Teoria de Galois

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO – UEMA
CENTRO DE ESTUDOS SUPERIORES DE CAXIAS
GRADUAÇÃO EM CIÊNCIAS HABILITAÇÃO EM MATEMÁTICA
GLESIO RICARDO DA SILVA
TEOREMA DE ABEL-RUFFINI:
A DEMONSTRAÇÃO PELA TEORIA DE GALOIS
CAXIAS-MA
2015
GLESIO RICARDO DA SILVA
TEOREMA DE ABEL-RUFFINI:
A DEMONSTRAÇÃO PELA TEORIA DE GALOIS
Monografia apresentada ao colegiado do curso
de Graduação em Ciências Habilitação em Ma-
temática da Universidade Estadual do Mara-
nhão, como requisito parcial para obtenção de
grau de Licenciatura.
Orientador: Prof. Msc. Jose de Ribamar Viana Coimbra
CAXIAS-MA
2015
S586t
Silva, Glesio Ricardo
Teorema de Abel-Ruffini: A demonstração pela Teoria de Galois / Glesio Ricardo
da Silva. – Caxias - Ma: CESC-UEMA, 2014.
103f.
Orientador: Prof. Msc. Jose de Ribamar Viana Coimbra
Monografia(Graduação) – Centro de Estudos Superiores de Caxias-MA, Curso de Licen-
ciatura em Matemática. 2015.
1. Teorema de Abel-Ruffini. 2. Teoria de Galois. 3. Equações de quinto grau.
4. Teoreia dos Grupo 5. Teria dos Corpos I. José Viana Coimbra. II. Universidade
Estadual do Maranhão. III. Centro de Estudo Superior de Caxias. IV. Teorema de
Abel-Ruffini: A demonstração pela Teoria de Galois
CDU 512.3
Este trabalho é dedicado à Deus em primeiro lugar. Foi ele o principal orientador por
isso devo gratidão e reconhecimento. Em segundo Lugar à minha Mãe que sem dúvida
foi e continua sendo uma intercessora terrena da minha vida junto a Deus.
Agradecimentos
Os agradecimentos principais e especiais são direcionados a todos os professores
que contribuíram direta e indiretamente com este trabalho: Prof. Dr. Elmary Fraga,
Prof. Msc. Coimbra, Prof. Esp. Francisco Portela, Prof. Francisco Queiroz, Prof.
Josué Carneiro e Prof. Msc. Zuilton que contribuiu para que a produção deste trabalho
acadêmico se realizasse com o LATEX.
“Não vos amoldeis às estruturas deste mundo,
mas transformai-vos pela renovação da mente,
a fim de distinguir qual é a vontade de Deus:
o que é bom, o que Lhe é agradável, o que é perfeito.
(Bíblia Sagrada, Romanos 12, 2)
Resumo
Este trabalho tem por objetivo demonstrar o Teorema de Abel-Ruffini pela Teoria de
Galois. Esse teorema diz que existem equações de grau maior ou igual a cinco que não
são resolúveis por radicais, isto é, que não se pode escrever uma fórmula algébricas geral
que expressa as raízes dessas equações em função dos seus coeficientes usando as operações
algébricas racionais e raízes de graus naturais. O método adotado foi a adoção da Teoria de
Galois. Por meio dessa teoria pode-se descobrir se qualquer equação com coeficientes sobre
os racionais é ou não resolúvel por radicais. Além disso, abordou-se um pouco da história
das equações, das fórmulas algébricas e de dois personagens que mudaram todo o rumo
da álgebra: Abel e Galois. Abordou-se também as deduções das fórmulas das equações
de grau 𝑢𝑚, 𝑑𝑜𝑖𝑠, 𝑡𝑟ê𝑠 e 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 sendo estas três últimas conhecidas como Fórmula de
Bhaskara, Fórmula de Cardano e Resolução de Ferrari. Teve-se também que introduzir
alguns pré-requisitos para a boa compressão da Teoria de Galois que são a Teoria dos
Grupos e a Teoria dos Corpos. Como resultado, verifica-se que Galois conseguiu associar
uma equação polinomial 𝑓(𝑥) a um grupo o qual é hoje conhecido como sendo o grupo de
Galois. A este grupo de Galois, ele faz uma correspondência com o grupo das permutações
𝑆𝑛 mostrando que o grupo de Galois é um subgrupo do grupo simétrico dos 𝑛 elementos.
Toda vez que 𝑛 ≥ 5 o grupo simétrico assume um propriedade chamada de insolubilidade
e partir daí conclui-se que a equação 𝑓(𝑥) = 0 é resolúvel por radicais se, e somente se,
o seu grupo de Galois é um grupo solúvel. Isso explica o fato de as equações do quinto
grau, ou mais, não ser resolúveis por radicais.
Palavras-chaves: Teorema de Abel-Ruffini. Teoria de Galois. Equações de quinto grau.
Teoria dos Grupo. Teoria dos Corpos.
Abstract
This work aims to demonstrate the Abel-Ruffini theorem by Theory Galois. This theorem
says it exist equations of degree than or equal to five not solvable by radicals, that is,
can not write a general algebraic formula which expresses the roots of these equations
depending of the coefficients and algebraic operations using rational and roots natural
degrees. The method used was the adoption of the Theory Galois. Through this theory
one can find out if any equation with rational coefficients it is or not resolvable by radicals.
In addition, we dealt with some of the history of the equations, algebraic formulas and two
characters that changed the whole direction of algebra: Abel and Galois. Also addressed
the deductions of the formulas of degree equations 𝑜𝑛𝑒, 𝑡𝑤𝑜, 𝑡ℎ𝑟𝑒𝑒 and 𝑓𝑜𝑢𝑟 latter three
being known as Formula Bhaskara, Formula Cardano and Ferrari resolution. Had also to
introduce some prerequisites for good compression Theory Galois which are Group Theory
and Theory Bodies. As a result, it appears that Galois managed to associate a polynomial
equation 𝑓(𝑥) to a group which is now known as the Galois group. In this group of Galois,
he makes a match with the group of permutations 𝑆𝑛 showing that the Galois group is a
subgroup of the symmetric group of 𝑛 elements. Every time 𝑛 ≥ 5 symmetric group takes
on a property called insolubility and from there it follows that the equation 𝑓(𝑥) = 0 is
solvable by radicals if and only if, its Galois group is a soluble group. This explains the
fact that the fifth degree equations, or more, not be solvable by radicals.
Key-words: Theorem de Abel-Ruffini. Theory de Galois. Quintic equations. Theory of
Groups. Theory of Bodies.
Lista de símbolos
Σ Letra grega Maiúscula Sigma
𝜎 Letra grega minúscula Sigma
𝛾 Letra grega minúscula Gama
𝜆 Letra grega minúscula Lambda
𝜙 Letra grega minúscula Varphi
𝜑 Letra grega minúscula Phi
𝜏 Letra grega minúscula Táu
∈ Pertence
∀ Para todo
≈ Símbolo utilizado para denotar um isomorfismo.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Diagrama do cálculo do grupo de Galois de 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 2 . . . . . . . . 87
Figura 2 – Diagrama Comutativo da Extensão Q|Q( 3√2, 𝑧). . . . . . . . . . . . . . 88
Figura 3 – Diagrama dos subgrupos de 𝐺 = 𝑆3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Figura 4 – Diagrama da Correspondência de Galois do polinomio 𝑥3 − 2. . . . . . 94
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1 Um Pouco da História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1 A Origem das Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 As Fórmulas Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Abel e Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Deduções das Fórmulas das Equações de Grau 𝑛, com 𝑛 ≤ 4. . . . . . . . . . . . 29
2.1 Equação do 1o grau, ou linear. (𝑎𝑥+ 𝑏 = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Equação do 2o grau, ou quadrática. (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 = 0) . . . . . . . . . . . 29
2.3 Equação do 3o grau, ou cúbica. (𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑 = 0) . . . . . . . . . . 30
2.4 Equação do 4o grau, ou quártica. (𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑐 = 0) . . . . . . 31
3 Teoria dos Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Grupo das Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Representações em Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Teoria dos Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Representaçõesem Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Ideais e Anéis Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Anéis de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Teoria de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1 Extensões de Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Extensões Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Extensões de Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 A Correspondência de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.5 Teorema de Abel - Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
21
Introdução
Uma equação polinomial é o resultado de um polinômio igualado a zero, essas
equações sempre foram objetos de estudo dos matemáticos antigos e modernos. Resolver
uma equação polinomial é encontrar suas raízes, ou seja, encontrar valores que substituídos
na variável da equação, esta se torna numa identidade verdadeira. Resolver em radicais
uma equação polinomial, significa encontrar suas raízes usando para este fim apenas as
quatros operações da aritmética (adição, subtração, multiplicação e divisão) e radicais em
função de seus coeficientes.
Na atualidade, é trivial resolver equações polinomiais lineares (grau um) e quadrá-
ticas (grau dois) por meio de fórmulas algébricas. Com as de graus três e quatro também
é possível resolvê-las com a adoção de algumas técnicas e algoritmos convenientes, como
por exemplo, o dispositivo de Briot-Ruffini e a fórmula de Cardano para o alguns caso de
equações do 3o grau e a técnica descoberta por Ferrari para os casos de equações de 4o
grau. No nível médio, especificamente no 3o ano do segundo grau, é comum estudar um
pouco das equações de graus três e quatro, porém, quanto à resolubilidade das equações
de grau ≥ 5, pouco se discute. Claro que não é de todo conveniente para um aluno de
ensino médio estudar a resolubilidade das equações desse nível, mas é de bom alvitre
narrar a fascinante história que trás essa equação no que diz respeito à sua resolubilidade.
Neste trabalho, iremos abordar um estudo aprofundado sobre as equações algé-
bricas de graus naturais. Especificamente, iremos demonstrar o Teorema de Abel-Ruffini
que nos diz ser impossível resolver em radicais uma equação geral de grau ≥ 5. Iremos
também, tratar um pouco da história das equações e de suas fórmulas, de dois principais
matemáticos que se envolveram no estudo das equações quínticas, Abel e Galois (capitulo
1), das deduções das fórmulas algébricas de resolução das equações de graus 1, 2, 3 e 4
(capítulo 2), e, a partir do capítulo 3, serão apresentados os apontamentos necessários
para a consecução do objetivo principal desta monografia, qual seja, a demonstração do
teorema de Abel-Ruffini pela teoria de Galois. Para tanto, serão estudados a teoria dos
grupos, no capítulo três, a teoria dos anéis, no capítulo quatro e, por fim, no capítulo
5, será apresentado a teoria que Galois teve de criar para demonstrar, via permutação
das raízes, que as equações de graus maiores ou iguais a cinco não possuem fórmulas
algébricas de resolução.
Em verdade, Paolo Ruffini (1765 – 1822), um médico e matemático italiano, foi o
primeiro a realizar tal demonstração, porém, sua prova foi inconclusiva e seus argumentos
considerados vagos. A partir de então, surgiu um matemático norueguês, Niels Henrik
Abel (1802 – 1829), que deu fim a uma questão que perdurava por quase dois séculos:
22 Introdução
a impossibilidade da resolução geral, por meio de radicais, das equações algébricas de
grau ≥ 5. Então, com a demonstração de Abel, a questão sobre a resolubilidade das
equações de grau cinco estava resolvida, porém, é importante salientar que, a expressão
“resolução geral” significa uma fórmula para resolver qualquer equação de grau cinco,
mas isto, segundo Abel, não é possível. Por outo lado, não significa que não existam
equações de grau cinco resolúveis por radicais, por exemplo, a equação 𝑥5 − 1 = 0 possui
um fórmula, isto é, é resolvível por radical, todavia, o Teorema de Abel-Ruffini assegura
a inexistência de uma fórmula para o caso geral.
De posse da certeza da não resolubilidade das equações de graus ≥ 5, entra em cena
uma matemáticos francês que veio associar uma propriedade às equações não resolúveis
por radicais. Foi Evariste Galois (1811 - 1832) que descobriu quando saber se uma equação
é ou não resolúvel por radicais, atribuindo a ela uma propriedade que está intimamente
ligada à permutação das raízes.
Diante disso, a razão principal da realização deste trabalho, partiu da curiosidade
de saber por que, para as equações de graus maiores ou iguais a cinco , não ser possível
escrever uma fórmula algébrica de resolução para o caso geral, assim como acontece para
as equações de graus inferiores. Partindo disso, este trabalho atenderá principalmente aos
alunos de graduação em matemática, onde nele, poderão encontrar, além das deduções
das fórmulas de 1o a 4o graus, um estudo sobre teoria dos grupos, teoria dos anéis e teoria
dos corpos, assuntos intrinsecamente ligado à disciplina Estruturas Algébricas, da grade
curricular do curso de graduação em matemática.
23
1 Um Pouco da História
1.1 A Origem das Equações
Assim como a matemática desenvolveu-se nos primórdios da civilização como res-
posta às necessidades práticas da sociedade humana, as equações algébricas surgiram
também da necessidade de solução de problemas práticos, só que a passos muito largos do
que à própria civilização. O problema de se resolver equações polinomiais nos remonta à
aproximadamente 1800 anos a.C com os egípcios e babilônios. A equação já era estudada
por estes povos, contudo foram os babilônios os mais proeminentes nessa área da álge-
bra em suas épocas. No papiro egípcio de Rhind1 (1650 a.C), encontram-se problemas
algébricos que modernamente são resolvíveis por equação do primeiro grau, embora não
se adotava estas para as soluções de tais problemas. A álgebra egípcia tratara muito de
equações lineares, mas os babilônios as acharam demasiadamente elementares para me-
recer muita atenção. Então, eles se inclinavam a problemas cuja solução era a solução
da função quadrática, e nisto eles se desenvolveram bem. Os babilônios conheciam al-
gumas técnicas de resolução de algumas equações quadráticas, cúbicas, quárticas e até
oitavas. Por exemplo, era comum a técnica da redução das equações quadráticas do tipo
𝑎𝑥2+𝑏𝑥 = 𝑐 para uma equação padrão do tipo: 𝑥2+𝑝𝑥 = 𝑞 onde estas já eram facilmente
resolvíveis completando seu quadrado. Há também entre os babilônios muitos exemplos
da resolução da equação cúbica, já no Egito, não há registro da resolução destas. Por
exemplo, as cúbicas puras como 𝑥3 = 0; 729, eram resolvíveis por consultas à tabelas de
cubos e raízes cúbicas. As cúbicas nas formas 𝑥3+ 𝑥2 = 𝑎 e da forma 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2 = 𝑐 eram
resolvidas de modo semelhante, por exemplo, a cúbica da forma 144𝑥3 + 12𝑥2 = 21 era
multiplicada por 12 e depois usavam o método da substituição para 𝑦 = 12𝑥, a equação
fica 𝑦3 + 𝑦2 = 252, da qual se acha 𝑦 = 6 para um das raízes em 𝑦, donde 𝑥 é 1/2 para
uma das raízes em 𝑥 (BOYER; MERZBACH, 2010, p.23).
Era admirável a habilidade técnica dos mesopotâmios, estes tinham tanta maturi-
dade e flexibilidade dos conceitos algébricos envolvidos, que a álgebra babilônia alcançou
tal nível de abstração que as equações 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 = 𝑐 e 𝑎𝑥8 + 𝑏𝑥4 = 𝑐 eram reconhecidas
como equações quadráticas disfarçadas.
1 Henry Rhind, antiquário escocês, comprou o papiro egípcio numa cidade a beirado Nilo em 1858; por
isso é conhecido como papiru de Rhind, mas menos frequentemente é chamado de Papiro Ahmes em
honra ao escriba que o copiou por volta de 1650.
24 Capítulo 1. Um Pouco da História
1.2 As Fórmulas Algébricas
Até 1500 muito se conhecia sobre a resolução das equações algébricas, no caso da
equação quadrática os babilônios tinham conseguido resolver muitos problemas matemá-
ticos envolvendo estas equações, cada problema era resolvido para cada caso particular e
sua solução era uma espécie de “receita” prática, que não especificava nem sua fórmula
geral (se houvesse), nem o modo como a solução teria sido obtida. E, embora os babilônios
aplicassem essas técnicas a problemas do segundo grau, eles nunca chegaram a generalizar
tais técnicas.
A fórmula de Bhaskara (1114 a cerca de 1185) que hoje se conhece é atribuída
indevidamente a este matemático indiano, isso porque até o fim do século XVI não se
usava fórmula para obter raízes de uma equação do 2o grau, simplesmente porque não
se representavam por letras os coeficientes de uma equação, ou seja, as equações eram
resolvidas por regras2 e, na época de Bhaskara, essas regras eram adotados pelos os
matemáticos de sua época, e isto não foi uma descoberta de Bháskara. Essas regras
descreviam as operações a realizar para resolver o problema. A representação por letras
dos coeficientes da equação só começou ser feito a partir de François Viéte, matemático
francês que viveu de 1540 a 1603 (SOMATEMATICA, ). Logo, não é correto atribuir a
Bhaskara a conhecida fórmula de resolução da equação de 2ograu, embora não se deva
negar a importância e a riqueza do Lilavati, sua principal obra.
A solução das equações cúbicas e quárticas têm suas histórias muito próximas. Em
uma obra de 1545, que tinha por título Ars Magna de Gerônimo Cardano (1501 – 1676), a
resolução não só da cúbica como também da quártica tornaram-se conhecidas. O progresso
foi tão notável e imprevisto que causou grande impacto entre os algebristas de modo que,
o ano de 1545 é frequentemente tomado como o marco do início do período moderno na
matemática. Deve-se dizer que não foi Cardano o descobridor original da solução quer da
cúbica quer da quártica. Os autores foram Niccolo Tartaglia (cerca de 1500 – 1557) para
a equação cúbica e Ludovico Ferrari (1522 – 1565) para a equação quártica (BOYER;
MERZBACH, 2010, p.193). É importante ressaltar ainda que, Cardano, ao escrever as
soluções das equações cúbicas e quárticas, ele fazia por meio de retóricas, isto é, não se
representava as soluções dos problemas por meio de fórmulas, e sim por meio de regras
e para um problema específico. Por exemplo, quando escrevia “seja o cubo e seis vezes
ao lado igual a 20” (ou 𝑥3 + 6𝑥 = 20), ele evidentemente estava pensando nessa equação
como típica de todas as que têm “um cubo e coisa igual a um número”, isto é, da forma
𝑥3 + 𝑝𝑥 = 𝑞. Ao resolver essa equação Cardano chega a uma formulação verbal da regra
equivalente à nossa solução que é expressa dessa forma:
3
⎯⎸⎸⎷√︃𝑚3
27 +
𝑛2
4 +
𝑛
2 −
3
⎯⎸⎸⎷√︃𝑚3
27 +
𝑛2
4 −
𝑛
2 (1.1)
2 Chamava-se de regra, uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema.
1.3. Abel e Galois 25
Na Ars magna também incluía a descoberta da solução da equação quártica que é
devida a Ludovico Ferrari, amanuense de Cardano. O método era basicamente reduzir a
uma equação do quarto grau à equação cúbica. Veremos com mais detalhes todos esses
procedimentos de resoluções, tanto da cúbica quanto da quártica no capítulo 2 deste
trabalho.
Foi nesse ponto que, praticamente, a álgebra iria ficar por quase dois séculos e meio.
Embora diante do sucesso da possibilidade de resolução algébrica das equações de grau
até quatro, os matemáticos durante esses dois séculos e meio se esforçaram para lograr
igual sucesso para as equações de grau cinco, porém, seus esforços foram infrutíferos. E
foi diante de tanta dificuldade, em face de tal questão, que se começou a se duvidar de
que as equações de grau maior ou igual a cinco fossem resolúveis por radicais.
1.3 Abel e Galois
Niels Henrik Abel (1802 – 1829). Foi um matemático que nasceu numa
pequena aldeia de Findo na Noruega. Sua curta vida foi cheio de pobreza e tragédia,
nasceu em uma família numerosa e era filho de pastor (IEZZI, 2005, p.147). Desde cedo
lia livros de grande envergadura na matemática. Em suas leituras, Abel percebeu que
Euller provara o teorema binomial somente para expoentes racionais, então, dando uma
prova para o caso geral, preencheu o que faltava. Quando Abel tinha dezoito anos de
idade seu pai morreu e a responsabilidade de cuidar da família recaiu sobre seus ombros,
mas para atenuar a situação durante o ano seguinte Abel fez uma notável descoberta
matemática. Essa descoberta foi publicada somente em 1824 em um artigo sob o título
“Sobre as Resoluções Algébrica de Equações” onde, depois de pensar ter encontrado uma
solução para equação quíntica se retificou nesse artigo chegando a uma conclusão oposta:
“Não pode haver uma fórmula geral, expressa em operações algébricas explícitas sobre os
coeficientes de uma equação polinomial para as raízes de uma equação, se o grau dessa
equação é maior que quatro”. (BOYER; MERZBACH, 2010, p.361)
Abel inicia seu artigo sobre a não resolubilidade da quíntica dando uma definição
das equações algébricas, racionais e “inteiras”. Em seguida, classifica as funções algébricas
de modo que essa classe, usando a linguagem atual, faça parte de um corpo de funções.
Fazendo isso, o problema em questão se exprime como o de “simplesmente expressar suas
raízes como funções algébricas dos coeficientes”. Então, Abel tomava como proposição:
“Se uma equação é resolúvel algebricamente, então a expressão para suas raízes sempre
pode ser posta em tal forma que todas as funções algébricas que a compõe podem ser
expressas como funções racionais das raízes da equação dada”. Empregando tudo isso a
teoremas sobre funções simétricas das raízes, a prova do teorema central se resume a uma
sequência de argumentos de redução ao absurdo. (BOYER; MERZBACH, 2010, p.361).
26 Capítulo 1. Um Pouco da História
Abel publicou sob suas expensas seu trabalho, e, para economizar, o fez forma sucinta,
por isso sua repercussão foi praticamente nula. Na época, Gauss era o maior matemático
do seu tempo e ele não deu a mínima importância para o seu trabalho. Afinal de contas,
era difícil de se acreditar que um problema que perdurava por quase dois séculos e meio
poderia ser resolvido por um desconhecido. (IEZZI, 2005, p.148)
Na realidade, Abel estava era à procura de um posto acadêmico numa universidade
que lhe permitisse sair daquela situação deplorável. Mas foi ao realizar algumas viagens
para França, Itália e Alemanha, que ele conheceu um engenheiro alemão com o qual
travou amizade, seu nome era Augusto L. Crelle, à época, estava prestes a inaugurar
seu novo Journal. Ele Convidou Abel para contribuir com seus artigos. Assim nos três
primeiros números desse jornal, lançado em 1822, hospedaram 22 artigos de Abel cinco
só no primeiro, inclusive o teorema de Ruffini-Abel. (IEZZI, 2005, p.148)
Depois disso, Abel voltou à Noruega bastante debilitado pela tuberculose, mas
ainda assim continuava a mandar seus materiais a Crelle. Antes de completar 27 anos,
morreu em 1829 e seu reconhecimento pelas suas contribuições chegou dois dias depois de
sua morte, era uma carta que oferecia-lhe uma posição na Universidade de Berlim, mas
veio tarde demais. “Inês já era morta3.”
Evariste Galois(1811 – 1832). Outro excelente matemático de sua época, é
também considerado um dos fundadores da álgebra moderna. Galois nasceu no vilarejo
de Bourg-la-Reine, próximo de Paris, onde seu pai era prefeito. Deste, adquiriu um
profundo ódio à tirania e sua aptidão por matemática veio quando ingressou no Colégio
Louis-le-Grand de Paris, ficou tão arrebatado com os Elementosde Geometria de Legendre
que leu essa obra num só fôlego. Com 16 anos de idade tentou ingressar na escola que
tinha abrigado muito célebres matemáticos, a Escola Politécnica, mas não foi aceito por
falta de preparo matemático, e fracassaria nas duas tentativas seguidas de ingresso; para
completar a carga de decepções, seu pai não resistindo a pressões das perseguições clericais,
suicidou-se. Em 1829 Galois entrou na Escola Normal Superior para se preparar para o
ensino; mas continuava com suas pesquisas.
Galois foi bastante marcado por frustrações e retaliações, quando ele apresentou
um artigo à Academia num concurso, o secretário dessa instituição morreu sem que o
artigo fosse lido onde acabou se perdendo. Galois resolve abraçar a causa da revolução
de 30, mais tarde seria expulso da Escola Normal Superior. Em seguida, faz mais uma
tentativa de apresentar um artigo à Academia, mas resultou numa devolução à pedido
de demonstrações. Diante dessas frustrações Galois entra para a guarda nacional, mas
seu envolvimento com os republicanos o fez ser preso por duas vezes; Galois se envolveu
com uma mulher que mais tarde lhe causaria a morte. Por causa dela foi desafiado a um
3 "Inês é morta"é uma expressão da língua portuguesa e significa "não adianta mais". Hoje em dia a
frase é usada para expressar a inutilidade de certas ações.
1.3. Abel e Galois 27
duelo, que provavelmente foi forjado pela polícia que o via como um radical republicano.
Na manhã de 30 de maio de 1832, ainda sem completar 21 anos, encontrou seu adversário
num duelo com pistolas e no dia seguinte morria de peritonite num hospital de Paris.
(BOYER; MERZBACH, 2010, p.234)
Galois teve uma trágica e breve vida. Em um ano antes de sua morte, Galois enviou
um artigo à Academia sob o título: “Uma Memória Sobre as Condições de Resolubilidade
das Equações por Radicais”. Depois de seis meses Poissom emitiu um negativo parecer.
Nas vésperas do duelo, Galois tentou mais uma vez ser compreendido e enviou uma carta
a um amigo descrevendo o conteúdo de um artigo que fora rejeitado por Poissom, para
que ele se empenhasse em publicá-la. Mas somente em 1843 suas ideias começaram a ser
analisadas. Na verdade, o artigo de Galois era um tanto incompreensível para a sua época,
evidenciando assim que Galois estava muito à frente dos matemáticos de seu tempo.
Galois introduziu a noção de grupo em matemática, cujo termo até hoje é conhe-
cido desta forma. Ele deu o primeiro passo para a álgebra moderna.
A teoria de Galois associa cada equação algébrica um conveniente grupo
de permutações de suas raízes. E estabelece que uma equação seja re-
solúvel por radicais se, e somente se, esse grupo é de um certo tipo
(definido na teoria). Por fim conseguia-se uma caracterização da resolu-
bilidade por radicais e como para 𝑛 ≥ 5 sempre há equações de grau n
cujo grupo não é definido por Galois, o próprio teorema de Ruffini-Abel
passa a ser uma consequência da teoria de Galois. (IEZZI, 2005, p.198)
29
2 Deduções das Fórmulas das Equações de
Grau 𝑛, com 𝑛 ≤ 4.
A seguir apresentaremos as deduções das fórmulas das equações algébricas de grau
um, dois, três e quatro.
2.1 Equação do 1
o
grau, ou linear. (𝑎𝑥 + 𝑏 = 0)
Sua fórmula de resolução é deduzida facilmente. Vejamos
𝑎𝑥+ 𝑏 = 0
𝑎𝑥+ 𝑏− 𝑏 = 0− 𝑏
𝑎𝑥 = −𝑏
𝑥 = −𝑏/𝑎
2.2 Equação do 2
o
grau, ou quadrática. (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0)
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 = 0
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐
4𝑎2𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥 = −4𝑎𝑐
(2𝑎𝑥+ 𝑏)2 − 𝑏2 = −4𝑎𝑐
(2𝑎𝑥+ 𝑏)2 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
(2𝑎𝑥+ 𝑏)2 = Δ
2𝑎𝑥+ 𝑏 = ±
√
Δ
𝑥 = −𝑏±
√
Δ
2𝑎
30 Capítulo 2. Deduções das Fórmulas das Equações de Grau 𝑛, com 𝑛 ≤ 4.
2.3 Equação do 3
o
grau, ou cúbica. (𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0)
Dada a equação:
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑 = 0 (2.1)
fazemos:
𝑥 = 𝑦 − 𝑏3𝑎 (2.2)
então temos:
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑 = 𝑎
(︃
𝑦 − 𝑏3𝑎
)︃3
+ 𝑏
(︃
𝑦 − 𝑏3𝑎
)︃2
+ 𝑐
(︃
𝑦 − 𝑏3𝑎
)︃
+ 𝑑
= 𝑎𝑦3 − 𝑎
(︃
3𝑏𝑦2
3𝑎
)︃
+ 𝑎
(︃
3𝑏2𝑦
9𝑎2
)︃
− 𝑎
(︃
𝑏3
27𝑎3
)︃
+ 𝑏𝑦2
−𝑏
(︃
2𝑏𝑦
3𝑎
)︃
+ 𝑏
(︃
𝑏2
9𝑎2
)︃
+ 𝑐𝑦 − 𝑐
(︃
𝑏
3𝑎
)︃
+ 𝑑
= 𝑎𝑦3 + 𝑏
2𝑦
3𝑎 −
2𝑏2𝑦
3𝑎 + 𝑐𝑦 −
𝑏3
27𝑎2 +
𝑏3
9𝑎2 −
𝑏𝑐
3𝑎 + 𝑑
= 𝑎𝑦3 − 𝑏
2𝑦
3𝑎 + 𝑐𝑦 −
𝑏3
27𝑎2 +
𝑏3
9𝑎2 −
𝑏𝑐
3𝑎 + 𝑑
= 𝑎𝑦3 +
(︃−𝑏2
3𝑎 + 𝑐
)︃
𝑦 − 𝑏
3
27𝑎2 +
𝑏3
9𝑎2 −
𝑏𝑐
3𝑎 + 𝑑
= 𝑎𝑦3 +
(︃−𝑏2
3𝑎 + 𝑐
)︃
𝑦 + 2𝑏
3
27𝑎2 −
𝑏𝑐
3𝑎 + 𝑑
ou ainda,
𝑦3 + 1
𝑎
(︃−𝑏2
3𝑎 + 𝑐
)︃
𝑦 + 1
𝑎
(︃
2𝑏3
27𝑎2 −
𝑏𝑐
3𝑎 + 𝑑
)︃
= 0. (2.3)
desse modo, a equação (2.3) pode ser resolvida recorrendo-se à fórmula (1.1), isto é, à
fórmula de Tartaglia.
𝑦 = 3
⎯⎸⎸⎷√︃𝑚3
27 +
𝑛2
4 +
𝑛
2 −
3
⎯⎸⎸⎷√︃𝑚3
27 +
𝑛2
4 −
𝑛
2
para isso, fazendo:
𝑚 = 1
𝑎
(︃−𝑏2
3𝑎 + 𝑐
)︃
e 𝑛 = 1
𝑎
(︃
2𝑏3
27𝑎2 −
𝑏𝑐
3𝑎 + 𝑑
)︃
.
onde encontramos um das raízes 𝑦, as outras duas podendo ser encontradas pela fórmula
de Baskhara apos à aplicação do dispositivo de Briot-Ruffini. Logo, vamos encontrar três
raízes para 𝑦, que podemos distingui-las fazendo 𝑦𝑘, onde 𝑘 = 1, 2 e 3. Desta forma, a
equação (2.1): 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑 = 0, possui por raízes:
𝑥 = 𝑦𝑘 − 𝑏/3𝑎 𝑘 = 1, 2, 3.
