENTE APLICADO OU EMPRES-
TADO, CORRIGIDO MONETARIAMENTE PELA INFLAÇÃO DO PERÍODO, CONTADO DESDE 
O DIA DA APLICAÇÃO OU DO EMPRÉSTIMO ATÉ O DIA DO SEU RESGATE OU VENCI-
MENTO. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑅𝑒𝑎𝑙 =
𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑅𝑒𝑎𝑙 =
1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎
1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜
− 1 
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25 
EXEMPLOS: 
Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser liquidado por R$ 
110.000,00 no final de 30 dias. Entretanto, o banco solicita a esse cliente que mante-
nha durante a vida do contrato um saldo médio correspondente a 20% do valor em-
prestado. Supondo que nesse mesmo período a taxa de inflação tivesse sido de 9%, 
calcular as taxas nominal, efetiva e real. 
 
a) TAXA NOMINAL: 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 =
𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 
 
Sabendo que o valor dos juros é dado pela diferença entre o montante (valor de resga-
te) e capital inicial (valor do empréstimo), tem-se: 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 =
110000 − 100000
100000
=
10000
100000
 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 10% 
 
b) TAXA EFETIVA: 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 =
𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜
 
 
Admitindo-se que a empresa tenha sacado R$ 80.000,00 no dia do crédito e deixado 
um saldo de R$ 20.000,00 em conta corrente, tudo se passa como se o valor do em-
préstimo fosse de R$ 80.000,00 e o seu valor de resgate de R$ 90.000,00 (o débito de 
R$ 110.000,00 será completado com os R$ 20.000,00 já existentes na conta da em-
presa). Assim, tem-se: 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 =
90000 − 80000
80000
=
10000
80000
 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 = 12,50% 
 
 
c) TAXA REAL: 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑅𝑒𝑎𝑙 =
𝑗𝑢𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜
 
 
O juro real é obtido pela diferença entre o valor de resgate e o capital inicial corrigido 
pela inflação do período; o capital inicial corrigido é igual ao capital inicial adicionado 
da correção monetária do período. Assim tomando-se como base o capital inicial efeti-
vo de R$ 80.000,00 e o valor de resgate de R$ 90.000,00, temos: 
 
CORREÇÃO MONETÁRIA = 0,09.80000 = 𝑅$ 7.200,00 
 
CAPITAL INICIAL CORRIGIDO = 80000 + 7200 = 𝑅$ 87.200,00 
 
JURO REAL = 90000 − 87200 = 𝑅$ 2.800,00 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑅𝑒𝑎𝑙 =
2800
87200
 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑅𝑒𝑎𝑙 = 3,211% 
 
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26 
As taxas nominal de 10%, efetiva de 12,5% e real de 3,211%, referentes a uma mes-
ma operação financeira, foram calculadas com base em três capitais iniciais distintos, 
ou seja, o valor nominal do empréstimo de R$ 100.000,00, o valor efetivamente do 
empréstimo de R$ 80.000,00 e o valor efetivo corrigido do empréstimo de R$ 
87.200,00. Portanto, as taxas de juros variam em função do capital inicial tomando 
como base de cálculo. 
 
6.2 EXERCÍCIO PROPOSTO 
Um agiota empresta R$ 20.000,00 para receber R$ 30.000,00 no final de 6 meses. 
Entretanto, no ato, paga a um intermediário uma comissão de 5% sobre o valor em-
prestado, ou seja, R$ 1.000,00. Admitindo-se que a inflação no período corresponden-
te ao prazo do empréstimo tenha sido de 25%, calcular as taxas nominal, efetiva e real 
dessa operação, referente ao período de 6 meses, do ponto de vista do agiota. 
 
