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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO – UEMA CENTRO DE ESTUDOS SUPERIORES DE CAXIAS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIAS HABILITAÇÃO EM MATEMÁTICA GLESIO RICARDO DA SILVA TEOREMA DE ABEL-RUFFINI: A DEMONSTRAÇÃO PELA TEORIA DE GALOIS CAXIAS-MA 2015 GLESIO RICARDO DA SILVA TEOREMA DE ABEL-RUFFINI: A DEMONSTRAÇÃO PELA TEORIA DE GALOIS Monografia apresentada ao colegiado do curso de Graduação em Ciências Habilitação em Ma- temática da Universidade Estadual do Mara- nhão, como requisito parcial para obtenção de grau de Licenciatura. Orientador: Prof. Msc. Jose de Ribamar Viana Coimbra CAXIAS-MA 2015 S586t Silva, Glesio Ricardo Teorema de Abel-Ruffini: A demonstração pela Teoria de Galois / Glesio Ricardo da Silva. – Caxias - Ma: CESC-UEMA, 2014. 103f. Orientador: Prof. Msc. Jose de Ribamar Viana Coimbra Monografia(Graduação) – Centro de Estudos Superiores de Caxias-MA, Curso de Licen- ciatura em Matemática. 2015. 1. Teorema de Abel-Ruffini. 2. Teoria de Galois. 3. Equações de quinto grau. 4. Teoreia dos Grupo 5. Teria dos Corpos I. José Viana Coimbra. II. Universidade Estadual do Maranhão. III. Centro de Estudo Superior de Caxias. IV. Teorema de Abel-Ruffini: A demonstração pela Teoria de Galois CDU 512.3 Este trabalho é dedicado à Deus em primeiro lugar. Foi ele o principal orientador por isso devo gratidão e reconhecimento. Em segundo Lugar à minha Mãe que sem dúvida foi e continua sendo uma intercessora terrena da minha vida junto a Deus. Agradecimentos Os agradecimentos principais e especiais são direcionados a todos os professores que contribuíram direta e indiretamente com este trabalho: Prof. Dr. Elmary Fraga, Prof. Msc. Coimbra, Prof. Esp. Francisco Portela, Prof. Francisco Queiroz, Prof. Josué Carneiro e Prof. Msc. Zuilton que contribuiu para que a produção deste trabalho acadêmico se realizasse com o LATEX. “Não vos amoldeis às estruturas deste mundo, mas transformai-vos pela renovação da mente, a fim de distinguir qual é a vontade de Deus: o que é bom, o que Lhe é agradável, o que é perfeito. (Bíblia Sagrada, Romanos 12, 2) Resumo Este trabalho tem por objetivo demonstrar o Teorema de Abel-Ruffini pela Teoria de Galois. Esse teorema diz que existem equações de grau maior ou igual a cinco que não são resolúveis por radicais, isto é, que não se pode escrever uma fórmula algébricas geral que expressa as raízes dessas equações em função dos seus coeficientes usando as operações algébricas racionais e raízes de graus naturais. O método adotado foi a adoção da Teoria de Galois. Por meio dessa teoria pode-se descobrir se qualquer equação com coeficientes sobre os racionais é ou não resolúvel por radicais. Além disso, abordou-se um pouco da história das equações, das fórmulas algébricas e de dois personagens que mudaram todo o rumo da álgebra: Abel e Galois. Abordou-se também as deduções das fórmulas das equações de grau 𝑢𝑚, 𝑑𝑜𝑖𝑠, 𝑡𝑟ê𝑠 e 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 sendo estas três últimas conhecidas como Fórmula de Bhaskara, Fórmula de Cardano e Resolução de Ferrari. Teve-se também que introduzir alguns pré-requisitos para a boa compressão da Teoria de Galois que são a Teoria dos Grupos e a Teoria dos Corpos. Como resultado, verifica-se que Galois conseguiu associar uma equação polinomial 𝑓(𝑥) a um grupo o qual é hoje conhecido como sendo o grupo de Galois. A este grupo de Galois, ele faz uma correspondência com o grupo das permutações 𝑆𝑛 mostrando que o grupo de Galois é um subgrupo do grupo simétrico dos 𝑛 elementos. Toda vez que 𝑛 ≥ 5 o grupo simétrico assume um propriedade chamada de insolubilidade e partir daí conclui-se que a equação 𝑓(𝑥) = 0 é resolúvel por radicais se, e somente se, o seu grupo de Galois é um grupo solúvel. Isso explica o fato de as equações do quinto grau, ou mais, não ser resolúveis por radicais. Palavras-chaves: Teorema de Abel-Ruffini. Teoria de Galois. Equações de quinto grau. Teoria dos Grupo. Teoria dos Corpos. Abstract This work aims to demonstrate the Abel-Ruffini theorem by Theory Galois. This theorem says it exist equations of degree than or equal to five not solvable by radicals, that is, can not write a general algebraic formula which expresses the roots of these equations depending of the coefficients and algebraic operations using rational and roots natural degrees. The method used was the adoption of the Theory Galois. Through this theory one can find out if any equation with rational coefficients it is or not resolvable by radicals. In addition, we dealt with some of the history of the equations, algebraic formulas and two characters that changed the whole direction of algebra: Abel and Galois. Also addressed the deductions of the formulas of degree equations 𝑜𝑛𝑒, 𝑡𝑤𝑜, 𝑡ℎ𝑟𝑒𝑒 and 𝑓𝑜𝑢𝑟 latter three being known as Formula Bhaskara, Formula Cardano and Ferrari resolution. Had also to introduce some prerequisites for good compression Theory Galois which are Group Theory and Theory Bodies. As a result, it appears that Galois managed to associate a polynomial equation 𝑓(𝑥) to a group which is now known as the Galois group. In this group of Galois, he makes a match with the group of permutations 𝑆𝑛 showing that the Galois group is a subgroup of the symmetric group of 𝑛 elements. Every time 𝑛 ≥ 5 symmetric group takes on a property called insolubility and from there it follows that the equation 𝑓(𝑥) = 0 is solvable by radicals if and only if, its Galois group is a soluble group. This explains the fact that the fifth degree equations, or more, not be solvable by radicals. Key-words: Theorem de Abel-Ruffini. Theory de Galois. Quintic equations. Theory of Groups. Theory of Bodies. Lista de símbolos Σ Letra grega Maiúscula Sigma 𝜎 Letra grega minúscula Sigma 𝛾 Letra grega minúscula Gama 𝜆 Letra grega minúscula Lambda 𝜙 Letra grega minúscula Varphi 𝜑 Letra grega minúscula Phi 𝜏 Letra grega minúscula Táu ∈ Pertence ∀ Para todo ≈ Símbolo utilizado para denotar um isomorfismo. Lista de ilustrações Figura 1 – Diagrama do cálculo do grupo de Galois de 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 2 . . . . . . . . 87 Figura 2 – Diagrama Comutativo da Extensão Q|Q( 3√2, 𝑧). . . . . . . . . . . . . . 88 Figura 3 – Diagrama dos subgrupos de 𝐺 = 𝑆3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Figura 4 – Diagrama da Correspondência de Galois do polinomio 𝑥3 − 2. . . . . . 94 Sumário Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 Um Pouco da História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1 A Origem das Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2 As Fórmulas Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3 Abel e Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Deduções das Fórmulas das Equações de Grau 𝑛, com 𝑛 ≤ 4. . . . . . . . . . . . 29 2.1 Equação do 1o grau, ou linear. (𝑎𝑥+ 𝑏 = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Equação do 2o grau, ou quadrática. (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 = 0) . . . . . . . . . . . 29 2.3 Equação do 3o grau, ou cúbica. (𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑 = 0) . . . . . . . . . . 30 2.4 Equação do 4o grau, ou quártica. (𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑐 = 0) . . . . . . 31 3 Teoria dos Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Grupo das Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Representações em Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4 Teoria dos Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1 Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Representaçõesem Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3 Ideais e Anéis Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4 Anéis de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5 Teoria de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1 Extensões de Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2 Extensões Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Extensões de Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.4 A Correspondência de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.5 Teorema de Abel - Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 21 Introdução Uma equação polinomial é o resultado de um polinômio igualado a zero, essas equações sempre foram objetos de estudo dos matemáticos antigos e modernos. Resolver uma equação polinomial é encontrar suas raízes, ou seja, encontrar valores que substituídos na variável da equação, esta se torna numa identidade verdadeira. Resolver em radicais uma equação polinomial, significa encontrar suas raízes usando para este fim apenas as quatros operações da aritmética (adição, subtração, multiplicação e divisão) e radicais em função de seus coeficientes. Na atualidade, é trivial resolver equações polinomiais lineares (grau um) e quadrá- ticas (grau dois) por meio de fórmulas algébricas. Com as de graus três e quatro também é possível resolvê-las com a adoção de algumas técnicas e algoritmos convenientes, como por exemplo, o dispositivo de Briot-Ruffini e a fórmula de Cardano para o alguns caso de equações do 3o grau e a técnica descoberta por Ferrari para os casos de equações de 4o grau. No nível médio, especificamente no 3o ano do segundo grau, é comum estudar um pouco das equações de graus três e quatro, porém, quanto à resolubilidade das equações de grau ≥ 5, pouco se discute. Claro que não é de todo conveniente para um aluno de ensino médio estudar a resolubilidade das equações desse nível, mas é de bom alvitre narrar a fascinante história que trás essa equação no que diz respeito à sua resolubilidade. Neste trabalho, iremos abordar um estudo aprofundado sobre as equações algé- bricas de graus naturais. Especificamente, iremos demonstrar o Teorema de Abel-Ruffini que nos diz ser impossível resolver em radicais uma equação geral