2.4. Equação do 4o grau, ou quártica. (𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑐 = 0) 31
2.4 Equação do 4
o
grau, ou quártica. (𝑎𝑥4+𝑏𝑥3+𝑐𝑥2+𝑑𝑥+𝑐 =
0)
O método descoberto por Ludovico Ferrari surgiu quando Gerônimo Cardano foi
desafiado por Zuanne de Tonini da Coi. Na época, era comum os matemáticos realizarem
desafios entre si. Um dos desafios que foi proposto por Zuanne à Cardano, resultava
justamente na resolução da equação seguinte:
𝑥4 + 6𝑥2 − 60𝑥+ 36 = 0. (2.4)
Cardano tentou várias vezes resolvê-la, porém sem êxito. Então passou o problema
a seu secretário Ludovico Ferrari que descobriu uma forma de resolução reduzindo a
equação (2.4) num par de equações do 2ograu que na época já se trabalhava muito bem
pela fórmula de Bhaskara.
Seja a equação:
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑒 = 0. (2.5)
Semelhante ao que é feito para equações de 3o grau, faz-se a substituição:
𝑥 = 𝑦 + ℎ
𝑎(𝑦 + ℎ)4 + 𝑏(𝑦 + ℎ)3 + 𝑐(𝑦 + ℎ)2 + 𝑑(𝑦 + ℎ) + 𝑒 = 0
que, ao ordenar pelas potências decrescentes de 𝑦 fica:
𝑎𝑦4+(𝑏+4𝑎ℎ)𝑦3+(𝑐+3𝑏ℎ+6𝑎ℎ2)𝑦2+(𝑑+2𝑐ℎ+4𝑎ℎ3+3𝑏ℎ2)𝑦+𝑎ℎ4+𝑏ℎ3+𝑐ℎ2+𝑑ℎ+𝑒 = 0
(2.6)
Se dividirmos a equação (2.6) por 𝑎 e anularmos o termo em 𝑦3, fazendo ℎ = − 𝑏4𝑎,
obtemos:
𝑦4 + 𝑝𝑦2 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0
Sendo: 𝑝 = 𝑐
𝑎
− 3𝑏
2
8𝑎2 , 𝑞 =
𝑑
𝑎
− 𝑏𝑐2𝑎2 +
𝑏3
8𝑎3 , 𝑟 =
𝑒
𝑎
− 𝑏𝑑4𝑎2 +
𝑏2𝑐
16𝑎3 −
3𝑏4
256𝑎4 .
O método de Ferrari para resolver a equação 𝑦4 + 𝑝𝑦2 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0, consiste em
completá-la de modo que ambos os membros da igualdade se torne num quadrado perfeito,
que, para isso, basta somar ambos os membros por 𝑠𝑦2 + 𝛽. Então,
𝑦4 + (𝑝+ 𝑠)𝑦2 + (𝑟 + 𝛽) = 𝑠𝑦2 − 𝑞𝑦 + 𝛽. (2.7)
Mas para que os dois membros sejam quadrados perfeitos, é necessário que seus
discriminantes sejam ao mesmo tempo iguais a zero, ou seja:
32 Capítulo 2. Deduções das Fórmulas das Equações de Grau 𝑛, com 𝑛 ≤ 4.
(𝑝+ 𝑠)2 − 4(𝑟 + 𝛽) = 0 (2.8)
(−𝑞)2 − 4𝑠𝛽 = 0 (2.9)
perceba que de (2.9) temos: 𝛽 = 𝑞
2
4𝑠 . Substituindo o valor de 𝛽 na equação (2.8) obtemos:
(𝑝+ 𝑠)2 − 4(𝑟 + 𝑞2/4𝑠) = 0
𝑝2 + 2𝑝𝑠+ 𝑠2 − 4𝑟 − 𝑞2/𝑠 = 0 × (𝑠)
𝑠3 + 2𝑝𝑠2 + (𝑝2 + 4𝑟)𝑠− 𝑞2 = 0
resultando assim numa equação do 3o grau na variável 𝑠, a qual pode ser resolvida
baseando-se nas deduções feitas na seção anterior. Encontrado 𝑠 acha-se 𝛽, em seguida,
é só realizar a substituição na equação (2.7) e extrair as raízes quadradas:√︁
𝑦4 + (𝑝+ 𝑠)𝑦2 + (𝑟 + 𝛽) = ±√︁
𝑠𝑦2 − 𝑞𝑦 + 𝛽 (2.10)
Ao extrair as raízes quadradas da equação (2.10), obtemos para o 1o membro um quadrado
perfeito na variável 𝑦2 que vai associar-se, no 2o membro, com duas equações lineares
também na variável 𝑦. As duas equações lineares são distintas entre si por força do sinal
±, então, teremos duas equações do 2o grau, cada uma, obviamente, com duas raízes.
Logo, vamos encontrar quatro raízes para 𝑦 que podemos distingui-las fazendo 𝑦𝑘, onde
𝑘 = 1, 2, 3 e 4. Desta forma, a equação (2.5) possui por raízes:
𝑥 = 𝑦𝑘 − 𝑏/4𝑎 𝑘 = 1, 2, 3, 4.
33
3 Teoria dos Grupos
Propedêutica
A teoria de Galois foi inspirada pela demonstração de Abel da impossibilidade da
resolução da equação quíntica. A Teoria de Galois fornece uma conexão entre a Teoria
de Corpos e a Teoria de Grupos. Através da Teoria de Galois, certos problemas na
Teoria de Corpos podem ser reduzidos a problemas na Teoria de Grupos, a qual é, num
certo sentido, mais simples e melhor de ser entendida. Tal conexão é feita através do
estudo de simetrias das raízes de polinômios e estas simetrias são expressas em termos
de grupos de permutações. Através desta teoria resolvemos problemas de construções
com régua e compasso, ou seja, poderemos responder as seguintes perguntas: podemos
trisseccionar ângulos arbitrários? Que polígonos regulares podemos construir com régua
e compasso? Também demonstramos, via grupos solúveis, que não existem fórmulas do
tipo de Baskhara para resolução de polinômios de grau maior ou igual a cinco em termos
de seus coeficientes. O nosso propósito se aterá a este ultimo ponto.
Neste capítulo, fizemos um breve estudo da teoria dos grupos. Este estudo será
imprescindível para a boa compreensão da teoria de Galois. Mas antes, será de bom
alvitre relembrar as principais propriedades dos inteiros e um pouco das classes de resto.
Algumas Propriedades dos Inteiros
Fecho: Se 𝑎 e 𝑏 são inteiros, então 𝑎+ 𝑏 e 𝑎𝑏 também são.
Propriedade associativa: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) e (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐), para
todo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 inteiros.
Propriedade comutativa: 𝑎+ 𝑏 = 𝑏+ 𝑎 e 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎, para todo 𝑎 e 𝑏 inteiros.
Propriedade distributiva: (𝑎 + 𝑏)𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 ou 𝑐(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏, para
todo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 inteiros.
Elementos neutros: 𝑎+ 0 = 𝑎 e 𝑎1 = 𝑎, para qualquer 𝑎 inteiro.
Simétrico aditivo: Se a equação 𝑎+ 𝑥 = 0 tem solução para todo inteiro 𝑎,
então 𝑥 é chamado de inverso aditivo ou oposto de 𝑎 e denota-se −𝑎.
Cancelamento: Se 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐 com 𝑐 ̸= 0 então 𝑎 = 𝑏 para todo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 inteiros.
Olhando com atenção estes axiomas percebemos a não existência de simétrico
multiplicativo, pois sabemos que os inversos multiplicativos dos inteiros são números fra-
cionários, isto é, são racionais. Apesar destes axiomas nos serem bem familiar, há certas
34 Capítulo 3. Teoria dos Grupos
ocasiões que vamos nos deparar com conjuntos munidos de uma operação (os grupos) ou
duas operações (os anéis) que não vão se “comportam bem” com relação às propriedades
dos inteiros. É o que pode ser visto nas classes de restos módulo m.
Classes de Restos Módulo 𝑚
Consideremos este exemplo:
3
3 = 3× 1 + 0, 𝑟 = 0
4
3 = 3× 1 + 1, 𝑟 = 1
5
3 = 3× 1 + 2, 𝑟 = 2
6
3 = 3× 2 + 0, 𝑟 = 0
7
3 = 3× 2 + 1, 𝑟 = 1
8
3 = 3× 2 + 2, 𝑟 = 2
9
3 = 3× 3 + 0, 𝑟 = 0
Vejamos que ao dividir 3,6 ou 9 por 3 obteve-se o mesmo resto 0. Nestas circuns-
tâncias, dizemos que todo inteiro que, na divisão por 3 possui resto 0, é côngruo a 0. O
mesmo se diz para os restos 1 e 2. O conjunto de todos os inteiros que são côngruo a 0
na divisão por 3 formam uma classe, essa classe denota-se por 0¯. Assim, o conjunto de
todas as classes 0¯, 1¯ e 2¯ que é o conjunto de todos os inteiros côngruos a 0¯, 1¯ e 2¯ formam
a classe de resto módulo 3. À classe de resto módulos 3 denotamos Z3
Definição 3.0.1 (Classe de Resto Módulo m). A classe de resto módulo m é o conjunto
de todos os inteiros 𝑎 que possuem resto 𝑟 ∈ {0, 1, 2, . . . ,𝑚 − 1} na divisão de 𝑎 por 𝑚.
Denota-se Z𝑚.
Assim o conjunto Z𝑚 será:
Z𝑚 = {1¯, 2¯, . . . , ¯ �¯�}
onde ¯ é o conjunto de todos os inteiros que possuem resto 𝑟 na divisão euclidiana por 𝑚.
Exemplo 3.0.1. Z3 = {0¯, 1¯, 2¯} e Z8 = {0¯, 1¯, 3¯, 4¯, 5¯, 6¯, 7¯}
3.1. Grupos 35
Perceba que os elementos de Z8 são suficientes para representar qualquer elementos
de Z8, por exemplo, 9¯ em Z8 é representado por 1¯ em Z8, assim como o 3¯ é representado
por 0¯ em Z3. Por isso é que Z𝑚 é um conjunto finito.
Quando estudamos as mais variadas estruturas algébricas, nos deparamos com
muitas situações que fogem do usual, por exemplo, quando tomamos 3¯ de Z3 e realizamos
o produto 3¯ · 3¯ teremos:
3¯ · 3¯ = 9¯ = 0¯
Isto é, o produto de dois números não nulos resultando num número nulo. Dessa
forma, podemos dizer que 9 é côngruo a 0 módulo 3, que em símbolos: 9 ≡ 0 (mod 3).
Dada duas classes �¯�, �¯� ∈ Z𝑚, a soma e o produto seráo respectivamente definidas
como:
𝑎+ 𝑏 = 𝑎+ 𝑏
𝑎 · 𝑏 = 𝑎 · 𝑏
A partir dessas definições, demonstra-se a validade das propriedades associativa e
comutativa para as operações de adição e produto do conjunto Z𝑚. O elemento neutro
para adição de um qualquer elemento �¯� ∈ Z𝑚 é 0¯, pois �¯� + 0¯ = 𝑎+ 0 = �¯�; o simétrico
para adição de um elemento �¯� é o elemento 𝑚− 𝑎; o elemento neutro para o produto é o
elemento 1¯ e o elemento �¯� só será simetrizável se, e somente se, o 𝑚𝑑𝑐(𝑎,𝑚) = 1.
Exemplo 3.0.2. O elemento 5¯ de Z6 é simetrizável, pois o 𝑚𝑑𝑐(5, 6) = 1 e o seu simétrico
é ele mesmo pois 5¯ · 5¯ = 5 · 5 = 25 e 25 ≡ 1¯.
3.1 Grupos
Nesta seção, abordaremos algumas ideias básicas da teoria dos grupos, o enten-
dimento dessa teoria se faz imprescindível para entender como Galois fez corresponder
um problema de resolubilidade de uma equação a um problema da teoria dos grupos.
Neste contexto, vamos tratar de um conjunto munido de uma operação (os grupos). Esta
operação poderá ser uma adição uma multiplicação (ou produto) ou uma composição de
funções. Por conveniência e generalização, adotaremos na maioria das vezes a operação
produto, esta operação, ao contrário da adição, nem sempre é comutativa. Mas saiba: a
definição de produto para os elementos de um determinado grupo as vezes é diferente para
um outro grupo, por exemplo, a definição de produto de matrizes é diferente da definição
de produto de polinômios.
Definição 3.1.1 (Grupo). Um conjunto não vazio 𝐺 munido de uma operação * é cha-
mado de grupo se essa operação sujeita-se aos seguintes axiomas:
36 Capítulo 3. Teoria dos Grupos
1. associatividade: (𝑎 * 𝑏) * 𝑐 = 𝑎 * (𝑏 * 𝑐), quais quer que sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺.
2. existência de elemento neutro: Existe um elemento 𝑒 ∈ 𝐺 talque:
𝑎 * 𝑒 = 𝑒 * 𝑎 = 𝑎, qualquer que seja 𝑎 ∈ 𝐺. Além desse, não existe
outro elemento neutro em um grupo.
3. existência de simétricos: Para todo 𝑎 ∈ 𝐺 existe um elemento 𝑎′ ∈ 𝐺 tal
que: 𝑎 * 𝑎′ = 𝑎′ * 𝑎 = 𝑒.
E se além disso, se verificar a:
4. comutatividade: 𝑎 * 𝑏 = 𝑏 * 𝑎, para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, o grupo recebe o
nome de grupo abeliano ou comutativo.
Denota-se um grupo por (𝐺, *) e por vezes, simplesmente por 𝐺, quando não
houver prejuízo de compreensão. Ao número de elementos de G chamamos de ordem de
𝐺 e que denotamos por o(G) ou |G|.
Exemplo 3.1.1. Grupo aditivo dos inteiros (Z,+) (comutativo); Grupo multiplicativo
dos racionais (Q, ·) (comutativo); Grupos (multiplicativo) Lineares de grau n (não comu-
tativo).
Os grupos dos exemplos acima são grupos infinitos, pois o conjunto suporte são
conjuntos infinitos. Um grupo (𝐺, ·) em que 𝐺 é finito é chamado grupo finito. Por
exemplo, o grupo (Z𝑚, *) e um grupo finito; Um outro exemplo é o grupo das permutações.
Exemplo 3.1.2. O conjunto das retas no plano R2 com coeficiente angular não nulo,
isto é,
𝐺 = {𝑓 : R→ R/ 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥+ 𝑏, 0 ̸= 𝑎, 𝑏 ∈ R}
também é um grupo. Perceba que, se 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ̸= 0 e 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑, com
𝑐 ̸= 0 então a composição de funções:
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑎𝑐𝑥+ (𝑏𝑐+ 𝑑)
defini uma operação em 𝐺 que sem muito esforço poderemos verificar a associatividade.
O elemento neutro é a função identidade 𝐼R : R→
𝑥→
R
𝑥
e a função
𝑓−1 = 1
𝑎
𝑥− 𝑏
𝑎
, 𝑎 ̸= 0, o elemento simétrico.
Grupo das Permutações
De acordo com Domingues e Iezzi (2003, p.145) permutação é o termo específico na
teoria dos grupos para designar uma bijeção de um conjunto nele mesmo. Por exemplo,
Se 𝐸 indica um conjunto não vazio, 𝑆𝑛 indica o conjunto das permutações sobre 𝐸. O
3.1. Grupos 37
grupo (𝑆𝑛, ∘) onde ∘ indica a composição de aplicações (funções), é o grupo simétrico de
grau 𝑛. Vejamos, por exemplo, a descrição do grupo 𝑆3. Sendo 𝐸 = {1, 2, 3}, temos:
𝑆3 =
⎧⎨⎩𝑓0 =
⎛⎝ 1 2 3
1 2 3
⎞⎠ ; 𝑓1 =
⎛⎝ 1 2 3
2 3 1
⎞⎠ ; 𝑓2 =
⎛⎝ 1 2 3
3 1 2
⎞⎠ ; 𝑔1 =
⎛⎝ 1 2 3
1 3 2
⎞⎠ ;
𝑔2 =
⎛⎝ 1 2 3
3 2 1
⎞⎠ ; 𝑔3 =
⎛⎝ 1 2 3
2 1 3
⎞⎠⎫⎬⎭ .
Vejamos a tábua da operação ∘ no grupo 𝑆3:
∘ 𝑓0 𝑓1 𝑓2 𝑔1 𝑔2 𝑔3
𝑓0 𝑓0 𝑓1 𝑓2 𝑔1 𝑔2 𝑔3
𝑓1 𝑓1 𝑓2 𝑓0 𝑔3 𝑔1 𝑔2
𝑓2 𝑓2 𝑓0 𝑓1 𝑔2 𝑔3 𝑔1
𝑔1 𝑔1 𝑔2 𝑔3 𝑓0 𝑓1 𝑓2
𝑔2 𝑔2 𝑔3 𝑔1 𝑓2 𝑓0 𝑓1
𝑔3 𝑔3 𝑔1 𝑔2 𝑓1 𝑓2 𝑓0
O grupo das permutações é um grupo bem peculiar, por exemplo, se o conjunto 𝐸
possui ordem 1 ou 2, isto é, possui um ou dois elementos, então o grupo das permutações
sobre 𝐸 será um grupo comutativo. Se 𝐸 possui ordem maior que 2 então o grupo das
permutações sobre 𝐸 não será comutativo. Temos um exemplo do grupo 𝑆3 que não é
comutativo. Vejamos:
𝑓2 ∘ 𝑔1 =
⎛⎝ 1 2 3
3 1 2
⎞⎠ ∘
⎛⎝ 1 2 3
1 3 2
⎞⎠ = 𝑔2
𝑔1 ∘ 𝑓2 =
⎛⎝ 1 2 3
1 3 2
⎞⎠ ∘
⎛⎝ 1 2 3
3 1 2
⎞⎠ = 𝑔3
Isso mostra que 𝑆3 não é um grupo abeliano. Mais adiante estudaremos com
detalhes o grupo das permutações tendo em vista ser ele a “pedra de roseta1” da teoria
de galois.
Definição 3.1.2 (Subgrupo). Seja (𝐺, *) um grupo. Diz-se que um subconjunto não vazio
𝐻 de 𝐺 é um subgrupo de 𝐺 se:
∙ 𝐻 é fechado para a operação.
1 Pedra de Roseta foi a chave que permitiu revelar os mistérios dos hieróglifos egípcios. As tropas de
Napoleão descobriram-na em 1799 nas proximidades da cidade costeira de Roseta, no baixo Egito.
As vezes a expressão é utilizada no sentido figurado para fazer alusão a algo útil que serve para
compreensão de alguma coisa.
38 Capítulo 3. Teoria dos Grupos
∙ (𝐻, *) também é um grupo.
Facilmente se demonstra que se 𝑒 é o elemento neutro de 𝐺, então 𝑒 também será
o elemento neutro de 𝐻. Também, sem muito esforço, se demonstra que se 𝐻 ̸= ø e
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 tem-se 𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻. É através desta condição que poderemos saber quando um
subconjunto não vazio de um grupo é ou não um subgrupo.
Exemplo 3.1.3. O conjunto das retas do plano R2 com coeficiente angular igual a 1 é
um subgrupo de 𝐺 = {𝑓 : R → R/ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 0 ̸= 𝑎, 𝑏 ∈ R}. De fato, sejam 𝑓 e 𝑔
elementos de 𝐻 o subgrupo de 𝐺 das retas com coeficientes angular igual 1 e 𝑓(𝑥) = 𝑥+𝑛
e 𝑔(𝑥) = 𝑥+𝑚. Sendo 𝑔−1(𝑥) = 𝑥−𝑚, temos 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑥−𝑚+ 𝑛 que pertence a 𝐻.
Agora, iremos apresentar algumas definições, proposições e teoremas que serão
necessários para um futuro bem próximo neste trabalho. Mas antes, é bom que se diga,
para estudarmos a estrutura de um grupo é necessário – vamos dizer assim – “fatiá-lo”,
isto é, particionar esse grupo em pedaços, e uma forma de fazermos isso é criando dentro
desse grupo classes de equivalência. Essas classes são definidas a partir de uma relação
de equivalência. Só para lembrarmos, dizemos que 𝑅 é uma relação de equivalência sobre
um conjunto não vazio 𝐴 se, e somente se, 𝑅 é reflexiva, simétrica e transitiva. Em outros
termos:
1. Se 𝑥 ∈ 𝐴, então 𝑥𝑅𝑥. (reflexiva)
2. Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 e 𝑥𝑅𝑦, então 𝑦𝑅𝑥. (simétrica)
3. Se 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 e 𝑥𝑅𝑦 e 𝑦𝑅𝑧, então 𝑥𝑅𝑧. (transitiva)
Já uma classe de equivalência, será sempre determinada por algum elemento do
conjunto 𝐴, destarte, se 𝑎 ∈ 𝐴, então a classe de equivalência determinado por 𝑎 é o
subconjunto 𝐸 constituído de todos os elementos de 𝐴 tais que: 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐴/𝑥𝑅𝑎}. Na
referência Domingues e Iezzi (2003, p.83) há uma demonstração de que a uma partição de
um conjunto determina uma relação de equivalência e que, reciprocamente, uma relação
de equivalência determina uma partição em um conjunto.
Definição 3.1.3. Dizemos que uma classe 𝒞 de subconjuntos não vazios de 𝐴 (𝐴 ̸= ø) é
uma uma partição de 𝐴 se, e somente se:
∙ dois elementos quaisquer de 𝒞, que são subconjuntos de 𝐴, ou são iguais ou são
disjuntos.
∙ a união dos elementos 𝒞, formam o conjunto A.
3.1. Grupos 39
Exemplo 3.1.4. No conjunto dos inteiros, a relação “paridade” induz uma relação de
equivalência dando causa a duas classes de equivalência, a classe par (𝑃 ) e a classe ímpar
(𝐼). Então podemos dispor de uma classe 𝒞 de modo que seus membros sejam o conjuntos
dos números pares ou o conjunto dos números ímpares: 𝒞 = {𝑃, 𝐼} onde 𝑃 = {𝑎 ∈ Z/ a
é par} ou 𝐼 = {𝑎 ∈ Z/ a é ímpar}. Então 𝒞 é uma partição em Z.
Após essa digressão, voltamos ao ponto que falávamos. Precisamos estudar um
grupo, para isso, é necessário entendermos o seu âmago e uma maneira de fazermos
isso, é criando as chamadas classes laterais porque uma classe lateral é uma classe de
equivalência (demonstração em Domingues e Iezzi (2003, p.187)), isto é, particiona um
grupo em pequenas classes todas disjuntas.
Definição 3.1.4 (Classe Lateral). Sejam 𝐻 um subgrupo de 𝐺 e a um elemento qual-
quer de 𝐺. O subconjunto 𝑎𝐻 = {𝑎ℎ/ℎ ∈ 𝐻} é chamado de classe lateral à direita
determinada por a. Analogamente, 𝐻𝑎 = {ℎ𝑎/ℎ ∈ 𝐻} é chamado de classe lateral à
esquerda determinada por 𝑎. A definição será análoga se a operação for adição, isto é,
𝑎+𝐻 = {𝑎+ ℎ/ℎ ∈ 𝐻}, ou, para 𝐻 + 𝑎 = {ℎ+ 𝑎/ℎ ∈ 𝐻}.
Exemplo 3.1.5. Com o subgrupo 𝐻 = 2Z = {. . . ,−4,−2, 0, 2, 4 . . .} de 𝐺 = Z e a
operação adição, podemos ter a classe lateral 𝐻 + 𝑎 = {2Z+ 𝑎;∀𝑎 ∈ Z}.
Veja que através da classe 𝐻 = 2Z, podemos partir Z. Vejamos, o grupo Z está
dividido somente em duas classes laterais: 2Z + 0 e 2Z + 1, pois, se prosseguíssemos,
2Z+3, 2Z+4, . . . , o resultado redundaria ou em 2Z+0 ou em 2Z+1, então concluímos
que Z possui somente duas classes laterais: {2Z, 2Z+ 1}. Repare que essas duas classes
laterais são respectivamente os conjuntos dos números pares e dos números ímpares, então
de fato, partimos o grupo Z.
Ao conjunto de todas as classes laterais denotamos𝐺/𝐻 e o chamamos de Conjunto
Quociente. Então, no caso do Exemplo 3.1.5, 𝐺/𝐻 = {𝑎+𝐻,para todo 𝑎 ∈ 𝐺} = Z/2Z =
{2Z, 2Z+ 1}. Perceba que os elementos de 𝐺/𝐻 são classes (subconjuntos). Ao número
de elementos de 𝐺/𝐻 chama-se í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 de H em G, denota-se [𝐺 : 𝐻]. Então [Z : 2Z] = 2.
Facilmente demonstra-se que o índice de 𝐻 em 𝐺 é o mesmo para classes laterais à
esquerda ou à direita.
Agora, veremos mais uma importante definição na teoria dos grupos, a definição
de subgrupo normal. Mas antes, vamos lembrar que o grupo Z é igual a 2Z∪2Z+1 e que
2Z∩ 2Z+1 ̸= ø. Lembremos também que o conjunto de todas as classes laterais chama-
se conjunto quociente. Se a esse conjunto quociente atribuirmos a operação produto de
subconjuntos2 teremos assim o grupo quociente 𝐺/𝐻 = {2Z, 2Z+1} cujo elemento neutro
2 O produto de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é: 𝐴𝐵 = {𝑎𝑏/𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}. De modo análogo a soma defini-se
𝐴+𝐵 = {𝑎+ 𝑏/𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}
40 Capítulo 3. Teoria dos Grupos
é 2Z. Mas é necessário fazer uma observação importante com o que está sendo dito, não
se constrói um grupo quociente com qualquer classe lateral, devemos alojar uma condição
ao subgrupo 𝐻. Veja que para todo 𝑎 ∈ Z temos 𝑎 +2Z = 2Z + 𝑎, quando isso ocorre
dizemos que o grupo 2Z é um subgrupo normal.
Definição 3.1.5 (Subgrupo Normal). Um subgrupo 𝑁 de um grupo 𝐺 é chamado de
subgrupo normal (ou invariante) se, para todo 𝑥 ∈ 𝐺 se verifica a igualdade:
𝑥𝑁 = 𝑁𝑥
Sendo que 𝑥𝑁 ou 𝑁𝑥 significa a multiplicação de todos os elementos de 𝑁 por 𝑥. Deno-
tamos 𝑁 C 𝐺.
As afirmações abaixo são equivalentes e de fácil demonstração:
∙ 𝑥𝑁 = 𝑁𝑥
∙ 𝑁 C 𝐺
∙ Para todo 𝑥 ∈ 𝐺, 𝑥𝑁𝑥−1 = 𝑁
∙ Para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, (𝑥𝑁)(𝑦𝑁) = (𝑥𝑦)𝑁 .
Exemplo 3.1.6. Considerando o grupo simétrico 𝑆3 = {𝑓0, 𝑓1, 𝑓 21 , 𝑔1, 𝑔1𝑓1, 𝑔1𝑓 21}, o sub-
grupo 𝑁 = {𝑓0, 𝑓1, 𝑓 21} de 𝑆3 é normal, pois para cada 𝜑 ∈ 𝑆3 temos 𝜑𝑁 = 𝑁𝜑. Verifique
a tábua de 𝑆3 na página 37.
Observação: Veja que fizemos: 𝑓 21 = 𝑓1 ∘ 𝑓1 = 𝑓2, 𝑔1𝑓1 = 𝑔1 ∘ 𝑓1 = 𝑔2, o mesmo é
para 𝑔1𝑓 21 .
Exemplo 3.1.7. Todo subgrupo de um grupo abeliano é normal. De fato, pois qualquer
𝑥𝑛 = 𝑛𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐺 e 𝑛 ∈ 𝑁.
Outra observação importante desse definição é que a igualdade 𝑥𝑁 = 𝑁𝑥 não
quer dizer que o elemento 𝑥 comuta com todos os elementos de 𝑁 , mas se trata de
uma igualdade de subconjuntos, ou seja, se qualquer elemento 𝑎 pertence a 𝑥𝑁 , como
𝑥𝑁 = 𝑁𝑥, então 𝑎 também pertence 𝑁𝑥, por exemplo:
𝑔1𝑁 = {𝑔1, 𝑔1𝑓1, 𝑔1𝑓 21} = {𝑔1, 𝑔2, 𝑔3}
𝑁𝑔1 = {𝑔1, 𝑓1𝑔1, 𝑓 21 𝑔1} = {𝑔1, 𝑔3, 𝑔2}
Isto é, 𝑔1𝑁 = 𝑁𝑔1, mas 𝑔1𝑓1 ̸= 𝑓1𝑔1.
Como dissemos, a definição de subgrupo normal é fundamental para construirmos
um grupo quociente, isto porque este subgrupo vai nos permitir que o produto de duas
3.1. Grupos 41
classes laterais determinem uma operação no conjunto 𝐺/𝑁 = {𝑔𝑁, para todo 𝑔 ∈ 𝐺},
isto é: (𝑔1𝑁)(𝑔2𝑁) = (𝑔1)(𝑁𝑔2)(𝑁) = (𝑔1)(𝑔2𝑁)(𝑁) = (𝑔1𝑔2)𝑁 .
Definição 3.1.6 (Grupo Quociente). Sendo 𝐺 um grupo e 𝑁 um subgrupo normal de
𝐺. O grupo quociente de 𝐺 por 𝑁 é o conjunto quociente 𝐺/𝑁 = {𝑔1𝑁, 𝑔2𝑁, · · · , 𝑔𝑛𝑁}
munido da operação binária multiplicação de subconjuntos:
(𝑔1𝑁)(𝑔2𝑁) = (𝑔1𝑔2)𝑁 para todo 𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝐺.
Cujo elemento neutro é 𝑒𝑁 = 𝑁 , o simétrico de 𝑎𝑁 é o elemento 𝑎−1𝑁 e
|𝐺/𝑁 | = [𝐺 : 𝑁 ].
Exemplo 3.1.8. Sejam 𝐺 = 𝑆3 = {𝑓0, 𝑓1, 𝑓 21 , 𝑔1, 𝑔1𝑓1, 𝑔1𝑓 21} e 𝑁 = {𝑓0, 𝑓1, 𝑓 21} um sub-
grupo normal normal de 𝐺. Perceba que 𝑔1𝑁 = {𝑔1, 𝑔1𝑓1, 𝑔1𝑓 21} = {𝑔1(𝑓0, 𝑓1, 𝑓 21 )} =
{(𝑓0, 𝑓1, 𝑓 21 )𝑔1} = 𝑁𝑔1. Temos então o grupo quociente 𝐺/𝑁 = {𝑁, 𝑔1𝑁}, cujo elemento
neutro é 𝑁 e 𝑔−11 𝑁 = 𝑔1𝑁 .
Definição 3.1.7 (Grupo Cíclico). Um grupo 𝐺 será chamado grupo cíclico se, para algum
elemento 𝑎 ∈ 𝐺, se verificar a igualdade 𝐺 = {𝑎𝑚/ 𝑚 ∈ Z}. Denotamos: 𝐺 = ⟨𝑎⟩.