6.3 Juros Pagos Antecipadamente 
É muito comum, em determinadas operações de empréstimo ou financiamento, a co-
brança “antecipada de juros”. A operação típica, comumente utilizada em nosso mer-
cado, é a seguinte: 
 
Uma pessoa solicita um empréstimo de R$ 10.000,00 a um banco que cobra juros 
antecipados de 4% ao mês. Sendo o prazo de três meses, o banco desconta juros 
correspondentes a 12% do valor pedido, entregando ao solicitante um valor líquido de 
R$ 8.800,00. 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 =
𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 =
1200
8800
= 0,13636 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 = 13,636% 
 
Neste exemplo, o valor efetivamente emprestado é de R$ 8.800,00 e a taxa de juros, 
para o período de três meses é 13,636%. 
 
 
 
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27 
Capítulo 7 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 
Neste capítulo, iremos calcular apenas os sistemas de amortização mais utilizados no 
Brasil, ou seja, o Sistema Francês, o Sistema SAC e o Sistema Misto. Os outros serão 
apenas para complementar o aprendizado. 
 
7.1 Conceito 
Todo empréstimo que é contraído deve ser integralmente restituído, isto é, o principal 
acrescido dos juros contratado. 
Considerando a duração do período do empréstimo, tempo entre a data da contrata-
ção da divida e o pagamento integral do débito, podemos distinguir dois tipos de em-
préstimos. 
 
7.2 Empréstimos a Curto Prazo 
Neste tipo de empréstimo geralmente é usado Juro Simples. 
Podemos citar três modalidades: 
a) O principal e os juros correspondentes são pagos no final do período do em-
préstimo. 
b) Os juros são cobrados antecipadamente sobre o principal. No final do período 
do empréstimo, o principal é integralmente restituído. 
c) Pouco utilizada na prática financeira, mas muito usado em operações entre 
pessoas físicas. O débito é pago por meio de prestações iguais, obtidas divi-
dindo-se o principal mais os juros (Valor Futuro) pelo período do empréstimo. 
 
7.3 Empréstimo a Longo Prazo 
Nos empréstimos a longo prazo o regime adotado é os juros compostos. Os sistemas 
mais utilizados são: 
a) Sistema Francês (Price) 
b) Sistema SAC 
c) Sistema Misto 
d) Sistema Americano 
 
OBS: O sistema Price é um caso particular do Sistema Francês, com taxa nominal 
anual, capitalizada mensalmente. Assim, 36% a.a TP (Tabela Price) significa Sistema 
Francês com taxa de 3% a.m. 
 
 
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28 
7.3.1 Sistema Francês (Price) 
Consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas iguais 
e sucessivas, dentro do conceito de termos vencidos, em que o valor de cada presta-
ção, ou pagamento, é composto por duas parcelas distintas: uma de juros e outra de 
capital (chamada de amortização). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do valor da prestação: 
 
 
 
 
 
Cálculo do Juros: 
 
 
 
Cálculo da Amortização: 
 
 
 
 
Cálculo do Saldo Devedor: 
 
 
 
EXEMPLO: Um financiamento no valor de R$ 12.000,00 é concedido mediante as 
seguintes condições: prestações mensais, prazo de 6 meses, taxa de 5% a.m. Formar 
o Plano Teórico de Amortização. 
 
𝑅 = 12000. 
(1,05)6 . 0,05
(1,05)6 − 1
 = 12000. 
0,067
0,34
 = 12000.0,197 
 
𝑅 = 𝑅$ 2.364,71 
 
Juros 1: 𝐽1 = 12000.0,05 = 𝑅$ 600,00 
 
Amortização 1: 𝐴1 = 2.364,71 − 600 = 𝑅$ 1.764,71 
 
Saldo Devedor 1: 𝑆𝐷1 = 12000 − 1764,71 = 𝑅$ 10.235,29 
 
Juros 2: 𝐽2 = 10235,29.0,05 = 𝑅$ 511,76 
 
É importante observar que o Sistema Francês (ou Tabela Price) não implica 
necessariamente prestações mensais, como geralmente se entende. As pres-
tações podem ser também trimestrais, semestrais ou anuais; basta que sejam 
iguais, periódicas, sucessivas e de termos vencidos. Também é importante 
que se esclareça que a Tabela Price não implica necessariamente taxas de 
juros de 1% a.m (ou de 12% a.a, como normalmente é indicado), podendo ser 
definida para qualquer taxa. 
𝑅 = 𝐹𝑉 
(1 + 𝑖)𝑛 . 𝑖
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
 