de grau ≥ 5. Iremos também, tratar um pouco da história das equações e de suas fórmulas, de dois principais matemáticos que se envolveram no estudo das equações quínticas, Abel e Galois (capitulo 1), das deduções das fórmulas algébricas de resolução das equações de graus 1, 2, 3 e 4 (capítulo 2), e, a partir do capítulo 3, serão apresentados os apontamentos necessários para a consecução do objetivo principal desta monografia, qual seja, a demonstração do teorema de Abel-Ruffini pela teoria de Galois. Para tanto, serão estudados a teoria dos grupos, no capítulo três, a teoria dos anéis, no capítulo quatro e, por fim, no capítulo 5, será apresentado a teoria que Galois teve de criar para demonstrar, via permutação das raízes, que as equações de graus maiores ou iguais a cinco não possuem fórmulas algébricas de resolução. Em verdade, Paolo Ruffini (1765 – 1822), um médico e matemático italiano, foi o primeiro a realizar tal demonstração, porém, sua prova foi inconclusiva e seus argumentos considerados vagos. A partir de então, surgiu um matemático norueguês, Niels Henrik Abel (1802 – 1829), que deu fim a uma questão que perdurava por quase dois séculos: 22 Introdução a impossibilidade da resolução geral, por meio de radicais, das equações algébricas de grau ≥ 5. Então, com a demonstração de Abel, a questão sobre a resolubilidade das equações de grau cinco estava resolvida, porém, é importante salientar que, a expressão “resolução geral” significa uma fórmula para resolver qualquer equação de grau cinco, mas isto, segundo Abel, não é possível. Por outo lado, não significa que não existam equações de grau cinco resolúveis por radicais, por exemplo, a equação 𝑥5 − 1 = 0 possui um fórmula, isto é, é resolvível por radical, todavia, o Teorema de Abel-Ruffini assegura a inexistência de uma fórmula para o caso geral. De posse da certeza da não resolubilidade das equações de graus ≥ 5, entra em cena uma matemáticos francês que veio associar uma propriedade às equações não resolúveis por radicais. Foi Evariste Galois (1811 - 1832) que descobriu quando saber se uma equação é ou não resolúvel por radicais, atribuindo a ela uma propriedade que está intimamente ligada à permutação das raízes. Diante disso, a razão principal da realização deste trabalho, partiu da curiosidade de saber por que, para as equações de graus maiores ou iguais a cinco , não ser possível escrever uma fórmula algébrica de resolução para o caso geral, assim como acontece para as equações de graus inferiores. Partindo disso, este trabalho atenderá principalmente aos alunos de graduação em matemática, onde nele, poderão encontrar, além das deduções das fórmulas de 1o a 4o graus, um estudo sobre teoria dos grupos, teoria dos anéis e teoria dos corpos, assuntos intrinsecamente ligado à disciplina Estruturas Algébricas, da grade curricular do curso de graduação em matemática. 23 1 Um Pouco da História 1.1 A Origem das Equações Assim como a matemática desenvolveu-se nos primórdios da civilização como res- posta às necessidades práticas da sociedade humana, as equações algébricas surgiram também da necessidade de solução de problemas práticos, só que a passos muito largos do que à própria civilização. O problema de se resolver equações polinomiais nos remonta à aproximadamente 1800 anos a.C com os egípcios e babilônios. A equação já era estudada por estes povos, contudo foram os babilônios os mais proeminentes nessa área da álge- bra em suas épocas. No papiro egípcio de Rhind1 (1650 a.C), encontram-se problemas algébricos que modernamente são resolvíveis por equação do primeiro grau, embora não se adotava estas para as soluções de tais problemas. A álgebra egípcia tratara muito de equações lineares, mas os babilônios as acharam demasiadamente elementares para me- recer muita atenção. Então, eles se inclinavam a problemas cuja solução era a solução da função quadrática, e nisto eles se desenvolveram bem. Os babilônios conheciam al- gumas técnicas de resolução de algumas equações quadráticas, cúbicas, quárticas e até oitavas. Por exemplo, era comum a técnica da redução das equações quadráticas do tipo 𝑎𝑥2+𝑏𝑥 = 𝑐 para uma equação padrão do tipo: 𝑥2+𝑝𝑥 = 𝑞 onde estas já eram facilmente resolvíveis completando seu quadrado. Há também entre os babilônios muitos exemplos da resolução da equação cúbica, já no Egito, não há registro da resolução destas. Por exemplo, as cúbicas puras como 𝑥3 = 0; 729, eram resolvíveis por consultas à tabelas de cubos e raízes cúbicas. As cúbicas nas formas 𝑥3+ 𝑥2 = 𝑎 e da forma 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2 = 𝑐 eram resolvidas de modo semelhante, por exemplo, a cúbica da forma 144𝑥3 + 12𝑥2 = 21 era multiplicada por 12 e depois usavam o método da substituição para 𝑦 = 12𝑥, a equação fica 𝑦3 + 𝑦2 = 252, da qual se acha 𝑦 = 6 para um das raízes em 𝑦, donde 𝑥 é 1/2 para uma das raízes em 𝑥 (BOYER; MERZBACH, 2010, p.23). Era admirável a habilidade técnica dos mesopotâmios, estes tinham tanta maturi- dade e flexibilidade dos conceitos algébricos envolvidos, que a álgebra babilônia alcançou tal nível de abstração que as equações 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 = 𝑐 e 𝑎𝑥8 + 𝑏𝑥4 = 𝑐 eram reconhecidas como equações quadráticas disfarçadas. 1 Henry Rhind, antiquário escocês, comprou o papiro egípcio numa cidade a beirado Nilo em 1858; por isso é conhecido como papiru de Rhind, mas menos frequentemente é chamado de Papiro Ahmes em honra ao escriba que o copiou por volta de 1650. 24 Capítulo 1. Um Pouco da História 1.2 As Fórmulas Algébricas Até 1500 muito se conhecia sobre a resolução das equações algébricas, no caso da equação quadrática os babilônios tinham conseguido resolver muitos problemas matemá- ticos envolvendo estas equações, cada problema era resolvido para cada caso particular e sua solução era uma espécie de “receita” prática, que não especificava nem sua fórmula geral (se houvesse), nem o modo como a solução teria sido obtida. E, embora os babilônios aplicassem essas técnicas a problemas do segundo grau, eles nunca chegaram a generalizar tais técnicas. A fórmula de Bhaskara (1114 a cerca de 1185) que hoje se conhece é atribuída indevidamente a este matemático indiano, isso porque até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do 2o grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação, ou seja, as equações eram resolvidas por regras2 e, na época de Bhaskara, essas regras eram adotados pelos os matemáticos de sua época, e isto não foi uma descoberta de Bháskara. Essas regras descreviam as operações a realizar para resolver o problema. A representação por letras dos coeficientes da equação só começou ser feito a partir de François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603 (SOMATEMATICA, ). Logo, não é correto atribuir a Bhaskara a conhecida fórmula de resolução da equação de 2ograu, embora não se deva negar a importância e a riqueza do Lilavati, sua principal obra. A solução das equações cúbicas e quárticas têm suas histórias muito próximas. Em uma obra de 1545, que tinha por título Ars Magna de Gerônimo Cardano (1501 – 1676), a resolução não só da cúbica como também da quártica tornaram-se conhecidas. O progresso foi tão notável e imprevisto que causou grande impacto entre os algebristas de modo que, o ano de 1545 é frequentemente tomado como o marco do início do período moderno na matemática. Deve-se dizer que não foi Cardano o descobridor original da solução quer da cúbica quer da quártica. Os autores foram Niccolo Tartaglia (cerca de 1500 – 1557) para a equação cúbica e Ludovico Ferrari (1522 – 1565) para a equação quártica (BOYER; MERZBACH, 2010, p.193). É importante ressaltar ainda que, Cardano, ao escrever as soluções das equações cúbicas e quárticas, ele fazia por meio de retóricas, isto é, não se representava as soluções dos problemas por meio de fórmulas, e sim por meio de regras e para um problema específico. Por exemplo, quando escrevia “seja o cubo e seis vezes ao lado igual a 20” (ou 𝑥3 + 6𝑥 = 20), ele evidentemente estava pensando nessa equação como típica de todas as que têm “um cubo e coisa igual a um número”, isto é, da forma 𝑥3 + 𝑝𝑥 = 𝑞. Ao resolver essa equação Cardano chega a uma formulação verbal da regra equivalente à nossa solução que é expressa dessa forma: 3 ⎯⎸⎸⎷√︃𝑚3 27 + 𝑛2 4 + 𝑛 2 − 3 ⎯⎸⎸⎷√︃𝑚3 27 + 𝑛2 4 − 𝑛 2 (1.1) 2 Chamava-se de regra, uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema. 1.3. Abel e Galois 25 Na Ars magna também incluía a descoberta da solução da equação quártica que é devida a Ludovico Ferrari, amanuense de Cardano. O método era basicamente reduzir a uma equação do quarto grau à equação cúbica. Veremos com mais detalhes todos esses procedimentos de resoluções, tanto da cúbica quanto da quártica no capítulo 2 deste trabalho. Foi nesse ponto que, praticamente, a álgebra iria ficar por quase dois séculos e meio. Embora diante do sucesso da possibilidade de resolução algébrica das equações de grau até quatro, os matemáticos durante esses dois séculos e meio se esforçaram para lograr igual sucesso para as equações de grau cinco, porém, seus esforços foram infrutíferos. E foi diante de tanta dificuldade, em face de tal questão, que se começou a se duvidar de que as equações de grau maior ou igual a cinco fossem resolúveis por radicais. 