Nesse caso, o elemento 𝑎 é chamado gerador de 𝐺. Em outros termos, um grupo
é cíclico se ele pude ser gerado por um, ou mais, de seus elementos.
Nessa definição, é bom que se diga que a potência 𝑚 se refere a repetição da ope-
ração e não simplesmente da multiplicação, então, 𝑎𝑚 significa que aplicou-se a operação
sobre 𝑎, 𝑚 vezes. Nesse grupo assume-se que a identidade de 𝐺 = ⟨𝑎⟩ é representada
por 𝑎0 e 𝑎−1 a inversa de um elemento 𝑎 e que 𝑎𝑎−1 = 𝑒. Se 𝐺 = ⟨𝑎⟩ é um grupo finito
de ordem 𝑛, então 𝑎𝑛 = 𝑒, pois, como 𝐺 é finito, temos 𝑎𝑛 = 𝑒 = 𝑎0 para algum 𝑛 > 0
mínimo e inteiro.
Exemplo 3.1.9. O polinômio 𝑥𝑛 − 1 = 0, possui como raiz:
𝑥𝑘 = 𝑒
2𝑘𝜋𝑖
𝑛 , 𝑘 = 0, 1, 2, . . . , 𝑛− 1.
Perceba que 𝑥𝑘 gera todas as raízes de seu polinômio, portanto o conjunto ⟨𝑥𝑘⟩ das
n-ésimas raízes da unidade é um grupo cíclico. Perceba ainda, quando 𝑘 = 𝑛, 𝑥𝑛 = 1 = 𝑥0
Proposição 3.1.1. Todo grupo cíclico é abeliano.
Demonstração. Sejam 𝐺 um grupo cíclico e 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺. Então 𝑥 = 𝑎𝑚 e 𝑦 = 𝑎𝑛 para algum
𝑚,𝑛 inteiro. Logo, 𝑥𝑦 = 𝑎𝑚𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 = 𝑎𝑛+𝑚 = 𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑦𝑥.
Teorema 3.1.1 (Lagrange). Se 𝐺 é um grupo finito e 𝐻 é um subgrupo de 𝐺, então a
ordem de 𝐻 divide a ordem de 𝐺, isto é, 𝑜(𝐺)
𝑜(𝐻) = [𝐺 : 𝑁 ].
42 Capítulo 3. Teoria dos Grupos
Demonstração. Ver referência Gonçalves (1979, p.134)
Exemplo 3.1.10. A ordem do subgrupo 𝐻 = {𝑓0, 𝑓1, 𝑓2} divide a ordem do grupo 𝐺 = 𝑆3.
O teorema de Lagrange traz duas consequências importante:
Corolário 3.1.1. A ordem de um elemento de um grupo finito divide a ordem desse
grupo.
Demonstração. Basta ver que a ordem de um elemento 𝑎 é igual a ordem do grupo ⟨𝑎⟩ e
por força do teorema de Lagrange, temos: 𝑜(⟨𝑎⟩)|𝑜(𝐺)
Corolário 3.1.2. Se 𝐺 é um grupo finito cuja ordem é um número primo. Então 𝐺 é
cíclico e os únicos subgrupos de 𝐺 são os triviais, ou seja, {𝑒} e o próprio {𝐺}.
Demonstração. Devemos mostrar primeiro que dentro de um grupo qualquer cuja or-
dem é maior que um, existe um subgrupo não-trivial que é ⟨𝑎⟩, onde 𝑎 ̸= 𝑖𝑑. De fato,
⟨𝑎⟩ ̸= ø , pois 𝑎 ∈ ⟨𝑎⟩. Agora, sejam 𝑎𝑚,𝑎𝑛 ∈ ⟨𝑎⟩, então, como 𝑎𝑚(𝑎𝑛)−1 = 𝑎𝑚𝑎−𝑛 =
𝑎𝑚−𝑛 ∈ ⟨𝑎⟩, logo ⟨𝑎⟩ é um subgrupo de G.
Agora, pelo Teorema de Lagrange, |⟨𝑎⟩| divide a ordem de 𝐺. Como |⟨𝑎⟩| é maior
que 1, pois 𝑒, 𝑎 ∈ ⟨𝑎⟩, logo |⟨𝑎⟩| = |𝐺|. Isso quer dizer que 𝐺 = ⟨𝑎⟩.
Proposição 3.1.2. Todo grupo de ordem 2 ou 3 é cíclico.
Demonstração. Como 2 e 3 são primos, pelo Corolário 3.1.2 são cíclicos.
3.2 Grupo das Permutações
O grupo das permutações é um grupo digno de ser estudado com mais acuidade
devido sua importância na teoria de Galois.
Definição 3.2.1 (Permutação). Se 𝐸 = {1, 2, 3, . . . , 𝑛} é um conjunto com 𝑛 elementos,
cada função bijetiva 𝜑 que leva 𝐸 nele mesmo é designado de permutação.
Então, cada 𝜑:
𝜑0 : 𝐸 −→ 𝐸
𝜑1 : 𝐸 −→ 𝐸
...
𝜑𝑛! : 𝐸 −→ 𝐸
é uma permutação que pode ser representada por uma matriz de duas linhas onde, na
primeira linha se representa a variável e na segunda a imagem da variável. Assim:
3.2. Grupo das Permutações 43
𝜑 =
⎛⎝ 1 2 3 . . . 𝑛
𝜑(1) 𝜑(2) 𝜑(3) . . . 𝜑(𝑛)
⎞⎠
O conjunto de todos os 𝜑𝑖′𝑠 com a operação composição formam o grupo das per-
mutações dos 𝑛 elementos, que denotamos por 𝑆𝑛, chamado grupo simétrico. O conjunto
𝐸 = {1, 2, 3, . . . 𝑛} é chamado de conjunto suporte dos 𝜑′𝑖𝑠. O elemento neutro de 𝑆𝑛 é
𝜑0 = 𝑖𝑑, o simétrico de 𝜑 é 𝜑−1 que é obtido invertendo a primeira linha pela segunda e
reordenando os elementos em seguida. Vejamos o exemplo do grupo 𝑆3, a inversa de
𝑓1 =
⎛⎝1 2 3
2 3 1
⎞⎠ é 𝑓−1 =
⎛⎝2 3 1
1 2 3
⎞⎠ =
⎛⎝1 2 3
3 1 2
⎞⎠ = 𝑓2.
Facilmente se vê que o número de bijeções 𝜑 é 𝑛!, basta usarmos o argumento
simples de contagem. Temos então:
𝑆𝑛 = {𝜑0, 𝜑1, . . . , 𝜑𝑛!}, sendo 𝐸 = {1, 2, . . . , 𝑛}
Percebemos também, que o importante para nós é o número de elementos do conjunto
𝐸 = {1, 2, . . . , 𝑛} pois, permutar letras, números, frutas, etc. é a mesma operação só que
com elementos diferentes.
Exemplo 3.2.1. O conjunto 𝐸 = {1, 2, 3} terá 3! permutações:
𝑆3 = {𝜑1, 𝜑2, 𝜑3, 𝜑4, 𝜑5, 𝜑6}
𝑆3 =
⎧⎨⎩𝜑1 =
⎛⎝1 2 3
1 2 3
⎞⎠ ;𝜑2 =
⎛⎝1 2 3
2 3 1
⎞⎠ ;𝜑3 =
⎛⎝1 2 3
3 1 2
⎞⎠ ;𝜑4 =
⎛⎝1 2 3
1 3 2
⎞⎠ ;
𝜑5 =
⎛⎝1 2 3
3 2 1
⎞⎠ ;𝜑6 =
⎛⎝1 2 3
2 1 3
⎞⎠⎫⎬⎭ .
Agora iremos apresentar um tipo especial de permutação e de grande importância
para o estudo do grupo das permutações. A título de motivação, consideremos o seguinte
exemplo de uma permutação em 𝑆5:
𝜙 =
⎛⎝1 2 3 4 5
3 1 2 4 5
⎞⎠
Percebemos que 𝜙(1) = 3, 𝜙(3) = 2, 𝜙(2) = 1 e 𝜙(4) = 4, 𝜙(5) = 5. Por ter esta
característica, a permutação 𝜙 é chamada de 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜. O conjunto 𝒪5 =
{︁
1, 𝜙(1), 𝜙
(︁
𝜙(1)
)︁}︁
é chamado de ó𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 e pode se representar na forma 𝒪5 =
(︃
1 𝜙(1) 𝜙
(︁
𝜙(1)
)︁)︃
= (1 3 2).
Esta órbita possui comprimento 3 pois possui três elementos. Perceba que a imagem dos
elementos que não pertencem à órbita são eles mesmos.
44 Capítulo 3. Teoria dos Grupos
Definição 3.2.2 (Ciclo e Órbita). Ciclo é toda permutaçãoque possui somente uma órbita
de comprimento maior que um. Órbita é uma sequência de aplicações de uma variável
numa permutação. O comprimento de uma órbita é o seu número de elementos.
Exemplo 3.2.2. Consideremos em 𝑆7 a permutação:
𝛼 =
⎛⎝1 2 3 4 5 6 7
1 5 7 4 3 6 2
⎞⎠
Pela definição, a permutação 𝛼 é um ciclo, pois possui somente uma órbita: 𝒪7 = (2 5 3 7)
e 𝛼(1) = 1, 𝛼(4) = 4 e 𝛼(6) = 6. O comprimento de 𝒪7 é 4. As imagens dos elementos
que não pertencem a órbita são eles mesmos.
Exemplo 3.2.3. Consideremos em 𝑆5 a permutação:
𝜎 =
⎛⎝1 2 3 4 5
3 5 2 1 4
⎞⎠
𝜎 é um ciclo, pois possui somente uma órbita de comprimento maior que um, aliás,
diferentemente do Exemplo 3.2.2, todos os elementos de 𝜎 pertence à sua órbita 𝒪5 =
(1 3 2 5 4).
Contra-exemplo 3.2.1. Consideremos em 𝑆7 a permutação:
𝛾 =
⎛⎝1 2 3 4 5 6 7
1 4 3 7 6 5 2
⎞⎠
Pela definição, 𝛾 não é um ciclo, pois 𝛾 possui duas órbitas que são: 𝛾(2) = 4, 𝛾(4) =
7, 𝛾(7) = 2, isto é (2 4 7) e 𝛾(5) = 6, 𝛾(6) = 5, isto é (5 6).
É comum se representar um ciclo pelos os elementos de sua órbita, foi o que fizemos
nos exemplos anteriores. No caso do Contra Exemplo 3.2.1, que possui duas órbitas, a
permutação 𝛾 pode se escrever como um produto de dois ciclos disjuntos. Dois ciclos
(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) e (𝑏1, 𝑏2, . . . , 𝑏𝑠) são disjuntos quando {𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘}∩{𝑏1, 𝑏2, . . . , 𝑏𝑠} = ø:
𝛾 =
⎛⎝1 2 3 4 5 6 7
1 4 3 7 5 6 2
⎞⎠ ∘
⎛⎝1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 6 5 7
⎞⎠ = (2 4 7) ∘ (5 6)
Proposição 3.2.1. Qualquer permutação de 𝑆𝑛 pode ser escrita de uma única forma
(salvo quanto à ordem dos fatores) como um produto de ciclos disjuntos, exceto a permu-
tação idêntica.
Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p. 202)
A partir de agora, toda permutação que possui somente uma órbita com 𝑟 elemen-
tos a chamaremos de 𝑟 − 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜, caso contrário, permutação.
3.2. Grupo das Permutações 45
Definição 3.2.3 (Transposição). Uma transposição é todo ciclo cuja órbita tem compri-
mento dois, isto é, é um 2-ciclo.
Exemplo 3.2.4. No grupo simétrico 𝑆3 a permutação 𝜑4 é uma transposição:
𝜑4 =
⎛⎝1 2 3
1 3 2
⎞⎠ = (2 3)
Toda permutação de 𝑆𝑛(𝑛 > 1) pode ser expressa como um produto de transposi-
ções, o processo é baseado no seguinte procedimento: (1) decompõe-se a permutação em
ciclos disjuntos, em seguida, (2) em cada ciclo realiza-se o seguinte processo:
(𝑥1 𝑥2 𝑥3 . . . 𝑥𝑗−1 𝑥𝑗) = (𝑥1 𝑥𝑗) ∘ (𝑥1 𝑥𝑗−1) ∘ (𝑥1 𝑥𝑗−2) ∘ · · · ∘ (𝑥1 𝑥2)
Isso demonstra a seguinte proposição:
Proposição 3.2.2. O grupo 𝑆𝑛 é gerado pelo conjunto de todas as transposições de 𝑆𝑛.
Demonstração. Pela Proposição 3.2.1, basta aplicarmos o que acabamos de dizer acima.
Vemos este exemplo:
Exemplo 3.2.5. Vamos decompor a permutação 𝜑 de 𝑆6 em um produto de transposições.
𝜑 =
⎛⎝1 2 3 4 5 6
3 1 2 4 6 5
⎞⎠
O primeiro passo é decompor 𝜑 em um produto de ciclos disjuntos, em seguida,
decompor cada ciclo de comprimento maior que 2 em transposições. Assim:
𝜑 =
⎛⎝1 2 3 4 5 6
3 1 2 4 6 5
⎞⎠ = (1 3 2) ∘ (5 6) = (1 2) ∘ (1 3) ∘ (5 6).
Proposição 3.2.3. Seja 𝑎 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}. Então 𝑆𝑛 = ⟨{(𝑎 1), (𝑎 2), . . . (𝑎 𝑛)}⟩.
Demonstração. Na Proposição 3.2.2, vimos que 𝑆𝑛 = ⟨{𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑠𝑖çõ𝑒𝑠}⟩, então, basta
mostrar que (𝑖 𝑗) pertence a ⟨{(𝑎 1), (𝑎 2), . . . (𝑎 𝑛)}⟩. De fato, (𝑖 𝑗) = (𝑎 𝑖)(𝑎 𝑗)(𝑎 𝑖), com
𝑎, 𝑖, 𝑗 distintos.
Teorema 3.2.1. Os ciclos (1 2) e (1 2 . . . 𝑛), com 1, 2, , . . . , 𝑛 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} geram 𝑆𝑛.
Demonstração. Seja
𝐺 = ⟨𝛼, 𝜎⟩
46 Capítulo 3. Teoria dos Grupos
com 𝛼 = (1 2) e 𝜎 = (1 2 . . . 𝑛), o grupo gerado por 𝛼 e 𝜎. Então, podemos ter
𝜎−1 = (1 𝑛 𝑛− 1 . . . , 3 2). Assim,
𝜎𝛼𝜎−1 = (2 3), 𝜎2𝛼𝜎−2 = (3 4), . . . , (𝑚 𝑚+ 1)
pertencem a 𝐺, como também as transposições:
(1 2)(2 3)(1 2) = (1 3)
(1 3)(3 4)(1 3) = (1 4)
...
(1 𝑛− 1)(𝑛 𝑛− 1)(1 𝑛− 1) = (1 𝑛)
Daí, segue que, pela Proposição 3.2.3, o conjunto: {(1 2), (1 3), (1 4), . . . , (1 𝑛)} gera 𝑆𝑛,
Logo, 𝐺 = 𝑆𝑛.
Permutação Par e Permutação Ímpar
A permutação identidade é uma permutação que pode ser escrita como o produto
de duas transposições inversa, qualquer que seja o número de elementos do conjunto
suporte, isto é: 𝑖𝑑 = (𝑥𝑖 𝑥𝑗) ∘ (𝑥𝑗 𝑥𝑖).
Exemplo 3.2.6.
𝑖𝑑 =
⎛⎝1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
⎞⎠ =
⎛⎝1 2 3 4 5 6 7
1 4 3 2 5 6 7
⎞⎠ ∘
⎛⎝1 2 3 4 5 6 7
1 4 3 2 5 6 7
⎞⎠
= (2 4) ∘ (4 2).
Ao decompormos uma permutação em um produto de transposições, essa decom-
posição não é única.
Exemplo 3.2.7. Vejamos este exemplo de 𝜑1 ∈ 𝑆6
𝜑1 =
⎛⎝1 2 3 4 5 6
4 6 1 3 2 5
⎞⎠ = (1 4 3) ∘ (2 6 5)
= (1 3) ∘ (1 4) ∘ (2 5) ∘ (2 6) (3.1)
= (1 2) ∘ (2 1) ∘ (1 3) ∘ (1 4) ∘ (2 5) ∘ (2 6) (3.2)
Tanto a decomposição (3.1) como a decomposição (3.2) correspondem a permuta-
ção 𝜑. Perceba que a inclusão do fator (1 2) ∘ (2 1) não altera o resultado, isso porque
– como se viu no exemplo (3.2.6) – qualquer fator da forma (𝑥𝑖𝑥𝑗) ∘ (𝑥𝑗𝑥𝑖) representa a
3.2. Grupo das Permutações 47
identidade. Mas o que de fato interessa destacar é a paridade das decomposições de uma
permutação em transposições, isto é, se uma permutação se decompor num produto de
transposição com o número par de fatores, o mesmo acontece com todas as outras pos-
sibilidades de decomposição dessa permutação em transposição. Por outro lado, se uma
permutação se decompor em um número ímpar de transposições, todas as outras possibi-
lidade de decomposições em transposições também terá número ímpar de transposições.
No caso do exemplo (3.2.7), na decomposição (3.1), a permutação 𝜑 se decompôs em
quatro transposições, ou seja, um número par de transposições e na (3.2), se decompôs
também em um número par de fatores só que com seis transposições, isso sem alterar o
resultado.
Exemplo 3.2.8. A permutação 𝜑2 possui um número ímpar de fatores de transposições,
qualquer que seja sua decomposição.
𝜑2 =
⎛⎝1 2 3 4 5 6
3 1 2 4 6 5
⎞⎠ = (1 3 2) ∘ (5 6)
= (1 2) ∘ (1 3) ∘ (5 6)
= (1 2) ∘ (1 3) ∘ (1 4) ∘ (4 1) ∘ (5 6)
Definição 3.2.4 (Permutação par e Permutação ímpar). Seja 𝜑 um permutação de 𝑆𝑛.
Se 𝜑 se decompor num número par de fatores, dizemos que 𝜑 é uma permutação par. Caso
contrário, será ímpar.
O conjunto das permutações pares de 𝑆𝑛 será indicado por 𝐴𝑛. Veja que 𝐴𝑛 ̸= ø,
pois 𝑖𝑑 = (𝑥𝑖 𝑥𝑗) ∘ (𝑥𝑗 𝑥𝑖) é par.
Proposição 3.2.4. O conjunto 𝐴𝑛, 𝑛 > 1 é um subgrupo de 𝑆𝑛, chamado grupo alternado
de grau n, cuja ordem é 𝑛!2 .
Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p. 206)
Corolário 3.2.1. 𝐴𝑛 é um subgrupo normal de 𝑆𝑛.
Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p.206)
Exemplo 3.2.9. Vamos encontrar o subgrupo 𝐴3 de 𝑆3, isto é, o subgrupo das permuta-
ções pares de 𝑆3 :
𝜑1 = 𝑖𝑑 é par,
𝜑2 = (1 2 3) = (1 3)(1 2) é par,
𝜑3 = (1 3 2) = (1 2)(1 3) é par,
𝜑4 = (2 3) é ímpar
48 Capítulo 3. Teoria dos Grupos
𝜑5 = (1 3) é ímpar
𝜑6 = (1 2) é ímpar
Então: 𝐴3 = {𝜑0, 𝜑1, 𝜑2}
No grupo 𝑆𝑛, pode ser encontrado somente dois tipos de permutações: pares e
ímpares. Como vimos, o conjunto de todas as permutações pares formam um subgrupo
de 𝑆𝑛. Mas o mesmo não poder ser dito para as permutações ímpares, de fato, o produto
de duas permutações ímpares resultam numa permutação par, ou seja, o conjunto das
permutações ímpares não é fechado para o produto e, desse modo, não cumpre uma das
condições da definição de subgrupo. Somente com o produto de uma permutação par com
uma ímpar é que se resulta numa permutação ímpar e, dessa forma, também não teremos
um subgrupo pelo fato da permutação par ser estranho ao conjunto das permutações
ímpares.
Na página (40), vimos que para um grupo quociente, temos que ter um subgrupo
normal, tendo em vista isto, podemos ter o grupo quociente:
𝑆𝑛/𝐴𝑛 ={𝐴𝑛, 𝜑𝐴𝑛 / 𝜑 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟}.
Proposição 3.2.5. O grupo 𝐴𝑛, para 𝑛 ≥ 3, é gerado por 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠.
Demonstração. Em outras palavras, a proposição quer dizer que qualquer elemento de 𝐴𝑛
é um produto de 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠. Então, se (𝑎 𝑏 𝑐) é um 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 qualquer, vamos mostrar que
𝐴𝑛 = ⟨{(𝑎 𝑏 𝑐)}⟩. Para isso vamos demonstrar dois casos:
⟨{(𝑎 𝑏 𝑐)}⟩ ⊂ 𝐴𝑛. De fato, pois (𝑎 𝑏 𝑐) é igual a (𝑎 𝑐)(𝑎 𝑏), que é uma permu-
tação par. Então ⟨(𝑎 𝑏 𝑐)⟩ ⊂ 𝐴𝑛.
𝐴𝑛 ⊂ ⟨{(𝑎 𝑏 𝑐)}⟩. Nesse caso, vamos mostrar que se 𝜑 é uma permutação qual-
quer de 𝐴𝑛, então 𝜑 se escreve como um produto de 3 − 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠, para tanto,
mostraremos que o produto de duas transposições quaisquer é um produto de
3 − 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠. Na página (45) vimos que qualquer permutação se escreve como
um produto de transposições. Então, seja 𝛾 e 𝛾′ duas transposições quaisquer
que são fatores de 𝜑, se 𝛾, 𝛾′ são disjuntas, isto é, 𝛾 = (𝑎 𝑏) 𝛾′ = (𝑐 𝑑), então
temos:
𝛾 ∘ 𝛾′ = (𝑎 𝑏) ∘ (𝑐 𝑑) = (𝑎 𝑏) (𝑎 𝑐)(𝑐 𝑎)⏟ ⏞ 
𝑖𝑑
(𝑐 𝑑) = (𝑎 𝑐 𝑏)(𝑐 𝑑 𝑎),
que é um produto de 3 − 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜. Agora, se 𝛾, 𝛾′ não são disjuntas, temos
(𝑎 𝑐)(𝑎 𝑏) = (𝑎 𝑏 𝑐), que também é um 3− 𝑐𝑖𝑙𝑐𝑜. Logo 𝐴𝑛 ⊂ ⟨(𝑎 𝑏 𝑐)⟩.
3.2. Grupo das Permutações 49
Proposição 3.2.6. Seja o natural 𝑛 ≥ 3. Então 𝐴𝑛 = ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩ tal que 𝑎, 𝑏 ∈
{1, 2, . . . , 𝑛}, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 e 𝑎 ̸= 𝑏, 𝑖 ̸= 𝑎, 𝑏.
Demonstração. Basta demonstrar duas situações:
⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩ ⊂ 𝐴𝑛. De fato, pois qualquer elemento de ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩ é um 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
ou um produto de 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠.
𝐴𝑛 ⊂ ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩. De fato, se tomarmos (𝑚 𝑛 𝑘), um 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 qualquer de 𝐴𝑛,
basta mostrar que (𝑚 𝑛 𝑘) ∈ ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩, para isso consideremos três casos:
(𝑖) 𝑎, 𝑏 ∈ {𝑚,𝑛, 𝑘}.
Então, (𝑚 𝑛 𝑘) = (𝑎 𝑏 𝑖) para algum 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} e 𝑖 ̸= 𝑎, 𝑏.
(𝑖𝑖) 𝑎 ∈ {𝑚,𝑛, 𝑘} e 𝑏 /∈ {𝑚,𝑛, 𝑘}.
Então, podemos representar (𝑚 𝑛 𝑘) por (𝑎 ℎ 𝑖) com ℎ, 𝑖 /∈ {𝑎, 𝑏}, isto é,
(𝑚 𝑛 𝑘) = (𝑎 ℎ 𝑖). Como podemos encontrar em ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩ os elementos
(𝑎 𝑏 ℎ), (𝑎 𝑏 𝑖) e (𝑎 𝑏 𝑖)−1, temos:
(𝑎 𝑏 𝑖)−1(𝑎 𝑏 ℎ)(𝑎 𝑏 𝑖) = (𝑎 𝑖 𝑏)(𝑎 𝑏 ℎ)(𝑎 𝑏 𝑖) = (𝑎 ℎ 𝑖) ∈ ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩,
ou seja, (𝑚 𝑛 𝑘) ∈ ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩
(𝑖𝑖𝑖) 𝑎 /∈ {𝑚,𝑛, 𝑘}.
Nesse caso, podemos fazer com que (𝑚 𝑛 𝑘) se reduza ao caso (𝑖) :
(𝑚 𝑛 𝑘) = (𝑎 𝑘 𝑛)(𝑎 𝑚 𝑘)(𝑎 𝑛 𝑘),
Perceba que qualquer um dos três fatores se enquadram no caso (𝑖).
Teorema 3.2.2 (Teorema de Cauchy). Seja 𝐺 um grupo e 𝑝 um número primo. Se 𝑝
divide a ordem de 𝐺, então 𝐺 possui um elemento de ordem 𝑝.
Demonstração. Ver referência Lima (2012)[p.59]
Exemplo 3.2.10. Em 𝑆5 temos 5! = 120 permutações, como 5 é primo e divide
⃒⃒⃒
𝑆5
⃒⃒⃒
, logo
existe um elemento em 𝑆5 cuja ordem é 5. De fato, esse elemento pode ser:⎛⎝ 1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
⎞⎠ = (1 2 3 4 5),
então,(︁
(1 2 3 4 5)
)︁1
= (1 2 3 4 5)(︁
(1 2 3 4 5)
)︁2
= (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5) = (1 3 5 2 4)
50 Capítulo 3. Teoria dos Grupos
(︁
(1 2 3 4 5)
)︁3
= (1 3 5 2 4)(1 2 3 4 5) = (1 4 2 5 3)(︁
(1 2 3 4 5)
)︁4
= (1 4 2 5 3)(1 2 3 4 5) = (1 5 4 3 2)(︁
(1 2 3 4 5)
)︁5
= 𝑖𝑑.
Proposição 3.2.7. Em 𝑆𝑝, com 𝑝 primo, uma permutação de ordem 𝑝 é um 𝑝− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜.
Demonstração. Seja 𝜑 ∈ 𝑆𝑝, uma permutação de ordem 𝑝. Vimos que 𝜑 pode se decompor
em um produto de ciclos disjuntos não triviais como 𝜑 = 𝜑1𝜑2 · · ·𝜑𝑟. Na referência Chueire
(2009)[p.25], poderemos ver que⃒⃒⃒
𝜑1𝜑2 · · ·𝜑𝑟
⃒⃒⃒
= 𝑚.𝑚.𝑐(𝑛1, . . . , 𝑛𝑟)
onde 𝑛𝑖 é o comprimento do ciclo 𝜑𝑖. Como por hipótese 𝜑 tem ordem 𝑝 e 𝜑 = 𝜑1𝜑2 · · ·𝜑𝑟,
temos que ⃒⃒⃒
𝜑1𝜑2 · · ·𝜑𝑟
⃒⃒⃒
= 𝑝 = 𝑚.𝑚.𝑐(𝑛1, . . . , 𝑛𝑟).
Como 𝑝 é primo e 𝑛𝑖 > 1, temos 𝑛𝑖 = 𝑝 para todo 𝑖. Assim, 𝜑 é um produto de 𝑝− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
disjuntos. Uma vez que 𝜑 pertence a 𝑆𝑝, não pode haver até dois 𝑝− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 disjuntos, de
modo que 𝜑 é um único 𝑝− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜.
Exemplo 3.2.11. Veja do exemplo anterior que, em 𝑆5, a uma permutação⎛⎝ 1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
⎞⎠
tem por ordem o primo 5, então, essa permutação é um 5− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜.
Agora, vamos mostrar uma definição que Galois teve de criar para que pudesse
vincular uma propriedade ao grupo das permutações das raízes. Essa propriedade é a
chave que nos revela quando uma equação é resolúvel por radicais ou não.
Definição 3.2.5 (Grupo Solúvel). Um grupo 𝐺 é dito solúvel se existem subgrupos que
satisfaçam as condições:
(I) 𝑖𝑑 = 𝐺0 � 𝐺1 � . . . � 𝐺𝑛−1 � 𝐺𝑛 = 𝐺.
(II) 𝐺𝑖/𝐺𝑖−1 é abeliano.
O item (I) da definição é chamada de subsérie normal de 𝐺, em que cada 𝐺𝑖−1 é
normal em 𝐺𝑖. No item (II) o grupo quociente 𝐺𝑖/𝐺𝑖−1 é chamado de fator da série e
estabelece que cada grupo quociente seja abeliano, isto é, que o produto de duas classes
laterais sejam comutativo. Quando uma torre ou cadeia de subgrupos apoia-se nessas
duas condições, a torre ou cadeia é chamada série subnormal abeliana.
3.2. Grupo das Permutações 51
Exemplo 3.2.12. Todo grupo abeliano é solúvel. De fato, sabemos do exemplo 3.1.7 que
todo subgrupo de um grupo abeliano é normal. Então, seja 𝐻 um subgrupo de um grupo
abeliano 𝐺. Perceba que 𝐺/𝐻 = {𝑔𝐻; ∀𝑔 ∈ 𝐺} é abeliano, pois:
𝑔1𝐻 · 𝑔2𝐻 = 𝑔1𝑔2𝐻 = 𝑔2𝑔1𝐻 = 𝑔2(𝑔1𝐻)𝐻 = 𝑔2(𝐻𝑔1)𝐻 = 𝑔2𝐻 · 𝑔1𝐻.
Exemplo 3.2.13. O grupo 𝑆𝑛, para 𝑛 = 1 ou 2, é um grupo abeliano, logo, será um grupo
solúvel. De fato, 𝑆1 = 𝑖𝑑 é imediato. 𝑆2 é um grupo cíclico gerado pela transposição (1 2),
e, como sabemos, todo grupo cíclico é abeliano. Aliás, são os únicos grupos simétricos que
são abeliano.
Exemplo 3.2.14. O grupo 𝑆3 é solúvel, pois:
∙ 𝑖𝑑 � 𝐴3 � 𝑆3 é uma torre normal, isto é, 𝜑𝐴3 = 𝐴3𝜑, para todo 𝜑 ∈ 𝑆3.
∙ 𝑆3/𝐴3 é abeliano, pois este grupo possui somente dois subgrupos (elementos) que
são 𝑆3/𝐴3 = {𝐴3, 𝜑𝐴3} e pela Proposição 3.1.2 é um grupo cíclico e, como sabemos,
𝑆3/𝐴3 é abeliano pela Proposição 3.1.1.
Vejamos a tabua do grupo 𝑆3/𝐴3
∘ 𝐴𝑛 𝜑𝐴𝑛
𝐴𝑛 𝐴𝑛 𝜑𝐴𝑛
𝜑𝐴𝑛 𝜑𝐴𝑛 𝐴𝑛
Por isso, é que se pode escrever uma fórmula algébrica para a resolução da equação
de grau 3, pelo fato do grupo simétrico 𝑆3 ser um grupo solúvel. Mas adiante, na Seção
5.3, do Capítulo 5, veremos como Galois associou uma equação a um grupo simétrico.
