Dirigido 6 Cálculo 1 16S1 Unicamp

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Estudo Dirigido 6 - MA111 A e B - 1S16
Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o ou Mudanc¸a de
Varia´veis
Dando sequeˆncia ao Estudo Dirigido 5, cada propriedade da derivada gera
alguma propriedade da integral. E uma das mais importantes propriedades
da derivada e´ a regra da cadeia...
a) Use a regra da cadeia para mostrar que∫ g(b)
g(a)
f =
∫ b
a
(f ◦ g) · g′.
(Sugesta˜o: considere F uma primitiva de f e veja o que o Teorema
Fundamental do Ca´lculo tem a dizer.)
E´ comum usarmos varia´veis distintas na hora de reescrever a expressa˜o acima,
assim ∫ g(b)
g(a)
f(x) dx =
∫ b
a
f(g(u)) · g′(u) du,
ou ainda ∫ b
a
f(x) dx =
∫ g−1(b)
g−1(a)
f(g(u)) · g′(u) du.
Sa˜o estas expresso˜es que da˜o nome ao me´todo. Aqui, o que se considera e´
que x = g(u) e´ uma “mudanc¸a na varia´vel de integrac¸a˜o”. Se voceˆ se lembrar
da discussa˜o sobre Somas de Riemann, pode ser mais simples entender (ou
visualizar) essas fo´rmulas: f(g(u)) e´ simplesmente a func¸a˜o f , “escrita na
l´ıngua do u”. Pore´m, se o problema original (pensando em f positiva) era
calcular a a´rea sob o gra´fico da func¸a˜o f , quando a varia´vel x ia de a ate´ b,
precisamos traduzir todo esse problema “para a l´ıngua do u”. Se x vai de a
ate´ b, u vai de g−1(a) a g−1(b) (deve ser mais fa´cil visualizar isso pensando
em g crescente, mas entre os interessantes fatos e´ que a fo´rmula de mudanc¸a
de varia´vel na˜o depende disso). Por fim, se lembrarmos que nas somas de
Riemann t´ınhamos retaˆngulos com base ∆xi = xi − xi−1, devemos lembrar
que xi = g(ui) e que assim podemos bem aproximar ∆xi ≈ g′(ui) ∆ui, o que
inspira a noc¸a˜o (que pode ser tornada mais precisa, em outro contexto), que
dx = g′(u) du.
Para se acostumar com o me´todo e´ essencial “por a ma˜o na massa”.
1
b) Calcule
∫ pi
4
0
tan. (Sugesta˜o: use que tanu =
sen u
cosu
e fac¸a a substi-
tuic¸a˜o x = cosu.)
c) Aproveite o exemplo que voceˆ ja´ calculou e discuta como deve ser usada
a ideia de substituic¸a˜o para integrais indefinidas. (Cuidado: se um
problema e´ “dado na l´ıngua do x”, ele deve ser respondido “na l´ıngua
do x”.)
d) Calcule
∫
tan.
e) Calcule
∫
x
1 + x2
dx.
f) Calcule
∫
cos(ωt+ δ) dt.
Agora e´ hora de pegar mais experieˆncia. Para isso, a sugesta˜o e´ que voceˆ
escolha alguns (va´rios...) itens dos exerc´ıcios 2, 4, 5 e 7 do cap´ıtulo 19 do
Spivak. Depois, passeie pelo restante dos exerc´ıcios desse cap´ıtulo para ver
quanta coisa interessante ainda aparece ali... E, claro, a leitura do cap´ıtulo
tambe´m e´ altamente recomenda´vel.
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