Aula 10 - Conservacao Energia

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Física
Física – Módulo 1
Energia Potencial e
Conservação da Energia
Física
No capitulo anterior: Trabalho, Energia Cinética, Potência
O trabalho das forças resultantes que agem sobre um corpo é dado por:
∑∑∑∑ ∆∆∆∆==== xFWres
A energia cinética é dada por e sua variação, ∆∆∆∆K, 
ou ainda 
2
1
( )x
res
x
W F x dx= ∫
2
2
1
mvK ====
Trabalho é a variação da energia 
cinéticares xW F x K= ∆ = ∆∑
A potência é a taxa com que o trabalho é realizado num determinado tempo 
W dWP
t dt
∆
≡ =
∆
Física
Um outro tipo de energia…
Bloco preso por um fio
Um fio prende um corpo
com a mola comprimida
Força gravitacional Força Elástica
O que acontece quando cortamos o fio vermelho?
Física
Energia Potencial
Em ambos os casos anteriores o bloco realizará trabalho, pois 
existe uma energia armazenada devido a sua posição no sistema.
Esta energia, que depende da posição da partícula (configuração 
do sistema), é chamada de Energia Potencial (U). 
Relação entre energia potencial e trabalho:
U W−∆ =
Se a configuração do sistema mudar, a energia potencial 
também pode mudar.
O sinal negativo (-∆U) indica que o trabalho efetuado por uma força 
conservativa é igual a diminuição da função energia potencial
Física
x
y
O
Forças conservativas e energia potencial
Uma força é conservativa se o trabalho total que ela efetua sobre
uma partícula, quando ela se desloca num percurso fechado e
retorna a origem, for nulo.
Exemplos:
- Força da gravidade
- Força elástica de uma mola
O trabalho efetuado por uma
força conservativa sobre uma
partícula não depende da
trajetória da partícula ao
passar de um ponto para
outro.
A energia potencial existe apenas para forças conservativas.
Física
Energia potencial: definição
Variação de energia potencial
0
s
s
W d U= ⋅ = −∆∫F s
s0 define uma configuração de referência e s uma configuração geral
Energia potencial para uma dada configuração s:
0 0 0
0
s
s s s s
s
U U U U W U d= + ∆ = − = − ⋅∫F s
0s s
U U U∆ = −
Física
Energia potencial: definição (cont.)
Do ponto de vista físico, apenas as variações de energia potencial 
são relevantes. Pode-se sempre atribuir o valor zero à configuração 
de referência:
0
0sU =
Agora podemos aplicar esse conceito a alguns tipos de força:
• Força gravitacional (perto da superfície terrestre)
• Força elástica
Física
Energia potencial gravitacional
h0
0
( )
x
x
U W F x dx∆ = − = −∫
Neste caso, a força F que age sobre o
bloco é a força da gravidade, F=-mg, a
qual não varia com a distância (x) perto
da terra. Assim,
h
gU mgh=
Logo, a energia potencial gravitacional será dada por
para h0= 0
cosU W F xθ∆ = − = ∆
Física
Física
Configuração de referência: x0 = 0
∫ −−=
x
xdx)k()x(U
0
0
Teremos que 
Energia potencial elástica
Neste caso, a Força da mola varia 
linearmente com a posição (x): 
( )F x kx= −
1
1.
2.
1
3. ...
n
n
du u c
u
u du c
n
+
= +
= +
+
∫
∫
Integrando…
21
2el
U kx=
x0x
Física
Conservação da energia mecânica
Se a única força a efetuar trabalho sobre uma partícula for
conservativa, o trabalho é igual a diminuição da energia potencial do
sistema e também igual ao aumento da energia cinética do sistema
totalW d U K= ⋅ = −∆ = +∆∫F s
(a energia mecânica total de uma sistema não varia).
Portanto,
( ) 0K U K U∆ + ∆ = ∆ + =
A soma da energia cinética com a energia potencial do sistema é a
energia mecânica total E
constantemecE K U= + =
Física
Energia potencial gravitacional (campo uniforme) 
0
( ) 0 ( )
y
U y mg dy mgy= − − =∫
21 constante
2
E mv mgy= + =
Próximos da Terra a força gravitacional pode ser aproximada por
F = mg .