Exemplo 3.2.15. O grupo 𝑆4 é um grupo solúvel. Pela definição de grupo solúvel, temos
que ter em 𝑆4 uma subsérie abeliana, isto é, uma subsérie normal de 𝑆4 cujos fatores
sejam abelianos. Isso justamente ocorre em 𝑆4. Vejamos, a torre:
𝑖𝑑 � 𝑉 � 𝐴4 � 𝑆4 (3.3)
Onde 𝑉 = {𝑖𝑑, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}. Sabemos do Corolário 3.2.1 que 𝐴4 é
normal em 𝑆4. Quanto ao subgrupo 𝑉 , também é normal em 𝐴4 pois, se (𝑎 𝑏 𝑐) ∈ 𝐴4 e
(𝑎 𝑏)(𝑐 𝑑) ∈ 𝑉 temos que ter:
(𝑎 𝑏 𝑐)(𝑎 𝑏)(𝑐 𝑑)(𝑎 𝑏 𝑐)−1 ∈ 𝑉
mas
(𝑎 𝑏 𝑐)(𝑎 𝑏)(𝑐 𝑑)(𝑎 𝑏 𝑐)−1 = (𝑎 𝑏 𝑐)(𝑎 𝑏)(𝑐 𝑑)(𝑎 𝑐 𝑏) = (𝑎 𝑑)(𝑏 𝑐)
52 Capítulo 3. Teoria dos Grupos
que é um elemento de 𝑉 , porque qualquer o elemento de 𝑉 é um produto de transposições
disjuntas. Logo, 𝑉 é normal em 𝐴4.
As tábuas de 𝑆4/𝐴4 = {𝐴4, 𝜑𝐴4/ ∀ 𝜑 impar ∈ 𝑆4} e 𝐴4/𝑉 = {𝑉 } são respectiva-
mente:
∘ 𝐴4 𝜑𝐴4
𝐴4 𝐴4 𝜑𝐴4
𝜑𝐴4 𝜑𝐴4 𝐴4
e
∘ 𝑉
𝑉 𝑉
Veja que o grupo 𝐴4/𝑉 é igual a {𝑉 } porque para todo elemento 𝜑′ de 𝐴4 temos
𝜑′𝑉 = {𝑉 }.
Diante disso, concluímos que o grupo 𝑆4 é abeliano, pois a cadeia 3.3 é uma
subsérie normal de 𝑆4 e os fatores 𝑆4/𝐴4 e 𝐴4/𝑉 são abelianos, como vimos em suas
respectivas tábuas.
Agora, vamos mostrar que o grupo simétrico 𝑆5 não é um grupo solúvel. Mas
precismos primeiro das noções de homomorfismo e isomorfismo, que será visto agora na
próxima seção. Poderíamos até considerar nossa demonstração como mais um exemplo
dessa seção, mas devido a sua importância consideraremos como um teorema.3.3 Representações em Grupos
Uma representação (ou uma função se preferir) é uma aplicação que leva (ou
transforma) mediante uma certa operação, elementos de um grupo em elementos de um
outro grupo. A utilidade de se trabalhar com uma representação é que podemos tomar
os elementos de um certo grupo e transformá-los em elementos de outro grupo, além de
podermos também, através dessa transformação, trabalharmos com estruturas cognoscí-
veis, isto é, estruturas “concretas” e, se conseguimos provar algo para um certo grupo,
provou-se também para o outro.. Por exemplo, se 𝐴 é um grupo qualquer que deseja-
mos conhecer certa propriedade, e a realização de um estudo em sua estrutura se torna
algo inviável, então a solução seria estudar o grupo 𝐴 via um grupo 𝐵 sendo este mais
“concreto” (como por exemplo o grupo da permutações), então, o que se atestar em 𝐵
também atestar-se-á para 𝐴 via uma representação. Mas essa conexão só é possível se
uma representação abrigar certas propriedades que é a preservação da operação (homo-
morfismo) e, se houver a necessidade de mantermos a igualdade estrutural, será exigida
3.3. Representações em Grupos 53
ainda a bijeção (isomorfismo). As representações que assumem tais propriedades adotam
nomes bem sugestivos: Homomorfismo e Isomorfismo 3. Iremos trabalhar fundamental-
mente com estas duas estruturas, principalmente com os isomorfismo de um grupo nele
mesmo chamado de automorfismo.
Fundamentalmente, o nosso propósito com este estudo será o de representar o
grupo das permutações das raízes de uma equação quíntica pelo grupo simétrico 𝑆5.
Definição 3.3.1 (Homomorfismo de Grupos). É toda função 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 entre dois grupos
(𝐺, *) e (𝐿, ∘) tais que, quais quer que sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺:
𝑓(𝑥 * 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∘ 𝑓(𝑦)
Quando essa representação é injetora passa a se chamar monomorfismo ou homo-
morfismo injetivo. Quando é sobrejetora chama-se epimorfismo ou homomorfismo sobre-
jetivo. Quando é bijetora passa a se chamar de isomorfismo. Doravante, faremos uso
desses conceitos em vez de representação injetiva, sobrejetiva ou bijetiva que preservam
operação.
Exemplo 3.3.1. A função 𝑓 : R→ C* definida por 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝜋𝑥𝑖 = cos(2𝜋𝑥) + 𝑖 sen(2𝜋𝑥)
é um homomorfismo. De fato, se 𝑥, 𝑦 ∈ R temos:
𝑓(𝑥+ 𝑦) = 𝑒2𝜋𝑖(𝑥+𝑦) = 𝑒2𝜋𝑥𝑖+2𝜋𝑦𝑖 = 𝑒2𝜋𝑥𝑖 · 𝑒2𝜋𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥) · 𝑓(𝑦)
.
Esse homomorfismo não é sobrejetor. Para mostrar isso basta verificar que o
módulo de 𝑓(𝑥) é 1, isso faz com que a Im(𝑓) só assumam valores até 1. Também não é
injetor, pois quando 𝑥 = Z, então 𝑓(𝑥) = 1.
Definição 3.3.2 (Isomorfismo de Grupos). Seja 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 um homomorfismo. Se 𝑓 for
bijetora, então será chamada de isomorfismo. Se 𝐺 = 𝐿 e a operação for a mesma, 𝑓
passa a se chamar automorfismo.
Exemplo 3.3.2. A função exponencial 𝑓 : R → R+ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 é um iso-
morfismo. Veja que 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑥+𝑦 = 𝑎𝑥 · 𝑎𝑦 = 𝑓(𝑥) · 𝑓(𝑦). É injetora pois, se
𝑥 = 𝑦 ⇒ 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦). Também é sobrejetora pois, para todo 𝑎𝑥 ∈ R+
tem-se um único 𝑥 ∈ R.
No início desta seção, dissemos que a um isomorfismo de um grupo nele mesmo
chama-se automorfismo, agora, vamos mostrar que ao conjunto de todos os automorfismo
de um grupo com a operação composição de funções, também é um grupo.
3 A palavra homomorfismo vem da língua grega que significa: homos = mesmo + morphe = formato.
Já a palavra isomorfismo, que também tem origem grega, significa: iso = igual + morphos = forma.
54 Capítulo 3. Teoria dos Grupos
Teorema 3.3.1. Seja 𝐺 um grupo. O conjunto de todas os automorfismos, que denotamos
por 𝐴𝑢𝑡𝐺, é um grupo com a operação composição de homomorfismo.
Demonstração. Para demonstração, precisamos mostrar que em 𝐴𝑢𝑡𝐺, estão todos os
requisitos para que um conjunto seja um grupo. Mas antes, vamos mostrar que a operação
composição de homomorfismo de fato é um homomorfismo.
X 𝑓 ∘𝑔(𝑥+𝑦) = 𝑓
(︁
𝑔(𝑥+𝑦)
)︁
= 𝑓
(︁
𝑔(𝑥)+𝑔(𝑦)
)︁
= 𝑓
(︁
𝑔(𝑥)
)︁
+𝑓
(︁
𝑔(𝑦)
)︁
= 𝑓 ∘𝑔(𝑥)+𝑓 ∘𝑔(𝑦).
X Associatividade -
(︁
(𝑓 ∘𝑔)∘ℎ
)︁
(𝑥) =
(︁
𝑓 ∘𝑔
)︁
∘
(︁
ℎ(𝑥)
)︁
= 𝑓
(︃
𝑔
(︂
ℎ(𝑥)
)︂)︃
= 𝑓
(︁
(𝑔∘ℎ)(𝑥)
)︁
=(︁
𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ)
)︁
(𝑥).
X Elemento neutro - O elemento neutro da operação é a função 𝑖𝑑, pois
(𝑓 ∘ 𝑖𝑑)(𝑥) = 𝑓
(︁
𝑖𝑑(𝑥)
)︁
= 𝑓(𝑥) e (𝑖𝑑 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑖𝑑
(︁
𝑓(𝑥)
)︁
= 𝑓(𝑥).
X Existência de Simétrico - O simétrico, isto é, a aplicação inversa de 𝑓 é a função
𝑓−1 tal que 𝑓−1(𝑦) = 𝑥. Vejamos:
(𝑓−1 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓−1
(︁
𝑓(𝑥)
)︁
= 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 = 𝑖𝑑(𝑥) e (𝑓 ∘ 𝑓−1)(𝑦) = 𝑓
(︁
𝑓−1(𝑦)
)︁
=
𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑖𝑑(𝑦).
Como já dissemos, os homomorfismos são bastante úteis na relação entre dois
grupos, além disso, os homomorfismo possuem algumas propriedades de grande utilidade
em demonstrações futuras. Precisamos mostrar algumas e as suas demonstrações podem
ser consultadas na referência Domingues e Iezzi (2003).
Propriedades dos Homomorfismos
Sejam (𝐺, ·) e (𝐿, ·) dois grupos grupos, 𝑒𝐺 e 𝑒𝐿 os respectivos elementos neutro
de 𝐺 e 𝐿 e 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 um homomorfismo. Então:
1. Se 𝑒𝐺 e 𝑒𝐿 são os respectivos elementos neutros de𝐺 e 𝐿 então 𝑓(𝑒𝐺) = 𝑒𝐿.
2. Se 𝑥 ∈ 𝐺 então 𝑓(𝑥−1) = 𝑓−1(𝑥). Como consequência,𝑓(𝑥𝑦−1) = 𝑓(𝑥)𝑓−1(𝑦).
3. Se 𝐻 é um subgrupo de 𝐺, então 𝑓(𝐻) é um subgrupo de 𝐿. Isso quer
dizer que Im(𝑓) é um subgrupo de 𝐿.
4. Sejam três grupos 𝐺, 𝐽, 𝐿 e os seguintes homomorfismo: 𝑓 : 𝐺 → 𝐽 , e
𝑔 : 𝐽 → 𝐿. Então, 𝑔 ∘ 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 também é um homomorfismo. E mais,
se 𝑓 e 𝑔 são injetores, ou sobrejetores, então 𝑔 ∘ 𝑓 também será.
3.3. Representações em Grupos 55
Definição 3.3.3 (Núcleo de um Homomorfismo). Seja 𝑓 : 𝐺 → 𝐽 um homomorfismo
de grupos. O núcleo de 𝑓 , denotado por ker(𝑓) ou 𝑁(𝑓), é o subconjunto de todos os
elementos em 𝐺 que são levados para 𝑒𝐽 , elemento neutro de 𝐽 . Ou seja:
ker(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐺/𝑓(𝑥) = 𝑒𝐽}
Observação: O conjunto ker(𝑓) nunca será vazio pois 𝑓(𝑒𝐺) = 𝑒𝐽 , então 𝑒𝐺 ∈
ker(𝑓).
Exemplo 3.3.3. O núcleo do homomorfismo 𝑓 : R → C* definida por 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝜋𝑥𝑖 =
cos(2𝜋𝑥) + 𝑖 sen(2𝜋𝑥), é ker(𝑓) = Z.
Exemplo 3.3.4. Sejam 𝑓 : R → R uma função dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1, então o
ker(𝑓) = {𝑥 ∈ R/𝑥2− 1 = 0} = {−1, 1}. Ou seja, o conjunto de todos os zeros da função
𝑓 forma o seu núcleo.
Exemplo 3.3.5. Sejam G e L grupos e 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 um isomorfismo, então o núcleo desse
homomorfismo é simplesmente a identidade de 𝐺. Isto é, ker(𝑓) = {𝑒𝐽}.
Proposição 3.3.1. Sejam 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 um homomorfismo de grupos e 𝑁 = ker(𝑓), então
𝑁 é um subgrupo de 𝐺.
Demonstração. Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁 então 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) = 𝑒𝐽 . Mas, 𝑓(𝑥𝑦−1) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦−1) =
𝑓(𝑥)𝑓−1(𝑦) = 𝑒𝐿(𝑒𝐿)−1 = 𝑒𝐿. Logo 𝑥𝑦−1 ∈ 𝑁 .
Proposição 3.3.2. Sejam 𝑓 : 𝐺→ 𝐿 um homomorfismo de grupos e 𝑁 = ker(𝑓), então
𝑁 é um subgrupo normal de 𝐺.
Demonstração. Se 𝑎 ∈ 𝐺 e 𝑥 ∈ 𝑁 , então 𝑓(𝑎𝑥𝑎−1) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑥)𝑓(𝑎−1) = 𝑓(𝑎)𝑒𝐿𝑓−1(𝑎) =
𝑓(𝑎)𝑓−1(𝑎) = 𝑒𝐿, portanto 𝑎𝑥𝑎−1 ∈ 𝑁 . Então, se 𝑎𝑥𝑎−1 = 𝑦, então 𝑎𝑥 = 𝑦𝑎 para algum
𝑦 ∈ 𝑁 , ou seja, 𝑎𝑁 = 𝑁𝑎.
Proposição 3.3.3 (homomorfismo canônico em grupos). Se 𝐺 é um grupo e 𝑁 um
subgrupo normal de 𝐺, então a aplicação 𝑓 : 𝐺 → 𝐺
𝑁
definida por 𝑥 → 𝑥𝑁 é um
homomorfismo sobrejetor onde 𝑁 = ker(𝑓).
Demonstração. De fato, se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 temos o homomorfismo:
𝑓(𝑥𝑦) = (𝑥𝑦)𝑁 = 𝑥𝑁 · 𝑦𝑁 = 𝑓(𝑥) · 𝑓(𝑦).
Temos também a sobrejetividade:
∀ 𝑏 ∈ 𝐺/𝑁 temos 𝑥𝑁 = 𝑏, para algum 𝑥 ∈ 𝐺. Assim, 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑁 = 𝑏, logo
sobrejetora.
56 Capítulo 3. Teoria dos Grupos
𝑁 é igual ao núcleo de 𝑓 :
N ⊂ ker(f). Se 𝑥 ∈ 𝑁 , então 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑁 = 𝑁.
ker(f) ⊂ N. Se 𝑥 ∈ ker(𝑓), então 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑁 = 𝑁.
Logo, 𝑁 = ker(𝑓).
Teorema 3.3.2 (teorema do homomorfismopara grupos). Sejam 𝐺 e 𝐿 grupos e 𝑓 :
𝐺 → 𝐿 um homomorfismo sobrejetivo. Se ker(𝑓) = 𝑁 , então o grupo 𝐺
𝑁
é isomorfo a
Im(𝑓) = 𝐿.
Demonstração. Referência Domingues e Iezzi (2003)[p. 197]
Agora, vamos mostrar que o grupo simétrico 𝑆5 não é um grupo solúvel. Mas antes
vejamos este teorema:
Teorema 3.3.3. Sejam 𝐴𝑛 o subgrupo alternado de 𝑆𝑛, com 𝑛 ≥ 5, e 𝑁 um subgrupo
normal de 𝐴𝑛 tal que 𝐴𝑛/𝑁 é abeliano, então 𝑁 = 𝐴𝑛.
Demonstração. Consideremos o homomorfismo canônico 𝑓 : 𝐴𝑛 → 𝐴𝑛/𝑁 assim definido,
𝑥 → 𝑥𝑁 e, como 𝐴𝑛 possui todos os 3 − 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠, podemos ter, 𝑥 = (𝑎 𝑏 𝑐) e 𝑦 = (𝑐 𝑑 𝑘)
elementos de 𝐴𝑛. Podemos tomar 𝑥 e 𝑦 desta forma, pois 𝑛 ≥ 5. Temos então:
𝑓(𝑥−1𝑦−1𝑥𝑦) = (𝑥−1𝑦−1𝑥𝑦)𝑁 = 𝑥−1𝑁𝑦−1𝑁𝑥𝑁𝑦𝑁,
como 𝐴𝑛/𝑁 é abeliano por hipótese,
𝑥−1𝑁𝑦−1𝑁𝑥𝑁𝑦𝑁 = 𝑥−1𝑁𝑥𝑁𝑦−1𝑁𝑦𝑁 = 𝑥−1𝑥𝑁𝑦−1𝑦𝑁 = 𝑁 ·𝑁 = 𝑁 = 𝑒𝐴𝑛/𝑁 .
Concluímos assim, que o elemento 𝑥−1𝑦−1𝑥𝑦 pertence ao ker(𝑓), sendo ker(𝑓) = 𝑁.
Mas,
𝑥−1𝑦−1𝑥𝑦 = (𝑎 𝑐 𝑏)(𝑐 𝑘 𝑑)(𝑎 𝑏 𝑐)(𝑐 𝑑 𝑘) = (𝑏 𝑘 𝑐), então (𝑏 𝑘 𝑐) ∈ 𝑁.
Agora, vamos mostrar que, se um 3 − 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 pertence a 𝑁 e, uma vez que 𝑁 é
normal, então 𝑁 = 𝐴𝑛.
De fato, se (𝑏 𝑘 𝑐) ∈ 𝑁 , (𝑏 𝑘 𝑐)−1 = (𝑏 𝑐 𝑘) também pertence a 𝑁 . Sabemos
também da Proposição 3.2.6, que:
𝐴𝑛 = ⟨{(𝑎 𝑏 𝑖)}⟩, 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ {1, 2, · · · , 𝑛} 𝑒 𝑖 = {1, 2, · · · , 𝑛}𝑐𝑜𝑚𝑖 ̸= 𝑎, 𝑏
então, basta mostrar que (𝑏 𝑐 𝑖), 𝑖 ̸= 𝑎, 𝑏, 𝑐 pertence a 𝑁 , temos:
(𝑐 𝑘 𝑖)(𝑏 𝑐 𝑘)(𝑐 𝑖 𝑘) = (𝑏 𝑘 𝑖) ∈ 𝑁
Logo, 𝑁 = 𝐴𝑛.
3.3. Representações em Grupos 57
Em outras palavras, o Teorema 3.3.3 está dizendo que, para 𝑛 ≥ 5, não existe um
subgrupo normal de 𝐴𝑛, com 𝐴𝑛/𝑁 sendo abeliano, pois se existisse, ele teria um 3−𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
e se teria um 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜, seria igual a 𝐴𝑛. Este teorema, motiva a seguinte definição:
Definição 3.3.4 (Grupo Simples). Um grupo finito 𝐺 é dito um grupo simples se os
únicos subgrupos normais de 𝐺 são os triviais, 𝑖𝑑 e 𝐺.
Exemplo 3.3.6. O grupo 𝐴𝑛 é um grupo simples quando 𝑛 ≥ 5.
Como consequência, não podemos escrever uma subsérie normal de 𝐴𝑛, pois caso
contrário, qualquer subgrupo normal de 𝐴𝑛 seria ele mesmo. É de posse dessas conclusões
que demonstramos o seguinte teorema:
Teorema 3.3.4 (𝑆𝑛, 𝑛 ≥ 5, não é solúvel). O grupo simétrico 𝑆𝑛, para 𝑛 ≥ 5, não é
solúvel.
Demonstração. De fato, se 𝑆𝑛 fosse solúvel, existiria em 𝑆5 uma série subnormal abeliana,
só que isso não acontece, pois de acordo com o Teorema 3.3.3, nunca chegaríamos na 𝑖𝑑,
pois cada subgrupo normal de 𝐴𝑛 na condição:
(I) 𝑖𝑑 = 𝐺0 � 𝐺1 � . . . � 𝐺𝑛−1 = 𝐴𝑛 � 𝐺𝑛 = 𝐺.
(II) 𝐺𝑖/𝐺𝑖−1 é abeliano,
que é a mesma do Teorema 3.3.3, possui um 3− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜.
Galois descobriu que isso estava por trás da não resolubilidade das equações al-
gébricas quando o seu grau é maior ou igual a cinco. Portanto, toda vez que não puder
se escrever uma série subnormal abeliana para um grupo finito, este não será um grupo
resolúvel.
59
4 Teoria dos Anéis
Neste capítulo, iremos apresentar um estudo sucinto, porém suficiente, da teoria
dos anéis com o objetivo de preparar o leitor para a teoria de Galois.
4.1 Anéis
Definição 4.1.1 (Anel). Um anel é um conjunto 𝐴 com duas operações binárias, a soma
"+"e o produto "·", tais que:
1. (𝐴,+) é um grupo abeliano.
2. (·) é associativa, ou seja, 𝑎(𝑏 · 𝑐) = (𝑎 · 𝑏)𝑐 para quaisquer 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴.
3. (·) é distributiva relativamente a (+), ou seja, 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 ou (𝑏 + 𝑐)𝑎 =
𝑎𝑏+ 𝑎𝑐 para quaisquer 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴.
Denota-se (𝐴,+, ·) ou simplesmente 𝐴 quando for expressamente dito. As opera-
ções "+"e "·"são análogos à adição e multiplicação, todavia podem ser qualquer operação
desde quer verifiquem todos os axiomas para que sejam uma operação binária. De acordo
com a definição, um anel não precisa necessariamente ser comutativo para o produto
"·"nem ter elemento neutro do produto, mas quando isso ocorre temos no primeiro caso
um anel comutativo e no segundo um anel com unidade e quando as duas situações, temos
um anel comutativo com unidade . Vemos também, pela definição, que num anel, não
precisa haver inversos multiplicativos, isto é, 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 1, com 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴. os elementos de
um anel que possuem inversos multiplicativos são chamados de invertíveis. Chamaremos
de 𝑈 ao conjunto dos elementos de 𝐴− {0} que são invertíveis.
Observação: É errado pensar num anel como um grupo munido de duas operações
binárias. Basta repararmos na falta de assimetria entre os axiomas de um anel e um
grupo.
Propriedades dos Anéis
Os anéis possui importantíssimas propriedades que são facilmente demonstráveis
pelo fato de (𝐴,+) ser um grupo . Abaixo, está algumas delas e as suas demonstrações
podem ser consultadas na referência Marques (2005).
Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 elementos de um anel (𝐴,+, ·),
60 Capítulo 4. Teoria dos Anéis
1. 𝑎+ 𝑏 = 𝑎+ 𝑐, então 𝑏 = 𝑐.
2. O elemento 0𝐴 tal que 𝑎+0𝐴 = 𝑎 é chamado de zero do anel A e é único.
3. O elemento 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑎+ 𝑥 = 0 denotado por 𝑥 = −𝑎 é único.
4. 𝑎0𝐴 = 0𝐴𝑎 = 0𝐴.
5. 𝑎(−𝑏) = (−𝑎)𝑏 = −𝑎𝑏.
6. (−𝑎)(−𝑏) = 𝑎𝑏.
7. 𝑎(𝑏− 𝑐) = 𝑎𝑏− 𝑎𝑐 e (𝑏− 𝑐)𝑎 = 𝑏𝑎− 𝑐𝑎.
Se (𝐴,+, ·) possui elementos invertíveis, temos:
8. (−1)𝑎 = −𝑎.
9. (−1)(−1) = 1.
10. O elemento 1 tal que 𝑎1 = 𝑎 é único.
11. O elemento 𝑦 ∈ 𝐴 tal que 𝑎𝑦 = 1 denotado por 𝑦 = 𝑎−1 é único.
Exemplo 4.1.1. Os conjuntos Z,Q,R,C são exemplos de anéis, são chamados de anéis
numéricos. O Anel Z𝑚 das classes de resto módulo 𝑚 também é um anel.
Definição 4.1.2 (Anel Comutativo, Anel com Unidade e Anel Comutativo com Uni-
dade). Um anel 𝐴 se diz comutativo se, para seus elementos vale a comutatividade para
a multiplicação. Um anel 𝐴 se diz com unidade se existe elemento neutro para operação
(·). Um anel com essas duas condição chama-se anel comutativo com unidade.
Exemplo 4.1.2. Os anéis numéricos Z,Q,R,C são anéis comutativo com unidades, onde
1 é a unidade destes anéis.
Contra-exemplo 4.1.1. O anel das matrizes 𝑛 × 𝑛 invertíveis (não singulares) de en-
tradas reais é um belo exemplo de um anel que não é comutativo.
Contra-exemplo 4.1.2. O anel 𝑛Z = {. . . ,−2𝑛,−𝑛, 0, 𝑛, 2𝑛, . . .} não possui unidade
quando 𝑛 ̸= ±1, porém comutativo.
Exemplo 4.1.3. O anel Z𝑚 das classes de resto também é um anel com unidade e
comutativo. A unidade é a classe 1¯.
Definição 4.1.3 (Anel de integridade ou Domínio). Um anel de integridade ou Domínio
é um anel comutativo com unidade 𝐴 ̸= 0, sem divisores nulos, ou seja, para ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴
temos:
𝑎𝑏 = 0⇐⇒ 𝑎 = 0 ou 𝑏 = 0
Exemplo 4.1.4. Os anéis numéricos são todos domínios de integridade, pois qualquer
que seja os elementos 𝑎, 𝑏 de um anel numérico, a igualdade 𝑎𝑏 = 0, onde, só é possível
para 𝑎 = 0 ou 𝑏 = 0.
4.1. Anéis 61
Contra-exemplo 4.1.3. O anel Z𝑚 das classes de restos não são domínios de inte-
gridade quando 𝑚 é um inteiro composto, isto é, não é primo. De fato, pois podemos
encontrar dois inteiros 𝑎, 𝑏 tais que 0 < 𝑎, 𝑏 < 𝑚 e 𝑎𝑏 = 𝑚. Assim, 𝑎 · 𝑏 = 𝑎 · 𝑏 = 𝑚 = 0,
com 𝑎, 𝑏 ̸= 0. Vejamos isso em Z6, 2 · 3 = 2 · 3 = 6 = 0
Os Domínios possui uma propriedade importante, a do cancelamento. Se 𝑎, 𝑏 e 𝑐
pertencem a um domínio com 𝑐 ̸= 0 e 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐, então 𝑎 =b.
Definição 4.1.4 (Subanel). Sejam (𝐴,+, ·) um anel e 𝐵 um subconjunto não vazio de
𝐴. Diz-se que 𝐵 é um subanel de 𝐴 se 𝐵 é um anel com as operações de 𝐴. Isto é:
∙ 𝐵 é fechado para as operações que munem o anel 𝐴.
∙ (𝐵,+, ·) também é um anel com as mesmas operações que munem 𝐴, porém restritas
aos elementos de 𝐵.
Exemplo 4.1.5. O anel Z é um subanel de Q.
Existe uma maneira simples de sabermos se um subconjunto de um dado anel é um
subanel, vajamos:
Proposição 4.1.1.Um subconjunto 𝐵 de um anel 𝐴 é um subanel de 𝐴 se: 𝐵 ̸= ø e
para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐵 temos, 𝑎− 𝑏 ∈ 𝐵 e 𝑎𝑏 ∈ 𝐵.
Demonstração. Ver referência (MARQUES, 2005, p.14)
Na definição de Anel, vimos que os elementos de um anel podem ter inversos
multiplicativo ou não. No entanto, quando todos os elementos de um anel possuem
inverso multiplicativo, isto é, são invertíveis, então temos um corpo.
Definição 4.1.5 (Corpo). Corpo é um subanel de um anel comutativo com unidade em
que todos os seus elementos pertencem a 𝑈 , ou seja, seus elementos são invertíveis.
Perceba que, pela definição de corpo, parece abrir a possibilidade de termos ele-
mentos divisores de zero, mas só que não, pois qualquer corpo é um anel de integridade.
De fato, veja que se 𝐾 é um corpo e 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾 tais que 𝑎𝑏 = 0 e 𝑏 ̸= 0, então 𝑏 é in-
versível. Multiplicando agora ambos os membros da igualdade 𝑎𝑏 = 0 por 𝑏−1 temos:
𝑎𝑏𝑏−1 = 0𝑏−1 ⇒ 𝑎 = 0.
Exemplo 4.1.6. O anel Z𝑚, quando 𝑚 é um primo, é um corpo.
A próxima proposição nos mostrará uma condição necessária e suficiente para
descobrirmos se um subconjunto de um corpo é um subcorpo.
62 Capítulo 4. Teoria dos Anéis
Proposição 4.1.2. Sejam 𝐾 um corpo e 𝐿 ̸= ø um subconjunto de 𝐾. 𝐿 será um
subcorpo de 𝐾 se:
∙ 0, 1 ∈ 𝐿
∙ Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿, então 𝑥− 𝑦 ∈ 𝐿
∙ Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿 e 𝑦 ̸= 0, 𝑥𝑦−1 ∈ 𝐿
Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p.225)
Definição 4.1.6 (Característica de um anel). Ao menor inteiro 𝑛 tal que 𝑛 · 𝑥 = 0 para
todo 𝑥 pertencente a um anel 𝐴, chamamos característica do anel.
Exemplo 4.1.7. Os anéis numéricos tem característica zero, pois a equação 𝑛𝑥 = 0,∀𝑥 ∈
𝐴, A sendo um anel numérico, só será verdadeira se 𝑛 = 0.
Exemplo 4.1.8. O anel Z𝑚 tem característica 𝑚, pois qualquer que seja 𝑥 ∈ Z𝑚 𝑚 ·𝑥 =
𝑚𝑥 = 0.
Proposição 4.1.3. A característica de um Domínio é zero ou um número primo.
Demonstração. Ver referência Marques (2005, p.17)
4.2 Representações em Anéis
Como nos grupo, podemos obter aplicações que levam um anel em outro. Isto
será útil para examinarmos um dado anel através de um outro anel, por intermédio dos
homomorfismo. Nesta seção veremos os Homomorfismos e Isomorfismos.
Definição 4.2.1 (Homomorfismo de anéis). Toda aplicação 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 sendo 𝐴 e 𝐵
anéis, é um homomorfismo de anéis se, quaisquer que sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 termos:
𝑓(𝑥+ 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)
e
𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)
4.3. Ideais e Anéis Quociente 63
Exemplo 4.2.1. A aplicação 𝑓 : C→ C definida por 𝑎+𝑏𝑖 = 𝑎−𝑏𝑖 é um homomorfismo.
De fato, sejam 𝑎+ 𝑏𝑖, 𝑐+ 𝑑𝑖 ∈ C, temos:
𝑓
(︁
(𝑎+ 𝑏𝑖) + (𝑐+ 𝑑𝑖)
)︁
= 𝑓
(︁
(𝑎+ 𝑐) + (𝑏+ 𝑑)𝑖
)︁
= (𝑎+ 𝑐)− (𝑏+ 𝑑)𝑖 =
= 𝑎+ 𝑐− 𝑏𝑖− 𝑑𝑖 = (𝑎− 𝑏𝑖) + (𝑐− 𝑑𝑖) =
= 𝑓(𝑎+ 𝑏𝑖) + 𝑓(𝑐+ 𝑑𝑖).