 
𝐽 = 𝑆𝐷. 𝑖 
 
𝐴 = 𝑅 − 𝐽 
 
𝑆𝐷 = 𝐹𝑉 − 𝐴 
 
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29 
Amortização2: 𝐴2 = 2364,71 − 511,76 = 𝑅$ 1.852,95 
 
Saldo Devedor 2: 𝑆𝐷2 = 10235,29 − 1852,95 = 𝑅$ 8.382,34 
 
Juros 3: 𝐽3 = 8382,34.0,05 = 𝑅$ 419,12 
 
Amortização 3: 𝐴3 = 2364,71 − 419,12 = 𝑅$ 1.945,59 
 
Saldo Devedor 3: 𝑆𝐷3 = 8382,34 − 1945,59 = 𝑅$ 6.436,75 
 
Juros 4: 𝐽4 = 6436,75.0,05 = 𝑅$ 321,18 
 
Amortização 4: 𝐴4 = 2364,71 − 321,18 = 𝑅$ 2.043,53 
 
Saldo Devedor 4:𝑆𝐷4 = 6436,75 − 2043,53 = 𝑅$ 4.393,22 
 
Juros 5: 𝐽5 = 4393,22.0,05 = 𝑅$ 219,66 
 
Amortização 5: 𝐴5 = 2364,71 − 219,66 = 𝑅$ 2.145,05 
 
Saldo Devedor 5: 𝑆𝐷5 = 4393,22 − 2145,05 = 𝑅$ 2.248,17 
 
Juros 6: 𝐽6 = 2248,17.0,05 = 𝑅$ 112,41 
 
Amortização 6: 𝐴6 = 2364,71 − 112,41 = 𝑅$ 2.252,30 
 
Saldo devedor 6: 𝑆𝐷6 = 2248,17 − 2252,30 = 𝑅$ − 4,13 
 
Esse saldo devedor negativo é por causa dos arredondamentos feitos no decorrer dos 
cálculos. 
 
PLANO TEÓRICO DE AMORTIZAÇÃO TABELA PRICE 
PV -1200 N MENSAL 6 
TAXA I MEN-
SAL 
5% 
6 PRESTAÇÕES MENSAIS TAXA 5% a.m 
N R JUROS AMORTIZAÇÃO SD 
0 
1 R$ 2.364,71 R$ 600,00 R$ 1.764,71 R$ 10.235,29 
2 R$ 2.364,71 R$ 511,76 R$ 1.852,95 R$ 8.382,34 
3 R$ 2.364,71 R$ 419,12 R$ 1.945,59 R$ 6.436,75 
4 R$ 2.364,71 R$ 312,18 R$ 2.043,53 R$ 4.393,22 
5 R$ 2.364,71 R$ 219,66 R$ 2.145,05 R$ 2.248,17 
6 R$ 2.364,71 R$ 112,41 R$ 2.252,30 R$ 0 
 
 
7.3.1.1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Calcular os valores das parcelas de juros e amortização referentes à primeira pres-
tação, de um empréstimo de R$ 8.530,20, à taxa de juros de 3% ao mês, para ser li-
quidado em 10 prestações iguais. Após montar o plano teórico de amortização. 
 
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30 
2. Calcular o saldo devedor de um empréstimo de R$ 100.000,00, feito em 24 presta-
ções mensais e iguais, à taxa de 3,5% ao mês, após o pagamento da 13ª prestação. 
(DICA: faça o plano teórico). 
 