1.3 Abel e Galois Niels Henrik Abel (1802 – 1829). Foi um matemático que nasceu numa pequena aldeia de Findo na Noruega. Sua curta vida foi cheio de pobreza e tragédia, nasceu em uma família numerosa e era filho de pastor (IEZZI, 2005, p.147). Desde cedo lia livros de grande envergadura na matemática. Em suas leituras, Abel percebeu que Euller provara o teorema binomial somente para expoentes racionais, então, dando uma prova para o caso geral, preencheu o que faltava. Quando Abel tinha dezoito anos de idade seu pai morreu e a responsabilidade de cuidar da família recaiu sobre seus ombros, mas para atenuar a situação durante o ano seguinte Abel fez uma notável descoberta matemática. Essa descoberta foi publicada somente em 1824 em um artigo sob o título “Sobre as Resoluções Algébrica de Equações” onde, depois de pensar ter encontrado uma solução para equação quíntica se retificou nesse artigo chegando a uma conclusão oposta: “Não pode haver uma fórmula geral, expressa em operações algébricas explícitas sobre os coeficientes de uma equação polinomial para as raízes de uma equação, se o grau dessa equação é maior que quatro”. (BOYER; MERZBACH, 2010, p.361) Abel inicia seu artigo sobre a não resolubilidade da quíntica dando uma definição das equações algébricas, racionais e “inteiras”. Em seguida, classifica as funções algébricas de modo que essa classe, usando a linguagem atual, faça parte de um corpo de funções. Fazendo isso, o problema em questão se exprime como o de “simplesmente expressar suas raízes como funções algébricas dos coeficientes”. Então, Abel tomava como proposição: “Se uma equação é resolúvel algebricamente, então a expressão para suas raízes sempre pode ser posta em tal forma que todas as funções algébricas que a compõe podem ser expressas como funções racionais das raízes da equação dada”. Empregando tudo isso a teoremas sobre funções simétricas das raízes, a prova do teorema central se resume a uma sequência de argumentos de redução ao absurdo. (BOYER; MERZBACH, 2010, p.361). 26 Capítulo 1. Um Pouco da História Abel publicou sob suas expensas seu trabalho, e, para economizar, o fez forma sucinta, por isso sua repercussão foi praticamente nula. Na época, Gauss era o maior matemático do seu tempo e ele não deu a mínima importância para o seu trabalho. Afinal de contas, era difícil de se acreditar que um problema que perdurava por quase dois séculos e meio poderia ser resolvido por um desconhecido. (IEZZI, 2005, p.148) Na realidade, Abel estava era à procura de um posto acadêmico numa universidade que lhe permitisse sair daquela situação deplorável. Mas foi ao realizar algumas viagens para França, Itália e Alemanha, que ele conheceu um engenheiro alemão com o qual travou amizade, seu nome era Augusto L. Crelle, à época, estava prestes a inaugurar seu novo Journal. Ele Convidou Abel para contribuir com seus artigos. Assim nos três primeiros números desse jornal, lançado em 1822, hospedaram 22 artigos de Abel cinco só no primeiro, inclusive o teorema de Ruffini-Abel. (IEZZI, 2005, p.148) Depois disso, Abel voltou à Noruega bastante debilitado pela tuberculose, mas ainda assim continuava a mandar seus materiais a Crelle. Antes de completar 27 anos, morreu em 1829 e seu reconhecimento pelas suas contribuições chegou dois dias depois de sua morte, era uma carta que oferecia-lhe uma posição na Universidade de Berlim, mas veio tarde demais. “Inês já era morta3.” Evariste Galois(1811 – 1832). Outro excelente matemático de sua época, é também considerado um dos fundadores da álgebra moderna. Galois nasceu no vilarejo de Bourg-la-Reine, próximo de Paris, onde seu pai era prefeito. Deste, adquiriu um profundo ódio à tirania e sua aptidão por matemática veio quando ingressou no Colégio Louis-le-Grand de Paris, ficou tão arrebatado com os Elementosde Geometria de Legendre que leu essa obra num só fôlego. Com 16 anos de idade tentou ingressar na escola que tinha abrigado muito célebres matemáticos, a Escola Politécnica, mas não foi aceito por falta de preparo matemático, e fracassaria nas duas tentativas seguidas de ingresso; para completar a carga de decepções, seu pai não resistindo a pressões das perseguições clericais, suicidou-se. Em 1829 Galois entrou na Escola Normal Superior para se preparar para o ensino; mas continuava com suas pesquisas. Galois foi bastante marcado por frustrações e retaliações, quando ele apresentou um artigo à Academia num concurso, o secretário dessa instituição morreu sem que o artigo fosse lido onde acabou se perdendo. Galois resolve abraçar a causa da revolução de 30, mais tarde seria expulso da Escola Normal Superior. Em seguida, faz mais uma tentativa de apresentar um artigo à Academia, mas resultou numa devolução à pedido de demonstrações. Diante dessas frustrações Galois entra para a guarda nacional, mas seu envolvimento com os republicanos o fez ser preso por duas vezes; Galois se envolveu com uma mulher que mais tarde lhe causaria a morte. Por causa dela foi desafiado a um 3 "Inês é morta"é uma expressão da língua portuguesa e significa "não adianta mais". Hoje em dia a frase é usada para expressar a inutilidade de certas ações. 1.3. Abel e Galois 27 duelo, que provavelmente foi forjado pela polícia que o via como um radical republicano. Na manhã de 30 de maio de 1832, ainda sem completar 21 anos, encontrou seu adversário num duelo com pistolas e no dia seguinte morria de peritonite num hospital de Paris. (BOYER; MERZBACH, 2010, p.234) Galois teve uma trágica e breve vida. Em um ano antes de sua morte, Galois enviou um artigo à Academia sob o título: “Uma Memória Sobre as Condições de Resolubilidade das Equações por Radicais”. Depois de seis meses Poissom emitiu um negativo parecer. Nas vésperas do duelo, Galois tentou mais uma vez ser compreendido e enviou uma carta a um amigo descrevendo o conteúdo de um artigo que fora rejeitado por Poissom, para que ele se empenhasse em publicá-la. Mas somente em 1843 suas ideias começaram a ser analisadas. Na verdade, o artigo de Galois era um tanto incompreensível para a sua época, evidenciando assim que Galois estava muito à frente dos matemáticos de seu tempo. Galois introduziu a noção de grupo em matemática, cujo termo até hoje é conhe- cido desta forma. Ele deu o primeiro passo para a álgebra moderna. A teoria de Galois associa cada equação algébrica um conveniente grupo de permutações de suas raízes. E estabelece que uma equação seja re- solúvel por radicais se, e somente se, esse grupo é de um certo tipo (definido na teoria). Por fim conseguia-se uma caracterização da resolu- bilidade por radicais e como para 𝑛 ≥ 5 sempre há equações de grau n cujo grupo não é definido por Galois, o próprio teorema de Ruffini-Abel passa a ser uma consequência da teoria de Galois. (IEZZI, 2005, p.198) 29 2 Deduções das Fórmulas das Equações de Grau 𝑛, com 𝑛 ≤ 4. A seguir apresentaremos as deduções das fórmulas das equações algébricas de grau um, dois, três e quatro. 2.1 Equação do 1 o grau, ou linear. (𝑎𝑥 + 𝑏 = 0) Sua fórmula de resolução é deduzida facilmente. Vejamos 𝑎𝑥+ 𝑏 = 0 𝑎𝑥+ 𝑏− 𝑏 = 0− 𝑏 𝑎𝑥 = −𝑏 𝑥 = −𝑏/𝑎 2.2 Equação do 2 o grau, ou quadrática. (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0) 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 = 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐 4𝑎2𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥 = −4𝑎𝑐 (2𝑎𝑥+ 𝑏)2 − 𝑏2 = −4𝑎𝑐 (2𝑎𝑥+ 𝑏)2 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 (2𝑎𝑥+ 𝑏)2 = Δ 2𝑎𝑥+ 𝑏 = ± √ Δ 𝑥 = −𝑏± √ Δ 2𝑎 30 Capítulo 2. Deduções das Fórmulas das Equações de Grau 𝑛, com 𝑛 ≤ 4. 2.3 Equação do 3 o grau, ou cúbica. (𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0) Dada a equação: 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑 = 0 (2.1) fazemos: 𝑥 = 𝑦 − 𝑏3𝑎 (2.2) então temos: 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑 = 𝑎 (︃ 𝑦 − 𝑏3𝑎 )︃3 + 𝑏 (︃ 𝑦 − 𝑏3𝑎 )︃2 + 𝑐 (︃ 𝑦 − 𝑏3𝑎 )︃ + 𝑑 = 𝑎𝑦3 − 𝑎 (︃ 3𝑏𝑦2 3𝑎 )︃ + 𝑎 (︃ 3𝑏2𝑦 9𝑎2 )︃ − 𝑎 (︃ 𝑏3 27𝑎3 )︃ + 𝑏𝑦2 −𝑏 (︃ 2𝑏𝑦 3𝑎 )︃ + 𝑏 (︃ 𝑏2 9𝑎2 )︃ + 𝑐𝑦 − 𝑐 (︃ 𝑏 3𝑎 )︃ + 𝑑 = 𝑎𝑦3 + 𝑏 2𝑦 3𝑎 − 2𝑏2𝑦 3𝑎 + 𝑐𝑦 − 𝑏3 27𝑎2 + 𝑏3 9𝑎2 − 𝑏𝑐 3𝑎 + 𝑑 = 𝑎𝑦3 − 𝑏 2𝑦 3𝑎 + 𝑐𝑦 − 𝑏3 27𝑎2 + 𝑏3 9𝑎2 − 𝑏𝑐 3𝑎 + 𝑑 = 𝑎𝑦3 + (︃−𝑏2 3𝑎 + 𝑐 )︃ 𝑦 − 𝑏 3 27𝑎2 + 𝑏3 9𝑎2 − 𝑏𝑐 3𝑎 + 𝑑 = 𝑎𝑦3 + (︃−𝑏2 3𝑎 + 𝑐 )︃ 𝑦 + 2𝑏 3 27𝑎2 − 𝑏𝑐 3𝑎 + 𝑑 ou ainda, 𝑦3 + 1 𝑎 (︃−𝑏2 3𝑎 + 𝑐 )︃ 𝑦 + 1 𝑎 (︃ 2𝑏3 27𝑎2 − 𝑏𝑐 3𝑎 + 𝑑 )︃ = 0. (2.3) desse modo, a equação (2.3) pode ser resolvida recorrendo-se à fórmula (1.1), isto é, à fórmula de Tartaglia. 𝑦 = 3 ⎯⎸⎸⎷√︃𝑚3 27 + 𝑛2 4 + 𝑛 2 − 3 ⎯⎸⎸⎷√︃𝑚3 27 + 𝑛2 4 − 𝑛 2 para isso, fazendo: 𝑚 = 1 𝑎 (︃−𝑏2 3𝑎 + 𝑐 )︃ e 𝑛 = 1 𝑎 (︃ 2𝑏3 27𝑎2 − 𝑏𝑐 3𝑎 + 𝑑 )︃ . onde encontramos um das raízes 𝑦, as outras duas podendo ser encontradas pela fórmula de Baskhara apos à aplicação do dispositivo de Briot-Ruffini. Logo, vamos encontrar três raízes para 𝑦, que podemos distingui-las fazendo 𝑦𝑘, onde 𝑘 = 1, 2 e 3. Desta forma, a equação (2.1): 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑 = 0, possui por raízes: 𝑥 = 𝑦𝑘 − 𝑏/3𝑎 𝑘 = 1, 2, 3. 2.4. Equação do 4o grau, ou quártica. (𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑐 = 0) 31 2.4 Equação do 4 o grau, ou quártica. (𝑎𝑥4+𝑏𝑥3+𝑐𝑥2+𝑑𝑥+𝑐 = 0) O método descoberto por Ludovico Ferrari surgiu quando Gerônimo Cardano foi desafiado por Zuanne de Tonini da Coi. Na época, era comum os matemáticos realizarem desafios entre si. Um dos desafios que foi proposto por Zuanne à Cardano, resultava justamente na resolução da equação seguinte: 𝑥4 + 6𝑥2 − 60𝑥+ 36 = 0. (2.4) Cardano tentou várias vezes resolvê-la, porém sem êxito. Então passou o problema a seu secretário Ludovico Ferrari que descobriu uma forma de resolução reduzindo a equação (2.4) num par de equações do 2ograu que na época já se trabalhava muito bem pela fórmula de Bhaskara. Seja a equação: 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑒 = 0. (2.5) Semelhante ao que é feito para equações de 3o grau, faz-se a substituição: 𝑥 = 𝑦 + ℎ 𝑎(𝑦 + ℎ)4 + 𝑏(𝑦 + ℎ)3 + 𝑐(𝑦 + ℎ)2 + 𝑑(𝑦 + ℎ) + 𝑒 = 0 que, ao ordenar pelas potências decrescentes de 𝑦 fica: 𝑎𝑦4+(𝑏+4𝑎ℎ)𝑦3+(𝑐+3𝑏ℎ+6𝑎ℎ2)𝑦2+(𝑑+2𝑐ℎ+4𝑎ℎ3+3𝑏ℎ2)𝑦+𝑎ℎ4+𝑏ℎ3+𝑐ℎ2+𝑑ℎ+𝑒 = 0 (2.6) Se dividirmos a equação (2.6) por 𝑎 e anularmos o termo em 𝑦3, fazendo ℎ = − 𝑏4𝑎, obtemos: 𝑦4 + 𝑝𝑦2 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0 Sendo: 𝑝 = 𝑐 𝑎 − 3𝑏 2 8𝑎2 , 𝑞 = 𝑑 𝑎 − 𝑏𝑐2𝑎2 + 𝑏3 8𝑎3 , 𝑟 = 𝑒 𝑎 − 𝑏𝑑4𝑎2 + 𝑏2𝑐 16𝑎3 − 3𝑏4 256𝑎4 . O método de Ferrari para resolver a equação 𝑦4 + 𝑝𝑦2 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0, consiste em completá-la de modo que ambos os membros da igualdade se torne num quadrado perfeito, que, para isso, basta somar ambos os membros por 𝑠𝑦2 + 𝛽. Então, 𝑦4 + (𝑝+ 𝑠)𝑦2 + (𝑟 + 𝛽) = 𝑠𝑦2 − 𝑞𝑦 + 𝛽. (2.7) Mas para que os dois membros sejam quadrados perfeitos, é necessário que seus discriminantes sejam ao mesmo tempo iguais a zero, ou seja: 32 Capítulo 2. Deduções das Fórmulas das Equações de Grau 𝑛, com 𝑛 ≤ 4. (𝑝+ 𝑠)2 − 4(𝑟 + 𝛽) = 0 (2.8) (−𝑞)2 − 4𝑠𝛽 = 0 (2.9) perceba que de (2.9) temos: 𝛽 = 𝑞 2 4𝑠 . Substituindo o valor de 𝛽 na equação (2.8) obtemos: (𝑝+ 𝑠)2 − 4(𝑟 + 𝑞2/4𝑠) = 0 𝑝2 + 2𝑝𝑠+ 𝑠2 − 4𝑟 − 𝑞2/𝑠 = 0 × (𝑠) 𝑠3 + 2𝑝𝑠2 + (𝑝2 + 4𝑟)𝑠− 𝑞2 = 0 resultando assim numa equação do 3o grau na variável 𝑠, a qual pode ser resolvida baseando-se nas deduções feitas na seção anterior. Encontrado 𝑠 acha-se 𝛽, em seguida, é só realizar a substituição na equação (2.7) e extrair as raízes quadradas:√︁ 𝑦4 + (𝑝+ 𝑠)𝑦2 + (𝑟 + 𝛽) = ±√︁ 𝑠𝑦2 − 𝑞𝑦 + 𝛽 (2.10) Ao extrair as raízes quadradas da equação (2.10), obtemos para o 1o membro um quadrado perfeito na variável 𝑦2 que vai associar-se, no 2o membro, com duas equações lineares também na variável 𝑦. As duas equações lineares são distintas entre si por força do sinal ±, então, teremos duas equações do 2o grau, cada uma, obviamente, com duas raízes. Logo, vamos encontrar quatro raízes para 𝑦 que podemos distingui-las fazendo 𝑦𝑘, onde 𝑘 = 1, 2, 3 e 4. Desta forma, a equação (2.5) possui por raízes: 𝑥 = 𝑦𝑘 − 𝑏/4𝑎 𝑘 = 1, 2, 3, 4. 