𝑓
(︁
(𝑎+ 𝑏𝑖) · (𝑐+ 𝑑𝑖)
)︁
= 𝑓(𝑎𝑐+ 𝑎𝑑𝑖+ 𝑏𝑐𝑖− 𝑏𝑑) = 𝑓
(︁
(𝑎𝑐− 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑+ 𝑏𝑐)𝑖
)︁
=
= (𝑎𝑐− 𝑏𝑑)− (𝑎𝑑+ 𝑏𝑐)𝑖 = 𝑎𝑐− 𝑎𝑑𝑖− 𝑐𝑏𝑖− 𝑏𝑑 = (𝑎− 𝑏𝑖)(𝑐− 𝑑𝑖) =
= 𝑓(𝑎+ 𝑏𝑖) · 𝑓(𝑐+ 𝑑𝑖).
No homomorfismo 𝑓 entre os anéis (𝐴,+, ·) e (𝐵,+, ·) também está implícito o
homomorfismo entre os grupos (𝐴,+) e (𝐵,+), e isso justifica a seguinte proposição
Proposição 4.2.1. Seja 𝑓 : 𝐴→ 𝐵 um homomorfismo de Anéis. Então:
𝑓(0𝐴) = 0𝐵.
𝑓(−𝑎) = −𝑓(𝑎).
Proposição 4.2.2. Seja 𝑓 : 𝐴→ 𝐵 um homomorfismo entre os anéis (𝐴,+, ·) e (𝐵,+, ·).
Se:
i. 𝑀 é um subanel de 𝐴 então 𝑓(𝑀) é um subanel de 𝐵
ii. 𝑓 : 𝐾 → 𝐿 é um homomorfismo de corpos e 𝑆 um subcorpo de 𝐾 então 𝑓(𝑆) é um
subcorpo de 𝐿.
iii. 𝑔 : 𝐵 → 𝐶 é um homomorfismos de anéis, então 𝑔 ∘ 𝑓 : 𝐴 → 𝐶 também é um
homomorfismo de anéis.
Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p.235)
Definição 4.2.2 (Núcleo de um Homomorfismo). Sejam 𝐴 e 𝐵 dois anéis. Chamamos
de núcleo do homomorfismo 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 ao subconjunto de 𝐴, que denotamos ker(𝑓), tal
que:
ker(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐴/𝑓(𝑥) = 0𝐵}.
4.3 Ideais e Anéis Quociente
Os ideais são um tipo de anel muito especial e de grande utilidade. Basta lembrar
dos grupos normais, com eles podemos estudar um grupo descobrindo por exemplo se
um determinado grupo é solúvel ou não. Com os ideais podemos, por exemplo, definir
os anéis quocientes porque eles (os ideais) funcionam como núcleo de homomorfismo de
64 Capítulo 4. Teoria dos Anéis
anéis, assim como acontece nos grupos com os subgrupo normais. Existem vários tipos de
ideais estudados e alguns deles nos permite gerar um tipo de anel quociente. Nesta seção,
vamos estudar os ideais principais, os ideais primos os quais definem anéis quocientes
cujos elementos não são divisores de zero, isto é, são Domínios, e os ideais maximais
onde os anéis quocientes são um corpo. Essas estruturas são de grande utilidade em
demonstrações futuras.
Definição 4.3.1 (Ideais). Sejam 𝐴 um anel e 𝐼 um subconjunto não vazio de 𝐴. Dizemos
que 𝐼 é um ideal em 𝐴 se:
∙ 𝑎− 𝑏 ∈ 𝐼
∙ 𝑥𝑎 ∈ 𝐼,
para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 e para todo 𝑥 ∈ 𝐴.
Pela definição, percebemos que um ideal de um anel absorve os elementos desse
anel, por exemplo:
Exemplo 4.3.1. Os inteiros pares 2Z formam um ideal no anel dos inteiros Z, isto
porque a soma dos inteiros pares é um número par e o produto de um inteiro par com
outro inteiro é par.
Exemplo 4.3.2. Para todo anel 𝐴 os conjuntos {0} e {𝐴} são ideais. São chamados de
ideais triviais.
Exemplo 4.3.3. Seja 𝐴 um anel comutativo com unidade e 𝑎 ∈ 𝐴 . Então o subconjunto
⟨𝑎⟩ = {𝑥𝑎/ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴} é um ideal em 𝐴. De fato,
X 0 ∈ ⟨𝑎⟩, pois 0𝑎 = 0 pertence a ⟨𝑎⟩.
X Se 𝑥𝑎, 𝑦𝑎 ∈ ⟨𝑎⟩, temos 𝑥𝑎−𝑦𝑎 = (𝑥−𝑦)𝑎 que também pertence a ⟨𝑎⟩ pois 𝑥−𝑦 ∈ 𝐴.
X Se 𝑦𝑎 ∈ ⟨𝑎⟩ e 𝑥 ∈ 𝐴 temos 𝑥(𝑦𝑎) = (𝑥𝑦)𝑎 pertencendo a ⟨𝑎⟩ pois 𝑥𝑦 ∈ 𝐴.
Proposição 4.3.1. Se 𝐼 é um ideal de um anel 𝐴 e 0 o zero do anel, então:
(a) 0 ∈ 𝐼
(b) Se 𝑎 ∈ 𝐼, então −𝑎 ∈ 𝐼.
(c) Se 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼, então 𝑎+ 𝑏 ∈ 𝐼
(d) Se 𝐴 for um anel comutativo com unidade e, se para qualquer 𝑥 de 𝐴 termos 𝑥−1 ∈ 𝐼,
então 𝐼 = 𝐴.
4.3. Ideais e Anéis Quociente 65
Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p. 257)
Proposição 4.3.2. Sejam 𝐼 e 𝐽 ideais de um anel 𝐴. A soma 𝐼 + 𝐽 definida como:
𝐼 + 𝐽 = {𝑎+ 𝑏/ 𝑎 ∈ 𝐼 𝑒 𝑏 ∈ 𝐽},
é um ideal em 𝐴.
Demonstração. Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 + 𝐽 , então temos: 𝑐 = 𝑎1 + 𝑏1 e 𝑑 = 𝑎2 + 𝑏2. Segue que,
X 𝑐 − 𝑑 = 𝑎1 + 𝑏1 − 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎1 − 𝑎2) + (𝑏1 − 𝑏2) ∈ 𝐼 + 𝐽. Já que, 𝑎1 − 𝑎2 ∈ 𝐼 e
𝑏1 − 𝑏2 ∈ 𝐽.
X Se 𝑧 ∈ 𝐼 + 𝐽 e 𝑥 ∈ 𝐴, temos que: 𝑥𝑧 = 𝑥(𝑎+ 𝑏) = 𝑥𝑎+ 𝑥𝑏 ∈ 𝐼 + 𝐽. Porque 𝑥𝑎 ∈ 𝐼
e 𝑥𝑏 ∈ 𝐽.
Como dissemos no início desta seção, com os ideais poderemos definir os anéis
quocientes. Mas para isso, precisamos de todos os requisitos necessários para que um
conjunto se constitua num anel, isto é, devemos encontrar: o grupo quociente aditivo,
definir a multiplicação no conjunto quociente e verificar os axiomas 2 e 3 da definição de
anel (Definição 4.1.1).
Proposição 4.3.3. Sejam 𝐴 um anel e 𝐼 um ideal em 𝐴. O subconjunto 𝐴/𝐼 = {𝑥 +
𝐼/ ∀𝑥 ∈ 𝐴} é um anel com as operações adição e multiplicação assim definidas:
∙ (𝑥+ 𝐼) + (𝑦 + 𝐼) = (𝑥+ 𝑦) + 𝐼, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴
∙ (𝑥+ 𝐼)(𝑦 + 𝐼) = 𝑥𝑦 + 𝐼, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴.
Sendo a classe 0 + 𝐼 o elemento neutro do grupo 𝐴/𝐼. Se 𝐴 for um anel comutativo com
unidade, o anel 𝐴/𝐼 será comutativo e a classe 1 + 𝐼 será a unidade do anel 𝐴/𝐼.
Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p.265)
Definição 4.3.2 (Anel Quociente). O conjunto 𝐴/𝐼 = {𝑥+𝐼/ ∀𝑥 ∈ 𝐴} com as operações
definidas na Proposição 4.3.3 chama-se Anel Quociente.
Definição 4.3.3 (Ideal Principal e Anel Principal). Um ideal gerado por um único ele-
mento chamamos de ideal principal. Um anel em que todos os seus ideais são principais
denominamos de anel principal.
Exemplo 4.3.4.O ideal ⟨𝑎⟩ do Exemplo 4.3.3 é um ideal principal.
66 Capítulo 4. Teoria dos Anéis
Exemplo 4.3.5. o anel Z é principal. Veja Domingues e Iezzi (2003, p.258)
Definição 4.3.4 (Ideal Primo). Um ideal 𝑃 ̸= 𝐴 de um anel 𝐴 é dito primo se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴
e 𝑥𝑦 ∈ 𝑃 , então ou 𝑥 ∈ 𝑃 ou 𝑦 ∈ 𝑃.
Exemplo 4.3.6. Se 𝑛 é um número primo, o ideal 𝑛Z no anel Z é um ideal primo. De
fato, pois se 𝑎, 𝑏 ∈ Z e 𝑎𝑏 ∈ 𝑛Z, então 𝑛 divide 𝑎𝑏, como 𝑛 é primo, então ou 𝑛|𝑎 ou 𝑛|𝑏.
Forçando a seguinte condição: ou 𝑎 ∈ 𝑛Z ou 𝑏 ∈ 𝑛Z.
Definição 4.3.5 (Ideal Maximal). Um ideal 𝑀 ̸= 𝐴 de um anel 𝐴 é dito maximal se,
caso haja outro ideal 𝐽 de 𝐴, então 𝑀 = 𝐽 ou 𝐽 = 𝐴.
Exemplo 4.3.7. O ideal 𝑀 = 2Z é maximal em Z. Com efeito, pois se 𝐼 é um ideal em
Z tal que 𝑀 ⊂ 𝐼 ⊂ Z, então 𝐼 possui o elemento 2𝑚 + 1, com 2𝑚 ∈ 𝑀. Pela Definição
4.3.1, (2𝑚+ 1)− (2𝑚) = 1 ∈ 𝐼. Como ∀𝑥 ∈ Z, 𝑥1 = 𝑥 ∈ 𝐼, concluímos que 𝐼 = Z.
Teorema 4.3.1. Sejam 𝐴 um anel comutativo com unidade e 𝐼 um ideal em 𝐴. Se 𝐼 é
maximal então o anel quociente 𝐴/𝐼 é um corpo.
Demonstração. Basta provar que qualquer elemento 𝑥 + 𝐼 ̸= 𝐼,∀𝑥 ∈ 𝐴 possui inverso.
Como por hipótese 𝐼 é maximal e pelo Exemplo 4.3.3 e pela Proposição 4.3.2, ⟨𝑥⟩ + 𝐼
também é um ideal, então ⟨𝑥⟩ + 𝐼 = 𝐴. Podemos então escrever a unidade de 𝐴 que é
1 = 𝑦𝑥+ 𝑏, para algum 𝑦 ∈ 𝐴 e algum 𝑏 ∈ 𝐼. Segue que 1− 𝑦𝑥 = 𝑏 ∈ 𝐼, isto é:
1− 𝑦𝑥+ 𝐼 = 𝐼 ⇐⇒ 1 + 𝐼 = 𝑦𝑥+ 𝐼 = (𝑦 + 𝐼)(𝑥+ 𝐼),
mostrando dessa forma que o inverso de 𝑥+ 𝐼 é 𝑦 + 𝐼.
Proposição 4.3.4. Sejam 𝐴 e 𝐵 anéis comutativos com unidade. O núcleo do homo-
morfismo 𝑓 : 𝐴→ 𝐵 é um ideal, isto é, ker(𝑓) = 𝐼.
Demonstração. Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑥 ∈ 𝐴.
X Se 𝑎, 𝑏 ∈ ker(𝑓), temos: 𝑓(𝑎− 𝑏) = 𝑓(𝑎)− 𝑓(𝑏) = 0− 0 = 0.
X Se 𝑎 ∈ ker(𝑓) e 𝑥 ∈ 𝐴, temos: 𝑓(𝑥𝑎) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑥)0 = 0.
Logo, ker(𝑓) é um ideal.
Proposição 4.3.5. Se 𝑓 : 𝐴→ 𝐵 é um homomorfismo de corpos, então ker(𝑓) = {0}.
Demonstração. Pela Proposição 4.3.4, o núcleo de 𝑓 é um ideal. Então, vamos mostrar
que, pelo fato de 𝑓 ser um homomorfismo de corpo, os únicos ideais de 𝐴 são os ideais
triviais {0} e {𝐴} e, neste último caso, será um absurdo ker(𝑓) = 𝐴, então nos restará
ker(𝑓) = {0}. Para isso, vamos supor que 𝑎 ̸= 0 seja um elemento do ker(𝑓), e 𝑎−1 seu
4.3. Ideais e Anéis Quociente 67
inverso em 𝐴. Como ker(𝑓) é um ideal, 𝑎𝑎−1 = 1 pertence a ker(𝑓), assim, se 𝑥 ∈ 𝐴 é um
elemento qualquer de 𝐴, temos que 𝑥 · 1 ∈ ker(𝑓), desse modo, ker(𝑓) = 𝐴. Neste caso,
𝑓(𝐴) = {0} o que é um absurdo, pois, pela Proposição 4.2.2 parte (𝑖𝑖), o conjunto 𝑓(𝐴) é
um subcorpo de 𝐵, contrariando a Proposição 4.1.2, onde exige a existência do elemento
1 num subcorpo. Concluímos assim que o núcleo de 𝐴 é o conjunto ker(𝑓) = {0}.
Proposição 4.3.6. Seja 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 um homomorfismo de anéis. Então 𝑓 é um homo-
morfismo injetor se, e só se, ker(𝑓) = {0}.
Demonstração. Se por hipótese 𝑓 é injetivo, então ker(𝑓) = {0}. De fato, se 𝑥 ∈ ker(𝑓),
então 𝑓(𝑥) = 0, como 𝑓(0) = 0 e 𝑓 é injetor, temos 𝑥 = 0. Por outro lado, se 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴,
e ker(𝑓) = {0}, temos 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⇒ 𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) = 0 ⇒ 𝑓(𝑥1 − 𝑥2) = 0, então,
𝑥1 − 𝑥2 ∈ ker(𝑓), como ker(𝑓) = {0}, temos 𝑥1 − 𝑥2 = 0⇒ 𝑥1 = 𝑥2.
Corolário 4.3.1. Todo homomorfismo de corpos é injetivo.
Demonstração. Proposição 4.3.5 combinada com a Proposição 4.3.6.
Proposição 4.3.7 (Homomorfismo Canônico em Anéis). Sejam 𝐴 um anel e 𝐼 um ideal
em 𝐴. A aplicação 𝑓 : 𝐴→ 𝐴/𝐼, definida como 𝑓(𝑥) = 𝑥+𝐼, ∀𝑥 ∈ 𝐴, é um homomorfismo
sobrejetor de anéis cujo núcleo é 𝐼.
Demonstração. Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, temos:
X 𝑓(𝑥+ 𝑦) = 𝑥+ 𝑦 + 𝐼 = 𝑥+ 𝐼 + 𝑦 + 𝐼 = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦).
𝑓(𝑥𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝐼 = (𝑥+ 𝐼)(𝑦 + 𝐼) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦).
Então, se trata de fato de um homomorfismo.
X Se 𝑏 ∈ 𝐴/𝐼, temos 𝑏 = 𝑥+𝐼, para algum 𝑥 ∈ 𝐴. Como 𝑓(𝑥) = 𝑥+𝐼, então 𝑓(𝑥) = 𝑏.
Logo, 𝑓 é sobrejetora.
X Se 𝑥 ∈ ker(𝑓), temos 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝐼 = 𝐼, para isso, temos que ter 𝑥 ∈ 𝐼. Donde,
ker(𝑓) = 𝐼.
Teorema 4.3.2 (Teorema do Homomorfismo em Anéis). Sejam 𝐴 e 𝐵 anéis e 𝑓 : 𝐴→ 𝐵
um homomorfismo sobrejetivo. Se ker(𝑓) = 𝑁 , então o anel 𝐴/𝑁 é isomorfo a 𝐵.
Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p.267)
68 Capítulo 4. Teoria dos Anéis
4.4 Anéis de Polinômios
Como vimos, um anel é constituído de um conjunto não vazio munido de duas
operações básicas: a adição e a multiplicação, sendo estas submetidas a certos axiomas.
Do mesmo modo, podemos construir os anéis de polinômios definindo a adição e a mul-
tiplicação para as funções polinomiais e verificando todos os axiomas da definição de um
anel. Na construção do anel de polinômios verificamos que este é um anel comutativo com
unidade. Na página 283, da referência Domingues e Iezzi (2003), podemos encontrar a
construção deste anel. Mostraremos somente como está definido a adição e o produto de
funções polinomiais com coeficientes num domínio, seus respectivos elementos neutros e
o simétrico aditivo de um polinômio 𝑝(𝑥).
Sejam
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + · · ·+ 𝑎0 =
𝑛∑︁
𝑖=0
𝑎𝑖𝑥
𝑖
e
𝑞(𝑥) = 𝑏𝑛𝑥𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑥𝑛−1 + · · ·+ 𝑏0 =
𝑛∑︁
𝑖=0
𝑏𝑖𝑥
𝑖
funções polinomiais com coeficientes num domínio 𝐴. Então definimos a soma:
𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) =
𝑛∑︁
𝑖=0
(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖)𝑥𝑖.
Para o produto, consideremos:
𝑞(𝑥) = 𝑏𝑚𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1 + · · ·+ 𝑏0 =
𝑚∑︁
𝑖=0
𝑏𝑖𝑥
𝑖,
então,
𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) = 𝑎𝑛𝑏𝑚𝑥𝑚+𝑛 + · · ·+ (𝑎2𝑏0 + 𝑎1𝑏1 + 𝑎0𝑏2)𝑥2 + (𝑎1𝑏0 + 𝑎0𝑏1)𝑥+ 𝑎0𝑏0.
O elemento neutro da adição é definida pelo polinômio
𝑝(𝑥) = 0𝑥𝑛 + 0𝑥𝑛−1 + · · ·+ 0𝑥+ 0,
o elemento neutro da multiplicação pelo polinômio:
𝑝(𝑥) = 0𝑥𝑛 + 0𝑥𝑛−1 + · · ·+ 0𝑥+ 1,
o simétrico aditivo do polinômio 𝑝(𝑥), o polinômio:
𝑝(𝑥) = (−𝑎𝑛)𝑥𝑛 + (−𝑎𝑛−1)𝑥𝑛−1 + · · ·+ (−𝑎𝑥) + (−𝑎0).
Denotaremos o anel de polinômios por 𝐴[𝑥] em que 𝐴 será o anel dos coeficientes de
qualquer polinômio na variável 𝑥 e, quando mencionarmos que um polinômio está sobre
um anel 𝐴[𝑥] é porque seus coeficientes pertencem ao anel 𝐴 . O anel 𝐴[𝑥] não é um
4.4. Anéis de Polinômios 69
corpo, porque o conjunto que constitui o anel 𝐴[𝑥] é o conjunto das funções polinomiais
e os únicos polinômios que possuem simétrico multiplicativo são as funções polinomiais
constantes, isto é, os únicos polinômios inversíveis são os polinômios constantes diferentes
de zero e estes coincidem justamente com o anel A, vejamos: se 𝑝 ∈ 𝐴[𝑥] é inversível então
existe um conveniente 𝑔 ∈ 𝐴[𝑥] em que 𝑝𝑔 = 1, sendo 1 o polinômio unidade. Temos daí,
que o grau do polinômio 𝑝𝑔 será a soma do grau de 𝑝 com o grau de 𝑔, que será igualado
ao grau do polinômio unidade que é zero. Como resultado, conclui-se que o grau de 𝑝
e 𝑔 serão zero, uma vez que o grau o polinômio unidade é zero. Ora, se os graus de
𝑝 e 𝑔 são nulos então 𝑝 e 𝑔 são constantes. Isso nos induz dizer que, na possibilidade
de 𝐴[𝑥] ser um corpo de polinômios, vamos trabalhar, senão com as funções constantes
não nulas. Mas é bom que se diga um detalhe: dissemos que 𝐴[𝑥] é entendido como o
conjunto de polinômios cujos coeficientes estão sobre o anel A, podendo inclusive no lugar
de 𝐴 ser um corpo 𝐾 e, dessa forma, obtermos não um corpo de polinômios mais um anel
de polinômios com coeficiente num corpo. Mas adiante, vamos ver que poderemos ter
um corpo de frações de polinômios, nesse caso, será semelhante ao corpo de frações dos
inteiros, os racionais. Nessa monografia, iremos trabalhar principalmente com anéis de
polinômios com coeficientes num corpo e os corpos de frações de polinômios. Os corpo que
adotaremos serão os corpos numéricos Z,Q,R e C devido ao propósito de nosso trabalho.
Definição 4.4.1. Seja 𝑝(𝑥) ∈ 𝐴[𝑥] um polinômio sobre 𝐴, um elemento 𝑟 ∈ 𝐴 tal que
𝑝(𝑟)= 0, é chamado 𝑧𝑒𝑟𝑜 (𝑜𝑢 𝑟𝑎𝑖𝑧) do polinômio.
Teorema 4.4.1 (Algorítimo de Euclides para Polinômios). Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑚(𝑥) polinômios
pertencente ao domínio 𝐹 [𝑥], sendo 𝐹 um corpo. Então existem os polinômios 𝑞(𝑥) e 𝑟(𝑥)
únicos tais que 𝑝(𝑥) = 𝑚(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥), em que 𝑟(𝑥) = 0 ou grau 𝑟(𝑥) ≤ grau 𝑚(𝑥).
Demonstração. Ver referência Marques (2005, p.36)
Quando substituímos a variável 𝑥 de um polinômio 𝑝(𝑥) em 𝐴[𝑥] pelos os elementos
do anel 𝐴, dizemos que o polinômio é avaliado pelos elementos de 𝐴. O corolário seguinte,
dá um significado a 𝑝(𝑥) quando este é avaliado com os elementos de um anel 𝐵 ⊃ 𝐴 que
não são raízes de 𝑝(𝑥).
Corolário 4.4.1 (Teorema do Resto). Seja 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+ · · ·+𝑎0, com 𝑛 ≥ 1,
um polinômio sobre 𝐴. Se 𝐴 é um subanel com unidade de 𝐵 e 𝑟 ∈ 𝐵, então o resto da
divisão de 𝑝(𝑥) por (𝑥− 𝑟) é igual a 𝑝(𝑟).
Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p.297)
Corolário 4.4.2. Sejam 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + · · · + 𝑎0, com 𝑛 ≥ 1 e 𝐴 um subanel
com unidade de 𝐵 e 𝑟 ∈ 𝐵 raiz de p, então, (𝑥− 𝑟)|𝑝(𝑥).
70 Capítulo 4. Teoria dos Anéis
Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p.298)
Corolário 4.4.3. Um polinômio de grau 𝑛 sobre um corpo, possui no máximo 𝑛 raízes.
Quando falamos em um polinômio 𝑝(𝑥) que possui coeficientes num anel 𝐴, nem
sempre suas raízes estão nesse anel. Por exemplo, o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 2 pertence o
anel Q[𝑥], mas sua raiz, que é
√
2, pertence ao subanel Q[
√
2] dos R, pois
√
2 não pertence
a Q. É nesse sentido que generalizamos a Definição 4.4.1.
Definição 4.4.2 (Zero ou raiz do polinômio). Sejam 𝐴 um subanel de 𝐵 e 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛+
𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + · · · + 𝑎0 pertencente 𝐴[𝑥]. Um elemento 𝑟 ∈ 𝐵 será chamado de raiz de 𝑝(𝑥)
se 𝑝(𝑟) = 𝑎𝑛𝑟𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑟𝑛−1 + · · ·+ 𝑎0 = 0.
Definição 4.4.3 (Raiz Múltipla). Um 𝑟 ∈ 𝐴 é dito raiz múltipla de 𝑝(𝑥) ∈ 𝐴[𝑥] se existe
um natural 𝑛 ≥ 1 tal que:
(𝑥− 𝑟)𝑛|𝑝(𝑥)
Proposição 4.4.1. Sejam 𝑝 um polinômio sobre 𝐴 e 𝑟 ∈ 𝐴 uma raiz de 𝑝. Uma condição
necessária e suficiente para que 𝑟 seja raiz múltipla de 𝑝 é que 𝑟 também seja raiz de 𝑝′(𝑥),
derivada de 𝑝(𝑥).
Demonstração. Ver referência Domingues e Iezzi (2003, p.304)
Definição 4.4.4 (Polinômio Irredutível). Dizemos que um polinômio 𝑝 é irredutível se a
igualdade 𝑝 = 𝑞𝑡, sendo 𝑞, 𝑡 polinômios, só for possível se 𝑞 ou 𝑡 for inversível.
Exemplo 4.4.1. Os únicos polinômios irredutíveis em C[𝑥] são os de grau 1. Já nos R[𝑥]
são os polinômios de grau 1 e de grau 2 quando o seu discriminante é menor que zero.
Definição 4.4.5 (Polinômio Mônico). Um polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + · · ·+ 𝑎0
é dito mônico se o coeficiente do maior termo é igual a 1. Isto é, 𝑎𝑛 = 1.
A irredutibilidade de um polinômio depende muito do seu domínio considerado,
por exemplo, o polinômio 𝑥2 + 1 = 0 é irredutível em R[𝑥] mas se fatora em C[𝑥]. Fatos
como esses, estudaremos no próximo capítulo quando descobriremos corpos onde um
polinômio se fatore.
Vamos mostrar agora alguns lemas que servirão de apoio para o próximo capítulo.
Lema 4.4.1. Se 𝐾 é um corpo, então domínio 𝐾[𝑥] é principal
Demonstração. Vamos provar que qualquer ideal 𝐼 em 𝐾[𝑥] é principal. De fato:
Se 𝐼 = {0}, é imediato que 𝐼 é principal, pois ⟨0⟩ = {𝑝(𝑥) · 0/ 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]}.
4.4. Anéis de Polinômios 71
Se 𝐼 ̸= {0}, então existe um polinômio 𝑝(𝑥) de 𝐾[𝑥], não nulo, que pertence a 𝐼.
Nosso objetivo agora é provar que 𝐼 = ⟨𝑝(𝑥)⟩, o que concluirá nossa demonstração. Como
𝑝(𝑥) ∈ 𝐼, então ⟨𝑝(𝑥)⟩ ⊂ 𝐼. Para mostrar a inclusão contrária, vamos considerar que 𝑝(𝑥)
é um polinômios de 𝐼 tal que:
∀𝑚(𝑥) ∈ 𝐼, 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑝(𝑥) ≤ 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑚(𝑥),
ou seja, não existe outro polinômio em 𝐼 com grau menor que o de 𝑝(𝑥). Aplicando o
algorítimo da divisão temos:
𝑚(𝑥) = 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)
(︁
0 ≤ 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑟(𝑥) < 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑝(𝑥)
)︁
Segue dessa igualdade que 𝑟(𝑥) = 𝑚(𝑥)−𝑝(𝑥)𝑞(𝑥), portanto, 𝑟(𝑥) ∈ 𝐼.Mas, pela condição
em que 𝑝(𝑥) foi escolhido, é um absurdo termos 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑟(𝑥) < 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑝(𝑥), então 𝑟(𝑥) = 0 e
𝑚(𝑥) = 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥), o que mostra que 𝑚(𝑥) ∈ ⟨𝑝(𝑥)⟩. Logo, 𝐼 ⊂ ⟨𝑝(𝑥)⟩.
Lema 4.4.2. Seja 𝐾[𝑥] um domínio principal. Se 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] é irredutível, então o ideal
𝐼 = ⟨𝑝(𝑥)⟩ é maximal.
Demonstração. Consideremos que exista um ideal 𝐽 = ⟨𝑚(𝑥)⟩ tal que 𝐼 ⊂ 𝐽. Como
𝑝(𝑥) ∈ 𝐼, então 𝑝(𝑥) ∈ 𝐽 e, portanto, para algum 𝑞(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], temos 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝑚(𝑥).
Sendo 𝑝(𝑥) irredutível, 𝑞(𝑥) ou 𝑚(𝑥) é inversível e, como vimos no início desta seção,
𝑞(𝑥) ou 𝑝(𝑥) será constante. No primeiro caso, teríamos 𝑚(𝑥) = 𝑐−1𝑝(𝑥) ∈ 𝐼 , e assim
𝐽 = 𝐼. No segundo caso, se 𝑚(𝑥) fosse constante teríamos 𝐽 = 𝐾[𝑥], pois 𝐾[𝑥] = ⟨𝑐⟩ =
{𝑟(𝑥) · 𝑐/ 𝑟(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]}.
73
5 Teoria de Galois
Neste capítulo, vamos apresentar a prova da não resolubilidade das equações al-
gébricas quando seus graus são ≥ 5. Mas para chegarmos lá precisamos ainda de alguns
resultados da teoria dos corpos.
5.1 Extensões de Corpos
Quando trabalhamos com os reais, às vezes surge a necessidade de estendermos
esse corpo ao corpo dos complexos, quando por exemplo, resolvemos equação 𝑝(𝑥) =
𝑥2 + 1 = 0, com 𝑝(𝑥) ∈ R[𝑥]. Então, podemos dizer que C é uma extensão dos R e
C = R(𝑖) = {𝑎 + 𝑏𝑖/ 𝑎, 𝑏 ∈ R}. A notação R(𝑖) significa a menor extensão de R que
contém R e 𝑖, e, neste caso, coincide com os C. Mas se não soubéssemos da existência dos
complexos haveria uma forma de encontrarmos uma extensão dos R que possui as raízes
de 𝑝(𝑥). É o que veremos mais adiante pelo Teorema de Kronecker. Mas antes, vamos a
algumas definições.
Definição 5.1.1 (Extensão de Corpo). Um corpo 𝐸 é uma extensão do corpo 𝐹 se 𝐸
contém 𝐹 , ou seja, 𝐹 ⊆ 𝐸.
Denota-se: 𝐸|𝐹 ou 𝐸 ⊇ 𝐹 .
Exemplo 5.1.1. C é uma extensão de R.
Exemplo 5.1.2. Q(
√
2) = {𝑎 + 𝑏√2/𝑎, 𝑏 ∈ Q} é uma extensão de Q, facilmente se
verifica que Q(
√
2) é um corpo.
Definição 5.1.2 (Extensão Simples e Extensão Gerada). Uma extensão 𝐸 de um corpo
𝐹 diz-se uma extensão simples se existe um 𝑢 ∈ 𝐸 tal que 𝐸 = 𝐹 [𝑢]. Neste caso, 𝑢
chama-se elemento primitivo. Se temos o conjunto 𝑆 = {𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛}, designamos por
𝐾[𝑆] ou 𝐾(𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛) a extensão de 𝐾 gerada por 𝑆.