7.3.2 Sistema de Amortização Cons-
tante – SAC 
Consiste em um plano de amortização de uma divida em prestações periódicas, su-
cessivas e decrescentes em progressão aritmética, dentro do conceito de termos ven-
cidos, em que o valor de cada prestação é composto por uma parcela de juros e outra 
parcela de capital (ou amortização). Os valores das prestações são facilmente calcu-
lados. 
A parcela de capital é obtida dividindo-se o valor do empréstimo (ou financiamento) 
pelo número de prestações, enquanto o valor da parcela de juros é determinado multi-
plicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor existente no período imediatamente 
anterior. 
 
Saldo Devedor: 
 
 
 
Onde t é a prestação que queremos conhecer o saldo devedor. 
 
Valor da Prestação: 
 
 
 
 
 
Amortização: 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: Elaborar um plano de pagamento (plano teórico de amortização), com 
base no Sistema de Amortização Constante, correspondente a um empréstimo de R$ 
100.000,00, à taxa de 3% a.m, a ser liquidado em 10 prestações mensais. 
 
Amortização constante: 𝐴 =
100000
10
= 𝑅$ 10.000,00 
 
1ª Prestação: 
Juros1: 𝐽1 = 100000.0,03 = 𝑅$ 3.000,00 
 
𝑅1 = 𝐴 + 𝐽1 = 10000 + 3000 
 
𝑅1 = 𝑅$ 13.000,00 
 
 
 
𝑆𝐷 = 𝐴. (𝑛 − 𝑡) 
 
𝑅 = 𝐴. [1 + 𝑖. 𝑛 − 𝑡 + 1 ] 
 
𝐴 =
𝑃𝑉
𝑛
 
 
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31 
2ª Prestação: 
Juros2: 𝐽2 = 90000.0,03 = 𝑅$ 2.700,00 
 
𝑅2 = 𝐴 + 𝐽2 = 10000 + 2700 
 
𝑅2 = 𝑅$ 12.700,00 
 
3ª Prestação: 
Juros3: 𝐽3 = 80000.0,03 = 𝑅$ 2.400,00 
 
𝑅3 = 𝐴 + 𝐽3 = 10000 + 2400 
 
𝑅3 = 𝑅$ 12.400,00 
 
4ª Prestação: 
Juros4: 𝐽4 = 70000.0,03 = 𝑅$ 2.100,00 
 
𝑅4 = 𝐴 + 𝐽4 = 10000 + 2100 
 
𝑅4 = 𝑅$ 12.100,00 
 
5ª Prestação: 
Juros5: 𝐽5 = 60000.0,03 = 𝑅$ 1.800,00 
 
𝑅5 = 𝐴 + 𝐽5 = 10000 + 1800 
 
𝑅5 = 𝑅$ 11.800,00 
 
6ª Prestação: 
Juros6: 𝐽6 = 50000.0,03 = 𝑅$ 1.500,00 
 
𝑅6 = 𝐴 + 𝐽6 = 10000 + 1500 
 
𝑅6 = 𝑅$ 11.500,00 
 
7ª Prestação: 
Juros7: 𝐽7 = 40000.0,03 = 𝑅$ 1.200,00 
 
𝑅7 = 𝐴 + 𝐽7 = 10000 + 1200 
 
𝑅7 = 𝑅$ 11.200,00 
 
8ª Prestação: 
Juros8: 𝐽8 = 30000.0,03 = 𝑅$ 900,00 
𝑅8 = 𝐴 + 𝐽8 = 10000 + 900 
 
𝑅8 = 𝑅$ 10.900,00 
 
9ª Prestação: 
Juros9: 𝐽9 = 20000.0,03 = 𝑅$ 600,00 
 
𝑅9 = 𝐴 + 𝐽9 = 10000 + 600 
𝑅9 = 𝑅$ 10.600,00 
 
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32 
10ª Prestação: 
Juros10: 𝐽10 = 10000.0,03 = 𝑅$ 300,00 
 
