MATA02 Lista 2

Prévia do material em texto

MATA02 Cálculo A - Lista 2
Prof. André Mandolesi
1) Determine onde as funções são contínuas.
a) f(x) =
√
1− x2
b) y(x) = ln(x2 − x− 6)
c) h(x) =
4
√
x+ 5
1− ex
d) f(t) =
√
2−√t
e) f(x) =
x3
ln |x|
f) f(θ) =
3
√
sen θ
cos θ
2
g) g(x) =

x2−x
x−1 se x 6= 1
1 se x = 1
h) f(x) =
exp
(
1
x
)
se x < 0
x2−9
x−3 se x ≥ 0
2) Identifique o tipo de descontinuidades as funções abaixo têm. Se for removível, redefina
a função em um ponto de modo a eliminar a descontinuidade.
a) f(x) =
|x|
x
b) f(h) =
h2 − 1
h+ 1
c) g(x) =
1
(x− 2)4
3) Calcule os limites.
a) lim
x→5
ln(x− 4)√
x+ 4
b) lim
x→−4
3
√
x2 − 16
x+ 4
c) lim
x→∞
∣∣∣∣7− 6x2x
∣∣∣∣ d) limx→−∞ tan(ex)
4) Estude o sinal das funções.
a) f(x) = x4 − x3 − 2x2
b) g(x) =
x2 − 4
x3 − 1
5) Use um estudo de sinal para:
a) resolver a inequação
x2 + 1
x
≤ 2
b) achar o domínio de f(x) =
√
x2 − 9
x+ 1
.
6) Veja se o Teorema do Valor Intermediário garante que f(x) =
12x3 − 4x2 − 13x− 4
2x− 1 se
anula em algum ponto dos intervalos abaixo. Se sim, divida o intervalo em pedaços de
tamanho 0,1 e use o Teorema para localizar o ponto com precisão de ±0,05 (use Excel
ou Planilha Google para facilitar). Trace o gráfico com um recurso computacional e
confira seus resultados.
a) [−1, 0] b) [0, 1] c) [1, 2]
Respostas e Dicas
1) a) [−1, 1]
b) (−∞,−2) ∪ (3,∞)
c) {x ≥ −5 e x 6= 0}
d) [0, 4]
e) {x 6= 0 e x 6= ±1}
f) {θ 6= ±pi,±3pi,±5pi, . . .}
g) R
h) {x 6= 0 e x 6= 3}
2) a) Salto, em x = 0. Lembre que |x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
b) Removível, em h = −1. Pode ser eliminada redefinindo f(h) =
{
h2−1
h+1
se h 6= −1
−2 se h = −1 .
c) Infinita, em x = 2.
3) a) 0
b) −2
c) 3
d) 0
4) a)
b)
5) a) {x ∈ R : x < 0 ou x = 1}
b) {x ∈ R : −3 ≤ x < −1 ou x ≥ 3}
6) a) Não garante, pois f(−1) e f(0) têm o mesmo sinal. Obs: note que, ainda assim, a
função se anula em x = −1
2
.
b) Não garante, pois embora f(0) e f(1) tenham sinais opostos, a função tem uma
descontinuidade nesse intervalo, em x = 1
2
.
c) Sim, pois a função é contínua nesse intervalo e os sinais de f(1) e f(2) são opostos.
Calculando o valor de f(x) em x = 1,1, x = 1,2, . . . , x = 1,9 vemos que a mudança
do sinal ocorre entre x = 1,3 e x = 1,4. Logo f(x) tem um zero em x ∼= 1,35 (±0,05).