Exemplo 5.1.3. R[𝑖] ⊂ C é uma extensão simples de R que contém R e 𝑖. Vejamos que
𝑅[𝑖] é um corpo e terá de conter todos os elementos da forma 𝑎 + 𝑏𝑖 e assim, C ⊂ 𝑅[𝑖].
Por isso que R[𝑖] = C.
Exemplo 5.1.4. A extensão Q[ 3
√
2] = {𝑎 + 𝑏 3√2 + 𝑐 3√4/𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ Q}. Também é uma
extensão simples
Como dissemos no início desta seção, podemos encontrar um corpo 𝐸 onde um
polinômio sobre um subcorpo 𝐹 de 𝐸 possua todas as suas raízes. Esse fato é provado
pelo seguinte teorema.
74 Capítulo 5. Teoria de Galois
Teorema 5.1.1 (Teorema de Kronecker). Seja 𝐹 um corpo e 𝑝(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥] um polinômio
não constante irredutível. Então existe uma extensão 𝐸 do corpo 𝐹 na qual 𝑝(𝑥) possui
uma raiz.
Demonstração. Como 𝐹 é um corpo, 𝐹 [𝑥] é um domínio principal pelo Lema 4.4.1. Se 𝐹 [𝑥]
é um domínio principal, podemos ter o ideal 𝐼 = ⟨𝑝(𝑥)⟩ que é maximal pelo Lema 4.4.2,
então, pelo Teorema 4.3.1, 𝐹 [𝑥]⟨𝑝(𝑥)⟩ é um corpo. A aplicação 𝑓 : 𝐹 [𝑥] →
𝐹 [𝑥]
⟨𝑝(𝑥)⟩ , definida
por 𝑓
(︁
𝑚(𝑥)
)︁
= 𝑚(𝑥) + ⟨𝑝(𝑥)⟩, é um homomorfismo sobrejetivo pela Proposição 4.3.7,
logo, a restrição1 𝑓𝐹 , definida como 𝑎 + ⟨𝑝(𝑥)⟩ também é um homomorfismo sobrejetor,
além disso, 𝑓𝐹 é injetora, de fato:
X 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ⇐⇒ 𝑎 + ⟨𝑝(𝑥)⟩ = 𝑏 + ⟨𝑝(𝑥)⟩ ⇐⇒ 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝐼. Como o grau de 𝑝(𝑥) é
maior ou igual a 1, 𝑎− 𝑏 = 0 e então, 𝑎 = 𝑏.
Logo 𝑓𝐹 é um isomorfismo. Então, 𝐹 ≈ 𝐼𝑚(𝑓𝐹 ) ⊆ 𝐸. Sendo assim, 𝐸é uma extensão
de uma cópia isomorfa de 𝐹 uma vez que 𝐼𝑚(𝑓𝐹 ) = 𝑓(𝐹 ) é um subcorpo de 𝐸. Pela
restrição 𝑓𝐹 , podemos representar os elementos do corpo 𝐹 pelos os elementos de 𝐸. E
mais, podemos também representar o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + · · · + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
em 𝐸[𝑥]. Assim, pelo isomorfismo 𝑓, 𝑝(𝑥) terá a forma:
𝑝′(𝑥) = (1 + 𝐼)𝑥𝑛 + (𝑎𝑛−1 + 𝐼)𝑥𝑛−1 + · · ·+ (𝑎1 + 𝐼)𝑥+ (𝑎0 + 𝐼),
Agora, bastar provar que 𝑝′(𝑥) possui uma raiz em 𝐸. Seja 𝛽 ∈ 𝐸, sendo 𝛽 = 𝑥+ 𝐼.
𝑝′(𝛽) = (1 + 𝐼)𝛽𝑛 + (𝑎𝑛−1 + 𝐼)𝛽𝑛−1 + · · ·+ (𝑎1 + 𝐼)𝛽 + (𝑎0 + 𝐼)
𝑝′(𝛽) = (1 + 𝐼)(𝑥+ 𝐼)𝑛 + (𝑎𝑛−1 + 𝐼)(𝑥+ 𝐼)𝑛−1 + · · ·+ (𝑎1 + 𝐼)(𝑥+ 𝐼) + (𝑎0 + 𝐼)
𝑝′(𝛽) = (1 + 𝐼)(𝑥𝑛 + 𝐼) + (𝑎𝑛−1 + 𝐼)(𝑥𝑛−1 + 𝐼) + · · ·+ (𝑎1 + 𝐼)(𝑥+ 𝐼) + (𝑎0 + 𝐼)
𝑝′(𝛽) = 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + · · ·+ 𝑎1𝑥+ 𝑎0 + 𝐼
𝑝′(𝛽) = 𝑝(𝑥) + 𝐼 = 𝐼 = 0 + 𝐼.
Logo, 𝛽 ∈ 𝐸 é um zero de 𝑝(𝑥). Lembrar que 𝐼 é o elemento neutro de 𝐸. Veja que o zero
do anel 𝐸 deve ser imagem do zero do anel 𝐹, de fato, pois 𝑓(0) = 0 + ⟨𝑝(𝑥)⟩.
Exemplo 5.1.5. Seja 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 1 ∈ R[𝑥]. No corpo R[𝑥]⟨𝑝(𝑥)⟩ , 𝑝(𝑥) possui raiz que é
𝑥+ ⟨𝑝(𝑥)⟩. Vejamos:
Primeiro, vamos levar o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 1 que pertence a R[𝑥] ao corpo
R[𝑥]
⟨𝑝(𝑥)⟩ , onde está sua raiz. Isto é feito, como vimos no teorema anterior, por meio da
1 A restrição 𝑓𝐹 , significa que o homomorfismo 𝑓 está restrito, em seu domínio, somente aos elementos
de 𝐹 , que é o conjunto dos polinômios constante, portanto 𝐹 ⊂ 𝐹 [𝑥].
5.1. Extensões de Corpos 75
restrição (ou isomorfismo) 𝑓R : R[𝑥] → R[𝑥]⟨𝑝(𝑥)⟩ , dado por, 𝑓R(𝑎) = 𝑎 + 𝐼, 𝐼 = ⟨𝑝(𝑥)⟩.
Assim temos:
𝑝′(𝑥) = (1 + 𝐼)𝑥2 + (1 + 𝐼) ∈ R[𝑥]⟨𝑝(𝑥)⟩ ,
daí,
𝑝′(𝑥+𝐼) = (1+𝐼)(𝑥+𝐼)2+(1+𝐼) = (1+𝐼)(𝑥2+𝐼)+(1+𝐼) = 𝑥2+𝐼+1+𝐼 = 𝑥2+1+𝐼 = 𝐼,
uma vez que 𝐼 é o zero do anel R[𝑥]⟨𝑝(𝑥)⟩ , 𝑥+ 𝐼 é raiz de 𝑝
′(𝑥).
Agora, com base no exemplo anterior, iremos construir o corpo dos complexos.
Observe que os elementos de R[𝑥]⟨𝑝(𝑥)⟩ pode ser escrito da forma:
R[𝑥]
⟨𝑝(𝑥)⟩ =
{︁
𝑎𝑥+ 𝑏+ ⟨𝑝(𝑥)⟩/𝑎, 𝑏 ∈ R
}︁
,
pois, pelo algoritmo de Euclides, para qualquer 𝑚(𝑥) ∈ R[𝑥] temos:
𝑚(𝑥) = 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) = ⟨𝑥2 + 1⟩+ 𝑎𝑥+ 𝑏.
Assim,
R[𝑥]
⟨𝑝(𝑥)⟩ = 𝑚(𝑥) + 𝐼 = ⟨𝑥
2 + 1⟩+ 𝑎𝑥+ 𝑏+ 𝐼 =
{︁
𝑎𝑥+ 𝑏+ ⟨𝑝(𝑥)⟩/𝑎, 𝑏 ∈ R
}︁
Sabemos ainda que: Se fizermos (𝑥+ 𝐼) = 𝑖, teremos:
𝑎(𝑥+ 𝐼) = 𝑎𝑖⇐⇒ 𝑎𝑥+ 𝐼 = 𝑎𝑖,
Substituindo,
R[𝑥]
⟨𝑝(𝑥)⟩ =
{︁
𝑎𝑖+ 𝑏/𝑎, 𝑏 ∈ R
}︁
Da restrição 𝑓R, temos:
𝑓R(−1) = −1 + 𝐼 = −1 + 𝐼 + 𝑥2 + 1 = 𝑥2 + 𝐼 = (𝑥+ 𝐼)2,
isto significa que, nos R, o valor correspondente ao elemento (𝑥+𝐼)2 é −1 e como sabemos
que 𝑥+ 𝐼 é raiz de 𝑝(𝑥), então,
R[𝑥]/⟨𝑥2 + 1⟩ = {𝑎𝑖+ 𝑏/𝑎, 𝑏 ∈ R ; 𝑖2 = −1} = C.
Acabamos de construir o corpo dos complexos.
Quando demonstramos o teorema de Kronecker, aprendemos a descobrir a “cara”
dos elementos de uma extensão, isto é, como se escreve os elementos de uma extensão.
Caso o polinômio 𝑝(𝑥) não possua todas as suas raízes numa extensão de 𝐹 , poderemos
aplicar este teorema sucessivamente até encontrar uma extensão onde 𝑝(𝑥) se fatore em
76 Capítulo 5. Teoria de Galois
termos lineares. Em tese, o teorema de Kronecker nos fornece um algoritmo para cons-
truirmos um corpo onde um polinômio irredutível num dado corpo possua suas raízes.
No caso do exemplo acima, vimos que o corpo 𝐸, cujas raízes de 𝑝(𝑥) se encontram, é
uma extensão de R e que coincide justamente com o corpo dos complexos, poderíamos
inclusive mostrar o o corpo 𝐸 é isomorfo a C. Mas o detalhe interessante é que se 𝑝(𝑥)
estivesse sobre Q, o corpo 𝐸 não coincidiria com o corpo dos complexos e, nesse caso,
teríamos Q(𝑖) ⊂ C. Isso motiva a seguinte definição:
Definição 5.1.3 (Corpo de Decomposição). Seja 𝐸 uma extensão de um corpo 𝐹 e
𝑝(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥]. Dizemos que 𝐸 é o corpo de decomposição de 𝑝(𝑥) sobre 𝐹 , se 𝑝(𝑥) se
decompõe em 𝐸[𝑥] num produto de termos lineares e não se decompõe em nenhum subcorpo
de 𝐸.
Em outras palavras, se 𝑆 = {𝛽1, . . . , 𝛽𝑛}, 𝑆 ⊂ C, é o conjuntos de todas as raízes
de 𝑝, o corpo de decomposição de 𝑝 é o menor subcorpo 𝐸 de C que contém 𝑆, ou seja,
𝐸(𝑆) = 𝐸(𝛽1, . . . , 𝛽𝑛).
Também encontramos na literatura, a seguinte definição:
Definição 5.1.4. Seja 𝑝(𝑥) um polinômio com coeficientes num corpo 𝐹. Uma extensão
de fatoração de 𝑝(𝑥) é uma extensão 𝐿 de 𝐹 em que:
1. 𝑝(𝑥) decompõe-se em 𝐿 num produto de termos de grau 1.
2. 𝐿 = 𝐹 (𝛽1, . . . , 𝛽𝑛), onde 𝛽1, . . . , 𝛽𝑛 são as raízes de 𝑝(𝑥) em 𝐿.
Exemplo 5.1.6. O corpo de fatoração de 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 1 ∈ Q[𝑥] é Q(𝑖) = {𝑎𝑖 + 𝑏/𝑎, 𝑏 ∈
Q ; 𝑖2 = −1}, embora 𝑝(𝑥) se fatore em C.
Teorema 5.1.2. Seja 𝐹 um corpo e 𝑝(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥] um polinômio irredutível. Se 𝛽 é um zero
de 𝑝(𝑥) em algum corpo de decomposição 𝐸 de 𝐹 , então 𝐹 [𝛽] é isomorfo a 𝐹 [𝑥]/⟨𝑝(𝑥)⟩,
por força disso, se o grau de 𝑝(𝑥) é igual a 𝑛, todo elemento de 𝐹 [𝛽] pode ser escrito
como:
𝑐𝑛−1𝛽𝑛−1 + 𝑐𝑛−2𝛽𝑛−2 + · · ·+ 𝑐1𝛽 + 𝑐0 onde, 𝑐0, 𝑐1 . . . , 𝑐𝑛−1 ∈ 𝐹.
Demonstração. Consideremos o homomorfismo 𝑓 : 𝐹 [𝑥] → 𝐹 [𝛽] dado por 𝑓(𝑚(𝑥)) =
𝑚(𝛽). É claro que 𝑓 é um homomorfismo de anéis, pois:
X 𝑓
(︁
𝑚(𝑥) + 𝑝(𝑥)
)︁
= 𝑚(𝛽) + 𝑝(𝛽) = 𝑓
(︁
𝑚(𝑥)
)︁
+ 𝑓
(︁
𝑝(𝑥)
)︁
.
X 𝑓
(︁
𝑚(𝑥) · 𝑝(𝑥)
)︁
= 𝑚(𝛽) · 𝑝(𝛽) = 𝑓
(︁
𝑚(𝑥)
)︁
· 𝑓
(︁
𝑝(𝑥)
)︁
.
5.1. Extensões de Corpos 77
Como 𝑝(𝛽) = 0, podemos afirmar quer ⟨𝑝(𝑥)⟩ ⊂ ker(𝑓). Por outro lado, 𝑝(𝑥) é irredutível
em 𝐹 sendo que ⟨𝑝(𝑥)⟩ é um ideal maximal de 𝐹 [𝑥] e como ker(𝑓) ̸= 𝐹 [𝑥], então ker(𝑓) =
⟨𝑝(𝑥)⟩. Pelo Teorema 4.3.2, 𝑓(𝐹 [𝑥]) ≈ 𝐹 [𝑥]/⟨𝑝(𝑥)⟩ e como 𝑓(𝐹 [𝑥]) = 𝐹 [𝛽], temos 𝐹 [𝛽] ≈
𝐹 [𝑥]/⟨𝑝(𝑥)⟩.
Para concluir, sabemos que os elementos de 𝐹 [𝑥]/⟨𝑝(𝑥)⟩ podem ser escrito de forma
única como: 𝑐𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑐𝑛−2𝑥𝑛−2 + · · ·+ 𝑐1𝑥+ 𝑐0 + ⟨𝑝(𝑥)⟩, pois senão, haveria em ⟨𝑝(𝑥)⟩
um polinômio de grau menor que 𝑛. Pelo isomorfismo de 𝐹 [𝑥]/⟨𝑝(𝑥)⟩ em 𝐹 [𝛽], onde
𝑡(𝑥) + ⟨𝑝(𝑥)⟩ = 𝑡(𝛽), o polinômio 𝑐𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑐𝑛−2𝑥𝑛−2 + · · ·+ 𝑐1𝑥+ 𝑐0 + ⟨𝑝(𝑥)⟩, é levado
em 𝑐𝑛−1𝛽𝑛−1 + 𝑐𝑛−2𝛽𝑛−2 + · · ·+ 𝑐1𝛽 + 𝑐0.
Exemplo 5.1.7. O corpo de fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 5 ∈ Q[𝑥] é Q[𝛽] =
{𝑎 + 𝑏𝛽/𝑎, 𝑏 ∈ Q; (𝛽)2 = 5}. De fato, pelo Teorema 5.1.2 o corpo Q[𝛽] é isomorfo à
extensão 𝐹 [𝑥]/⟨𝑝(𝑥)⟩ a qual, pelo teorema de Kronecker, possui as raízes de 𝑝(𝑥) = 𝑥2−5.
Desse modo, podemos escrever os elementos de Q[𝛽] como: 𝑎 + 𝑏𝛽/𝑎, 𝑏 ∈ Q; (𝛽)2 = 5 .
Podemos inclusive representar 𝛽 por
√
5.
Uma observação muito importante a respeito do teorema anterior, é que, como o
anel quociente 𝐹 [𝑥]/⟨𝑝(𝑥)⟩ é um corpo, então, pelo isomorfismo 𝑓, o anel 𝐹 [𝛽] também
é um corpo, chamado corpo quociente e denotado 𝐹 (𝛽). Por exemplo, o corpo de frações
do anel R[𝑖] = {𝑎𝑖+ 𝑏/𝑖2 = −1} é R(𝑖) = C, em que 1
𝑎𝑖+ 𝑏 =
𝑏
𝑎2 + 𝑏2 −
𝑎
𝑎2 + 𝑏2 𝑖.
Definição 5.1.5 (Corpo Algebricamente Fechado). Um corpo 𝐹 diz-se algebricamente
fechado, se, qualquer polinômio 𝑝(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥], de grau ≥ 1, possui uma raiz em 𝐹 .
Exemplo 5.1.8. O corpo dos complexos é um corpo algebricamente fechado, isto é, qual-
quer polinômio em C possui uma raiz em C. Este fato é conhecido como Teorema Fun-
damental da Álgebra (T.F.A) e foi provado por Carls Friedrich Gauss em quatro
demostrações distintas uma das outras.
Proposição 5.1.1. Se 𝐹 é um corpo algebricamente fechado, as seguintes afirmações são
equivalentes:
∙ Todo polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + · · · + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ∈ 𝐹 [𝑥] se decompõe num
produto de termos lineares 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛
∏︀𝑛
𝑖=1(𝑥− 𝑟𝑖).
∙ Todo polinômio irredutível de F[x] possui grau 1.
Demonstração. A demonstração decorre facilmentedo Teorema Fundamental da Álgebra.
78 Capítulo 5. Teoria de Galois
5.2 Extensões Algébricas
Na seção anterior, apresentamos 𝐹 [𝑢] como uma extensão simples, sendo 𝑢 um
elemento estranho ao corpo 𝐹. Nesta seção, o elemento 𝑢 será raiz de algum polinômio
𝑝(𝑥) em 𝐹 [𝑥], desse modo, a extensão 𝐹 [𝑥]/⟨𝑝(𝑥)⟩ será isomorfo a 𝐹 (𝑢), a qual possui
uma raiz de 𝑝(𝑥), por isso, 𝐹 (𝑢) será chamada de extensão algébrica.
Definição 5.2.1 (Elementos algébricos e Elementos transcendentes). Seja 𝐸|𝐹 uma ex-
tensão de corpos e 𝛽 ∈ 𝐸. Dizemos que 𝛽 é algébrico sobre 𝐹 se 𝛽 for raiz de algum
polinômio não nulo em 𝐹 [𝑥]. Se 𝛽 não for algébrico sobre 𝐹 dizemos que 𝛽 é transcen-
dente sobre 𝐹 .
Exemplo 5.2.1. O elemento 3
√
2 ∈ Q[ 3√2], é algébrico sobre Q, pois é raiz do polinômio
𝑥3 − 2 em Q.
Exemplo 5.2.2. O elemento 𝜋 ∈ R é transcendente sobre Q, pois não existe nenhum
polinômio em Q[𝑥] em que 𝜋 é raiz.
Definição 5.2.2 (Extensões Algébricas e Extensões Transcendentes). Uma extensão 𝐸
de 𝐹 é chamada de extensão algébrica se todos os elementos de 𝐸 são algébricos sobre
𝐹 . Caso contrário, dizemos que 𝐸 é uma extensão transcendente de 𝐹 .
Exemplo 5.2.3. A extensão Q(
√
2)|Q é algébrica, pois todo elemento 𝑎+ 𝑏√2 ∈ Q(√2),
é raiz do polinômio 𝑥2 − 2𝑎𝑥+ 𝑎2 − 2𝑏2 ∈ Q[𝑥].
Exemplo 5.2.4. Todo elemento de C é algébrico sobre R. De fato, o elemento 𝑎+𝑏𝑖 ∈ C
é raiz do polinômio 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑏2 ∈ 𝑅[𝑥]. Assim provamos que a extensão C|R é
algébrica.
Definição 5.2.3 (Polinômio Mínimo). Seja 𝛽 um elemento de 𝐸|𝐹 algébrico sobre 𝐹 .
Um polinômio mônico de 𝐹 [𝑥] cujo grau é mínimo e que possui 𝛽 com raiz, chamamos
de polinômio minimo. Em outras palavras, um polinômio 𝑝(𝑥) é mínimo se for mônico,
irredutível e 𝑝(𝛽) = 0.
Exemplo 5.2.5. O polinômio mínimo de 4
√
2 sobre Q é 𝑥4−2. Já sobre Q(√2), é 𝑥2−√2.
Em suma, se 𝑢 for raiz de algum polinômio em 𝐹 [𝑥], podemos encontrar aquele
que seja mínimo, se 𝑝(𝑥) for esse polinômio, cujo grau seja 𝑛, o Teorema 5.1.2 afirma que
os elementos do corpo 𝐹 (𝑢) podem ser escritos como:
𝑐𝑛−1𝑢𝑛−1 + 𝑐𝑛−2𝑢𝑛−2 + · · ·+ 𝑐1𝑢+ 𝑐0, 𝑐𝑖 ∈ 𝐹.
Vimos ainda que, no anel 𝐹 [𝑥], quando substituído a variável 𝑥 por 𝑢, todo po-
linômio que possui 𝑢 por raiz é nulo, isto é, ⟨𝑝(𝑢)⟩ = 0, por isso, pelo isomorfismo
𝑓 : 𝐹 [𝑢] −→ 𝐹 [𝑢]/⟨𝑝(𝑢)⟩, sendo 𝑡(𝑢) = 𝑡(𝑢) + ⟨𝑝(𝑢)⟩, 𝐹 [𝑢] = 𝐹 (𝑢).
5.2. Extensões Algébricas 79
Se 𝑢 for transcendente, isto é, não for raiz de nenhum polinômio em 𝐹 [𝑥], temos
que o núcleo do isomorfismo 𝑓 : 𝐹 [𝑥] −→ 𝐹 [𝑢], definido por 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑢), é ker(𝑓) = {0},
pois 𝑢 não é raiz de nenhum polinômio em 𝐹 [𝑥], desse modo,
𝐹 (𝑢) ≈ 𝐹 [𝑥]/⟨0⟩ ≈ 𝐹 [𝑥].
Isto é, a extensão 𝐹 (𝑢) coincide com o anel 𝐹 [𝑥]. Temos assim uma simplesmente
mudança de variável sem que haja uma mudança estrutural no anel, assim como ocorreu
quando 𝑢 é algébrico.
Neste trabalho, nosso interesse será nas extensões algébricas, pois seus elementos
sempre serão raiz de um dado polinômio. Diante disso, os elementos de uma extensão
algébrica serão escritos como polinômios na variável 𝑢, desse modo, saberemos representar
os elementos dessas extensões. Por exemplo, os elementos da extensão Q( 3
√
2) são escritos
como polinômios em 3
√
2.
𝑎( 3
√
2)0 + 𝑏( 3
√
2) + 𝑐( 3
√
2)2 + 𝑑( 3
√
2)3 + · · · = 𝑎+ 𝑏 3√2 + 𝑐 3√4, com 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ Q. (5.1)
Facilmente se perceba que a partir do termo 𝑑( 3
√
2)3, do polinômio (5.1), os próxi-
mos poderão ser representados por algum dos três primeiro termos. Desta forma, podemos
afirmar que os elementos do conjunto 𝐵 = {1, 3√2, 3√4} geram todo o corpo Q( 3√2). Como
o conjunto 𝐵 é linearmente independente (L.I), pois a equação 𝑥 + 𝑦 3
√
2 + 𝑧 3
√
4 = 0 é
verdadeira somente para 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 poderemos então, falar que o conjunto 𝐵 é
uma base da extensão Q( 3
√
2). Sendo 𝐵 uma base, poderemos falar então, em dimensão,
que nesse caso, é 3. Essas conclusões motivam as seguintes definições.
Definição 5.2.4 (Dimensão de um corpo e Extensão Finita.). Seja 𝐸|𝐹 uma extensão
de corpos. O grau de 𝐸|𝐹 é a dimensão de 𝐸 como espaço vetorial sobre 𝐹 . Notação:
[𝐸 : 𝐹 ]
Quando [𝐸 : 𝐹 ] for finito, dizemos que 𝐸 é uma extensão finita de 𝐹 . Se [𝐸 : 𝐹 ]
for infinito, dizemos que 𝐸 é uma extensão infinita de 𝐹 .
Exemplo 5.2.6. A extensão C|R = {𝑎 + 𝑏𝑖/ 𝑎, 𝑏 ∈ Q} possui grau 2, pois os elementos
1, 𝑖 formam uma base para o espaço vetorial C sobre R. Além disso, ela é finita.
Exemplo 5.2.7. A extensão Q( 3
√
2)|Q, com vimos logo acima, é finita pois [Q( 3√2) : Q] =
3.
Exemplo 5.2.8. O corpo R é uma extensão infinita dos Q. Basta pensar na infinidade
dos números irracionais.
Agora, vamos formalizar o que temos dito.
80 Capítulo 5. Teoria de Galois
Teorema 5.2.1. Sejam 𝐸 uma extensão do corpo 𝐹 e 𝑝(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥] o polinômio mínimo
de grau 𝑛 do elemento 𝑢 de 𝐸. Então, o conjunto {1, 𝑢, . . . , 𝑢𝑛−1} forma uma base de
𝐹 (𝑢) sobre 𝐹 e [𝐹 (𝑢) : 𝐹 ] = 𝑛.
Demonstração. Com efeito, pois se existissem elementos 𝑎0, 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛−1, não todos nulos
de 𝐹 tais que 𝑎𝑛−1𝑢𝑛−1+ · · ·+𝑎𝑢+𝑎 = 0, teríamos a existência de um polinômio não nulo
𝑚(𝑥) = 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+ · · ·+𝑎𝑥+𝑎 de grau 𝑛−1 em 𝐹 [𝑥] que se anula em 𝑢 o que é absurdo,
uma vez que 𝑝(𝑥) de grau 𝑛 dividiria𝑚(𝑥) de grau 𝑛−1. Logo, o conjunto {1, 𝑢, . . . , 𝑢𝑛−1}
é L.I e, pelo Teorema 5.1.2, gera 𝐹 (𝑢). Concluímos então que, {1, 𝑢, . . . , 𝑢𝑛−1} forma uma
base de 𝐹 (𝑢) e facilmente temos [𝐹 (𝑢) : 𝐹 ] = 𝑛.
Exemplo 5.2.9. Seja 𝑝(𝑥) = 𝑥3−2 ∈ Q[𝑥], o polinômio mínimo do elemento 𝑢 ∈ Q[𝑢] tal
que 𝑢3 = 2. Pelo teorema acima, uma base para o corpo Q(𝑢) é {1, 𝑢, 𝑢2}. Desse modo, o
corpo Q(𝑢) será 𝐸 = Q(𝑢) = {𝑎+ 𝑏𝑢+ 𝑐𝑢2/𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ Q;𝑢3 = 2}. Então, como 𝑢 é um zero
de 𝑥3−2, temos 𝑥3−2 = (𝑥−𝑢)(𝑥2+𝑢𝑥+𝑢2). Vamos saber agora se (𝑥2+𝑢𝑥+𝑢2) fatora-
se em Q(𝑢). Sabemos que 𝑥 = (−𝑢± 𝑢√−3)/2 são as raízes do polinômio 𝑥2 + 𝑢𝑥+ 𝑢2,
e que, para pertencerem a Q(𝑢), temos que ter um 𝑎+ 𝑏𝑢+ 𝑐𝑢2 ∈ 𝑄(𝑢) tal que:
(𝑎+ 𝑏𝑢+ 𝑐𝑢2)2 = −3 =⇒ 𝑎2 + 4𝑏𝑐+ (2𝑎𝑏+ 2𝑐2)𝑢+ (2𝑎𝑐+ 𝑏2)𝑢2 = −3 (5.2)
esta equação nos remete ao sistema:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
𝑎2 + 4𝑏𝑐 = −3
2𝑎𝑏 + 2𝑐2 = 0
2𝑎𝑐 + 𝑏2 = 0
Que não possui solução em Q. Inferimos que
√−3 não pertence a Q(𝑢), então, como o
polinômio mínimo desse elemento é 𝑥2+3 ∈ Q(𝑢) e, pelo teorema de Kronecker vai existir
uma extensão 𝐾 de Q(𝑢) onde 𝑥2 + 3 possua todas suas raízes. Poderemos assim, fazer
(±𝑣)2 = −3 e a menor extensão de Q(𝑢)onde 𝑥3 − 2 ∈ Q(𝑢)[𝑥] se fatora é:
𝐾 = Q(𝑢)(𝑣) = Q(𝑢, 𝑣).
Então, pelo Teorema 5.2.1, {1, 𝑣} é uma base para o corpo Q(𝑢)(𝑣) = Q(𝑢, 𝑣),
Q(𝑢, 𝑣) = {𝑟 + 𝑠𝑣/𝑟, 𝑠 ∈ Q(𝑢); 𝑣2 = −3},
que é igual a:
Q(𝑢, 𝑣) = {
𝑟⏞ ⏟ 
(𝑎+ 𝑏𝑢+ 𝑐𝑢2)+
𝑠𝑣⏞ ⏟ 
(𝑚𝑣 + 𝑡𝑢𝑣 + 𝑞𝑢2𝑣) /𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑚, 𝑡, 𝑞 ∈ Q;𝑢3 = 2, 𝑣2 = −3}.
Que é o corpo de fatoração de 𝑥3− 2 ∈ Q[𝑥]. Perceba que, se 𝑣 é raiz do polinômio 𝑥2+3
então −𝑣 também é, pois −𝑣 pertence a Q(𝑢, 𝑣) já que Q(𝑢, 𝑣) é um corpo.
5.2. Extensões Algébricas 81
Uma análise atenciosa do exemplo acima, nos leva perceber que a construção do
corpo Q(𝑢, 𝑣) dependeu primeiramente da raiz 𝑢 onde se construiu a extensão Q(𝑢),
depois, dependeu do elemento 𝑣 que não é raiz de 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 2, mas é um elemento
que, a partir do qual, a raiz 𝑢(1± 𝑣)/2 está escrita como uma combinação linear da base
{1, 𝑣} do corpo Q(𝑢, 𝑣);𝑢3 = 2; 𝑣2 = −3. Mas poderemos afirmar que o corpo Q(𝑢, 𝑣) é o
corpo de decomposição de 𝑝(𝑥) por que os elementos 𝑢, 𝑢(−1± 𝑣)/2 pertence à Q(𝑢, 𝑣). É
parecido quando dizemos que, Q
(︁
𝑢, 𝑢(−1+𝑣)/2, 𝑢(−1−𝑣)/2
)︁
é igual a Q
(︁
𝑢, 𝑢(−1+𝑣)/2
)︁
por que 𝑢(−1−𝑣)/2já pertence à Q
(︁
𝑢, 𝑢(−1+𝑣)/2). Mas à frente, trataremos o corpo de
decomposição de 𝑝(𝑥) = 𝑥3−2 com sendo igual a Q(𝑢, 𝑧), onde 𝑢 = 3√2 e 𝑧 = (−1+𝑣)/2,
com 𝑣 =
√−3, já cientes de que, Q(𝑢, 𝑣) = Q( 3√2, 𝑧), pelo fato de qualquer elemento de
Q(𝑢, 𝑧) redundar nos elementos de Q(𝑢, 𝑣).