𝑅10 = 𝐴 + 𝐽10 = 10000 + 300 
 
𝑅10 = 𝑅$ 10.300,00 
 
PLANO TEÓRICO DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE 
N R JUROS AMORTIZAÇÃO SD 
0 R$ 100.000,00 
1 R$ 13.000,00 R$ 3.000,00 R$ 10.000,00 R$ 90.000,00 
2 R$ 12.700,00 R$ 2.700,00 R$ 10.000,00 R$ 80.000,00 
3 R$ 12.400,00 R$ 2.400,00 R$ 10.000,00 R$ 70.000,00 
4 R$ 12.100,00 R$ 2.100,00 R$ 10.000,00 R$ 60.000,00 
5 R$ 11.800,00 R$ 1.800,00 R$ 10.000,00 R$ 50.000,00 
6 R$ 11.500,00 R$ 1.500,00 R$ 10.000,00 R$ 40.000,00 
7 R$ 11.200,00 R$ 1.200,00 R$ 10.000,00 R$ 30.000,00 
8 R$ 10.900,00 R$ 900,00 R$ 10.000,00 R$ 20.000,00 
9 R$ 10.600,00 R$ 600,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 
10 R$ 10.300,00 R$ 300,00 R$ 10.000,00 - 
 
 
7.3.2.1 EXERCÍCIO PROPOSTO 
Um apartamento é vendido por R$ 1.500.000,00, sendo R$ 300.000,00 de entrada e o 
restante em 60 prestações mensais, à taxa de 2,5% ao mês, pelo Sistema de Amorti-
zação Constante. Monte o Plano Teórico de Amortização Constante. 
 
7.3.3 Sistema Misto - SAM 
Sistema criado pelo BNH em 1979, e constitui-se num misto entre o Sistema Francês 
e o Sistema SAC, originando-se daí a sua denominação. O SAM é um plano de paga-
mentos composto por prestações cujos valores são resultantes da média aritmética 
dos valores das prestações dos planos SAC e Price, correspondentes aos respectivos 
prazos; os valores das parcelas de amortização e juros resultam da mesma regra. O 
exemplo a seguir facilita o entendimento. 
 
7.3.4 Sistema Americano 
O principal é restituído integralmente no final do prazo. Os juros são simples e incidem 
sobre o principal e é pago, periodicamente. A empresa que assume o empréstimo 
normalmente investe para construir um fundo, a fim de se preparar para a restituição 
do principal, no final da operação. 
 
 
 
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33 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
1. Uma sociedade de crédito imobiliário concede um empréstimo de R$ 2.700.000,00, 
cobrando uma taxa de 1% ao mês. Sabendo-se que o valor da 1ª prestação é de R$ 
42.000,00 e que o sistema de amortização é o SAC, fazer o plano teórico de amortiza-
ção. 
 
2. Uma grande área foi adquirida para ser posteriormente vendida em lotes de R$ 
240.000,00 cada um, a vista, ou em prestações mensais sem entrada. Sabendo-se 
que a taxa de juros utilizada para determinação das prestações é de 2% ao mês, e 
que a empresa loteadora financia tanto pela Tabela Price como pelo Sistema de Amor-
tização Constante (SAC), calcular o valor da 1ª prestação para ambos os planos e o 
da última para o SAC. 
 
3. Montar um Plano Teórico de Amortização de uma dívida de R$ 100.000,00 em 4 
prestações anuais, a uma taxa de 50% a.a, de acordo com a Tabela Price. 
 
4. O Sr. Norivaldo adquire uma casa no valor de R$ 1.800.000,00, pagando R$ 
360.000,00 de entrada. O saldo será financiado pela construtora para pagamento em 
72 prestações mensais, através do Sistema de Amortização Constante (SAC), cobran-
do uma taxa de juros de 2% a.m. Calcule: 
a) o valor da primeira prestação; 
b) o saldo devedor após o pagamento da 44ª prestação. 
c) o valor da parcela de juros correspondente à 9ª prestação. 
 
