Diagrama de Blocos

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Modelagem de Sistemas Diagramas em Blocos Espaço de Estados
Modelagem, Diagramas em Blocos e Espaço de Estados
Prof. Ohara Kerusauskas Rayel
Disciplina de Sistemas de Controle 1 - ET76H
Curitiba, PR
15 de março de 2016
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Função de Transf. para Circuitos Elétricos
Os circuitos elétricos trabalham basicamente com 3 componentes:
resistor, capacitor e indutor.
Componente Tensão Corrente Tensão/Carga Impedância
v(t) =
1
C
∫
t
0
i(τ)dτ i(t) = C
dv(t)
dt
v(t) =
1
C
q(t)
1
Cs
v(t) = Ri(t) i(t) =
1
R
v(t) v(t) = R
dq(t)
dt
R
v(t) = L
di(t)
dt
i(t) =
1
L
∫
t
0
v(τ)dτ v(t) = L
d2q(t)
dt2
Ls
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Função de Transf. para Circuitos Elétricos
Exemplo 1: Considere o circuito elétrico simples ilustrado a seguir:
+
-
+
-
v(t)
L R
vC(t)
i(t)
C
Aplicando-se a lei de somatório de tensão de malha do circuito
ilustrado acima, temos:
v(t) = L
di(t)
dt
+Ri(t) +
1
C
∫ t
0
i(τ)dτ.
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Função de Transf. para Circuitos Elétricos
Aplicando-se a transformada de Laplace e considerando-se as
condições iniciais nulas, tem-se:
V (s) = Ls× I(s) +R× I(s) +
1
Cs
× I(s),
Para obtermos VC(s)/V (s) substituimos I(s) por VC(s)Cs.
V (s) = LsVC(s)Cs+RVC(s)Cs+ VC(s).
Portanto, a função de transferência entre a entrada e saída do
circuito elétrico abordado é:
VC(s)
V (s)
=
1
LCs2 +RCs+ 1
.
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Função de Transf. para Circuitos Elétricos
Agora, considere um circuito elétrico mais complexo,
+
-
+
-
v(t)
R1 R2
vC(t)
)
CLi1(t) i2(t)
sendo i1(t) e i2(t) correntes de malha.
As equações diferenciais do somatório de tensão de malha do
circuito elétrico ilustrado anteriormente são:
Rii1(t) + L
d(i1(t)− i2(t))
dt
= v(t),
L
di2(t)
dt
+R2i2(t) +
1
C
∫ t
0
i2(τ)dτ − L
di1(t)
dt
= 0.
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Função de Transf. para Circuitos Elétricos
Aplicando-se a transformada de Laplace e considerando-se as
condições iniciais nulas, obtém-se:
R1I1(s) + LsI1(s)− LsI2(s) = V (s),
LsI2(s) +R2I2(s) +
1
Cs
I2(s)− LsI1(s) = 0.
Neste exemplo podemos encontrar várias funções de transferência,
tais como: VC(s)/I2(s), VC(s)/I1(s) e VC(s)/V (s). Abordaremos
a função VC(s)/V (s).
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Função de Transf. para Circuitos Elétricos
Inicialmente isolamos I1(s).
I1(s) =
LsI2(s) +R2I2(s) + I2(s)/Cs
Ls
Sabendo que I2(s) = VC(s)Cs, então,
V (s) = R1
LsVC(s)Cs+R2VC(s)Cs+ VC(s)
Ls
+ Ls
LsVC(s)Cs+R2VC(s)Cs+ VC(s)
Ls
− LsVC(s)Cs.
V (s) = R1VC
LsCs+R2Cs+ 1
Ls
+ LsVC
[
LsCs+R2Cs+ 1
Ls
− Cs
]
.
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Função de Transf. para Circuitos Elétricos
Portanto,
VC(s)
V (s)
=
Ls
R1LCs2 +R1R2Cs+R1 + L2Cs3 +R2LCs2 + Ls− L2Cs3
.
VC(s)
V (s)
=
Ls
(R1 +R2)LCs2 + (R1R2C + L)s+R1
Perceba que circuitos em cascata não podem ter suas funções de
transferência cascateadas, pois uma malha exerce influência sobre a
outra!
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Amplificador Operacional (Amp OP)
O Amp OP é um amplificador CC multiestágio com entrada
diferencial cujas características se aproximam das de um
amplificador ideal.