33 3 Teoria dos Grupos Propedêutica A teoria de Galois foi inspirada pela demonstração de Abel da impossibilidade da resolução da equação quíntica. A Teoria de Galois fornece uma conexão entre a Teoria de Corpos e a Teoria de Grupos. Através da Teoria de Galois, certos problemas na Teoria de Corpos podem ser reduzidos a problemas na Teoria de Grupos, a qual é, num certo sentido, mais simples e melhor de ser entendida. Tal conexão é feita através do estudo de simetrias das raízes de polinômios e estas simetrias são expressas em termos de grupos de permutações. Através desta teoria resolvemos problemas de construções com régua e compasso, ou seja, poderemos responder as seguintes perguntas: podemos trisseccionar ângulos arbitrários? Que polígonos regulares podemos construir com régua e compasso? Também demonstramos, via grupos solúveis, que não existem fórmulas do tipo de Baskhara para resolução de polinômios de grau maior ou igual a cinco em termos de seus coeficientes. O nosso propósito se aterá a este ultimo ponto. Neste capítulo, fizemos um breve estudo da teoria dos grupos. Este estudo será imprescindível para a boa compreensão da teoria de Galois. Mas antes, será de bom alvitre relembrar as principais propriedades dos inteiros e um pouco das classes de resto. Algumas Propriedades dos Inteiros Fecho: Se 𝑎 e 𝑏 são inteiros, então 𝑎+ 𝑏 e 𝑎𝑏 também são. Propriedade associativa: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) e (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐), para todo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 inteiros. Propriedade comutativa: 𝑎+ 𝑏 = 𝑏+ 𝑎 e 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎, para todo 𝑎 e 𝑏 inteiros. Propriedade distributiva: (𝑎 + 𝑏)𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 ou 𝑐(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏, para todo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 inteiros. Elementos neutros: 𝑎+ 0 = 𝑎 e 𝑎1 = 𝑎, para qualquer 𝑎 inteiro. Simétrico aditivo: Se a equação 𝑎+ 𝑥 = 0 tem solução para todo inteiro 𝑎, então 𝑥 é chamado de inverso aditivo ou oposto de 𝑎 e denota-se −𝑎. Cancelamento: Se 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐 com 𝑐 ̸= 0 então 𝑎 = 𝑏 para todo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 inteiros. Olhando com atenção estes axiomas percebemos a não existência de simétrico multiplicativo, pois sabemos que os inversos multiplicativos dos inteiros são números fra- cionários, isto é, são racionais. Apesar destes axiomas nos serem bem familiar, há certas 34 Capítulo 3. Teoria dos Grupos ocasiões que vamos nos deparar com conjuntos munidos de uma operação (os grupos) ou duas operações (os anéis) que não vão se “comportam bem” com relação às propriedades dos inteiros. É o que pode ser visto nas classes de restos módulo m. Classes de Restos Módulo 𝑚 Consideremos este exemplo: 3 3 = 3× 1 + 0, 𝑟 = 0 4 3 = 3× 1 + 1, 𝑟 = 1 5 3 = 3× 1 + 2, 𝑟 = 2 6 3 = 3× 2 + 0, 𝑟 = 0 7 3 = 3× 2 + 1, 𝑟 = 1 8 3 = 3× 2 + 2, 𝑟 = 2 9 3 = 3× 3 + 0, 𝑟 = 0 Vejamos que ao dividir 3,6 ou 9 por 3 obteve-se o mesmo resto 0. Nestas circuns- tâncias, dizemos que todo inteiro que, na divisão por 3 possui resto 0, é côngruo a 0. O mesmo se diz para os restos 1 e 2. O conjunto de todos os inteiros que são côngruo a 0 na divisão por 3 formam uma classe, essa classe denota-se por 0¯. Assim, o conjunto de todas as classes 0¯, 1¯ e 2¯ que é o conjunto de todos os inteiros côngruos a 0¯, 1¯ e 2¯ formam a classe de resto módulo 3. À classe de resto módulos 3 denotamos Z3 Definição 3.0.1 (Classe de Resto Módulo m). A classe de resto módulo m é o conjunto de todos os inteiros 𝑎 que possuem resto 𝑟 ∈ {0, 1, 2, . . . ,𝑚 − 1} na divisão de 𝑎 por 𝑚. Denota-se Z𝑚. Assim o conjunto Z𝑚 será: Z𝑚 = {1¯, 2¯, . . . , ¯ �¯�} onde ¯ é o conjunto de todos os inteiros que possuem resto 𝑟 na divisão euclidiana por 𝑚. Exemplo 3.0.1. Z3 = {0¯, 1¯, 2¯} e Z8 = {0¯, 1¯, 3¯, 4¯, 5¯, 6¯, 7¯} 3.1. Grupos 35 Perceba que os elementos de Z8 são suficientes para representar qualquer elementos de Z8, por exemplo, 9¯ em Z8 é representado por 1¯ em Z8, assim como o 3¯ é representado por 0¯ em Z3. Por isso é que Z𝑚 é um conjunto finito. Quando estudamos as mais variadas estruturas algébricas, nos deparamos com muitas situações que fogem do usual, por exemplo, quando tomamos 3¯ de Z3 e realizamos o produto 3¯ · 3¯ teremos: 3¯ · 3¯ = 9¯ = 0¯ Isto é, o produto de dois números não nulos resultando num número nulo. Dessa forma, podemos dizer que 9 é côngruo a 0 módulo 3, que em símbolos: 9 ≡ 0 (mod 3). Dada duas classes �¯�, �¯� ∈ Z𝑚, a soma e o produto seráo respectivamente definidas como: 𝑎+ 𝑏 = 𝑎+ 𝑏 𝑎 · 𝑏 = 𝑎 · 𝑏 A partir dessas definições, demonstra-se a validade das propriedades associativa e comutativa para as operações de adição e produto do conjunto Z𝑚. O elemento neutro para adição de um qualquer elemento �¯� ∈ Z𝑚 é 0¯, pois �¯� + 0¯ = 𝑎+ 0 = �¯�; o simétrico para adição de um elemento �¯� é o elemento 𝑚− 𝑎; o elemento neutro para o produto é o elemento 1¯ e o elemento �¯� só será simetrizável se, e somente se, o 𝑚𝑑𝑐(𝑎,𝑚) = 1. Exemplo 3.0.2. O elemento 5¯ de Z6 é simetrizável, pois o 𝑚𝑑𝑐(5, 6) = 1 e o seu simétrico é ele mesmo pois 5¯ · 5¯ = 5 · 5 = 25 e 25 ≡ 1¯. 3.1 Grupos Nesta seção, abordaremos algumas ideias básicas da teoria dos grupos, o enten- dimento dessa teoria se faz imprescindível para entender como Galois fez corresponder um problema de resolubilidade de uma equação a um problema da teoria dos grupos. Neste contexto, vamos tratar de um conjunto munido de uma operação (os grupos). Esta operação poderá ser uma adição uma multiplicação (ou produto) ou uma composição de funções. Por conveniência e generalização, adotaremos na maioria das vezes a operação produto, esta operação, ao contrário da adição, nem sempre é comutativa. Mas saiba: a definição de produto para os elementos de um determinado grupo as vezes é diferente para um outro grupo, por exemplo, a definição de produto de matrizes é diferente da definição de produto de polinômios. Definição 3.1.1 (Grupo). Um conjunto não vazio 𝐺 munido de uma operação * é cha- mado de grupo se essa operação sujeita-se aos seguintes axiomas: 36 Capítulo 3. Teoria dos Grupos 1. associatividade: (𝑎 * 𝑏) * 𝑐 = 𝑎 * (𝑏 * 𝑐), quais quer que sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺. 2. existência de elemento neutro: Existe um elemento 𝑒 ∈ 𝐺 talque: 𝑎 * 𝑒 = 𝑒 * 𝑎 = 𝑎, qualquer que seja 𝑎 ∈ 𝐺. Além desse, não existe outro elemento neutro em um grupo. 3. existência de simétricos: Para todo 𝑎 ∈ 𝐺 existe um elemento 𝑎′ ∈ 𝐺 tal que: 𝑎 * 𝑎′ = 𝑎′ * 𝑎 = 𝑒. E se além disso, se verificar a: 4. comutatividade: 𝑎 * 𝑏 = 𝑏 * 𝑎, para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, o grupo recebe o nome de grupo abeliano ou comutativo. Denota-se um grupo por (𝐺, *) e por vezes, simplesmente por 𝐺, quando não houver prejuízo de compreensão. Ao número de elementos de G chamamos de ordem de 𝐺 e que denotamos por o(G) ou |G|. Exemplo 3.1.1. Grupo aditivo dos inteiros (Z,+) (comutativo); Grupo multiplicativo dos racionais (Q, ·) (comutativo); Grupos (multiplicativo) Lineares de grau n (não comu- tativo). Os grupos dos exemplos acima são grupos infinitos, pois o conjunto suporte são conjuntos infinitos. Um grupo (𝐺, ·) em que 𝐺 é finito é chamado grupo finito. Por exemplo, o grupo (Z𝑚, *) e um grupo finito; Um outro exemplo é o grupo das permutações. Exemplo 3.1.2. O conjunto das retas no plano R2 com coeficiente angular não nulo, isto é, 𝐺 = {𝑓 : R→ R/ 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥+ 𝑏, 0 ̸= 𝑎, 𝑏 ∈ R} também é um grupo. Perceba que, se 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ̸= 0 e 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑, com 𝑐 ̸= 0 então a composição de funções: (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑎𝑐𝑥+ (𝑏𝑐+ 𝑑) defini uma operação em 𝐺 que sem muito esforço poderemos verificar a associatividade. O elemento neutro é a função identidade 𝐼R : R→ 𝑥→ R 𝑥 e a função 𝑓−1 = 1 𝑎 𝑥− 𝑏 𝑎 , 𝑎 ̸= 0, o elemento simétrico. Grupo das Permutações De acordo com Domingues e Iezzi (2003, p.145) permutação é o termo específico na teoria dos grupos para designar uma bijeção de um conjunto nele mesmo. Por exemplo, Se 𝐸 indica um conjunto não vazio, 𝑆𝑛 indica o conjunto das permutações sobre 𝐸. O 3.1. Grupos 37 grupo (𝑆𝑛, ∘) onde ∘ indica a composição de aplicações (funções), é o grupo simétrico de grau 𝑛. Vejamos, por exemplo, a descrição do grupo 𝑆3. Sendo 𝐸 = {1, 2, 3}, temos: 𝑆3 = ⎧⎨⎩𝑓0 = ⎛⎝ 1 2 3 1 2 3 ⎞⎠ ; 𝑓1 = ⎛⎝ 1 2 3 2 3 1 ⎞⎠ ; 𝑓2 = ⎛⎝ 1 2 3 3 1 2 ⎞⎠ ; 𝑔1 = ⎛⎝ 1 2 3 1 3 2 ⎞⎠ ; 𝑔2 = ⎛⎝ 1 2 3 3 2 1 ⎞⎠ ; 𝑔3 = ⎛⎝ 1 2 3 2 1 3 ⎞⎠⎫⎬⎭ . Vejamos a tábua da operação ∘ no grupo 𝑆3: ∘ 𝑓0 𝑓1 𝑓2 𝑔1 𝑔2 𝑔3 𝑓0 𝑓0 𝑓1 𝑓2 𝑔1 𝑔2 𝑔3 𝑓1 𝑓1 𝑓2 𝑓0 𝑔3 𝑔1 𝑔2 𝑓2 𝑓2 𝑓0 𝑓1 𝑔2 𝑔3 𝑔1 𝑔1 𝑔1 𝑔2 𝑔3 𝑓0 𝑓1 𝑓2 𝑔2 𝑔2 𝑔3 𝑔1 𝑓2 𝑓0 𝑓1 𝑔3 𝑔3 𝑔1 𝑔2 𝑓1 𝑓2 𝑓0 O grupo das permutações é um grupo bem peculiar, por exemplo, se o conjunto 𝐸 possui ordem 1 ou 2, isto é, possui um ou dois elementos, então o grupo das permutações sobre 𝐸 será um grupo comutativo. Se 𝐸 possui ordem maior que 2 então o grupo das permutações sobre 𝐸 não será comutativo. Temos um exemplo do grupo 𝑆3 que não é comutativo. Vejamos: 𝑓2 ∘ 𝑔1 = ⎛⎝ 1 2 3 3 1 2 ⎞⎠ ∘ ⎛⎝ 1 2 3 1 3 2 ⎞⎠ = 𝑔2 𝑔1 ∘ 𝑓2 = ⎛⎝ 1 2 3 1 3 2 ⎞⎠ ∘ ⎛⎝ 1 2 3 3 1 2 ⎞⎠ = 𝑔3 Isso mostra que 𝑆3 não é um grupo abeliano. Mais adiante estudaremos com detalhes o grupo das permutações tendo em vista ser ele a “pedra de roseta1” da teoria de galois. Definição 3.1.2 (Subgrupo). Seja (𝐺, *) um grupo. Diz-se que um subconjunto não vazio 𝐻 de 𝐺 é um subgrupo de 𝐺 se: ∙ 𝐻 é fechado para a operação. 