 
 
 
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LEITURA COMPLEMENTAR 
 
ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE IN-
VESTIMENTO 
 
A avaliação econômica de uma alternativa de investimentos depende de conhecimen-
tos econômicos, contábeis e econômicos financeiros. A medida do fator de risco de um 
empreendimento financeiro é complexa, mas de extrema importância, quando se faz 
uma avaliação econômica. 
A tomada de decisão sobre um projeto financeiro é baseada numa boa análise do em-
preendimento. Esta análise depende da elaboração de fluxos de caixa, da determina-
ção cuidados do custo de oportunidadedo capital comparado ao fator de risco e das 
várias interações entre diversas alternativas de investimento. 
Faremos uma abordagem puramente matemática onde consideramos, unicamente, o 
capital sob forma de moeda e o tempo. Este estudo baseia-se nos conceitos de equi-
valência de capitais já estudos. 
Na análise matemática de várias alternativas, levaremos em conta um elemento de 
comparação, uma taxa i mínima (Taxa Mínima de atratividade) equivalente à rentabili-
dade das aplicações corrente e de pouco risco. 
Em geral, para as pessoas físicas, no caso do Brasil, é comum a Taxa Mínima de Atra-
tividade ser igual à rentabilidade da Caderneta de Poupança. Para as empresas, a 
fixação do TMA é mais complexa: envolve prazo e políticas, na adoção de alternativas. 
Para investimentos de curtíssimo prazo: a compra de um material com desconto, por 
exemplo. Se comprado 6 dias, é adotado a TMA equivalente à remuneração de CDB’s. 
 
Para investimentos de médio prazo (até 6 meses) é adotada a TMA obtida de média 
ponderada dos rendimentos das contas de capital de giro, aplicações de caixa, valori-
zação dos estoques ou taxa de juros embutidas em vendas a prazo. 
Quando os investimentos são de longo prazo, a TMA é geralmente fixada a partir de 
estratégias, previamente, delineadas. 
 
Como exemplo, podemos citar o caso de uma empresa que deseja crescer e tem pa-
trimônio liquido em cerca de 10% a.a, além do compromisso de distribuir dividendos 
na ordem de 1/3 de seus lucros. A TMA deverá ser estabelecida em torno de 15% a.a, 
pois, deste modo, poderá distribuir 5% como dividendos e reinvestir os 10% restantes. 
Os bancos e as instituições financeiras têm, por norma, fixar a TMA a partir do mo-
mento que começam a ter lucro financeiro. A captação de capital é feito a uma deter-
minada taxa, sendo a aplicação a uma taxa maior. Assim, freqüentemente a taxa de 
captação é referencial para a fixação da Taxa Mínima de Atratividade. 
 
 
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Capítulo 8 
 
UTILIZAÇÃO DE CALCULADORAS 
FINANCEIRAS 
Existem no mercado brasileiro várias marcas e modelos de calculadoras financeiras, 
entre as quais as Sharp EL-5102 e EL-735,as Texas BA-II, BA-55 e BA-54, a Dismac, 
a Cássio e as HP 12C, 17B, 18C e 19B. Todas essas calculadoras resolvem direta-
mente, através das teclas financeiras 𝑛 𝑖 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 𝐹𝑉 , os problemas básicos de 
matemática financeira que envolvem pagamento único e séries de pagamentos iguais, 
calculados com base no regime de capitalização composta. Essas teclas têm o seguin-
te significado: 
 
𝑛 : número de períodos = número de pagamentos. 
𝑖 : taxa de juros expressa em porcentagem. 
𝑃𝑉 : present value = valor presente ou capital inicial. 
𝑃𝑀𝑇 : valor dos pagamentos ou valor das prestações. 
𝐹𝑉 : future value = valor futuro ou montante. 
 
Aqui mostraremos alguns exemplos de como utilizar a HP-12C, que é uma das calcu-
ladoras mais populares no Brasil atualmente. 
 
