Estabilidade de Sistemas

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Introdução - Estabilidade Análise de Estabilidade Routh-Hurwitz Espaço de Estados
Estabilidade
Prof. Ohara Kerusauskas Rayel
Disciplina de Sistemas de Controle 1 - ET76H
Curitiba, PR
05 de abril de 2016
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Rayel, O.K. — Estabilidade
Introdução - Estabilidade Análise de Estabilidade Routh-Hurwitz Espaço de Estados
Introdução - Estabilidade
Assegurar a estabilidade em malha fechada é fundamental
Sistema estável −→ Saída limitada para entrada limitada
Estabilidade está relacionada com as raízes da equação
característica da FTMF
Método de Routh-Hurwitz ajudará a inspecionar a posição destas
raízes no plano s
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Estabilidade - Conceito
Na prática, sistema instáveis não têm utilidade. O projeto deve
resultar sistemas estáveis em malha fechada
Algumas instáveis em malha aberta podem ser estabilizadas
utilizando-se realimentação
Para plantas estáveis em malha aberta utiliza-se a realimentação
para atingir melhor desempenho
Analisando-se sistemas realimentados, pode-se dizer se eles são
estáveis ou não. Este tipo de caracterização estável/não estável é
denominado de estabilidade absoluta
Dado um sistema estável em malha fechada, é possível caracterizar
também o grau de estabilidade, a denominada estabilidade relativa
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Estabilidade - Conceito
O conceito de estabilidade pode ser ilustrado pela figura abaixo:
Empurrando-se levemente o cone ilustrado em (a), ele permanece
em sua posição de equilíbrio. Neste caso o sistema é estável
Em (b), empurrando-se levemente o cone, ele gira sobre sua geratriz
e deste modo se desloca de sua posição original. Neste caso o
sistema tem estabilidade neutra
Em (c), se o cone for abandonado ele cai para um dos lados. Neste
caso o sistema é dito ser instável
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Estabilidade via Função de Transferência
A estabilidade em sistemas dinâmicos é semelhante ao caso do cone
Da definição de estabilidade, um sistema linear é estável se a
resposta ao impulso g(t) tende a zero quando t→∞
∫
∞
0
|g(t)|dt⇒ Valor Finito
Na aula passada, vimos que a localização dos pólos indica a
resposta transitória resultante
Pólos no semiplano s esquerdo resultam em respostas decrescentes
a sinais de entrada
Pólos simples sobre o eixo jω e no semiplano da direita resultam em
respostas oscilatórias e crescentes, respectivamente
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Estabilidade via Função de Transferência
FTMF caracteriza a estabilidade
Pólos à esquerda do eixo jω geram exponenciais decrescentes na
resposta temporal
L
−1
[
1
s+ a
]
= e−atu(t), sendo a ∈ ℜ > 0
Pólos à direita do eixo jω geram exponenciais crescentes na
resposta temporal
L
−1
[
1
s− a
]
= eatu(t), sendo a ∈ ℜ > 0
Pólos complexos conjugados sobre o eixo jω geram oscilações
constantes na resposta temporal
L
−1
[
ω
s2 + ω2
]
= sen(ωt)u(t), sendo ω ∈ ℜ
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Estabilidade no Plano s
Exemplo - Sistema Passou de Estável para Instável
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Teorema da Estabilidade BIBO
O sistema SISO (Single Input Single Output) é BIBO (Bounded
Input Bounded Output) estável se e somente se a resposta ao
impulso g(t) é absolutamente integrável em [0,∞)
∫
∞
0
|g(t)|dt ≤M <∞.
sendo M uma constante.
Um sistema SISO com função de transferência em malha aberta
G(s) é BIBO estável se e somente se todos os pólos de G(s) têm
parte real negativa.
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Limitações
Os critérios de estabilidade apresentados até aqui possuem algumas
limitações, dentre elas:
Nem sempre é possível encontrar a função de transferência em
malha fechada do sistema
Mesmo quando sabemos função de transferência em malha fechada,
pode ser difícil encontrar as raízes da equação característica
(quando o grau aumenta)
Antes de implementar o sistema na prática, pode não ser possível
obter sua a resposta ao impulso
Nestes casos, técnicas computacionais para obtenção das raízes da
equação característica são necessárias
Alternativa: Critério de Routh-Hurwitz
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Critério de Routh-Hurwitz
Edward John Routh (1831-1907) Adolf Hurwitz (1859-1919)
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Tabela de Routh Básica
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Tabela de Routh Básica
1a linha: Coeficiente da maior
potência do polinômio do
denominador da FTMF, pulando
uma potência por coluna até o final
da 1a linha
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Tabela de Routh Básica
2a linha: Coeficiente da 2a maior
potência do polinômio do
denominador da FTMF, pulando
uma potência por coluna até o final
da 1a linha e preenchendo com
zeros quando não houver mais
potências
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Tabela de Routh Básica
3a linha: Determinante negativo da
matriz cuja 1a coluna possui os