1 Pedra de Roseta foi a chave que permitiu revelar os mistérios dos hieróglifos egípcios. As tropas de Napoleão descobriram-na em 1799 nas proximidades da cidade costeira de Roseta, no baixo Egito. As vezes a expressão é utilizada no sentido figurado para fazer alusão a algo útil que serve para compreensão de alguma coisa. 38 Capítulo 3. Teoria dos Grupos ∙ (𝐻, *) também é um grupo. Facilmente se demonstra que se 𝑒 é o elemento neutro de 𝐺, então 𝑒 também será o elemento neutro de 𝐻. Também, sem muito esforço, se demonstra que se 𝐻 ̸= ø e ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 tem-se 𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻. É através desta condição que poderemos saber quando um subconjunto não vazio de um grupo é ou não um subgrupo. Exemplo 3.1.3. O conjunto das retas do plano R2 com coeficiente angular igual a 1 é um subgrupo de 𝐺 = {𝑓 : R → R/ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 0 ̸= 𝑎, 𝑏 ∈ R}. De fato, sejam 𝑓 e 𝑔 elementos de 𝐻 o subgrupo de 𝐺 das retas com coeficientes angular igual 1 e 𝑓(𝑥) = 𝑥+𝑛 e 𝑔(𝑥) = 𝑥+𝑚. Sendo 𝑔−1(𝑥) = 𝑥−𝑚, temos 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑥−𝑚+ 𝑛 que pertence a 𝐻. Agora, iremos apresentar algumas definições, proposições e teoremas que serão necessários para um futuro bem próximo neste trabalho. Mas antes, é bom que se diga, para estudarmos a estrutura de um grupo é necessário – vamos dizer assim – “fatiá-lo”, isto é, particionar esse grupo em pedaços, e uma forma de fazermos isso é criando dentro desse grupo classes de equivalência. Essas classes são definidas a partir de uma relação de equivalência. Só para lembrarmos, dizemos que 𝑅 é uma relação de equivalência sobre um conjunto não vazio 𝐴 se, e somente se, 𝑅 é reflexiva, simétrica e transitiva. Em outros termos: 1. Se 𝑥 ∈ 𝐴, então 𝑥𝑅𝑥. (reflexiva) 2. Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 e 𝑥𝑅𝑦, então 𝑦𝑅𝑥. (simétrica) 3. Se 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 e 𝑥𝑅𝑦 e 𝑦𝑅𝑧, então 𝑥𝑅𝑧. (transitiva) Já uma classe de equivalência, será sempre determinada por algum elemento do conjunto 𝐴, destarte, se 𝑎 ∈ 𝐴, então a classe de equivalência determinado por 𝑎 é o subconjunto 𝐸 constituído de todos os elementos de 𝐴 tais que: 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐴/𝑥𝑅𝑎}. Na referência Domingues e Iezzi (2003, p.83) há uma demonstração de que a uma partição de um conjunto determina uma relação de equivalência e que, reciprocamente, uma relação de equivalência determina uma partição em um conjunto. Definição 3.1.3. Dizemos que uma classe 𝒞 de subconjuntos não vazios de 𝐴 (𝐴 ̸= ø) é uma uma partição de 𝐴 se, e somente se: ∙ dois elementos quaisquer de 𝒞, que são subconjuntos de 𝐴, ou são iguais ou são disjuntos. ∙ a união dos elementos 𝒞, formam o conjunto A. 3.1. Grupos 39 Exemplo 3.1.4. No conjunto dos inteiros, a relação “paridade” induz uma relação de equivalência dando causa a duas classes de equivalência, a classe par (𝑃 ) e a classe ímpar (𝐼). Então podemos dispor de uma classe 𝒞 de modo que seus membros sejam o conjuntos dos números pares ou o conjunto dos números ímpares: 𝒞 = {𝑃, 𝐼} onde 𝑃 = {𝑎 ∈ Z/ a é par} ou 𝐼 = {𝑎 ∈ Z/ a é ímpar}. Então 𝒞 é uma partição em Z. Após essa digressão, voltamos ao ponto que falávamos. Precisamos estudar um grupo, para isso, é necessário entendermos o seu âmago e uma maneira de fazermos isso, é criando as chamadas classes laterais porque uma classe lateral é uma classe de equivalência (demonstração em Domingues e Iezzi (2003, p.187)), isto é, particiona um grupo em pequenas classes todas disjuntas. Definição 3.1.4 (Classe Lateral). Sejam 𝐻 um subgrupo de 𝐺 e a um elemento qual- quer de 𝐺. O subconjunto 𝑎𝐻 = {𝑎ℎ/ℎ ∈ 𝐻} é chamado de classe lateral à direita determinada por a. Analogamente, 𝐻𝑎 = {ℎ𝑎/ℎ ∈ 𝐻} é chamado de classe lateral à esquerda determinada por 𝑎. A definição será análoga se a operação for adição, isto é, 𝑎+𝐻 = {𝑎+ ℎ/ℎ ∈ 𝐻}, ou, para 𝐻 + 𝑎 = {ℎ+ 𝑎/ℎ ∈ 𝐻}. Exemplo 3.1.5. Com o subgrupo 𝐻 = 2Z = {. . . ,−4,−2, 0, 2, 4 . . .} de 𝐺 = Z e a operação adição, podemos ter a classe lateral 𝐻 + 𝑎 = {2Z+ 𝑎;∀𝑎 ∈ Z}. Veja que através da classe 𝐻 = 2Z, podemos partir Z. Vejamos, o grupo Z está dividido somente em duas classes laterais: 2Z + 0 e 2Z + 1, pois, se prosseguíssemos, 2Z+3, 2Z+4, . . . , o resultado redundaria ou em 2Z+0 ou em 2Z+1, então concluímos que Z possui somente duas classes laterais: {2Z, 2Z+ 1}. Repare que essas duas classes laterais são respectivamente os conjuntos dos números pares e dos números ímpares, então de fato, partimos o grupo Z. Ao conjunto de todas as classes laterais denotamos𝐺/𝐻 e o chamamos de Conjunto Quociente. Então, no caso do Exemplo 3.1.5, 𝐺/𝐻 = {𝑎+𝐻,para todo 𝑎 ∈ 𝐺} = Z/2Z = {2Z, 2Z+ 1}. Perceba que os elementos de 𝐺/𝐻 são classes (subconjuntos). Ao número de elementos de 𝐺/𝐻 chama-se í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 de H em G, denota-se [𝐺 : 𝐻]. Então [Z : 2Z] = 2. Facilmente demonstra-se que o índice de 𝐻 em 𝐺 é o mesmo para classes laterais à esquerda ou à direita. Agora, veremos mais uma importante definição na teoria dos grupos, a definição de subgrupo normal. Mas antes, vamos lembrar que o grupo Z é igual a 2Z∪2Z+1 e que 2Z∩ 2Z+1 ̸= ø. Lembremos também que o conjunto de todas as classes laterais chama- se conjunto quociente. Se a esse conjunto quociente atribuirmos a operação produto de subconjuntos2 teremos assim o grupo quociente 𝐺/𝐻 = {2Z, 2Z+1} cujo elemento neutro 2 O produto de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é: 𝐴𝐵 = {𝑎𝑏/𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}. De modo análogo a soma defini-se 𝐴+𝐵 = {𝑎+ 𝑏/𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵} 40 Capítulo 3. Teoria dos Grupos é 2Z. Mas é necessário fazer uma observação importante com o que está sendo dito, não se constrói um grupo quociente com qualquer classe lateral, devemos alojar uma condição ao subgrupo 𝐻. Veja que para todo 𝑎 ∈ Z temos 𝑎 +2Z = 2Z + 𝑎, quando isso ocorre dizemos que o grupo 2Z é um subgrupo normal. Definição 3.1.5 (Subgrupo Normal). Um subgrupo 𝑁 de um grupo 𝐺 é chamado de subgrupo normal (ou invariante) se, para todo 𝑥 ∈ 𝐺 se verifica a igualdade: 𝑥𝑁 = 𝑁𝑥 Sendo que 𝑥𝑁 ou 𝑁𝑥 significa a multiplicação de todos os elementos de 𝑁 por 𝑥. Deno- tamos 𝑁 C 𝐺. As afirmações abaixo são equivalentes e de fácil demonstração: ∙ 𝑥𝑁 = 𝑁𝑥 ∙ 𝑁 C 𝐺 ∙ Para todo 𝑥 ∈ 𝐺, 𝑥𝑁𝑥−1 = 𝑁 ∙ Para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, (𝑥𝑁)(𝑦𝑁) = (𝑥𝑦)𝑁 . Exemplo 3.1.6. Considerando o grupo simétrico 𝑆3 = {𝑓0, 𝑓1, 𝑓 21 , 𝑔1, 𝑔1𝑓1, 𝑔1𝑓 21}, o sub- grupo 𝑁 = {𝑓0, 𝑓1, 𝑓 21} de 𝑆3 é normal, pois para cada 𝜑 ∈ 𝑆3 temos 𝜑𝑁 = 𝑁𝜑. Verifique a tábua de 𝑆3 na página 37. Observação: Veja que fizemos: 𝑓 21 = 𝑓1 ∘ 𝑓1 = 𝑓2, 𝑔1𝑓1 = 𝑔1 ∘ 𝑓1 = 𝑔2, o mesmo é para 𝑔1𝑓 21 . Exemplo 3.1.7. Todo subgrupo de um grupo abeliano é normal. De fato, pois qualquer 𝑥𝑛 = 𝑛𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐺 e 𝑛 ∈ 𝑁. Outra observação importante desse definição é que a igualdade 𝑥𝑁 = 𝑁𝑥 não quer dizer que o elemento 𝑥 comuta com todos os elementos de 𝑁 , mas se trata de uma igualdade de subconjuntos, ou seja, se qualquer elemento 𝑎 pertence a 𝑥𝑁 , como 𝑥𝑁 = 𝑁𝑥, então 𝑎 também pertence 𝑁𝑥, por exemplo: 𝑔1𝑁 = {𝑔1, 𝑔1𝑓1, 𝑔1𝑓 21} = {𝑔1, 𝑔2, 𝑔3} 𝑁𝑔1 = {𝑔1, 𝑓1𝑔1, 𝑓 21 𝑔1} = {𝑔1, 𝑔3, 𝑔2} Isto é, 𝑔1𝑁 = 𝑁𝑔1, mas 𝑔1𝑓1 ̸= 𝑓1𝑔1. Como dissemos, a definição de subgrupo normal é fundamental para construirmos um grupo quociente, isto porque este subgrupo vai nos permitir que o produto de duas 3.1. Grupos 41 classes laterais determinem uma operação no conjunto 𝐺/𝑁 = {𝑔𝑁, para todo 𝑔 ∈ 𝐺}, isto é: (𝑔1𝑁)(𝑔2𝑁) = (𝑔1)(𝑁𝑔2)(𝑁) = (𝑔1)(𝑔2𝑁)(𝑁) = (𝑔1𝑔2)𝑁 . Definição 3.1.6 (Grupo Quociente). Sendo 𝐺 um grupo e 𝑁 um subgrupo normal de 𝐺. O grupo quociente de 𝐺 por 𝑁 é o conjunto quociente 𝐺/𝑁 = {𝑔1𝑁, 𝑔2𝑁, · · · , 𝑔𝑛𝑁} munido da operação binária multiplicação de subconjuntos: (𝑔1𝑁)(𝑔2𝑁) = (𝑔1𝑔2)𝑁 para todo 𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝐺. Cujo elemento neutro é 𝑒𝑁 = 𝑁 , o simétrico de 𝑎𝑁 é o elemento 𝑎−1𝑁 e |𝐺/𝑁 | = [𝐺 : 𝑁 ]. Exemplo 3.1.8. Sejam 𝐺 = 𝑆3 = {𝑓0, 𝑓1, 𝑓 21 , 𝑔1, 𝑔1𝑓1, 𝑔1𝑓 21} e 𝑁 = {𝑓0, 𝑓1, 𝑓 21} um sub- grupo normal normal de 𝐺. Perceba que 𝑔1𝑁 = {𝑔1, 𝑔1𝑓1, 𝑔1𝑓 21} = {𝑔1(𝑓0, 𝑓1, 𝑓 21 )} = {(𝑓0, 𝑓1, 𝑓 21 )𝑔1} = 𝑁𝑔1. Temos então o grupo quociente 𝐺/𝑁 = {𝑁, 𝑔1𝑁}, cujo elemento neutro é 𝑁 e 𝑔−11 𝑁 = 𝑔1𝑁 . Definição 3.1.7 (Grupo Cíclico). Um grupo 𝐺 será chamado grupo cíclico se, para algum elemento 𝑎 ∈ 𝐺, se verificar a igualdade 𝐺 = {𝑎𝑚/ 𝑚 ∈ Z}. Denotamos: 𝐺 = ⟨𝑎⟩. Nesse caso, o elemento 𝑎 é chamado gerador de 𝐺. Em outros termos, um grupo é cíclico se ele pude ser gerado por um, ou mais, de seus elementos. Nessa definição, é bom que se diga que a potência 𝑚 se refere a repetição da ope- ração e não simplesmente da multiplicação, então, 𝑎𝑚 significa que aplicou-se a operação sobre 𝑎, 𝑚 vezes. Nesse grupo assume-se que a identidade de 𝐺 = ⟨𝑎⟩ é representada por 𝑎0 e 𝑎−1 a inversa de um elemento 𝑎 e que 𝑎𝑎−1 = 𝑒. Se 𝐺 = ⟨𝑎⟩ é um grupo finito de ordem 𝑛, então 𝑎𝑛 = 𝑒, pois, como 𝐺 é finito, temos 𝑎𝑛 = 𝑒 = 𝑎0 para algum 𝑛 > 0 mínimo e inteiro. Exemplo 3.1.9. O polinômio 𝑥𝑛 − 1 = 0, possui como raiz: 𝑥𝑘 = 𝑒 2𝑘𝜋𝑖 𝑛 , 𝑘 = 0, 1, 2, . . . , 𝑛− 1. Perceba que 𝑥𝑘 gera todas as raízes de seu polinômio, portanto o conjunto ⟨𝑥𝑘⟩ das n-ésimas raízes da unidade é um grupo cíclico. Perceba ainda, quando 𝑘 = 𝑛, 𝑥𝑛 = 1 = 𝑥0 Proposição 3.1.1. Todo grupo cíclico é abeliano. Demonstração. Sejam 𝐺 um grupo cíclico e 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺. Então 𝑥 = 𝑎𝑚 e 𝑦 = 𝑎𝑛 para algum 𝑚,𝑛 inteiro. Logo, 𝑥𝑦 = 𝑎𝑚𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 = 𝑎𝑛+𝑚 = 𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑦𝑥. Teorema 3.1.1 (Lagrange). Se 𝐺 é um grupo finito e 𝐻 é um subgrupo de 𝐺, então a ordem de 𝐻 divide a ordem de 𝐺, isto é, 𝑜(𝐺) 𝑜(𝐻) = [𝐺 : 𝑁 ]. 