8.1 Juros Simples e Descontos 
1. Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10.000,00 pelo pra-
zo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
10000 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 10.000,00 Valor do empréstimo 
3 % 300,00 Valor mensal dos juros 
5 × 1.500,00 Valor total dos juros 
 
2. Uma aplicação de R$ 50.000,00, pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de 
R$ 8.250,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
50000 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 50.000,00 Valor da aplicação 
180 × 9.000.000,00 Valor aplicação x prazo 
8250 𝑥 ⇔ 𝑦 ÷ 0,001 Taxa diária (forma unitária) 
360 × 0,33 Taxa anual (forma unitária) 
100 × 33,00 Taxa anual (forma percentual) 
 
3. Oito títulos no valor de R$ 1.000,00 cada um são descontados por um banco, cujo 
líquido correspondente, no valor de R$ 6.830,00, é creditado na conta do cliente. Sa-
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bendo-se que os vencimentos desses títulos são mensais e sucessivos a partir de 30 
dias, calcule a taxa de desconto. 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
8 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 100 × 8.000,00 Valor total dos títulos 
6830 − 1.170,00 Valor do desconto total 
1000 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 8 × 8.000,00 Valor total dos títulos 
1 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 8 + 2 ÷ 4,50 Prazo médio 
× ÷ 100 × 3,25 Taxa mensal de desconto (%) 
 
8.2 Juros Compostos 
1. No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00, 
referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, corres-
pondentes a uma taxa de 4% ao mês. Qual o valor emprestado? 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
𝑓 CLEAR 𝑅𝐸𝐺 0,00 Limpa registradores 
200000 𝐹𝑉 20.000,00 Valor futuro 
24 𝑛 24,00 Prazo (meses) 
4 𝑖 4 Taxa mensal 
𝑃𝑉 -78.024,29 Valor emprestado 
 
OBSERVAÇÃO: A calculadora HP-12C foi concebida segundo o conceito de fluxo de 
caixa; assim sendo, às entradas de caixa está associado o sinal (+) e às saídas de 
caixa o sinal (-). Portanto, essa resposta, com o sinal negativo, apenas indica que R$ 
78.024,29 é uma saída de caixa e R$ 200.000,00 uma entrada de caixa. 
 
2. A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.000,00, 
sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 22.753,61, no final de 8 
meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
𝑓 CLEAR 𝑅𝐸𝐺 0,00 Limpa registradores 
16000 𝑃𝑉 16.000,00 Valor do financiamento 
22753.61 𝐶𝐻𝑆 𝐹𝑉 22.753,61 Valor Futuro 
8 𝑛 8,00 Prazo do financiamento (meses) 
𝑖 4,50 Taxa mensal (%) 
 
3. Em que prazo um empréstimo de R$ 30.000,00 pode ser quitado em um único pa-
gamento de R$ 51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao mês? 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
𝑓 CLEAR 𝑅𝐸𝐺 0,00 Limpa registradores 
30000 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑉 30.000,00 Valor do empréstimo 
51310.18 𝐹𝑉 51.310,18 Valor do resgate 
5 𝑖 5,00 Taxa mensal 
𝑛 11,00 Prazo (em meses) 
 
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4. Quanto terá no final de quatro anos uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por mês, 
durante esse prazo, em um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 3% ao mês? 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
𝑓 CLEAR 𝑅𝐸𝐺 0,00 Limpa registradores 
48 𝑛 48,00 Nº de aplicações mensais 
500 𝑃𝑀𝑇 500,00 Valor das aplicações mensais 
3 𝑖 3,00 Taxa mensal 
𝐹𝑉 -52.204,20 Valor do montante ao final de 4 anos 
 
5. Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num “Fundo de Renda Fixa”, du-
rante cinco anos, para que possa resgatar R$ 200.000,00 no final de 60 meses, sa-
bendo-se que o fundo proporciona um rendimento de 2% ao mês? 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
𝑓 CLEAR 𝑅𝐸𝐺 0,00 Limpa registradores 
60 𝑛 60,00 Nº de aplicações mensais 
200000 𝐹𝑉 200.000,00 Montante no final de 60 meses 
2 𝑖 2,00 Taxa mensal 
𝑃𝑀𝑇 -1.753,59 Valor a ser aplicado mensalmente 
 