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Amplificador Operacional (Amp OP)
Características do Amp OP ideal:
Resistência de entrada infinita
Resistência de saída nula
Ganho de tensão infinito
Resposta em frequência infinita
Insensibilidade à temperatura
„
„
„
„
„
q
8
7
6
5
1
2
3
4
NC
OUTPUT
VEE
IN1 (-)
IN1 (+)
VCC
OFFSET
NULL
OFFSET
NULL
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Considere o seguinte circuito:
Vo(s)
Z2(s)
= I2(s) e
Vi(s)
Z1(s)
= I1(s)
Como I1(s) = −I2(s), a função de transferência da tensão de
entrada Vi(s) para a tensão de saída Vo(s) é dada por:
Vo(s)
Vi(s)
= −
Z2
Z1
.
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Então, considere outro circuito eletrônico, conforme ilustrado a
seguir,
Inicialmente, calcula-se a impedância Z1(s),
Z1(s) =
R1
R1C1s+ 1
=
360× 103
2,016s + 1
.
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O próximo passo é determinar o valor de Z2(s),
Z2(s) = R2 +
1
C2s
= 220× 103 +
107
s
.
Portanto, temos que:
Vo(s)
Vi(s)
= −
Z2(s)
Z1(s)
= −1,232
s2 + 45,95s + 22,55
s
.
Calcule Vo(s)
Vi(s)
!
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Resposta
Vo(s)
Vi(s)
=
C2C1R2R1s
2 + (C2R2 + C1R2 + C1R1)s+ 1
C2C1R2R1s2 + (C2R2 + C1R1)s+ 1
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Diagramas em Blocos
Em um sistema representado por Diagrama de Blocos, cada Bloco
representa a função de transferência de um sub-sistema
Existem várias formas de interconexão, mostradas a seguir
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Diagramas em Blocos
Vantagens: é fácil formar o diagrama, basta conectar blocos. É
possível avaliar a contribuição de cada componente para o
desempenho do sistema.
Geralmente é mais fácil examinar o Diagrama em Blocos que o
sistema em si, já que apenas o comportamento dinâmico é
representado, sem detalhes da construção do sistema
Um mesmo sistema pode ser representado com diferentes diagramas
em blocos, depende do ponto de visão
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Cascata
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Cascata
Cuidado! Circuitos em cascata não podem ter suas funções de
transferência multiplicadas!
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Paralela
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Realimentação
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RealimentaçãoSinal de Erro - E(s) = X(s)− Y (s)P2(s)
Sinal de Realimentação - B(s) = E(s)P1(s)P2(s)
Sinal de Saída - Y (s) = E(s)P1(s)
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Realimentação
Função de transferência em malha aberta (FTMA) - Razão
entre o sinal de realimentação e o sinal de erro - B(s)
E(s) = P1(s)P2(s)
Função de transferência de alimentação direta (FTAD) -
Razão entre o sinal de saída e o sinal de erro Y (s)
E(s) = P1(s)
Função de transferência em malha fechada - Razão entre o sinal
de saída e o sinal de entrada Y (s)
X(s) =
P1(s)
1±P1(s)P2(s)
= FTAD1±FTMA
Equação Característica - 1± P1(s)P2(s)
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Distúrbio
Encontre a equação para a saída C(s)
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Distúrbio
Encontre a equação para a saída C(s)
C(s) = G2(s)1+G1(s)G2(s)H(s) [G1(s)R(s) +D(s)]
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Movimentação de Blocos
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Movimentação de Blocos
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Simplificações
Cascateamento Y = (P1P2)X
Combinando blocos
em paralelo
Y = P1X ± P2X
Removendo blocos de
uma realimentação
avante
Y = P1X ± P2X
Eliminando a
realimentação
Y =
P1X
1 ± P1P2
Removendo blocos de
uma realimentação
Y =
P1X
1 ± P1P2
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Simplificações
Rarranjando Junções
de Soma
Z = W ± X ± Y
Movendo uma Junção
de Soma para trás
Z = PX ± Y
Movendo uma Junção
de Soma para frente
Z = P (X ± Y )
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Simplificações
Movendo um ponto
para trás
Y = PX
Movendo um ponto
para frente
Y = PX
Movendo um ponto
para trás de uma
Junção de Soma
Z = W ± X X
Movendo um ponto
para frente de uma
Junção de Soma
Z = X ± Y
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Simplificações
Simplificação de Diagramas facilita muito a análise matemática
Quando simplificar um Diagrama em Blocos, lembre-se que a
função de transferência final deve permanecer a mesma
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Espaço de estados
Existem duas maneiras de modelar um sistema de controle
Técnica clássica - domínio da frequência
Espaço de estados - domínio do tempo
Cada abordagem apresenta vantagens e desvantagens.
Ambas descrevem o sistema na forma de equações diferenciais
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Abordagem clássica - domínio da frequência
Vantagens:
Simples de ser aplicada
Fácil de trabalhar com subsistemas
Fornecem rapidamente informações sobre a estabilidade e resposta
→ Rapidamente se realiza um projeto.