42 Capítulo 3. Teoria dos Grupos Demonstração. Ver referência Gonçalves (1979, p.134) Exemplo 3.1.10. A ordem do subgrupo 𝐻 = {𝑓0, 𝑓1, 𝑓2} divide a ordem do grupo 𝐺 = 𝑆3. O teorema de Lagrange traz duas consequências importante: Corolário 3.1.1. A ordem de um elemento de um grupo finito divide a ordem desse grupo. Demonstração. Basta ver que a ordem de um elemento 𝑎 é igual a ordem do grupo ⟨𝑎⟩ e por força do teorema de Lagrange, temos: 𝑜(⟨𝑎⟩)|𝑜(𝐺) Corolário 3.1.2. Se 𝐺 é um grupo finito cuja ordem é um número primo. Então 𝐺 é cíclico e os únicos subgrupos de 𝐺 são os triviais, ou seja, {𝑒} e o próprio {𝐺}. Demonstração. Devemos mostrar primeiro que dentro de um grupo qualquer cuja or- dem é maior que um, existe um subgrupo não-trivial que é ⟨𝑎⟩, onde 𝑎 ̸= 𝑖𝑑. De fato, ⟨𝑎⟩ ̸= ø , pois 𝑎 ∈ ⟨𝑎⟩. Agora, sejam 𝑎𝑚,𝑎𝑛 ∈ ⟨𝑎⟩, então, como 𝑎𝑚(𝑎𝑛)−1 = 𝑎𝑚𝑎−𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 ∈ ⟨𝑎⟩, logo ⟨𝑎⟩ é um subgrupo de G. Agora, pelo Teorema de Lagrange, |⟨𝑎⟩| divide a ordem de 𝐺. Como |⟨𝑎⟩| é maior que 1, pois 𝑒, 𝑎 ∈ ⟨𝑎⟩, logo |⟨𝑎⟩| = |𝐺|. Isso quer dizer que 𝐺 = ⟨𝑎⟩. Proposição 3.1.2. Todo grupo de ordem 2 ou 3 é cíclico. Demonstração. Como 2 e 3 são primos, pelo Corolário 3.1.2 são cíclicos. 3.2 Grupo das Permutações O grupo das permutações é um grupo digno de ser estudado com mais acuidade devido sua importância na teoria de Galois. Definição 3.2.1 (Permutação). Se 𝐸 = {1, 2, 3, . . . , 𝑛} é um conjunto com 𝑛 elementos, cada função bijetiva 𝜑 que leva 𝐸 nele mesmo é designado de permutação. Então, cada 𝜑: 𝜑0 : 𝐸 −→ 𝐸 𝜑1 : 𝐸 −→ 𝐸 ... 𝜑𝑛! : 𝐸 −→ 𝐸 é uma permutação que pode ser representada por uma matriz de duas linhas onde, na primeira linha se representa a variável e na segunda a imagem da variável. Assim: 3.2. Grupo das Permutações 43 𝜑 = ⎛⎝ 1 2 3 . . . 𝑛 𝜑(1) 𝜑(2) 𝜑(3) . . . 𝜑(𝑛) ⎞⎠ O conjunto de todos os 𝜑𝑖′𝑠 com a operação composição formam o grupo das per- mutações dos 𝑛 elementos, que denotamos por 𝑆𝑛, chamado grupo simétrico. O conjunto 𝐸 = {1, 2, 3, . . . 𝑛} é chamado de conjunto suporte dos 𝜑′𝑖𝑠. O elemento neutro de 𝑆𝑛 é 𝜑0 = 𝑖𝑑, o simétrico de 𝜑 é 𝜑−1 que é obtido invertendo a primeira linha pela segunda e reordenando os elementos em seguida. Vejamos o exemplo do grupo 𝑆3, a inversa de 𝑓1 = ⎛⎝1 2 3 2 3 1 ⎞⎠ é 𝑓−1 = ⎛⎝2 3 1 1 2 3 ⎞⎠ = ⎛⎝1 2 3 3 1 2 ⎞⎠ = 𝑓2. Facilmente se vê que o número de bijeções 𝜑 é 𝑛!, basta usarmos o argumento simples de contagem. Temos então: 𝑆𝑛 = {𝜑0, 𝜑1, . . . , 𝜑𝑛!}, sendo 𝐸 = {1, 2, . . . , 𝑛} Percebemos também, que o importante para nós é o número de elementos do conjunto 𝐸 = {1, 2, . . . , 𝑛} pois, permutar letras, números, frutas, etc. é a mesma operação só que com elementos diferentes. Exemplo 3.2.1. O conjunto 𝐸 = {1, 2, 3} terá 3! permutações: 𝑆3 = {𝜑1, 𝜑2, 𝜑3, 𝜑4, 𝜑5, 𝜑6} 𝑆3 = ⎧⎨⎩𝜑1 = ⎛⎝1 2 3 1 2 3 ⎞⎠ ;𝜑2 = ⎛⎝1 2 3 2 3 1 ⎞⎠ ;𝜑3 = ⎛⎝1 2 3 3 1 2 ⎞⎠ ;𝜑4 = ⎛⎝1 2 3 1 3 2 ⎞⎠ ; 𝜑5 = ⎛⎝1 2 3 3 2 1 ⎞⎠ ;𝜑6 = ⎛⎝1 2 3 2 1 3 ⎞⎠⎫⎬⎭ . Agora iremos apresentar um tipo especial de permutação e de grande importância para o estudo do grupo das permutações. A título de motivação, consideremos o seguinte exemplo de uma permutação em 𝑆5: 𝜙 = ⎛⎝1 2 3 4 5 3 1 2 4 5 ⎞⎠ Percebemos que 𝜙(1) = 3, 𝜙(3) = 2, 𝜙(2) = 1 e 𝜙(4) = 4, 𝜙(5) = 5. Por ter esta característica, a permutação 𝜙 é chamada de 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜. O conjunto 𝒪5 = {︁ 1, 𝜙(1), 𝜙 (︁ 𝜙(1) )︁}︁ é chamado de ó𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 e pode se representar na forma 𝒪5 = (︃ 1 𝜙(1) 𝜙 (︁ 𝜙(1) )︁)︃ = (1 3 2). Esta órbita possui comprimento 3 pois possui três elementos. Perceba que a imagem dos elementos que não pertencem à órbita são eles mesmos. 44 Capítulo 3. Teoria dos Grupos Definição 3.2.2 (Ciclo e Órbita). Ciclo é toda permutaçãoque possui somente uma órbita de comprimento maior que um. Órbita é uma sequência de aplicações de uma variável numa permutação. O comprimento de uma órbita é o seu número de elementos. Exemplo 3.2.2. Consideremos em 𝑆7 a permutação: 𝛼 = ⎛⎝1 2 3 4 5 6 7 1 5 7 4 3 6 2 ⎞⎠ Pela definição, a permutação 𝛼 é um ciclo, pois possui somente uma órbita: 𝒪7 = (2 5 3 7) e 𝛼(1) = 1, 𝛼(4) = 4 e 𝛼(6) = 6. O comprimento de 𝒪7 é 4. As imagens dos elementos que não pertencem a órbita são eles mesmos. Exemplo 3.2.3. Consideremos em 𝑆5 a permutação: 𝜎 = ⎛⎝1 2 3 4 5 3 5 2 1 4 ⎞⎠ 𝜎 é um ciclo, pois possui somente uma órbita de comprimento maior que um, aliás, diferentemente do Exemplo 3.2.2, todos os elementos de 𝜎 pertence à sua órbita 𝒪5 = (1 3 2 5 4). Contra-exemplo 3.2.1. Consideremos em 𝑆7 a permutação: 𝛾 = ⎛⎝1 2 3 4 5 6 7 1 4 3 7 6 5 2 ⎞⎠ Pela definição, 𝛾 não é um ciclo, pois 𝛾 possui duas órbitas que são: 𝛾(2) = 4, 𝛾(4) = 7, 𝛾(7) = 2, isto é (2 4 7) e 𝛾(5) = 6, 𝛾(6) = 5, isto é (5 6). É comum se representar um ciclo pelos os elementos de sua órbita, foi o que fizemos nos exemplos anteriores. No caso do Contra Exemplo 3.2.1, que possui duas órbitas, a permutação 𝛾 pode se escrever como um produto de dois ciclos disjuntos. Dois ciclos (𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) e (𝑏1, 𝑏2, . . . , 𝑏𝑠) são disjuntos quando {𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘}∩{𝑏1, 𝑏2, . . . , 𝑏𝑠} = ø: 𝛾 = ⎛⎝1 2 3 4 5 6 7 1 4 3 7 5 6 2 ⎞⎠ ∘ ⎛⎝1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 6 5 7 ⎞⎠ = (2 4 7) ∘ (5 6) Proposição 3.2.1. Qualquer permutação de 𝑆𝑛 pode ser escrita de uma única forma (salvo quanto à ordem dos fatores) como um produto de ciclos disjuntos, exceto a permu- tação idêntica. Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p. 202) A partir de agora, toda permutação que possui somente uma órbita com 𝑟 elemen- tos a chamaremos de 𝑟 − 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜, caso contrário, permutação. 3.2. Grupo das Permutações 45 Definição 3.2.3 (Transposição). Uma transposição é todo ciclo cuja órbita tem compri- mento dois, isto é, é um 2-ciclo. Exemplo 3.2.4. No grupo simétrico 𝑆3 a permutação 𝜑4 é uma transposição: 𝜑4 = ⎛⎝1 2 3 1 3 2 ⎞⎠ = (2 3) Toda permutação de 𝑆𝑛(𝑛 > 1) pode ser expressa como um produto de transposi- ções, o processo é baseado no seguinte procedimento: (1) decompõe-se a permutação em ciclos disjuntos, em seguida, (2) em cada ciclo realiza-se o seguinte processo: (𝑥1 𝑥2 𝑥3 . . . 𝑥𝑗−1 𝑥𝑗) = (𝑥1 𝑥𝑗) ∘ (𝑥1 𝑥𝑗−1) ∘ (𝑥1 𝑥𝑗−2) ∘ · · · ∘ (𝑥1 𝑥2) Isso demonstra a seguinte proposição: Proposição 3.2.2. O grupo 𝑆𝑛 é gerado pelo conjunto de todas as transposições de 𝑆𝑛. Demonstração. Pela Proposição 3.2.1, basta aplicarmos o que acabamos de dizer acima. Vemos este exemplo: Exemplo 3.2.5. Vamos decompor a permutação 𝜑 de 𝑆6 em um produto de transposições. 𝜑 = ⎛⎝1 2 3 4 5 6 3 1 2 4 6 5 ⎞⎠ O primeiro passo é decompor 𝜑 em um produto de ciclos disjuntos, em seguida, decompor cada ciclo de comprimento maior que 2 em transposições. Assim: 𝜑 = ⎛⎝1 2 3 4 5 6 3 1 2 4 6 5 ⎞⎠ = (1 3 2) ∘ (5 6) = (1 2) ∘ (1 3) ∘ (5 6). Proposição 3.2.3. Seja 𝑎 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}. Então 𝑆𝑛 = ⟨{(𝑎 1), (𝑎 2), . . . (𝑎 𝑛)}⟩. Demonstração. Na Proposição 3.2.2, vimos que 𝑆𝑛 = ⟨{𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑠𝑖çõ𝑒𝑠}⟩, então, basta mostrar que (𝑖 𝑗) pertence a ⟨{(𝑎 1), (𝑎 2), . . . (𝑎 𝑛)}⟩. De fato, (𝑖 𝑗) = (𝑎 𝑖)(𝑎 𝑗)(𝑎 𝑖), com 𝑎, 𝑖, 𝑗 distintos. Teorema 3.2.1. Os ciclos (1 2) e (1 2 . . . 𝑛), com 1, 2, , . . . , 𝑛 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} geram 𝑆𝑛. Demonstração. Seja 𝐺 = ⟨𝛼, 𝜎⟩ 46 Capítulo 3. Teoria dos Grupos com 𝛼 = (1 2) e 𝜎 = (1 2 . . . 𝑛), o grupo gerado por 𝛼 e 𝜎. Então, podemos ter 𝜎−1 = (1 𝑛 𝑛− 1 . . . , 3 2). Assim, 𝜎𝛼𝜎−1 = (2 3), 𝜎2𝛼𝜎−2 = (3 4), . . . , (𝑚 𝑚+ 1) pertencem a 𝐺, como também as transposições: (1 2)(2 3)(1 2) = (1 3) (1 3)(3 4)(1 3) = (1 4) ... (1 𝑛− 1)(𝑛 𝑛− 1)(1 𝑛− 1) = (1 𝑛) Daí, segue que, pela Proposição 3.2.3, o conjunto: {(1 2), (1 3), (1 4), . . . , (1 𝑛)} gera 𝑆𝑛, Logo, 𝐺 = 𝑆𝑛. Permutação Par e Permutação Ímpar A permutação identidade é uma permutação que pode ser escrita como o produto de duas transposições inversa, qualquer que seja o número de elementos do conjunto suporte, isto é: 𝑖𝑑 = (𝑥𝑖 𝑥𝑗) ∘ (𝑥𝑗 𝑥𝑖). Exemplo 3.2.6. 