Tomando como referência para U o ponto y = 0 (U(0)=0):
mgyyU =)(
Conservação da energia:
Física
Força elástica e energia potencial elástica
Configuração de referência: x0= 0
2
0
1( ) 0 ( )
2
x
U x k xdx kx⇒ = − − =∫
2 21 1 constante
2 2
E mv kx= + =
2
max max
1
 e 0
2
v v x E mv= − = ⇒ =
210 e 
2
v x A E kA= = − ⇒ =
2
max max
1
 e 0
2
v v x E mv= = ⇒ =
210 e 
2
v x A E kA= = ⇒ =
210 e 
2
v x A E kA= = ⇒ =
Física
Conservação de energia mecânica
2 21 1
2 2
mv kx E+ =
Física
No limiar: N = 0
2
2b
b
v
mg m v gr
r
= ⇒ =
Por conservação de energia mecânica: 
Qual é a mínima altura h para que o corpo deslizando do ponto 
atinja o ponto b e complete o loop?
•N
r
gmr
Exemplo
No alto do loop (b), a força peso deve
ser igual a força centrípeta...
a b
a a b b
E E
U K U K
=
∆ + ∆ = ∆ + ∆
•
hr
m
b
a
Física
min
12
2
mgh mg r mgr= +
Exemplo (continuação)
a b
a a b b
E E
U K U K
=
∆ + ∆ = ∆ + ∆
2
min
10 2
2 b
mgh mg r mv+ = +
Substituindo 
2
bv gr=
•
hr
m
b
a
min
1 52 2,5
2 2
h r r r r= + = =
min 2,5h r=
Logo, a altura mínima para se completar o loop é de 2,5 vezes o raio do loop. 
Física
Trabalho de forças conservativas
Trabalho realizado pela força gravitacional ao longo do circuito 
fechado indicado:
0 0A B CW W W mgd mgLsenθ+ + = − + + =
d
L
A
B
C
θ
CBA →→
Física
Trabalho de Forças não-conservativas
Forças não-conservativas: seu trabalho depende da trajetória. 
Exemplos: força de atrito e força de arraste.
reta
/ 2 semi-círculo
C
c
c
mgd
mg d
µ
µ pi
−
= 
−
Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o 
trabalho da força de atrito depende da trajetória descrita pelo corpo.
=−=⋅=→ ∫ →
C
BAatratratr LfsdfBAW r
r
)(
Física
Conservação do Trabalho-Energia
Num sistema onde existem forças não-conservativas (Fnc) e forças
conservativas (F1, F2, ...), a energia mecânica total do sistema não
permanece constante.
1 2res ncF F F F= + +
Considere um sistema com as forças abaixo
O trabalho destas forças será igual a variação da energia cinética (∆K)
1 2total ncW W W W K= + + = ∆
Física
Para cada forças conservativas (Fi) podemos definir que
Wi = (-∆Ui)
1 2ncW U U K−∆ −∆ = ∆Logo, temos que
1 2nc mecW U U K E= ∆ + ∆ + ∆ = ∆
Conservação do Trabalho-Energia
Assim,
O trabalho efetuado por uma força não-conservativa que atua sobre
uma partícula é igual à variação da energia mecânica total do
sistema.
Teorema da conservação do trabalho-energia mecânica
Física
0 0atrito atrito mecW f L E= − < ⇒ ∆ <
No caso de forças como de atrito e de arraste, o trabalho é
sempre negativo (a força é sempre no sentido oposto ao
deslocamento):
Como o trabalho forças dissipativas é sempre negativo, a energia 
mecânica do sistema sempre diminui na presença delas.
Conservação do Trabalho-Energia
Física
A Conservação da Energia
A energia total de um sistema pode incluir outros tipos de
energia, como a energia térmica ou energia química, além da
energia mecânica.
O trabalho das forças dissipativas (e a consequente
diminuição da energia mecânica) é acompanhado de um aumento
da temperatura dos corpos em contato (aumento da agitação
térmica das moléculas):
variação da energia interna = - trabalho das forças dissipativas
int constantetotal mecE E E= + =
A energia total de um sistema isolado, mecânica mais interna, é conservada.
Em geral, há outras formas adicionais de energia (elétrica, magnética,...) que, uma 
vez adicionadas acima, fornecem uma quantidade que se conserva.
Física
Exemplo:
Um trenó de 5 kg escorrega com a velocidade inicial de 4 m/s. Sendo 0,14 o
coeficiente de atrito entre e a neve, qual a distância que o trenópercorrerá antes de
ficar em repouso?
Física
Exemplo (cont):