Desvantagens:
Só vale para sistemas LIT
O projeto sempre se baseia em aproximações de segunda ordem
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Abordagem moderna - domínio do tempo
A abordagem de espaço de estado consiste em se encontrar:
Um conjunto de equações diferenciais arranjadas na forma de uma
matriz que descreve a dinâmica do sistema
Um conjunto de variáveis que descrevem o estado atual do sistema
Sendo conhecida a função de entrada, é possível determinar os
estados futuros e a saída futura do sistema.
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Abordagem moderna - domínio do tempo
Apesar de matematicamente mais complexo:
Vale para sistemas que não são LIT
Vale para sistemas MIMO
O projeto de controladores observa todos os pólos do sistema →
Não se baseia em aproximações
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Exemplo - Espaço de estados
Um sistema representado na forma de espaço de estados pode ser descrito
pelas equações:
x˙ = Ax+Bu
y = Cx+Du
Onde:
x = vetor de estado
x˙ = derivada do vetor de estado
y = vetor de resposta
u = vetor de entrada
A = matriz de sistema
B = matriz de entrada
C = matriz de saída
D = matriz de transmissão direta
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Exemplo
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Exemplo - Domínio da frequência
v(t) = L
diL(t)
dt
+RiL(t)−RiC(t) = L
diL(t)
dt
+ vC(t)
vC(t) +RiC(t)−RiL(t) = 0
Para encontrar g(t) = vC(t)
v(t) , temos que encontrar iL(t) em função
de vC(t) na segunda equação, e inserir o resultado na primeira.
Sabemos que iC(t) = C
dvC(t)
dt
. Inserindo isto na segunda equação,
temos
vC(t) +RC
dvC(t)
dt
−RiL(t) = 0
iL(t) =
vC(t) +RC
dvC(t)
dt
R
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Exemplo - Domínio da frequência
Logo,
v(t) =
L
R
dvC(t)
dt
+
RLC
R
d2vC(t)
dt2
+ vC(t)
Utilizando as propriedades da Transformada de Laplace
V (s) =
L
R
sVC(s) +
RLC
R
s2VC(s) + VC(s)
G(s) =
VC(s)
V (s)
=
1
LC
s2 + s
RC
+ 1
LC
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Exemplo - Espaço de estados
Para escrever as equações de estado do circuito, devemos primeiro
identificar os componentes que armazenam energia. Neste caso,
indutor e capacitor.
Como o indutor armazena energia em forma de corrente, e o
capacitor em forma de tensão, as variáveis de estado a serem
escolhidas são iL(t) e vC(t).
Como vL(t) e iC(t) não são variáveis de estado, devemos expressar
vL(t) e iC(t) como funções de iL(t), vC(t) e da entrada v(t).
Assim,
v(t) = L
diL(t)
dt
+RiL(t)−RiC(t) = L
diL(t)
dt
+ vC(t)
vC(t) +RiC(t)−RiL(t) = 0→ vC(t) +RC
dvC(t)
dt
−RiL(t) = 0
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Exemplo - Espaço de estados
Agora basta isolar as derivadas das variáveis de estado
diL(t)
dt
=
v(t)− vC(t)
L
dvC(t)
dt
=
iL(t)
C
−
vC(t)
RC
[
˙vC
˙iL
]
=
[
−
1
RC
1
C
−
1
L
0
] [
vC
iL
]
+
[
0
1
L
]
vt
vC =
[
1 0
] [ vC
iL
]
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Exemplo - Espaço de estados
[
˙vC
˙iL
]
=
[
−
1
RC1
C
−
1
L
0
] [
vC
iL
]
+
[
0
1
L
]
v
vC =
[
1 0
] [ vC
iL
]
Os λ autovalores de A (det(A− λI) = 0) são os pólos de G(s)
A função de transferência pode ser obtida fazendo
T (s) = C(sI −A)−1B +D → Teste no MATLAB
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Modelagem de Sistemas Diagramas em Blocos Espaço de Estados
Exercícios
Exercícios para estudo: refazer os realizados em sala de aula, além
dos seguintes Exercícios de Avaliação (Skill-Assessment) do livro
“Engenharia de sistemas de controle": 2.6, 2.7, 3.1 e 3.4.
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Modelagem de Sistemas Diagramas em Blocos Espaço de Estados
Próxima Aula:
Resposta transitória!
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	Modelagem de Sistemas
	Função de Transferência para Circuitos Elétricos
	Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
	Diagramas em Blocos
	Simplificação
	Espaço de Estados