𝑖𝑑 = ⎛⎝1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 ⎞⎠ = ⎛⎝1 2 3 4 5 6 7 1 4 3 2 5 6 7 ⎞⎠ ∘ ⎛⎝1 2 3 4 5 6 7 1 4 3 2 5 6 7 ⎞⎠ = (2 4) ∘ (4 2). Ao decompormos uma permutação em um produto de transposições, essa decom- posição não é única. Exemplo 3.2.7. Vejamos este exemplo de 𝜑1 ∈ 𝑆6 𝜑1 = ⎛⎝1 2 3 4 5 6 4 6 1 3 2 5 ⎞⎠ = (1 4 3) ∘ (2 6 5) = (1 3) ∘ (1 4) ∘ (2 5) ∘ (2 6) (3.1) = (1 2) ∘ (2 1) ∘ (1 3) ∘ (1 4) ∘ (2 5) ∘ (2 6) (3.2) Tanto a decomposição (3.1) como a decomposição (3.2) correspondem a permuta- ção 𝜑. Perceba que a inclusão do fator (1 2) ∘ (2 1) não altera o resultado, isso porque – como se viu no exemplo (3.2.6) – qualquer fator da forma (𝑥𝑖𝑥𝑗) ∘ (𝑥𝑗𝑥𝑖) representa a 3.2. Grupo das Permutações 47 identidade. Mas o que de fato interessa destacar é a paridade das decomposições de uma permutação em transposições, isto é, se uma permutação se decompor num produto de transposição com o número par de fatores, o mesmo acontece com todas as outras pos- sibilidades de decomposição dessa permutação em transposição. Por outro lado, se uma permutação se decompor em um número ímpar de transposições, todas as outras possibi- lidade de decomposições em transposições também terá número ímpar de transposições. No caso do exemplo (3.2.7), na decomposição (3.1), a permutação 𝜑 se decompôs em quatro transposições, ou seja, um número par de transposições e na (3.2), se decompôs também em um número par de fatores só que com seis transposições, isso sem alterar o resultado. Exemplo 3.2.8. A permutação 𝜑2 possui um número ímpar de fatores de transposições, qualquer que seja sua decomposição. 𝜑2 = ⎛⎝1 2 3 4 5 6 3 1 2 4 6 5 ⎞⎠ = (1 3 2) ∘ (5 6) = (1 2) ∘ (1 3) ∘ (5 6) = (1 2) ∘ (1 3) ∘ (1 4) ∘ (4 1) ∘ (5 6) Definição 3.2.4 (Permutação par e Permutação ímpar). Seja 𝜑 um permutação de 𝑆𝑛. Se 𝜑 se decompor num número par de fatores, dizemos que 𝜑 é uma permutação par. Caso contrário, será ímpar. O conjunto das permutações pares de 𝑆𝑛 será indicado por 𝐴𝑛. Veja que 𝐴𝑛 ̸= ø, pois 𝑖𝑑 = (𝑥𝑖 𝑥𝑗) ∘ (𝑥𝑗 𝑥𝑖) é par. Proposição 3.2.4. O conjunto 𝐴𝑛, 𝑛 > 1 é um subgrupo de 𝑆𝑛, chamado grupo alternado de grau n, cuja ordem é 𝑛!2 . Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p. 206) Corolário 3.2.1. 𝐴𝑛 é um subgrupo normal de 𝑆𝑛. Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p.206) Exemplo 3.2.9. Vamos encontrar o subgrupo 𝐴3 de 𝑆3, isto é, o subgrupo das permuta- ções pares de 𝑆3 : 𝜑1 = 𝑖𝑑 é par, 𝜑2 = (1 2 3) = (1 3)(1 2) é par, 𝜑3 = (1 3 2) = (1 2)(1 3) é par, 𝜑4 = (2 3) é ímpar 48 Capítulo 3. Teoria dos Grupos 𝜑5 = (1 3) é ímpar 𝜑6 = (1 2) é ímpar Então: 𝐴3 = {𝜑0, 𝜑1, 𝜑2} No grupo 𝑆𝑛, pode ser encontrado somente dois tipos de permutações: pares e ímpares. Como vimos, o conjunto de todas as permutações pares formam um subgrupo de 𝑆𝑛. Mas o mesmo não poder ser dito para as permutações ímpares, de fato, o produto de duas permutações ímpares resultam numa permutação par, ou seja, o conjunto das permutações ímpares não é fechado para o produto e, desse modo, não cumpre uma das condições da definição de subgrupo. Somente com o produto de uma permutação par com uma ímpar é que se resulta numa permutação ímpar e, dessa forma, também não teremos um subgrupo pelo fato da permutação par ser estranho ao conjunto das permutações ímpares. Na página (40), vimos que para um grupo quociente, temos que ter um subgrupo normal, tendo em vista isto, podemos ter o grupo quociente: 𝑆𝑛/𝐴𝑛 ={𝐴𝑛, 𝜑𝐴𝑛 / 𝜑 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟}. Proposição 3.2.5. O grupo 𝐴𝑛, para 𝑛 ≥ 3, é gerado por 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠. Demonstração. Em outras palavras, a proposição quer dizer que qualquer elemento de 𝐴𝑛 é um produto de 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠. Então, se (𝑎 𝑏 𝑐) é um 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 qualquer, vamos mostrar que 𝐴𝑛 = ⟨{(𝑎 𝑏 𝑐)}⟩. Para isso vamos demonstrar dois casos: ⟨{(𝑎 𝑏 𝑐)}⟩ ⊂ 𝐴𝑛. De fato, pois (𝑎 𝑏 𝑐) é igual a (𝑎 𝑐)(𝑎 𝑏), que é uma permu- tação par. Então ⟨(𝑎 𝑏 𝑐)⟩ ⊂ 𝐴𝑛. 𝐴𝑛 ⊂ ⟨{(𝑎 𝑏 𝑐)}⟩. Nesse caso, vamos mostrar que se 𝜑 é uma permutação qual- quer de 𝐴𝑛, então 𝜑 se escreve como um produto de 3 − 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠, para tanto, mostraremos que o produto de duas transposições quaisquer é um produto de 3 − 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠. Na página (45) vimos que qualquer permutação se escreve como um produto de transposições. Então, seja 𝛾 e 𝛾′ duas transposições quaisquer que são fatores de 𝜑, se 𝛾, 𝛾′ são disjuntas, isto é, 𝛾 = (𝑎 𝑏) 𝛾′ = (𝑐 𝑑), então temos: 𝛾 ∘ 𝛾′ = (𝑎 𝑏) ∘ (𝑐 𝑑) = (𝑎 𝑏) (𝑎 𝑐)(𝑐 𝑎)⏟ ⏞ 𝑖𝑑 (𝑐 𝑑) = (𝑎 𝑐 𝑏)(𝑐 𝑑 𝑎), que é um produto de 3 − 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜. Agora, se 𝛾, 𝛾′ não são disjuntas, temos (𝑎 𝑐)(𝑎 𝑏) = (𝑎 𝑏 𝑐), que também é um 3− 𝑐𝑖𝑙𝑐𝑜. Logo 𝐴𝑛 ⊂ ⟨(𝑎 𝑏 𝑐)⟩. 3.2. Grupo das Permutações 49 Proposição 3.2.6. Seja o natural 𝑛 ≥ 3. Então 𝐴𝑛 = ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩ tal que 𝑎, 𝑏 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 e 𝑎 ̸= 𝑏, 𝑖 ̸= 𝑎, 𝑏. Demonstração. Basta demonstrar duas situações: ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩ ⊂ 𝐴𝑛. De fato, pois qualquer elemento de ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩ é um 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 ou um produto de 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠. 𝐴𝑛 ⊂ ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩. De fato, se tomarmos (𝑚 𝑛 𝑘), um 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 qualquer de 𝐴𝑛, basta mostrar que (𝑚 𝑛 𝑘) ∈ ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩, para isso consideremos três casos: (𝑖) 𝑎, 𝑏 ∈ {𝑚,𝑛, 𝑘}. Então, (𝑚 𝑛 𝑘) = (𝑎 𝑏 𝑖) para algum 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} e 𝑖 ̸= 𝑎, 𝑏. (𝑖𝑖) 𝑎 ∈ {𝑚,𝑛, 𝑘} e 𝑏 /∈ {𝑚,𝑛, 𝑘}. Então, podemos representar (𝑚 𝑛 𝑘) por (𝑎 ℎ 𝑖) com ℎ, 𝑖 /∈ {𝑎, 𝑏}, isto é, (𝑚 𝑛 𝑘) = (𝑎 ℎ 𝑖). Como podemos encontrar em ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩ os elementos (𝑎 𝑏 ℎ), (𝑎 𝑏 𝑖) e (𝑎 𝑏 𝑖)−1, temos: (𝑎 𝑏 𝑖)−1(𝑎 𝑏 ℎ)(𝑎 𝑏 𝑖) = (𝑎 𝑖 𝑏)(𝑎 𝑏 ℎ)(𝑎 𝑏 𝑖) = (𝑎 ℎ 𝑖) ∈ ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩, ou seja, (𝑚 𝑛 𝑘) ∈ ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩ (𝑖𝑖𝑖) 𝑎 /∈ {𝑚,𝑛, 𝑘}. Nesse caso, podemos fazer com que (𝑚 𝑛 𝑘) se reduza ao caso (𝑖) : (𝑚 𝑛 𝑘) = (𝑎 𝑘 𝑛)(𝑎 𝑚 𝑘)(𝑎 𝑛 𝑘), Perceba que qualquer um dos três fatores se enquadram no caso (𝑖). Teorema 3.2.2 (Teorema de Cauchy). Seja 𝐺 um grupo e 𝑝 um número primo. Se 𝑝 divide a ordem de 𝐺, então 𝐺 possui um elemento de ordem 𝑝. Demonstração. Ver referência Lima (2012)[p.59] Exemplo 3.2.10. Em 𝑆5 temos 5! = 120 permutações, como 5 é primo e divide ⃒⃒⃒ 𝑆5 ⃒⃒⃒ , logo existe um elemento em 𝑆5 cuja ordem é 5. De fato, esse elemento pode ser:⎛⎝ 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 ⎞⎠ = (1 2 3 4 5), então,(︁ (1 2 3 4 5) )︁1 = (1 2 3 4 5)(︁ (1 2 3 4 5) )︁2 = (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5) = (1 3 5 2 4) 50 Capítulo 3. Teoria dos Grupos (︁ (1 2 3 4 5) )︁3 = (1 3 5 2 4)(1 2 3 4 5) = (1 4 2 5 3)(︁ (1 2 3 4 5) )︁4 = (1 4 2 5 3)(1 2 3 4 5) = (1 5 4 3 2)(︁ (1 2 3 4 5) )︁5 = 𝑖𝑑. Proposição 3.2.7. Em 𝑆𝑝, com 𝑝 primo, uma permutação de ordem 𝑝 é um 𝑝− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜. Demonstração. Seja 𝜑 ∈ 𝑆𝑝, uma permutação de ordem 𝑝. Vimos que 𝜑 pode se decompor em um produto de ciclos disjuntos não triviais como 𝜑 = 𝜑1𝜑2 · · ·𝜑𝑟. Na referência Chueire (2009)[p.25], poderemos ver que⃒⃒⃒ 𝜑1𝜑2 · · ·𝜑𝑟 ⃒⃒⃒ = 𝑚.𝑚.𝑐(𝑛1, . . . , 𝑛𝑟) onde 𝑛𝑖 é o comprimento do ciclo 𝜑𝑖. Como por hipótese 𝜑 tem ordem 𝑝 e 𝜑 = 𝜑1𝜑2 · · ·𝜑𝑟, temos que ⃒⃒⃒ 𝜑1𝜑2 · · ·𝜑𝑟 ⃒⃒⃒ = 𝑝 = 𝑚.𝑚.𝑐(𝑛1, . . . , 𝑛𝑟). Como 𝑝 é primo e 𝑛𝑖 > 1, temos 𝑛𝑖 = 𝑝 para todo 𝑖. Assim, 𝜑 é um produto de 𝑝− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 disjuntos. Uma vez que 𝜑 pertence a 𝑆𝑝, não pode haver até dois 𝑝− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 disjuntos, de modo que 𝜑 é um único 𝑝− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜. Exemplo 3.2.11. Veja do exemplo anterior que, em 𝑆5, a uma permutação⎛⎝ 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 ⎞⎠ tem por ordem o primo 5, então, essa permutação é um 5− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜. Agora, vamos mostrar uma definição que Galois teve de criar para que pudesse vincular uma propriedade ao grupo das permutações das raízes. Essa propriedade é a chave que nos revela quando uma equação é resolúvel por radicais ou não. Definição 3.2.5 (Grupo Solúvel). Um grupo 𝐺 é dito solúvel se existem subgrupos que satisfaçam as condições: (I) 𝑖𝑑 = 𝐺0 � 𝐺1 � . . . � 𝐺𝑛−1 � 𝐺𝑛 = 𝐺. (II) 𝐺𝑖/𝐺𝑖−1 é abeliano. O item (I) da definição é chamada de subsérie normal de 𝐺, em que cada 𝐺𝑖−1 é normal em 𝐺𝑖. No item (II) o grupo quociente 𝐺𝑖/𝐺𝑖−1 é chamado de fator da série e estabelece que cada grupo quociente seja abeliano, isto é, que o produto de duas classes laterais sejam comutativo. Quando uma torre ou cadeia de subgrupos apoia-se nessas duas condições, a torre ou cadeia é chamada série subnormal abeliana. 3.2. Grupo das Permutações 51 Exemplo 3.2.12. Todo grupo abeliano é solúvel. De fato, sabemos do exemplo 3.1.7 que todo subgrupo de um grupo abeliano é normal. Então, seja 𝐻 um subgrupo de um grupo abeliano 𝐺. Perceba que 𝐺/𝐻 = {𝑔𝐻; ∀𝑔 ∈ 𝐺} é abeliano, pois: 𝑔1𝐻 · 𝑔2𝐻 = 𝑔1𝑔2𝐻 = 𝑔2𝑔1𝐻 = 𝑔2(𝑔1𝐻)𝐻 = 𝑔2(𝐻𝑔1)𝐻 = 𝑔2𝐻 · 𝑔1𝐻. Exemplo 3.2.13. O grupo 𝑆𝑛, para 𝑛 = 1 ou 2, é um grupo abeliano, logo, será um grupo solúvel. De fato, 𝑆1 = 𝑖𝑑 é imediato. 