Prova de GAAV com Gabarito

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Gabarito da Primeira Avaliac¸a˜o de GAAV
Professor: Daniel Leite
1. Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema linear pelo me´todo de escalonamento
de Gauss ou Gauss-Jordan.
3z − 9w = 6
5x + 15y − 10z + 40w = −45
4x + 12y − 2z + 14w = −24
x + 3y − z +5w = −7
soluc¸a˜o: Matriz aumentada
[A|B] =

0 0 3 −9 | 6
5 15 −10 40 | −45
4 12 −2 14 | −24
1 3 −1 5 | −7

Escalonamento:
[A|B] =

0 0 3 −9 | 6
5 15 −10 40 | −45
4 12 −2 14 | −24
1 3 −1 5 | −7
 L1 ↔ L4

1 3 −1 5 | −7
5 15 −10 40 | −45
4 12 −2 14 | −24
0 0 3 −9 | 6

L2 → L2 − 5L1
L3 → L3 − 4L1

1 3 −1 5 | −7
0 0 −5 15 | −10
0 0 2 −6 | 4
0 0 3 −9 | 6
 L1 ↔ L4
L2 → −15L2

1 3 −1 5 | −7
0 0 1 −3 | 2
0 0 2 −6 | 4
0 0 3 −9 | 6
 L3 → L3 − 2L2L4 → L4 − 3L2

1 3 −1 5 | −7
0 0 1 −3 | 2
0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 | 0

A u´ltima matriz esta´ na forma escalonada reduzida (forma de Gauss-Jordan).
Enta˜o, o sistema inicial e´ equivalente ao sistema:{
x + 3y − z + 5w = −7
z − 3w = 2
1
Como as colunas 2 e 4 na˜o teˆm pivoˆs, as varia´veis y e w sa˜o livres. Enta˜o,
na segunda equac¸a˜o temos z = 2 + 3w e na primeira x = −7− 3y+ z− 5w =
5− 3y − 2w. Portanto, a soluc¸a˜o geral e´
S = {(x, y, z, w); z = 2 + 3w e x = 5− 3y − 2w} =
= {(5− 3y − 2w, y, 2 + 3w,w); y, w ∈ R}
ou na forma de matrizes
S =


5− 3y − 2w
y
2 + 3w
w
 ; y, w ∈ R

2. Considere a matriz
A =
 1 1 −1−3 x x
1 0 −1

(b) Encontre os valores da inco´gnita x para os quais a matriz A seja invers´ıvel.
(c) Substitua x = 2 na matriz A e calcule A−1, caso exista.
Soluc¸a˜o:
(a) A matriz A e´ invers´ıvel se, e somente se, det(A) 6= 0.
det(A) = det
 1 1 −1−3 x x
1 0 −1
 = x− 3
Logo, det(A) 6= 0 se, e somente se, x 6= 3.
(b) Se x = 2, enta˜o
A =
 1 1 −1−3 2 2
1 0 −1

Ca´lculo da inversa de A:
[A|I4] =
 1 1 −1 | 1 0 0−3 2 2 | 0 1 0
1 0 −1 | 0 0 1

L2 → L2 + 3L1
L3 → L3 − L1
 1 1 −1 | 1 0 00 5 −1 | 3 1 0
0 −1 0 | −1 0 1
 L2 ↔ L3
2
 1 1 −1 | 1 0 00 −1 0 | −1 0 1
0 5 −1 | 3 1 0
 L2 → (−1)L2
 1 1 −1 | 1 0 00 1 0 | 1 0 −1
0 5 −1 | 3 1 0

L1 → L1 − L2
L3 → L3 − 5L2
 1 0 −1 | 0 0 10 1 0 | 1 0 −1
0 0 −1 | −2 1 5
 L3 → (−1)L3
 1 0 −1 | 0 0 10 1 0 | 1 0 −1
0 0 1 | 2 −1 −5
 L1 → L1 + L3
 1 0 0 | 2 −1 −40 1 0 | 1 0 −1
0 0 1 | 2 −1 −5

Portanto, A−1 =
 2 −1 −41 0 −1
2 −1 −5
.
3. Sem fazer a expansa˜o em cofatores, calcule o determinante da matriz us-
ando as propriedades vistas em nossas aulas.
Soluc¸a˜o:
1 1 1 1
1 1 + a 1 1
1 1 1 + b 1
1 1 1 1 + c
 L2 → L2 − L1L3 → L3 − L1
L4 → L4 − L1

1 1 1 1
0 a 0 0
0 0 b 0
0 0 0 c
 .
Enta˜o,
det

1 1 1 1
1 1 + a 1 1
1 1 1 + b 1
1 1 1 1 + c
 = det

1 1 1 1
0 a 0 0
0 0 b 0
0 0 0 c
 = abc.
4. Responda com falso ou verdadeiro, justificando com as propriedades es-
tudadas ou dando contraexemplo.
Sejam A, B e P matrizes quadradas de ordem n que se relacionam pela
equac¸a˜o A = PBP−1.
Enta˜o,
(a) det(A) = det(B).
(b) det(A− αIn) = det(B − αIn), para qualquer nu´mero real α.
(c) At = A, se P t = P−1.
3
Soluc¸a˜o:
(a)
Verdadeiro
det(A) = det(PBP−1) = det(P )det(B)det(P−1) = det(P )det(P )−1det(B) =
det(B).
(b)
Verdadeiro
det(A−αIn) = det(PBP−1−αIn) = det(PBP−1−αPP−1) = det(P (BP−1−
αP−1)) = det(P )det(BP−1−αP−1) = det(P )det((B−αIn)P−1) = det(P )det(B−
αIn)det(P
−1) = det(P )det(P−1)det(B − αIn) = det(B − αIn).
(c)
Falso
Se A = B =
[
1 1
0 1
]
e P = I2 =
[
1 0
0 1
]
, enta˜o At =
[
1 0
1 1
]
6= A.
4