2ª Lista de Exercícios - Cálculo Numérico I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
DISCIPLINA: Ca´lculo Nume´rico I 2016.1
PROFESSOR: Paulo de Souza Rabelo
Segunda Lista de Exerc´ıcios
1. Resolva os exerc´ıcios 1,7,10,11,12,15,16,18,19,20,23 e 25 do livro da Ma´rcia Ruggero.
2. Deseja-se obter a raiz positiva da equac¸a˜o bx2 + x − a = 0, a > 0 e b > 0, atrave´s do processo
iterativo definido por xk+1 = a− bx2k. Qual a condic¸a˜o que devemos impor para a e b para que
haja concergeˆncia?
3. Considere a fo´rmula para determinar a raiz cu´bica de Q:
xk+1 =
1
3
[
2xk +
Q
x2k
]
, k = 0, 1, · · · .
(a) Mostre que a fo´rmula acima e´ um caso especial da iterac¸a˜o de Newton.
(b) Usando a fo´rmula dada no item (a), calcule 3
√
4 com precisa˜o de 10−2, determinando o valor
inicial atrave´s de gra´fico.
4. A equac¸a˜o x = tg(x) tem uma raiz entre pi/2 e 3pi/2. Determina´-la pelo me´todo das secantes
com erro inferior a 10−3.
5. Determine uma raiz da equac¸a˜o sen(x)− xex = 0 usando o me´todo da falsa posic¸a˜o.
6. Aplique o me´todo da bissecc¸a˜o para encontrar uma soluc¸a˜o, com precisa˜o de 10−5, para a equac¸a˜o
2x+ 3cos(x)− ex = 0, para 0 ≤ x ≤ 1.
7. Use manipulac¸o˜es alge´bricas para mostrar que cada uma das seguintes func¸o˜es tem um ponto
fixado em z precisamente quando f(z) = 0, onde f(x) = x4 + 2x2 − x− 3.
(a) g1(x) = (3 + x− 2x2)1/4;
(b) g2(x) =
(
x+3−x4
2
)1/2
;
(c) g3(x) =
(
x+3
x2+2
)1/2
;
(d) g4(x) =
3x4+2x2+3
4x3+4x−1 .
8. Execute quatro iterac¸o˜es, se poss´ıvel, sobre cada uma das func¸o˜es g acima. Fac¸a x0 = 1 e
xn+1 = g(xn), para n = 0, 1, 2, 3. Qual func¸a˜o voceˆ pensa ser a melhor aproximac¸a˜o para a
soluc¸a˜o?
9. Quantas etapas sa˜o necessa´rias para calcular o zero de f(x) = ex − x − 2 usando o me´todo da
bissecc¸a˜o e erro inferior a 10−4?
10. Encontre todos os zeros de f(x) = x2 + 10cos(x) por usar o me´todo do ponto fixo para uma
func¸a˜o de iterac¸a˜o apropriada g. Use a precisa˜o de 10−4.
11. Use o me´todo de Newton para resolver a equac¸a˜o
0 =
1
2
+
1
4
x2 − xsen(x)− 1
2
cos(2x), com x0 = pi/2.
Use a precisa˜o de 10−5. Explique porque o resultado parece na˜o usual para o me´todo de Newton.
Tambe´m resolva a equac¸a˜o com os valores x0 = 5pi e x0 = 10pi.
12. O polinoˆmio de quarto grau
f(x) = 230x4 + 18x3 + 9x2 − 221x− 9
tem dois zeros reais, um em [−1, 0] e o outro em [0, 1]. Aproxime esses zeros com precisa˜o de
10−6 usando o
(a) Me´todo da Falsa Posic¸a˜o;
(b) Me´todo da Secante;
(c) Me´todo de Newton.
Use os extremos de cada intervalo como uma aproximac¸a˜o inicial em (a) e (b) e os pontos me´dios
como aproximac¸a˜o inicial em (c).
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