Outra observação importante no exemplo acima, é que para encontrarmos o corpo
de decomposição do polinômio 𝑥3−2 ∈ Q[𝑥], recorremos ao Teorema 5.2.1 para primeira-
mente encontrar a extensão Q(𝑢)|Q;𝑢3 = 2, e, em seguida, utilizamos o mesmo teorema
para encontrar a extensão Q(𝑢, 𝑣)|Q(𝑢); 𝑣2 = −3. Eis aí uma grande vantagem do Teo-
rema 5.2.1, nos permitir encontrar o corpo de fatoração de um polinômio irredutível num
dado corpo a partir de sua base, sem recorremos diretamente ao Teorema de Kronecker,
um caminho mais dispendioso.
Teorema 5.2.2 (Teorema da Torre). Se 𝐿 é uma extensão finita do corpo 𝐸 e 𝐸 uma
extensão finita do corpo 𝐹 (𝐿 ⊃ 𝐸 ⊃ 𝐹 ), então 𝐿 é uma extensão finita de 𝐹 e
[𝐿 : 𝐹 ] = [𝐿 : 𝐸] · [𝐸 : 𝐹 ].
Demonstração. Ver referência Marques (2014).
Exemplo 5.2.10. Tomemos o Exemplo 5.2.9 e calculemos o grau da extensão Q(𝑢, 𝑣)|Q.
Se olharmos diretamente para extensão,
Q(𝑢, 𝑣) = {(𝑎+ 𝑏𝑢+ 𝑐𝑢2) + (𝑚𝑣 + 𝑡𝑢𝑣 + 𝑞𝑢2𝑣)/𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑚, 𝑡, 𝑞 ∈ Q;𝑢3 = 2, 𝑣2 = −3},
temos que [Q(𝑢, 𝑣) : Q] = 6, pois basta contarmos quantos elementos possui a base:
{1, 𝑢, 𝑢2, 𝑣, 𝑢𝑣, 𝑢2𝑣}.
Por outro lado, pelo Teorema 5.2.1 , temos: [𝑄(𝑢) : 𝑄] = 3, pois o grau de 𝑥3 − 2 é 3 e
[𝑄(𝑢, 𝑣) : 𝑄(𝑢)] = 2, pois o grau de 𝑥2 + 3 é 2. Então, pelo teorema da torre temos:
[Q(𝑢, 𝑣) : Q] = [Q(𝑢, 𝑣) : Q(𝑢)] · [Q(𝑢) : Q] = 2 · 3 = 6
82 Capítulo 5. Teoria de Galois
5.3 Extensões de Homomorfismos
Na Seção 4.2 do Capítulo 4 vimos que um homomorfismo de um anel (𝐴,+, ·) para
o anel (𝐵,+, ·) é uma função 𝑓 (ou representação) que obedece as seguintes condições:
𝑓(𝑥+ 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)
𝑓(𝑥 · 𝑦) = 𝑓(𝑥) · 𝑓(𝑦)
No inicio da Seção 5.1 deste capítulo, definimos uma extensão de corpo como sendo
um corpo contendo o outro. Nesta seção, vamos trabalhar com extensões de homomor-
fismos, isto é, se 𝜙 : 𝐹 → 𝐿 é um homomorfismo do corpo 𝐹 para o corpo 𝐿 e 𝐸 é
uma extensão algébrica do corpo 𝐹 com 𝐹 ⊂ 𝐸 ⊂ 𝐿, então poderemos encontrar um
homomorfismo 𝜏 : 𝐸 → 𝐿 tal que 𝜏 estende 𝜙, ou seja, é possível definir um 𝜏 : 𝐸 → 𝐿 de
modo que, quando 𝜏 se restringir aos elementos de 𝐹 , então 𝜏 = 𝜙. Em outras palavras,
como 𝐹 está contido em 𝐸, só iremos usar a função 𝜏 se os elementos não forem os de
𝐹 , e se forem, usaremos 𝜙. Essa definição, com o apoio de alguns teoremas, nos ajudará
em dois pontos: Primeiro, para levarmos um polinômio que se encontra desamparado
de raízes num dado corpo para um corpo algebricamente fechado, onde lá se encontram
todas suas raízes. Segundo, será essencial para entendermos o calculo do grupo de Galois
de um polinômio, esse grupo vai nos ajudar a definir se uma equação é solúvel ou não
por radicais, principal objetivo do nosso trabalho. Vamos ainda, aprender como Galois
associou este grupo com o grupo simétrico. Sugerimos que o estudo dos Teoremas 5.3.1 e
5.3.2 sejam bem compreendidos, principalmente o Teorema 5.3.2, pois ele nos dar quase
que um algoritmo para encontrar o grupo Galois.
Definição 5.3.1 (Extensão de Homomorfismos). Sejam 𝐹 ⊆ 𝐸 ⊆ 𝐿 uma torre de corpos
e 𝜙 : 𝐹 → 𝐿 e 𝜏 : 𝐸 → 𝐿 homomorfismos de corpos com 𝜏 restrito a 𝐹 sendo 𝜏 |𝐹 = 𝜙,
isto é, se 𝑎 ∈ 𝐹 então 𝜏(𝑎) = 𝜙(𝑎), então dizemos que 𝜏 é uma extensão de 𝜙 ou ainda
que 𝜏 é um F - homomorfismo de E em L, ou ainda, que 𝜏 é um prolongamento
de 𝜙.
Teorema 5.3.1. Sejam a torre de 𝐹 ⊂ 𝐸 ⊂ 𝐿 dois corpos, com 𝐿 algebricamente fechado.
Se 𝐸 = 𝐹 (𝛼) com 𝛼 algébrico sobre 𝐹 e 𝜙 : 𝐹 → 𝐿 um homomorfismo de corpos. Então
existe uma extensão 𝜏 : 𝐸 → 𝐿 de 𝜙, isto é, existe um F - homomorfismo de E em L.
Demonstração. Seja 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + · · · + 𝑎0 o polinômio mínimo de 𝛼 sobre
𝐹 [𝑥] e 𝑝𝜙(𝑥) = 𝜙(𝑎𝑛)𝑥𝑛 + 𝜙(𝑎𝑛−1)𝑥𝑛−1 + · · · + 𝜙(𝑎0) o polinômio de 𝐿[𝑥] obtido de 𝑝(𝑥)
aplicando 𝜙 coeficiente a coeficiente. Como 𝐿 é algebricamente fechado, existe 𝛽 ∈ 𝐿
raiz de 𝑝𝜙(𝑥). Nossa questão aqui é sobre existência, então precisamos definir a extensão
𝜏 : 𝐸 → 𝐿. Definimos assim:
5.3. Extensões de Homomorfismos 83
𝜏(𝑚(𝛼)) = 𝑚𝜙(𝛽),
com 𝑚(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥].
Agora, mostraremos que 𝜏 está bem definida. Se 𝑚(𝛼) = 𝑞(𝛼) para um certo
𝑞(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥], então 𝛼 é raiz de 𝑡(𝑥) = 𝑚(𝑥) − 𝑞(𝑥), pois 𝑚(𝛼) − 𝑞(𝛼) = 0. Portanto,
o polinômio 𝑝(𝑥)|𝑡(𝑥). Então, para um certo 𝑟(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥], temos: 𝑡(𝑥) = 𝑟(𝑥)𝑝(𝑥) ⇒
𝑡(𝑥)− 𝑟(𝑥)𝑝(𝑥) = 0. Aplicando 𝜏 como definimos, teremos:
𝑡𝜙(𝑥)− 𝑟𝜙(𝑥)𝑝𝜙(𝑥) = 𝜏(0)
Então, 𝑡𝜙(𝑥) = 𝑟𝜙(𝑥)𝑝𝜙(𝑥), pois 𝜏 é um homomorfismo. Concluímos então que 𝑝𝜙(𝑥)
divide 𝑡𝜙(𝑥), mostrando que a definição de 𝜏 não depende do polinômio 𝑚(𝑥) escolhido.
Agora, para mostrar que 𝜏 é um homomorfismo de corpos basta ver que:
𝜏
(︁
𝑚(𝑥) + 𝑞(𝑥)
)︁
= 𝜏
(︁
(𝑚+ 𝑞)(𝑥)
)︁
= (𝑚+ 𝑞)𝜙(𝑥) = 𝑚𝜙(𝑥) + 𝑞𝜙(𝑥) = 𝜏
(︁
𝑚(𝑥)
)︁
+ 𝜏
(︁
𝑞(𝑥)
)︁
.
𝜏
(︁
𝑚(𝑥)𝑞(𝑥)
)︁
= 𝜏
(︁
(𝑚𝑞)(𝑥)
)︁
= (𝑚𝑞)𝜙(𝑥) = 𝑚𝜙(𝑥)𝑞𝜙(𝑥) = 𝜏
(︁
𝑚(𝑥)
)︁
𝜏
(︁
𝑞(𝑥)
)︁
.
Concluímos assim que, de fato 𝜏 é um homomorfismo tal que 𝜏 |𝐹 = 𝜙.
Teorema 5.3.2. Sejam 𝐹 ⊂ 𝐹 (𝛼) ⊂ C uma torre de corpos, 𝑝(𝑥) o polinômio mínimo
de 𝛼 sobre 𝐹 [𝑥] cujo grau é 𝑛 e 𝜙 : 𝐹 → C um homomorfismo. Se 𝜏 : 𝐹 (𝛼) → C é um
homomorfismo tal que 𝜏 |𝐹 = 𝜙, então 𝜙 possui exatamente 𝑛 prolongamentos, ou seja,
existe 𝑛 𝐹 - homomorfismo de 𝐹 (𝛼) em C.
Demonstração. Só para situar o leitor, nossa demonstração será baseada numa represen-
tação de conjuntos, ou seja, iremos formar o conjunto 𝑇 de todos as extensões 𝜏 de 𝜙, em
seguida, vamos mostrar que esse conjunto forma uma bijeção com o conjunto 𝑆 de todas
as raízes de 𝑝(𝑥). Se o número de elementos de 𝑆 é 𝑛, comprovada a bijeção, a mesma
quantidade será para o conjunto 𝑇.
Seja 𝑝(𝑥) o polinômio mínimo de 𝛼 em 𝐹 [𝑥]. Então,
𝑝𝜏 (𝑥) = 𝜏
(︁
𝑝(𝑥)
)︁
= 𝜏(𝑎𝑛𝑥𝑛+· · ·+𝑎1𝑥+𝑎0) = 𝜏(𝑎𝑛)𝜏(𝑥𝑛)+· · ·+𝜏(𝑎1)𝜏(𝑥)+𝜏(𝑎0) =
𝜙(𝑎𝑛)
(︁
𝜏(𝑥)
)︁𝑛
+ · · ·+ 𝜙(𝑎1)𝜏(𝑥) + 𝜙(𝑎0) = 𝑝𝜙
(︁
𝜏(𝑥)
)︁
,
então, 𝑝𝜏 (𝑥) = 𝜏
(︁
𝑝(𝑥)
)︁
= 𝑝𝜙
(︁
𝜏(𝑥)
)︁
. Como 𝑝(𝛼) = 0, temos, 𝜏(0) = 𝜏
(︁
𝑝(𝛼)
)︁
= 𝑝𝜙
(︁
𝜏(𝛼)
)︁
=
𝜙(𝑎𝑛)
(︁
𝜏(𝛼)
)︁𝑛
+ · · ·+ 𝜙(𝑎1)𝜏(𝛼) + 𝜙(𝑎0) = 0. Logo, 𝜏(𝛼) também é um zero de 𝑝𝜙(𝑥).
Agora, como C é algebricamente fechado, podemos encontrar em C todas as raízes
de 𝑝(𝑥). Então, seja 𝑆 = {𝛽1, 𝛽2, . . . , 𝛽𝑛} ⊂ C o conjunto das raízes de 𝑝(𝑥), é claro que
𝛼 ∈ 𝑆. Sejam também 𝑇 = {𝜏/𝜏 : 𝐹 (𝛼) → C e 𝜏 |𝐹 = 𝜙}, o conjunto de todos os 𝐹 -
homomorfismo de 𝐹 (𝛼) em C, isto é, o conjunto de todos os prolongamentos 𝜏 de 𝜙 e
𝛾 : 𝑇 → 𝑆 a função definida por:
𝛾(𝜏) = 𝜏(𝛼)
84 Capítulo 5. Teoria de Galois
perceba que 𝜏(𝛼) ∈ 𝑆. Precisamos mostrar agora que:
X 𝛾 está bem definida:
Se 𝜏1 = 𝜏2, então 𝜏1(𝛼) = 𝜏2(𝛼)⇔ 𝛾(𝜏1) = 𝛾(𝜏2).
X 𝛾 é injetora:
𝛾(𝜏1) = 𝛾(𝜏2)⇔ 𝜏1(𝛼) = 𝜏2(𝛼)⇔ 𝜏1 = 𝜏2.
X 𝛾 é sobrejetora:
Sabemos que 𝑇 é o conjunto de todos os 𝜏 ′𝑠 em que, 𝜏(𝑚(𝛼)), com 𝑚(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥], é
um elemento de 𝑇. Como 𝜏(𝑚(𝛼)) = 𝑚𝜙(𝛽), então,
𝛾(𝜏) = 𝜏(𝛼) = 𝛽.
Como 𝛽 ∈ 𝑆, então 𝛾 é sobrejetora.
Logo, 𝛾 é bijetora. Concluímos que 𝑇 possui 𝑛 elementos.
Exemplo 5.3.1. Sejam a torre de corpos Q ⊂ Q( 3√2) ⊂ C. Se o polinômio mínimo de
3
√
2 é 𝑝(𝑥) = 𝑥3−2 e 𝜙 : Q→ C um homomorfismo dado por 𝜙 = 𝑖𝑑, então, pelo Teorema
5.3.2, existem três 𝜏 : Q( 3
√
2)→ C, ou seja, trêsQ - homomorfismo de Q( 3√2) em C que
prolongam 𝜙 onde, cada uma delas leva o elemento 3
√
2 a uma das raízes 3
√
2, 3
√
2𝑧, 3
√
2𝑧2.
Definimos 𝜏𝑖 por 3
√
2→ 3√2𝑧𝑖, 𝑖 = 0, 1, 2. Então,
𝜏0 : 3
√
2 −→ 3√2 , 𝜏1 : 3
√
2 −→ 3√2𝑧, 𝜏2 : 3
√
2 −→ 3√2𝑧2.
Veja que é desnecessário 𝑖 assumir valores maiores que 2, pois, se por exemplo, 𝑖 = 4,
teríamos 𝜏4( 3
√
2) = 3
√
2𝑧4 = 3
√
2𝑧. Logo, temos 3 prolongamentos de 𝜙, isto é, 3 Q -
homomorfismo de Q( 3
√
2) em C.
Um análise atenta do exemplo anterior, nos revela que o homomorfismo 𝜏𝑖, trans-
forma a raiz 3
√
2 em qualquer das outras raízes 3
√
2, 3
√
2𝑧, 3
√
2𝑧2. Mas, quando estendermos
a extensão Q( 3
√
2) à Q( 3
√
2, 𝑧), a raiz 3
√
2𝑧, por exemplo, não pode ser transformada por
esse homomorfismo, pois, não teremos um valor para 𝜏𝑖(𝑧), quando tivermos:
𝜏𝑖( 3
√
2𝑧) = 𝜏𝑖( 3
√
2)𝜏𝑖(𝑧)
Por isso, precisamos estender o homomorfismo 𝜏𝑖, é o que vamos ver no próximo exemplo.
Exemplo 5.3.2. Sejam a torre de corpos Q( 3
√
2) ⊂ Q( 3√2, 𝑧) ⊂ C e 𝜏𝑖 : Q( 3
√
2) → C
dados por 3
√
2 → 3√2𝑧𝑖, 𝑖 = 0, 1, 2. Então, do Teorema 5.3.2, temos dois Q( 3√2) - homo-
morfismo de Q( 3
√
2, 𝑧) em C, isto é, 2 prolongamentos de cada um dos 𝜏𝑖. Definimos esses
5.3. Extensões de Homomorfismos 85
prolongamentos como: 𝜑𝑖,𝑗 : Q( 3
√
2, 𝑧)→ C sendo 𝑧 → 𝑧𝑗, 𝑗 = 1, 2, tal que 𝜑𝑖,𝑗|Q( 3√2) = 𝜏𝑖.
Veja que o polinômio mínimo de 𝑧 ∈ Q( 3√2, 𝑧) sobre Q( 3√2) é 𝑥2 + 𝑥 + 1, cujo grau é 2,
temos assim:
𝜑0,1 :
3
√
2 −→ 3√2
𝑧 −→ 𝑧 𝜑0,2 :
3
√
2 −→ 3√2
𝑧 −→ 𝑧2
𝜑1,1 :
3
√
2 −→ 3√2𝑧
𝑧 −→ 𝑧 𝜑1,2 :
3
√
2 −→ 3√2
𝑧 −→ 𝑧2
𝜑2,1 :
3
√
2 −→ 3√2𝑧2
𝑧 −→ 𝑧 𝜑2,2 :
3
√
2 −→ 3√2𝑧2
𝑧 −→ 𝑧2 ,
Veja que,
𝜑0,1( 3
√
2) = 𝜏0( 3
√
2) = 3
√
2𝑧0 = 3
√
2, pois 3
√
2 ∈ Q( 3√2) e
𝜑0,1(𝑧) = 𝜑1(𝑧) = 𝑧1 = 𝑧, pois 𝑧 ∈ Q( 3
√
2, 𝑧).
Teorema 5.3.3. Se 𝐸|𝐹 é uma extensão algébrica e 𝜏 : 𝐸 → 𝐸 um 𝐹 - homomorfismo
de 𝐸 em 𝐸, cuja restrição a 𝐹 é a identidade, então 𝜏 é um isomorfismo e se chamará
𝐹 – automorfismo de 𝐸.
Demonstração. Seja 𝛼 ∈ 𝐸, um elemento qualquer e 𝑝(𝑥) o polinômio mínimo de 𝛼 em
𝐹 [𝑥]. Seja 𝑆 = {𝛽 ∈ 𝐸 : 𝑝(𝛽) = 0} o conjunto das raízes de 𝑝(𝑥), é claro que 𝛼 ∈ 𝑆.
Vimos na demonstração do Teorema 5.3.2 que 𝜏 leva as raízes de 𝑝(𝑥) nas próprias raízes
de 𝑝(𝑥) através da equação:
𝜏(𝑝(𝑥)) = 𝑝(𝜏(𝑥)).
Veja que a restrição aos elementos de 𝐹 é o homomorfismo 𝜏 que é igual à 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒,
então, 𝜏 não “move” os elementos de 𝐹, contudo, move os elementos do conjunto 𝑆. Por
isso, é suficiente, somente, provarmos o isomorfismo nesse conjunto.
Temos então que 𝜏(𝑆) ⊂ 𝑆 por que para qualquer 𝛽 ∈ 𝑆, 𝜏(𝛽) ∈ 𝑆 e como 𝑆 é
finito e 𝜏 é injetor, pelo fato de todo homomorfismo de corpos ser injetor, então 𝜏(𝑆) = 𝑆,
isto é, 𝜏 é um homomorfismo bijetivo, ou melhor, é um isomorfismo
Corolário 5.3.1. Se 𝐸 for o corpo de decomposição do polinômio irredutível 𝑝(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥],
então o 𝐹 – automorfismo de 𝐸 é, em essência, uma permutação das raízes de 𝑝(𝑥).
Demonstração. Se 𝛽 ∈ 𝐸 é uma raiz de 𝑝(𝑥) e 𝜑 um 𝐹 – isomorfismo de 𝐸, temos que
𝜑(𝑝(𝛽)) = 𝑝(𝜑(𝛽)) = 0, pois 𝜑|𝐹 = 𝑖𝑑.
Lema 5.3.1. O conjunto de todos os 𝐹 – automorfismo de 𝐸 munido da operação com-
posição de funções formam o grupo dos 𝐹 – automorfismo de 𝐸.
Demonstração. A demonstração é idêntica à do Teorema 3.3.1
86 Capítulo 5. Teoria de Galois
Definição 5.3.2 (Grupo de Galois de um Extensão). Chama-se grupo de Galois de uma
extensão 𝐸 de 𝐹 ao grupo dos 𝐹 - automorfismos de 𝐸. Denota - se por 𝐺(𝐸,𝐹 ).
Exemplo 5.3.3. Seja R(𝑖) uma extensão de R. Então, o grupo de Galois da extensão
𝐸|𝐹 é 𝐺(𝐸,𝐹 ) = {𝑖𝑑, 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑎 − 𝑏𝑖}, pois temos somente dois R - automorfismos de
R(𝑖) um que leva 𝑎+ 𝑏𝑖 nele mesmo e outro no seu conjugado.
Definição 5.3.3 (Grupo de Galois de um Polinômio). Seja 𝐿 o corpo de decomposição
de 𝑝(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥]. O grupo de Galois de 𝑝(𝑥) sobre 𝐹 é o grupo dos 𝐹 – automorfismo de
𝐿. Isto é, o grupo de Galois de um polinômio é o grupo de Galois de uma extensão 𝐿 de
𝐹 em que 𝐿 é corpo de decomposição de 𝑝(𝑥). Denota-se por 𝐺(𝑝(𝑥), 𝐹 ).
Exemplo 5.3.4. Seja 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 1. Sabemos que R(𝑖) é o corpo de decomposição de
𝑝(𝑥), temos então dois R - automorfismos de R(𝑖) em R(𝑖), isto é, dois 𝜑𝑘 : R(𝑖)→ R(𝑖)
dadas por 𝑖→ 𝑖2𝑘+1, 𝑘 = 0, 1. então 𝐺(𝑝(𝑥), 𝐹 ) = {𝜑0 = 𝑖𝑑, 𝜑1(𝑖) = −𝑖}.
Exemplo 5.3.5. Calculemos o grupo de Galois de 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 2. Sabemos que nos
complexos, as raízes de 𝑝(𝑥) são 3
√
2, 3
√
2𝑧, 3
√
2𝑧2 e que seu corpo de decomposição é
Q( 3
√
2, 𝑧, 𝑧2) = Q( 3
√
2, 𝑧). Pela definição, o grupo de Galois de 𝑝(𝑥) é o grupo dos Q -
automorfismo de Q( 3
√
2, 𝑧). Para encontrarmos 𝐺(𝑝(𝑥),Q), temos que calcular todos os Q
- automorfismo de Q( 3
√
2) em Q( 3
√
2, 𝑧), em seguida, o prolongamento de cada um desses
automorfismo, ou seja, todos os Q( 3
√
2) - automorfismo de Q( 3
√
2, 𝑧) em Q( 3
√
2, 𝑧), isso é
o mesmo que aplicar o Teorema 5.3.2 duas vezes, pois temos duas extensões, Q( 3
√
2)|Q e
Q( 3
√
2, 𝑧)|Q( 3√2). No Exemplo 5.3.1, já calculamos todos os Q - automorfismo de Q( 3√2)
em Q( 3
√
2, 𝑧), quando encontramos os três 𝜏 : Q( 3
√
2) → C. No Exemplo 5.3.2, também
calculamos todos os prolongamentos 𝜑𝑖,𝑗 de 𝜏𝑖, isto é, todos os Q( 3
√
2) - automorfismo de
Q( 3
√
2, 𝑧) em Q( 3
√
2, 𝑧), quando calculamos os dois prolongamentos de cada um dos três
𝜏 ′𝑖𝑠, resultando assim em seis Q( 3
√
2) - automorfismo de Q( 3
√
2, 𝑧) em Q( 3
√
2, 𝑧). Então, o
grupo de Galois de 𝑝(𝑥) será:
𝐺(𝑥3 − 2,Q) = {𝜑0,1, 𝜑0,2, 𝜑1,1, 𝜑1,2, 𝜑2,1, 𝜑2,2}.
Na figura 1, resumimos em diagrama o que dissemos nesse exemplo. Na Figura
2, mostramos os dois caminhos para construirmos o corpo de decomposição de 𝑝(𝑥) =
𝑥2 − 2. Poderemos cacular o grupo de Galois seguindo a torre Q ⊂ Q(𝑧) ⊂ Q( 3√2, 𝑧) ou
a torre Q ⊂ Q( 3√2) ⊂ Q( 3√2, 𝑧). Optaremos por esta última. Os números no diagrama
mostram o número de homomorfismos (ou prolongamentos) de cada extensão. O diagrama
é conhecido como diagrama comutativo.
Observações: Como dissemos anteriormente, há de se ter um pouco de habilidade
no cálculo do grupo de Galois. Pela definição, o grupo de Galois do polinômio 𝑝(𝑥) =
𝑥3− 2 é o grupo dos Q - automorfismo de Q( 3√2, 𝑧), mas esse grupo se obteve calculando
primeiro osQ - homomorfismo deQ( 3
√
2) emQ( 3
√
2, 𝑧) depois osQ( 3
√
2) - homomorfismo de
5.3. Extensões de Homomorfismos 87
Figura 1 – Diagrama do cálculo do grupo de Galois de 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 2
3
√
2
𝜏0
** 3√2
3
√
2
𝜏1 ++ 3√2𝑧
3
√
2
𝜏2 ++ 3√2𝑧2
Q 𝜙=𝑖𝑑 // Q( 3
√
2) 𝜏𝑖 // Q( 3
√
2, 𝑧) 𝜑𝑖,𝑗 // Q( 3
√
2, 𝑧)
𝑧 𝜑0,1 // 𝑧
3
√
2
𝜑0,1 = 𝜏0
&&
3
√
2
𝑧 𝜑0,2 // 𝑧2
3
√
2
𝜑0,2 = 𝜏0
&&
3
√
2
𝑧 𝜑1,1 // 𝑧
3
√
2
𝜑1,1 = 𝜏1
''
3
√
2𝑧
𝑧 𝜑1,2 // 𝑧2
3
√
2
𝜑1,2 = 𝜏1
''
3
√
2𝑧
𝑧 𝜑2,1 // 𝑧
3
√
2
𝜑2,1 = 𝜏2
''
3
√
2𝑧2
𝑧 𝜑2,2 // 𝑧2
3
√
2
𝜑2,2 = 𝜏2
''
3
√
2𝑧2
Fonte: o autor
88 Capítulo 5. Teoria de Galois
Figura 2 – Diagrama Comutativo da Extensão Q|Q( 3√2, 𝑧).
Q( 3
√
2, 𝑧)
Q( 3
√
2)
2
Q(𝑧)
3
Q
3 2
Fonte: o autor
Q( 3
√
2, 𝑧) em Q( 3
√
2, 𝑧). Dessa forma, saberemos como cada Q - automorfismo de Q( 3
√
2, 𝑧)
transforma as raízes de 𝑝(𝑥). Só para ilustrar o que acabamos de dizer, veremos como a
transformação 𝜑0,2 atua sobre as raízes de 𝑝(𝑥).
𝜑0,2( 3
√
2) = 3
√
2;
𝜑0,2( 3
√
2𝑧) = 𝜑0,2( 3
√
2) · 𝜑0,2(𝑧) = 3
√
2𝑧2;
𝜑0,2( 3
√
2𝑧2) = 𝜑0,2(3
√
2) · 𝜑0,2(𝑧2) = 3
√
2 · 𝜑0,2(𝑧) · 𝜑0,2(𝑧) = 3
√
2 · 𝑧2 · 𝑧2 = 3√2𝑧.
(5.3)
Então, se denotarmos cada raiz de 𝑝(𝑥) por um numero, ou seja, se fizermos 1
representar 3
√
2, 2 representar 3
√
2𝑧 e 3 representar 3
√
2𝑧2, perceberemos que 𝜑0,2 faz:
1 𝑒𝑚 // 1 ; 2 𝑒𝑚 // 3 ; 3 𝑒𝑚 // 2
ou ⎛⎝ 1 2 3
1 3 2
⎞⎠
Se tal procedimento for adotado com todos os elementos do grupo de Galois
𝐺(𝑥3 − 2,Q) = {𝜑0,1, 𝜑0,2, 𝜑1,1, 𝜑1,2, 𝜑2,1, 𝜑2,2},
as raízes de 𝑝(𝑥) assim, serão transformadas:
𝜑0,1 transforma:
1 𝑒𝑚 // 1 ; 2 𝑒𝑚 // 2 ; 3 𝑒𝑚 // 3
𝜑0,2 transforma:
1 𝑒𝑚 // 1 ; 2 𝑒𝑚 // 3 ; 3 𝑒𝑚 // 2
5.3. Extensões de Homomorfismos 89
𝜑1,1 transforma:
1 𝑒𝑚 // 2 ; 2 𝑒𝑚 // 3 ; 3 𝑒𝑚 // 1
𝜑1,2 transforma:
1 𝑒𝑚 // 2 ; 2 𝑒𝑚 // 1 ; 3 𝑒𝑚 // 3
𝜑2,1 transforma:
1 𝑒𝑚 // 3 ; 2 𝑒𝑚 // 1 ; 3 𝑒𝑚 // 2
𝜑2,2 transforma:
1 𝑒𝑚 // 3 ; 2 𝑒𝑚 // 2 ; 3 𝑒𝑚 // 1
Que, se representarmos tudo isso na forma de matrizes, poderemos dispor o grupo de
Galois como o grupo simétrico 𝑆3 :
𝜑0,1 =
⎛⎝ 1 2 3
1 2 3
⎞⎠ ;𝜑0,2 =
⎛⎝ 1 2 3
1 3 2
⎞⎠ ;𝜑1,1 =
⎛⎝ 1 2 3
2 3 1
⎞⎠ ;
𝜑1,2 =
⎛⎝ 1 2 3
2 1 3
⎞⎠ ;𝜑2,1 =
⎛⎝ 1 2 3
3 1 2
⎞⎠ ;𝜑2,2 =
⎛⎝ 1 2 3
3 2 1
⎞⎠ .
+ Não é exagero lembrar que, no corpo Q( 3
√
2, 𝑧), temos infinitos elementos e que o Q -
homomorfismo de Q( 3
√
2, 𝑧) leva raiz de 𝑝(𝑥) em raiz de 𝑝(𝑥). Nosso interesse e necessidade
reside neste último ponto, como o Q - homomorfismo de Q( 3
√
2, 𝑧) transforma essas raízes,
e, para isso, foi necessário primeiro estudarmos como o Q - homomorfismo de Q( 3
√
2) em
Q( 3
√
2, 𝑧), que denotamos por 𝜏, leva a raiz 3
√
2 nas próprias raízes de 𝑝(𝑥), em seguida,
devido 𝜏 não operar com o elemento 𝑧, prolongamos 𝜏 e obtivemos 𝜑, o Q - homomorfismo
de Q( 3
√
2, 𝑧) em Q( 3
√
2, 𝑧). Um outro ponto interessante, é que conjunto de todas as raízes
de 𝑝(𝑥) com a operação 𝐹 – automorfismo de 𝐸, sendo 𝐹 = Q e 𝐸 = Q( 3
√
2, 𝑧), nos dá o
grupo das permutações das raízes do polinômio (Corolário 5.3.1). Mas adiante, veremos
que o grupo Galois de um polinômio é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico 𝑆𝑛.