𝑆2 é um grupo cíclico gerado pela transposição (1 2), e, como sabemos, todo grupo cíclico é abeliano. Aliás, são os únicos grupos simétricos que são abeliano. Exemplo 3.2.14. O grupo 𝑆3 é solúvel, pois: ∙ 𝑖𝑑 � 𝐴3 � 𝑆3 é uma torre normal, isto é, 𝜑𝐴3 = 𝐴3𝜑, para todo 𝜑 ∈ 𝑆3. ∙ 𝑆3/𝐴3 é abeliano, pois este grupo possui somente dois subgrupos (elementos) que são 𝑆3/𝐴3 = {𝐴3, 𝜑𝐴3} e pela Proposição 3.1.2 é um grupo cíclico e, como sabemos, 𝑆3/𝐴3 é abeliano pela Proposição 3.1.1. Vejamos a tabua do grupo 𝑆3/𝐴3 ∘ 𝐴𝑛 𝜑𝐴𝑛 𝐴𝑛 𝐴𝑛 𝜑𝐴𝑛 𝜑𝐴𝑛 𝜑𝐴𝑛 𝐴𝑛 Por isso, é que se pode escrever uma fórmula algébrica para a resolução da equação de grau 3, pelo fato do grupo simétrico 𝑆3 ser um grupo solúvel. Mas adiante, na Seção 5.3, do Capítulo 5, veremos como Galois associou uma equação a um grupo simétrico. Exemplo 3.2.15. O grupo 𝑆4 é um grupo solúvel. Pela definição de grupo solúvel, temos que ter em 𝑆4 uma subsérie abeliana, isto é, uma subsérie normal de 𝑆4 cujos fatores sejam abelianos. Isso justamente ocorre em 𝑆4. Vejamos, a torre: 𝑖𝑑 � 𝑉 � 𝐴4 � 𝑆4 (3.3) Onde 𝑉 = {𝑖𝑑, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}. Sabemos do Corolário 3.2.1 que 𝐴4 é normal em 𝑆4. Quanto ao subgrupo 𝑉 , também é normal em 𝐴4 pois, se (𝑎 𝑏 𝑐) ∈ 𝐴4 e (𝑎 𝑏)(𝑐 𝑑) ∈ 𝑉 temos que ter: (𝑎 𝑏 𝑐)(𝑎 𝑏)(𝑐 𝑑)(𝑎 𝑏 𝑐)−1 ∈ 𝑉 mas (𝑎 𝑏 𝑐)(𝑎 𝑏)(𝑐 𝑑)(𝑎 𝑏 𝑐)−1 = (𝑎 𝑏 𝑐)(𝑎 𝑏)(𝑐 𝑑)(𝑎 𝑐 𝑏) = (𝑎 𝑑)(𝑏 𝑐) 52 Capítulo 3. Teoria dos Grupos que é um elemento de 𝑉 , porque qualquer o elemento de 𝑉 é um produto de transposições disjuntas. Logo, 𝑉 é normal em 𝐴4. As tábuas de 𝑆4/𝐴4 = {𝐴4, 𝜑𝐴4/ ∀ 𝜑 impar ∈ 𝑆4} e 𝐴4/𝑉 = {𝑉 } são respectiva- mente: ∘ 𝐴4 𝜑𝐴4 𝐴4 𝐴4 𝜑𝐴4 𝜑𝐴4 𝜑𝐴4 𝐴4 e ∘ 𝑉 𝑉 𝑉 Veja que o grupo 𝐴4/𝑉 é igual a {𝑉 } porque para todo elemento 𝜑′ de 𝐴4 temos 𝜑′𝑉 = {𝑉 }. Diante disso, concluímos que o grupo 𝑆4 é abeliano, pois a cadeia 3.3 é uma subsérie normal de 𝑆4 e os fatores 𝑆4/𝐴4 e 𝐴4/𝑉 são abelianos, como vimos em suas respectivas tábuas. Agora, vamos mostrar que o grupo simétrico 𝑆5 não é um grupo solúvel. Mas precismos primeiro das noções de homomorfismo e isomorfismo, que será visto agora na próxima seção. Poderíamos até considerar nossa demonstração como mais um exemplo dessa seção, mas devido a sua importância consideraremos como um teorema.3.3 Representações em Grupos Uma representação (ou uma função se preferir) é uma aplicação que leva (ou transforma) mediante uma certa operação, elementos de um grupo em elementos de um outro grupo. A utilidade de se trabalhar com uma representação é que podemos tomar os elementos de um certo grupo e transformá-los em elementos de outro grupo, além de podermos também, através dessa transformação, trabalharmos com estruturas cognoscí- veis, isto é, estruturas “concretas” e, se conseguimos provar algo para um certo grupo, provou-se também para o outro.. Por exemplo, se 𝐴 é um grupo qualquer que deseja- mos conhecer certa propriedade, e a realização de um estudo em sua estrutura se torna algo inviável, então a solução seria estudar o grupo 𝐴 via um grupo 𝐵 sendo este mais “concreto” (como por exemplo o grupo da permutações), então, o que se atestar em 𝐵 também atestar-se-á para 𝐴 via uma representação. Mas essa conexão só é possível se uma representação abrigar certas propriedades que é a preservação da operação (homo- morfismo) e, se houver a necessidade de mantermos a igualdade estrutural, será exigida 3.3. Representações em Grupos 53 ainda a bijeção (isomorfismo). As representações que assumem tais propriedades adotam nomes bem sugestivos: Homomorfismo e Isomorfismo 3. Iremos trabalhar fundamental- mente com estas duas estruturas, principalmente com os isomorfismo de um grupo nele mesmo chamado de automorfismo. Fundamentalmente, o nosso propósito com este estudo será o de representar o grupo das permutações das raízes de uma equação quíntica pelo grupo simétrico 𝑆5. Definição 3.3.1 (Homomorfismo de Grupos). É toda função 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 entre dois grupos (𝐺, *) e (𝐿, ∘) tais que, quais quer que sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺: 𝑓(𝑥 * 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∘ 𝑓(𝑦) Quando essa representação é injetora passa a se chamar monomorfismo ou homo- morfismo injetivo. Quando é sobrejetora chama-se epimorfismo ou homomorfismo sobre- jetivo. Quando é bijetora passa a se chamar de isomorfismo. Doravante, faremos uso desses conceitos em vez de representação injetiva, sobrejetiva ou bijetiva que preservam operação. Exemplo 3.3.1. A função 𝑓 : R→ C* definida por 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝜋𝑥𝑖 = cos(2𝜋𝑥) + 𝑖 sen(2𝜋𝑥) é um homomorfismo. De fato, se 𝑥, 𝑦 ∈ R temos: 𝑓(𝑥+ 𝑦) = 𝑒2𝜋𝑖(𝑥+𝑦) = 𝑒2𝜋𝑥𝑖+2𝜋𝑦𝑖 = 𝑒2𝜋𝑥𝑖 · 𝑒2𝜋𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥) · 𝑓(𝑦) . Esse homomorfismo não é sobrejetor. Para mostrar isso basta verificar que o módulo de 𝑓(𝑥) é 1, isso faz com que a Im(𝑓) só assumam valores até 1. Também não é injetor, pois quando 𝑥 = Z, então 𝑓(𝑥) = 1. Definição 3.3.2 (Isomorfismo de Grupos). Seja 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 um homomorfismo. Se 𝑓 for bijetora, então será chamada de isomorfismo. Se 𝐺 = 𝐿 e a operação for a mesma, 𝑓 passa a se chamar automorfismo. Exemplo 3.3.2. A função exponencial 𝑓 : R → R+ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 é um iso- morfismo. Veja que 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑥+𝑦 = 𝑎𝑥 · 𝑎𝑦 = 𝑓(𝑥) · 𝑓(𝑦). É injetora pois, se 𝑥 = 𝑦 ⇒ 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦). Também é sobrejetora pois, para todo 𝑎𝑥 ∈ R+ tem-se um único 𝑥 ∈ R. No início desta seção, dissemos que a um isomorfismo de um grupo nele mesmo chama-se automorfismo, agora, vamos mostrar que ao conjunto de todos os automorfismo de um grupo com a operação composição de funções, também é um grupo. 3 A palavra homomorfismo vem da língua grega que significa: homos = mesmo + morphe = formato. Já a palavra isomorfismo, que também tem origem grega, significa: iso = igual + morphos = forma. 54 Capítulo 3. Teoria dos Grupos Teorema 3.3.1. Seja 𝐺 um grupo. O conjunto de todas os automorfismos, que denotamos por 𝐴𝑢𝑡𝐺, é um grupo com a operação composição de homomorfismo. Demonstração. Para demonstração, precisamos mostrar que em 𝐴𝑢𝑡𝐺, estão todos os requisitos para que um conjunto seja um grupo. Mas antes, vamos mostrar que a operação composição de homomorfismo de fato é um homomorfismo. X 𝑓 ∘𝑔(𝑥+𝑦) = 𝑓 (︁ 𝑔(𝑥+𝑦) )︁ = 𝑓 (︁ 𝑔(𝑥)+𝑔(𝑦) )︁ = 𝑓 (︁ 𝑔(𝑥) )︁ +𝑓 (︁ 𝑔(𝑦) )︁ = 𝑓 ∘𝑔(𝑥)+𝑓 ∘𝑔(𝑦). X Associatividade - (︁ (𝑓 ∘𝑔)∘ℎ )︁ (𝑥) = (︁ 𝑓 ∘𝑔 )︁ ∘ (︁ ℎ(𝑥) )︁ = 𝑓 (︃ 𝑔 (︂ ℎ(𝑥) )︂)︃ = 𝑓 (︁ (𝑔∘ℎ)(𝑥) )︁ =(︁ 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ) )︁ (𝑥). X Elemento neutro - O elemento neutro da operação é a função 𝑖𝑑, pois (𝑓 ∘ 𝑖𝑑)(𝑥) = 𝑓 (︁ 𝑖𝑑(𝑥) )︁ = 𝑓(𝑥) e (𝑖𝑑 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑖𝑑 (︁ 𝑓(𝑥) )︁ = 𝑓(𝑥). X Existência de Simétrico - O simétrico, isto é, a aplicação inversa de 𝑓 é a função 𝑓−1 tal que 𝑓−1(𝑦) = 𝑥. Vejamos: (𝑓−1 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓−1 (︁ 𝑓(𝑥) )︁ = 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 = 𝑖𝑑(𝑥) e (𝑓 ∘ 𝑓−1)(𝑦) = 𝑓 (︁ 𝑓−1(𝑦) )︁ = 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑖𝑑(𝑦). Como já dissemos, os homomorfismos são bastante úteis na relação entre dois grupos, além disso, os homomorfismo possuem algumas propriedades de grande utilidade em demonstrações futuras. Precisamos mostrar algumas e as suas demonstrações podem ser consultadas na referência Domingues e Iezzi (2003). Propriedades dos Homomorfismos Sejam (𝐺, ·) e (𝐿, ·) dois grupos grupos, 𝑒𝐺 e 𝑒𝐿 os respectivos elementos neutro de 𝐺 e 𝐿 e 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 um homomorfismo. Então: 1. Se 𝑒𝐺 e 𝑒𝐿 são os respectivos elementos neutros de𝐺 e 𝐿 então 𝑓(𝑒𝐺) = 𝑒𝐿. 2. Se 𝑥 ∈ 𝐺 então 𝑓(𝑥−1) = 𝑓−1(𝑥). Como consequência,𝑓(𝑥𝑦−1) = 𝑓(𝑥)𝑓−1(𝑦). 3. Se 𝐻 é um subgrupo de 𝐺, então 𝑓(𝐻) é um subgrupo de 𝐿. Isso quer dizer que Im(𝑓) é um subgrupo de 𝐿. 4. Sejam três grupos 𝐺, 𝐽, 𝐿 e os seguintes homomorfismo: 𝑓 : 𝐺 → 𝐽 , e 𝑔 : 𝐽 → 𝐿. Então, 𝑔 ∘ 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 também é um homomorfismo. E mais, se 𝑓 e 𝑔 são injetores, ou sobrejetores, então 𝑔 ∘ 𝑓 também será. 3.3. Representações em Grupos 55 Definição 3.3.3 (Núcleo de um Homomorfismo). Seja 𝑓 : 𝐺 → 𝐽 um homomorfismo de grupos. O núcleo de 𝑓 , denotado por ker(𝑓) ou 𝑁(𝑓), é o subconjunto de todos os elementos em 𝐺 que são levados para 𝑒𝐽 , elemento neutro de 𝐽 . Ou seja: ker(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐺/𝑓(𝑥) = 𝑒𝐽} Observação: O conjunto ker(𝑓) nunca será vazio pois 𝑓(𝑒𝐺) = 𝑒𝐽 , então 𝑒𝐺 ∈ ker(𝑓). Exemplo 3.3.3. O núcleo do homomorfismo 𝑓 : R → C* definida por 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝜋𝑥𝑖 = cos(2𝜋𝑥) + 𝑖 sen(2𝜋𝑥), é ker(𝑓) = Z. Exemplo 3.3.4. Sejam 𝑓 : R → R uma função dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1, então o ker(𝑓) = {𝑥 ∈ R/𝑥2− 1 = 0} = {−1, 1}. Ou seja, o conjunto de todos os zeros da função 𝑓 forma o seu núcleo. Exemplo 3.3.5. Sejam G e L grupos e 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 um isomorfismo, então o núcleo desse homomorfismo é simplesmente a identidade de 𝐺. Isto é, ker(𝑓) = {𝑒𝐽}. Proposição 3.3.1. Sejam 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 um homomorfismo de grupos e 𝑁 = ker(𝑓), então 𝑁 é um subgrupo de 𝐺. Demonstração. Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁 então 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) = 𝑒𝐽 . Mas, 𝑓(𝑥𝑦−1) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦−1) = 𝑓(𝑥)𝑓−1(𝑦) = 𝑒𝐿(𝑒𝐿)−1 = 𝑒𝐿. Logo 𝑥𝑦−1 ∈ 𝑁 . Proposição 3.3.2. Sejam 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 um homomorfismo de grupos e 𝑁 = ker(𝑓), então 𝑁 é um subgrupo normal de 𝐺. Demonstração. Se 𝑎 ∈ 𝐺 e 𝑥 ∈ 𝑁 , então 𝑓(𝑎𝑥𝑎−1) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑥)𝑓(𝑎−1) = 𝑓(𝑎)𝑒𝐿𝑓−1(𝑎) = 𝑓(𝑎)𝑓−1(𝑎) = 𝑒𝐿, portanto 𝑎𝑥𝑎−1 ∈ 𝑁 . Então, se 𝑎𝑥𝑎−1 = 𝑦, então 𝑎𝑥 = 𝑦𝑎 para algum 𝑦 ∈ 𝑁 , ou seja, 𝑎𝑁 = 𝑁𝑎. Proposição 3.3.3 (homomorfismo canônico em grupos). Se 𝐺 é um grupo e 𝑁 um subgrupo normal de 𝐺, então a aplicação 𝑓 : 𝐺 → 𝐺 𝑁 definida por 𝑥 → 𝑥𝑁 é um homomorfismo sobrejetor onde 𝑁 = ker(𝑓). Demonstração. De fato, se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 temos o homomorfismo: 𝑓(𝑥𝑦) = (𝑥𝑦)𝑁 = 𝑥𝑁 · 𝑦𝑁 = 𝑓(𝑥) · 𝑓(𝑦). Temos também a sobrejetividade: ∀ 𝑏 ∈ 𝐺/𝑁 temos 𝑥𝑁 = 𝑏, para algum 𝑥 ∈ 𝐺. Assim, 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑁 = 𝑏, logo sobrejetora. 56 Capítulo 3. Teoria dos Grupos 𝑁 é igual ao núcleo de 𝑓 : N ⊂ ker(f). Se 𝑥 ∈ 𝑁 , então 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑁 = 𝑁. ker(f) ⊂ N. Se 𝑥 ∈ ker(𝑓), então 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑁 = 𝑁. Logo, 𝑁 = ker(𝑓). Teorema 3.3.2 (teorema do homomorfismo
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