8.3 Amortização – Tabela Price 
1. DADOS: valor do empréstimo: R$ 8.530,20 
 Número de prestações: 10 
 Taxa mensal de juros: 3% 
a) Calcular o valor do saldo devedor existente no final do 6º mês (após o pagamento 
da 6ª prestação). 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
𝑓 CLEAR 𝑅𝐸𝐺 0,00 Limpa registradores 
8530.20 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑉 -8.530,20 Valor do empréstimo 
10 𝑛 10,00 Nº de prestações 
3 𝑖 3,00 Taxa mensal 
𝑃𝑀𝑇 1.000,00 Valor das prestações mensais 
10 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 6 − 4,00 Prestações restantes 
𝑛 𝑃𝑉 -3.717,10 Valor da saldo devedor no final do 6º 
mês 
b) Calcular o valor da parcela de juros correspondentes à 4ª prestação. 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
𝑓 CLEAR 𝑅𝐸𝐺 0,00 Limpa registradores 
1000 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 -1.000,00 Valor das prestações mensais 
3 𝑖 3,00 Taxa mensal de juros 
7 𝑛 7,00 Prestações restantes mais 1 
𝑃𝑉 6.230,28 Valor presente de 7 prestações de R$ 
1.000,00 
𝑅𝐶𝐿 𝑖 % 186,91 Valor da parcela de juros referente a 4ª 
prestação. 
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38c) calcular o valor da parcela de amortização correspondente à 5ª prestação. 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
𝑓 CLEAR 𝑅𝐸𝐺 0,00 Limpa registradores 
8530.20 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 8.530,20 Valor do empréstimo 
3 % 255,91 Valor dos juros da 1ª prestação 
10000 − 𝐶𝐻𝑆 744,09 Parcela de amortização da 1ª prestação 
1.03 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 1,03 1+ a taxa mensal de juros (forma unitá-
ria) 
4 𝑦𝑥 × 837,48 Valor da amortização da 5ª parcela 
 
d) Calcular o valor das amortizações acumuladas até o 4º mês, ou seja, a soma das 
parcelas correspondentes às quatro primeiras prestações. 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
𝑓 CLEAR 𝑅𝐸𝐺 0,00 Limpa registradores 
1000 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 -1.000,00 Valor das prestações 
3 𝑖 3,00 Taxa mensal de juros 
10 𝑛 10,00 Nº de prestações 
𝑃𝑉 8.530,20 Valor das amortizações de todas as 
prestações 
6 𝑛 𝑃𝑉 5.417,19 Valor das amortizações das seis últimas 
prestações 
− 3.113,01 Valor das amortizações correspondentes 
às 4 primeiras prestações 
 
e) Calcular o total de juros acumulados até a 4ª prestação. 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
4 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 4,00 Nº de prestações 
1000 × 4.000,00 Valor das prestações acumuladas 
3113.01 − 886,99 Valor total dos juros acumulados até a 4ª 
prestação 
 
 
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REFERÊNCIAS 
DE FARO, Clóvis. Matemática financeira. Rio de Janeiro: APEC, 1974. 
 
HESS, Geraldo et all. Engenharia econômica. Rio de Janeiro: Forum, 1974. 
 
LEME, Ruy de A. da S. A taxa de juros. Revista Bancária Brasileira. São Paulo, 19-
22, ago. 1967. 
 
MOORE, Justin H. Manual de matemáticas financeiras. México, UTHEA, 1958. 
 
PEREIRA, Mário Geraldo. Plano básico de amortização pelo sistema francês e 
respectivo fator de conversão. Dissertação (Doutorado) – FCEA, São Paulo, 1965. 
 
SOBRINHO, José Dutra V. Matemática Financeira. 7 ed. São Paulo: Atlas, 2007. 
 
THUESEN, H.G. Engineering Economy. New York: Prentice-Hall, 1954.