Vejamos mais um exemplo.
Exemplo 5.3.6. Vamos calcular o grupo de Galois do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2, que é
irredutível sobre Q. As quatro raízes de 𝑝(𝑥) são:
4√2, 4√2𝑖,− 4√2,− 4√2𝑖.
Então, 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 4√2)(𝑥 + 4√2)(𝑥 − 𝑖 4√2)(𝑥 + 𝑖 4√2). Perceba, que 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2 se
fatora em Q( 4
√
2, 𝑧), sendo que a menor extensão em que 4
√
2,− 4√2 pertencem é Q( 4√2) e
90 Capítulo 5. Teoria de Galois
as outras duas raízes 4
√
2𝑖, 4
√
2𝑖 pertencentes a extensão Q( 4
√
2, 𝑖). Como 4
√
2𝑖 ∈ Q( 4√2, 𝑖),
poderemos considerar Q( 4
√
2, 4
√
2𝑖) = Q( 4
√
2, 𝑖) e o polinômio mínimo de 𝑖 ∈ Q( 4√2, 𝑖) sobre
Q( 4
√
2) é 𝑥2 + 1.
Agora, seja 𝜏𝑘 : Q( 4
√
2)→ Q( 4√2, 𝑖) os Q - homomorfismo de Q( 4√2) em Q( 4√2, 𝑖).
Pelo Teorema 5.3.2, teremos quatro 𝜏𝑘 que podemos definir por 4
√
2→ 4√2𝑖𝑘 :
𝜏0 : 4
√
2 −→ 4√2 , 𝜏1 : 4
√
2 −→ 4√2𝑖, 𝜏2 : 4
√
2 −→ − 4√2, 𝜏3 : 4
√
2 −→ − 4√2𝑖.
Cada um desses quatros 𝜏𝑘, será prolongado somente a dois 𝜑𝑘,𝑗 : Q( 4
√
2, 𝑖) → Q( 4√2, 𝑖),
isto é, a dois 𝑄( 4
√
2) - homomorfismos de 𝑄( 4
√
2, 𝑖) em Q( 4
√
2, 𝑖), pois, o polinômio mínimo
de 𝑖 é 𝑥2+1. Definindo agora, temos, 𝜑𝑘,𝑗 : 𝑄( 4
√
2, 𝑖)→ 𝑄( 4√2, 𝑖) como 𝑖→ 𝑖(2𝑗+1), 𝑗 = 0, 1.
Temos assim:
𝜑0,0 :
4
√
2 −→ 4√2
𝑖 −→ 𝑖 𝜑0,1 :
4
√
2 −→ 4√2
𝑖 −→ −𝑖
𝜑1,0 :
4
√
2 −→ 4√2𝑖
𝑖 −→ 𝑖 𝜑1,1 :
4
√
2 −→ 4√2𝑖
𝑖 −→ −𝑖
𝜑2,0 :
4
√
2 −→ − 4√2
𝑖 −→ 𝑖 𝜑2,1 :
4
√
2 −→ − 4√2
𝑖 −→ −𝑖 ,
𝜑3,0 :
4
√
2 −→ − 4√2𝑖
𝑖 −→ 𝑖 𝜑3,1 :
4
√
2 −→ − 4√2𝑖
𝑖 −→ −𝑖 ,
Então, 𝐺(𝑝(𝑥),Q) = {𝜑0,0, 𝜑0,1, 𝜑1,0, 𝜑1,1, 𝜑2,0, 𝜑2,1, 𝜑3,0, 𝜑3,1}. Agora, “batizando”
as raízes, fazemos 1 ser 4
√
2, 2 ser 4
√
2𝑖, 3 ser − 4√2 e 4 ser − 4√2𝑖 e, realizando o mesmo
procedimento feito na Equação (5.3), veremos que 𝜑 realiza as seguintes transformações
no conjunto { 4√2, 4√2𝑖,− 4√2,− 4√2𝑖}.
𝜑0,0 transforma:
1 𝑒𝑚 // 1 ; 2 𝑒𝑚 // 2 ; 3 𝑒𝑚 // 3 ; 4 𝑒𝑚 // 4
𝜑0,1 transforma:
1 𝑒𝑚 // 1 ; 2 𝑒𝑚 // 4 ; 3 𝑒𝑚 // 3 ; 4 𝑒𝑚 // 2
𝜑1,0 transforma:
1 𝑒𝑚 // 2 ; 2 𝑒𝑚 // 3 ; 3 𝑒𝑚 // 4 ; 4 𝑒𝑚 // 1
𝜑1,1 transforma:
1 𝑒𝑚 // 2 ; 2 𝑒𝑚 // 1 ; 3 𝑒𝑚 // 4 ; 4 𝑒𝑚 // 3
𝜑2,0 transforma:
1 𝑒𝑚 // 3 ; 2 𝑒𝑚 // 4 ; 3 𝑒𝑚 // 1 ; 4 𝑒𝑚 // 2
𝜑2,1 transforma:
5.3. Extensões de Homomorfismos 91
1 𝑒𝑚 // 3 ; 2 𝑒𝑚 // 2 ; 3 𝑒𝑚 // 1 ; 4 𝑒𝑚 // 4
𝜑3,0 transforma:
1 𝑒𝑚 // 4 ; 2 𝑒𝑚 // 1 ; 3 𝑒𝑚 // 2 ; 4 𝑒𝑚 // 3
𝜑3,1transforma:
1 𝑒𝑚 // 4 ; 2 𝑒𝑚 // 3 ; 3 𝑒𝑚 // 2 ; 4 𝑒𝑚 // 1
Isto significa, que o grupo de Galois 𝐺(𝑝(𝑥),Q) é isomorfo a um subgrupo de 𝑆4
que é 𝐷 = {𝑖𝑑, (24), (1234), (12)(34), (13)(24), (13), (1432), (14)(23)}.
Diante de tudo o que vimos, devemos enfatizar dois pontos, O primeiro:
+ Da necessidade de trabalharmos com polinômios que não tenham raízes múlti-
plas.
E a segunda:
+ Da exigência de que a extensão 𝐿 seja um corpo de decomposição de 𝑝(𝑥).
Pois assim, garantimos a existência de raízes distintas e a existência de todas elas
num corpo. Além do mais, essas exigências nos possibilitará a encontrar o grupo de
Galois sem problemas. O fato de restringimos os polinômios terem raízes distintas, isso
não afetará a demostração do Teorema de Abel-Ruffini, pois, se acharmos pelo menos um
polinômio de grau cinco que não é resolúvel por radicais, concluímos que uma fórmula de
resolução geral não será possível.
Definição 5.3.4 (Extensão Normal). Uma extensão 𝐿|𝐹 é dita normal, se cada polinômio
pertencente a 𝐹 [𝑥], que tem pelo menos uma raiz em 𝐿, se decompõem em 𝐿. Isto é, uma
extensão normal é o corpo de decomposição de algum polinômio não nulo em 𝐹 [𝑥].
Exemplo 5.3.7. A extensão Q( 3
√
2) não é normal, pois não possui todas as raízes de
𝑥3 − 2. Já, Q( 3√2, 𝑧), com 𝑧 = 𝑒 2𝑘𝜋𝑖3 , é normal.
Exemplo 5.3.8. A extensão Q(𝑧), em que 𝑧 = 𝑒 2𝑘𝜋𝑖𝑛 ∈ C, é uma raiz enésima da unidade,
é normal, pois é corpo de decomposição de 𝑥𝑛 − 1. Logo, Q(𝑧)|Q é normal.
Exemplo 5.3.9. A extensão Q( 4
√
2, 𝑖) é normal, pois as raízes 4
√
2𝑒 𝑘𝜋𝑖2 , 𝑘 = 0, 1, 2 e 3, do
polinômio 𝑥4 − 2, estão contidas em Q( 4√2, 𝑖).
Teorema 5.3.4. Se 𝑝(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥] é um polinômio de grau 𝑛, então o grupo de Galois
𝐺(𝑝(𝑥), 𝐹 ) é isomorfo a um subgrupo 𝐻 do grupo simétrico 𝑆𝑛.
Demonstração. Para nossa demonstração, vamos representar cada elemento 𝜑 de𝐺(𝑝(𝑥), 𝐹 )
por uma permutação 𝜎 de 𝐻, para tanto, basta criar um isomorfismo entre o con-
junto 𝐺(𝑝(𝑥), 𝐹 ) e o subconjunto 𝐻 de 𝑆𝑛. Então, poderemos definir um homomorfismo
𝑓 : 𝐺(𝑝(𝑥), 𝐹 )→ 𝐻 ⊆ 𝑆𝑛, dado por:
𝜑(𝛽𝑛) = 𝛽𝜎(𝑛), para algum 𝜎(𝑛) ∈ {1, ..., 𝑛}
92 Capítulo 5. Teoria de Galois
onde 𝛽 é uma raiz de 𝑝(𝑥). Facilmente vemos que, se {𝛽1, 𝛽2, . . . , 𝛽𝑛} é o conjunto das
raízes de 𝑝(𝑥), temos
𝜑(𝛽1, 𝛽2, . . . , 𝛽𝑛) = 𝛽𝜎(1), 𝛽𝜎(2), . . . , 𝛽𝜎(𝑛) =⇒
⎛⎝ 1 2 · · · 𝑛
𝜎(1) 𝜎(𝑛) · · · 𝜎(𝑛)
⎞⎠ = 𝜎 (5.4)
e como 𝜑 é injetiva, pois é um homomorfismo de corpos, então 𝜎 de fato é uma permutação.
Claramente 𝜑 é sobrejetiva, pois, pela a implicação 5.4, se 𝐺(𝑝(𝑥), 𝐹 ) possui 𝑟 elementos,
então teremos 𝑟 permutações em 𝐻. Acabamos de mostrar a bijeção, falta mostrar que 𝑓
é de fato um homomorfismo de grupos. Vejamos:
𝜑1 ∘ 𝜑2(𝛽𝑛) = 𝜑1
(︁
𝜑2(𝛽𝑛)
)︁
= 𝜑1(𝛽𝜎2(𝑛)) = 𝛽𝜎1(𝜎2(𝑛)) = 𝛽𝜎1∘𝜎2(𝑛) =⇒ 𝜎1 ∘ 𝜎2(𝑛).
Assim,
𝑓
(︁
𝜑1 ∘ 𝜑2(𝛽𝑛)
)︁
= 𝛽𝜎1∘𝜎2(𝑛) = 𝛽𝜎1(𝜎2(𝑛)) = 𝜑1(𝛽𝜎2(𝑛)) = 𝜑1(𝜑2(𝛽𝑛)) = 𝑓(𝜑1)(𝑓(𝜑2)) =
𝑓(𝜑1) ∘ 𝑓(𝜑2).
Feito isto, basta lembrarmos, pelo Lema 5.3.1, que 𝐺(𝑝(𝑥),𝐹 ) é um grupo. Ora,
então 𝐻 também será um grupo, pois acabamos de ver que 𝐺(𝑝(𝑥), 𝐹 ) é isomorfo a
𝐻 ⊂ 𝑆𝑛. Terminamos a demonstração.
Exemplo 5.3.10. Temos no Exemplo 5.3.5 uma clara ilustração da proposição anterior,
onde 𝐺(𝑥3−2, 𝐹 ) é isomorfo a 𝑆3. Assim também, constatamos para o Exemplo 5.3.6 em
que 𝐺(𝑥4 − 2, 𝐹 ) é isomorfo a 𝐷 ⊂ 𝑆4.
Teorema 5.3.5. Se 𝑝(𝑥) possui todas as suas raízes distintas, e o corpo 𝐿 é uma extensão
normal, então ⃒⃒⃒
𝐺(𝑝(𝑥), 𝐹 )
⃒⃒⃒
= [𝐿 : 𝐹 ]
Demonstração. Seja a torre
𝐹 = 𝐸0 ⊂ 𝐸1 ⊂ 𝐸2 ⊂ · · · ⊂ 𝐸𝑖 ⊂ 𝐸𝑖+1 ⊂ · · ·𝐸𝑠 = 𝐿
em que 𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖(𝛼𝑖), onde 𝛼𝑖 é a raiz de 𝑝𝑖. Do Teorema 5.2.1, temos
[𝐸𝑖+1 : 𝐸𝑖] = 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑝𝑖.
Segue agora do Teorema 5.3.2 que, um 𝐸𝑖 - homomorfismo possui exatamente [𝐸𝑖+1 : 𝐸𝑖]
prolongamentos no 𝑖−é𝑠𝑖𝑚𝑜 passo da torre, então, como o grupo de Galois de 𝑝(𝑥) é o con-
junto de todos os 𝐹 - automorfismo de 𝐿, teremos no total
[𝐸1 : 𝐸0][𝐸1 : 𝐸2] · · · [𝐸𝑠 : 𝐸𝑠−1] = [𝐿 : 𝐹 ] 𝐹 - automorfismos de 𝐿. Logo,⃒⃒⃒
𝐺(𝑝(𝑥), 𝐹 )
⃒⃒⃒
= [𝐿 : 𝐹 ].
5.4. A Correspondência de Galois 93
5.4 A Correspondência de Galois
No Exemplo 5.2.9, encontramos o corpo e decomposição do polinômio 𝑥3 − 2
encontrando primeiro a extensão Q( 3
√
2) de Q em seguida a extensão Q( 3
√
2, 𝑧) de Q( 3
√
2),
surgindo assim, a cadeia de corpos Q ⊂ Q( 3√2) ⊂ Q( 3√2, 𝑧). O corpo Q( 3√2) é conhecido
geralmente como corpo intermediário ou corpo intermédio. Vimos também no mesmo
exemplo, que o corpo de decomposição do polinômio 𝑥3 − 2 sobre Q é uma extensão de
grau seis cujo grupo de Galois é isomorfo ao grupo simétrico 𝑆3. Nesse grupo simétrico,
podemos encontrar além da identidade quatro subgrupos cíclicos, sendo três grupos de
ordem dois e um grupo de ordem três. Estou me referindo respectivamente dos subgrupos:
⟨𝜑0,2⟩, ⟨𝜑1,2⟩, ⟨𝜑2,2⟩ e ⟨𝜑1,1⟩,
representadas pelas as respectivas permutações:
𝐻1 = ⟨(23)⟩, 𝐻2 = ⟨(12)⟩, 𝐻3 = ⟨(13)⟩ e 𝐻4 = ⟨(123)⟩.
Dispondo em diagrama, temos:
Figura 3 – Diagrama dos subgrupos de 𝐺 = 𝑆3
𝐺 = 𝑆3
𝐻1 𝐻2 𝐻3 𝐻4
{𝑖𝑑}
Fonte: o autor
Agora vamos dizer aonde queremos chegar. Existe uma relação entre o subcorpo
Q( 3
√
2) e o subgrupo 𝐻1. Essa relação se sucede da seguinte forma: O grupo 𝐻1 leva a raiz
2 na raiz 3, isto é, 3
√
2𝑧 em 3
√
2𝑧2 deixando 3
√
2 fixa – veja na figura 1, que realmente 𝜑0,2
faz isso. Isso nos permite concluir que, 𝐻1 fixa o corpo Q( 3
√
2). Para mostrar isso, basta
observar que não existe nenhum subcorpo de Q( 3
√
2, 𝑧) que contenha 3
√
2 além de Q( 3
√
2),
pois [Q( 3
√
2, 𝑧) : Q( 3
√
2)] = 2. Logo, realmente 𝐻1 fixa Q( 3
√
2). Mas o subcorpo Q( 3
√
2) não
é o único subcorpo intermediário determinado por um subgrupo, existem outros subcorpos
de Q( 3
√
2, 𝑧) e que podem ser encontrados por intermédio de cada subgrupo 𝐻2, 𝐻3 e 𝐻4.
Vejamos:
𝐻2 = ⟨(12)⟩ fixa 3, logo fixa Q( 3
√
2𝑧2).
𝐻3 = ⟨(13)⟩ fixa 2, logo fixa Q( 3
√
2𝑧).
94 Capítulo 5. Teoria de Galois
𝐻4 = ⟨(123)⟩, neste caso, percebemos que nenhuma raiz fica fixa, mas se termos
um pouco de habilidade e olharmos para 𝜑1,1vemos que 𝑧 é fixo, logo ⟨𝜑1,1⟩ = 𝐻4 fixa o
subcorpo Q(𝑧). Eis o diagrama que descreve essa correspondência:
Figura 4 – Diagrama da Correspondência de Galois do polinomio 𝑥3 − 2.
𝐺 = 𝑆3
𝑓𝑖𝑥𝑎
��
𝐻1
𝑓𝑖𝑥𝑎
��
𝐻2
𝑓𝑖𝑥𝑎
��
𝐻3
𝑓𝑖𝑥𝑎
��
𝐻4
𝑓𝑖𝑥𝑎
��
{𝑖𝑑}
𝑓𝑖𝑥𝑎
��
Q( 3
√
2, 𝑧)
Q( 3
√
2) Q( 3
√
2𝑧2) Q( 3
√
2𝑧) Q(𝑧)
Q
Fonte: o autor
Foi assim que Galois conseguiu fazer que um corpo correspondesse a um grupo, a
essa correspondência chamamos de Correspondência de Galois.
Definição 5.4.1 (Correspondência de Galois). Seja 𝐿 uma extensão de 𝐹. Se 𝐸 é uma
extensão intermediária, ou seja, 𝐿 ⊃ 𝐸 ⊃ 𝐹, é claro que todo 𝐸 - automorfismo de 𝐿 é
um 𝐹 - automorfismo de 𝐿. Portanto 𝐺(𝐿,𝐸) é um subgrupo de 𝐺(𝐿, 𝐹 ), pois 𝐺(𝐿,𝐸)
e 𝐺(𝐿, 𝐹 ) são grupos. Por outro lado, Se 𝐻 é um subgrupo de 𝐺(𝐿, 𝐹 ), o conjunto
𝐸𝐻 = {𝑎 ∈ 𝐿/𝜎(𝑎) = 𝑎,∀𝜎 ∈ 𝐻} dos pontos fixos por 𝐻 é uma extensão intermediária
𝐹 ⊆ 𝐸𝐻 ⊆ 𝐿. A esta correspondência entre extensões intermédia de 𝐹 ⊆ 𝐿 e subgrupos
de 𝐺(𝐿, 𝐹 ) chamamos de Correspondência de Galois.
Exemplo 5.4.1. Veja que 𝐸𝐻1 = {Q( 3√2)}.
Proposição 5.4.1. Seja 𝐸𝐻 = {𝑎 ∈ 𝐿/𝜎(𝑎) = 𝑎,∀𝜎 ∈ 𝐻} o conjunto dos pontos fixos
por 𝐻, em que 𝐻 é um subgrupo de 𝐺 = 𝐺(𝐿, 𝐹 ). Então 𝐸𝐻 é de fato um corpo.
Demonstração. Como estamos considerando somente 𝐹 - automorfismo, então 𝐸𝐻 contém
F, que é um corpo e, este sendo um corpo, 0, 1 ∈ 𝐹 . Se 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐸𝐻 , com 𝑏 ̸= 0, então:
𝜎(𝑎− 𝑏) = 𝜎(𝑎)− 𝜎(𝑏) = 𝑎− 𝑏, ∀𝜎 ∈ 𝐻
5.4. A Correspondência de Galois 95
Logo, 𝑎− 𝑏 ∈ 𝐸𝐻 .
𝜎(𝑎𝑏−1) = 𝜎(𝑎)𝜎(𝑏−1) = 𝑎𝑏−1, ∀𝜎 ∈ 𝐻
pois 𝐻 é um grupo, por isso 𝜎−1 ∈ 𝐻. Logo 𝐸𝐻 é um corpo.
Em essência, a correspondência de Galois é o par de aplicações:
{Corpos Intermédios de 𝐹 ⊂ 𝐿} {Subgrupos de 𝐺 = 𝐺(𝐿, 𝐹 )}
𝐸 // 𝐺(𝐿,𝐸)
𝐸𝐻 𝐻oo
Que em geral, não é uma bijeção, isto é, nem todo corpo intermédio 𝐸 de 𝐹 ⊂ 𝐿
faz corresponder a um subgrupo de 𝐺(𝐿, 𝐹 ) ou vice-versa. Para que essa correspondência
se comporte bem, isto é, seja bijetiva, devemos ter polinômios cujas raízes são todas
distintas e a extensão 𝐿 possuas todas as raízes desse polinômio.
A correspondência de Galois possui algumas propriedades importantíssimas que
valem apena dar uma conferida. Neste trabalho não iremos elencá-las assim como não
iremos realizar as demonstrações de alguns teoremas daqui em diante devidos sua comple-
xidade e também pelo nível deste trabalho, mas isso não prejudicará o nosso objetivo, uma
vez que que essas propriedades são pré-requisitos para demonstrações de outros teoremas.
Mais abaixo partiremos para o critério que Galois descobriu para que um polinômio seja
resolúvel por radicais. Mas antes vamos compreender alguns pré-requisitos.
Definição 5.4.2 (Extensão Pura). Uma extensão 𝐿 é dita pura se 𝐿 = 𝐹 (𝛽), onde 𝛽 ∈ 𝐿
é tal que 𝛽𝑚 ∈ 𝐹 para algum 𝑚 ∈ 𝑁, ou seja, 𝛽 é um radical de 𝐹.
Exemplo 5.4.2. A extensão Q( 3
√
2)|Q é pura pois, ( 3√2)3 = 2, assim como a extensão
Q( 3
√
2, 𝑧)|Q( 3√2), pois 𝑧3 = 1.
Definição 5.4.3 (Extensão por Radicais). Uma extensão 𝐿 de 𝐹 é uma extensão por
radicais se existir uma torre de corpos
𝐹 = 𝐸0 ⊆ 𝐸1 ⊆ 𝐸2 ⊆ · · · ⊆ 𝐸𝑖 ⊆ 𝐸𝑖+1 ⊆ · · · ⊆ 𝐸𝑠 = 𝐿
Tal que, cada 𝐸𝑖+1 é uma extensão pura de 𝐸𝑖. Isto é, se 𝛽 ∈ 𝐸𝑖+1, então 𝛽𝑚 ∈ 𝐸𝑖 para
algum 𝑚 ∈ 𝑁.
Exemplo 5.4.3. A extensão Q ⊂ Q( 4√2) ⊂ Q( 4√2, 𝑖) é uma extensão por radicais.
Exemplo 5.4.4. As raízes do polinômio 𝑥4 − 6𝑥2 + 7 ∈ Q[𝑥] são:
±
√︁
3±√2.
96 Capítulo 5. Teoria de Galois
A extensão por radical desse polinômio será Q(𝛽1, 𝛽2, 𝛽3), onde:
𝛽1 =
√
2, 𝛽2 =
√︁
3 + 𝛽1, 𝛽3 =
√︁
3− 𝛽1
Exemplo 5.4.5. O elemento
5
√︁
2− 3√2 +√3
7
√︁
1− 4√5
pertence à extensão:
Q
(︁
4√5 , 7
√︁
1− 4√5 , 3√2 , 5
√︁
2− 3√2 ,√3
)︁
se representarmos:
𝛽1 = 4
√
5 ; 𝛽2 =
7
√︁
1− 4√5 ; 𝛽3 = 3
√
2 ; 𝛽4 =
5
√︁
2− 3√2 ; 𝛽5 =
√
3.
teremos a torre:
Q(𝛽1) ⊂ Q(𝛽2) ⊂ Q(𝛽3) ⊂ Q(𝛽4 ⊂ Q(𝛽5)
onde cada Q(𝛽𝑖) é uma extensão pura de Q(𝛽𝑖−1), logo temos uma extensão por radicais.
Definição 5.4.4 (Polinômio Resolúvel por Radical). Um polinômio 𝑝(𝑥) se diz resolúvel
por radicais se seu corpo de decomposição está contido numa extensão de radicais de 𝑝(𝑥).
Em outros termos, se 𝐿 é o corpo de raízes (ou de decomposição) de 𝑝(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥]
e se 𝐿 está contido num corpo 𝑀 que é uma extensão radical de 𝐹, então 𝑝(𝑥) é resolúvel
por radicais. Esta definição é equivalente a dizer que qualquer elemento de 𝐿 – inclusive
as raízesde 𝑝(𝑥) – podem ser escritas, ou melhor, podem ser construídas a partir dos
elementos de 𝐹 usando as operações +, ·,÷ e *√, pois cada elemento de 𝐿 são combinações
de radicais de radicais de radicais... etc. Veja o exemplo acima.
Agora vamos mostrar a relação entre um polinômio ser solúvel por radicais e o seu
grupo de Galois.
Teorema 5.4.1 (Critério de Galois). Um polinômio é solúvel por radicais se, e somente
se, o seu grupo de Galois é um grupo solúvel.
Demonstração. Ver referência MEDEIROS (2013, p.30)
5.5 Teorema de Abel - Ruffini
“A equação algébrica geral de grau ≥ 5 não pode ser resolvida em radicais.”
Para a demonstração desse teorema, tomaremos por base um polinômio de grau 5
que possui três raízes reais distintas e, consequentemente, duas complexas. Desse modo,
provaremos o teorema para este polinômio e, se não pudermos escrever uma fórmula para
ele, então, não poderemos ter uma fórmula para o caso geral. Para a demonstração
5.5. Teorema de Abel - Ruffini 97
dos polinômios de grau maiores ou iguais a 6, faremos a construção destes polinômios
multiplicado o polinômio de grau 5, que foi escolhido acima, por uma potência adequada
de 𝑥.
Demonstração. Consideremos o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 6𝑥 + 3 ∈ Q[𝑥]. Uma análise com
derivadas e convexidade nos mostra que 𝑝(𝑥) possui duas raízes complexas não-reais que
são conjugadas entre si. Consideremos agora 𝐿 ⊆ C o corpo de decomposição de 𝑝(𝑥)
e 𝐺 = 𝐺(𝑝(𝑥), 𝐿) o seu grupo de Galois. Lembremos que, 𝑝(𝑥) possui todas as 5 raízes
distintas. Do Teorema 5.3.4, 𝐺 é isomorfo a um subgrupo de 𝑆5. Como 𝑝(𝑥) é irredutível,
temos do Teorema 5.2.1, que [𝐹 (𝑢) : 𝐹 ] = 5 para qualquer raiz 𝑢 de 𝑝(𝑥). Isso significa,
pelo Teorema da Torre, que 5 divide [𝐿 : Q] e, pelo Teorema 5.3.5, também divide
⃒⃒⃒
𝐺
⃒⃒⃒
. O
Teorema de Cauchy (Teorema 3.2.2) afirma que se 5 divide a ordem de 𝐺 então 𝐺 possui
um elemento de ordem 5. Desse modo, temos um 5− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 pela Proposição 3.2.7.
Por outro lado, um Q automorfismo de 𝐿 que leva uma raiz complexas à sua
conjugada e mantém as três raízes reais fixas, nos fornece uma transposição. Do Teorema
3.2.1, essa transposição em conjunto com um 5− 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 gera o grupo 𝑆5, logo 𝐺 = 𝑆5.
Do Teorema 3.3.4 𝑆5 não é um grupo solúvel e como 𝑆5 é o grupo de Galois
de 𝑝(𝑥), pelo critério de Galois (Teorema 5.4.1) 𝑝(𝑥) não é resolúvel por radicais. Se
podemos encontrar um polinômio cujas raízes não é possível escrever em função das
operações usuais, como é o caso de 𝑝(𝑥), então, não conseguiremos escrever uma fórmula
geral para se resolver qualquer equações do quinto grau. Para concluir, se multiplicarmos
𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 6𝑥+ 3 por 𝑥𝑡, obteremos qualquer polinômio de grau maior ou igual a cinco
assim, o polinômio 𝑥𝑡 ·𝑝(𝑥) também não será resolúvel por radical, pois quando se precisar
expor as raízes de 𝑝(𝑥) em radicais será impossível. Concluímos nossa demonstração.
99
Considerações Finais
O estudos das equações algébricas tiveram um importantíssimo papel na evolução
da álgebra. Neste trabalho, tivemos a oportunidade de conhecer um pouco dessa evolução.
De fato, com as equações do quinto grau, não se pode estabelecer um meio algébrico que,
pelo menos, deduza suas resoluções. Como tivemos a oportunidade de ver, o nível de
abstração para a compreensão deste estudo é de um certo modo elevado, pois, a partir de
um certo ponto da monografia, tivemos que considerar e trabalhar estruturas algébricas
complexas.
A demonstração do teorema de Abel-Ruffini pela teoria de Galois é um verdadeiro
passeio pelas estruturas algébricas de Grupos à Corpos. Na literatura, podemos ver a de-
monstração desse teorema baseando-se nas funções simétricas elementares dos polinômios,
mas, para nosso entendimento, fizemos o caminho menos complicado.
Em síntese, Galois construiu uma teoria nova ( fundando a álgebra moderna ) as-
sociando a cada polinômio, com coeficientes racionais, uma estrutura chamada de Grupo
de Galois. Vimos que este grupo é o grupo das permutações das raízes da equação que
preservam todas as relações algébricas satisfeitas por essas raízes e, algumas propriedades
da equação, como a solvabilidade da equação, são convertidas para as propriedades do seu
grupo de Galois, abordando desta forma, que a ênfase principal da dependência dos coe-
ficientes foi deslocada para o seu caráter algébrico. Também supôs-se, que os coeficientes
pertenceriam a um determinado campo de números ( no caso os racionais ) e a partir
daí, investigou-se a extensão deste campo por meio das raízes da equação. Mas quando
se tem que assumir que os coeficientes são variáveis, esta teoria deixa de ser totalmente
clara e assim, revela a deficiência desta teoria, porém, isso não tira seu mérito que trouxe
grandes contribuições, como no estudos das simetrias na Química e Física, por exemplo.
Aliás, existe uma prova conhecida como Prova Topológica do Teorema de Abel-Ruffini,
esta considera as equações algébricas com diferentes coeficientes e pode ser encontrada na
referência Zoladek (2000).
101
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	Folha de rosto
	Folha de aprovação
	Dedicatória
	Agradecimentos
	Epígrafe
	Resumo
	Abstract
	Lista de símbolos
	Lista de ilustrações
	Sumário
	Introdução
	Um Pouco da História
	A Origem das Equações
	As Fórmulas Algébricas
	Abel e Galois
	Deduções das Fórmulas das Equações de Grau n , com n4 .
	Equação do 1º grau, ou linear. (ax+b=0) 
	Equação do 2º grau, ou quadrática. (ax2+bx+c=0) 
	Equação do 3º grau, ou cúbica. (ax3+bx2+cx+d=0)
	Equação do 4º grau, ou quártica. (ax4+bx3+cx2+dx+c=0) 
	Teoria dos Grupos
	Grupos
	Grupo das Permutações
	Representações em Grupos
	Teoria dos Anéis
	Anéis
	Representações em Anéis
	Ideais e Anéis Quociente
	Anéis de Polinômios
	Teoria de Galois
	Extensões de Corpos
	Extensões Algébricas
	Extensões de Homomorfismos
	A Correspondência de Galois
	Teorema de Abel - Ruffini
	Considerações Finais
	Referências