coeficientes das duas linhas
imediatamente superiores da 1a
coluna à esquerda e a 2a coluna é
formada pelas duas linhas
imediatamente superiores da coluna
imediatamente à direita,
preenchendo com zeros quando for
a última coluna à direita. Divide-se o
resultado pelo coeficiente da linha
imediatamente superior da 1a coluna
à esquerda
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Tabela de Routh Básica
4a linha em diante: mesmo
procedimento da 3a linha.
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Analisando a Tabela de Routh
Número de pólos no semiplano à direita de jω é igual ao número de
mudanças no sinal da primeira coluna da tabela de Routh
Portanto, um sistema só é estável se não houver mudanças de sinal
na primeira coluna da tabela
Exemplo:
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Projeto de estabilidade via Routh-Hurwitz
Determinar a faixa de valores positivos de ganho K para que o
sistema a seguir seja estável.
A função de transferência em malha fechada será:
T (s) =
K
s(s+7)(s+11)
1 + K
s(s+7)(s+11)
=
K
s3 + 18s2 + 77s +K
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Projeto de estabilidade via Routh-Hurwitz
T (s) =
K
s3 + 18s2 + 77s +K
Portanto, se o ganho K for menor que 1386, a realização do
sistema é estável.
Para o ganho K for maior que 1386, a realização do sistema é
instável, pois ocorrem duas mudanças de sinal, o que significa que
existem dois pólos à direita do eixo jω.
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Tabelas de Routh Especiais
Ocorrência de um zero na primeira coluna:
Divisão do determinante da próxima linha por zero −→ impossível
Substitui-se o 0 por ǫ
Faz-se com que ǫ tenda a 0 por valores positivos e negativos, de
modo que os sinais da primeira coluna possam ser determinados
Se não houver mudanças de sinal, existem pólos complexos
conjugados
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Tabelas de Routh Especiais
Exemplo: T (s) = 10
s5+2s4+3s3+6s2+5s+3
Como tanto com ǫ negativo como com ǫ positivo ocorrem
mudanças de sinal, conclui-se que o mesmo possui dois pólos do
semiplano à direita de jω.
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Tabelas de Routh Especiais
Ocorrência de uma linha inteira de zeros (polinômio par é fator do
polinômio original):
Retorna-se à linha imediatamente superior à linha formada por zeros
Forma-se um polinômio par auxiliar utilizando os elementos dessa
linha como coeficientes. Todas as linhas da tabela abaixo da linha
deste polinômio par dirão respeito às raízes deste polinônio
Polinômios pares têm por característica simetria em suas raízes em
relação à origem
Deriva-se este polinômio par e utiliza-se os coeficientes do
polinômio resultante para substituir a linha de zeros
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Tabelas de Routh Especiais
Polinômio par possui raízes simétricas em relação à origem
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Projeto de estabilidade via Routh-Hurwitz
T (s) =
K
s3 + 18s2 + 77s +K
No caso em que o ganho K é igual a 1386, temos uma linha de
zeros.
O polinômio par auxiliar será:
P (s) = 18s2 + 1386
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Projeto de estabilidade via Routh-Hurwitz
dP (s)
ds
= 36s
Portanto o valor a substiuir é 36, o que não altera o sinal na
primeira coluna da tabela, o que implica em 0 raízes no semiplano
direito. Como as linhas inferiores dizem respeito apenas à posição
das raízes do polinômio par auxiliar, conclui-se que existem 2 pólos
simétricos sobre o eixo jω, já que não existem raízes no semiplano
direito que implicariam em raízes simétricas no semiplano esquerdo.
Portanto, para K = 1386 o sistema é marginalmente estável.
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Estabilidade no Espaço de Estados
Sistema representado na forma de espaço de estados:
x˙ = Ax+Bu
y = Cx+Du
Os λ autovalores de A (det(A− λI) = 0) são os pólos de G(s)
Portanto, através dos autovalores de A pode-se definir a
estabilidade do sistema
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Estabilidade no Espaço de Estados
x˙ =

 0 3 12 8 1
−10 −5 −2

x+

 100
0

u
y =
[
1 0 0
]
x
Fazendo det(A− λI), temos s3 − 6s2 − 7s− 52, cujas raízes são
−0, 8821 ± 2, 4330i e 7, 7642. E se não conseguíssemos obter estas
raízes facilmente?
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Estabilidade no Espaço de Estados
Routh-Hurwitz do polinômio s3 − 6s2 − 7s − 52!
Como o sinal muda apenas 1 vez, temos 1 pólo no semiplano
direito, e 2 no semiplano esquerdo.
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Exercícios
Considere o seguinte sistema de controle.
qual a relação entre K e a para que o sistema ilustrado acima seja
estável? Resp:
a ≤
(60−K)(K + 6)
36K
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Exercícios
Exercícios para estudo: refazer os realizados em sala de aula, além
dos seguintes Exercícios de Avaliação (Skill-Assessment) do livro
“Engenharia de sistemas de controle": 6.1, 6.2, 6.3 e 6.4.
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Próxima Aula:
Semana Acadêmica do
DAELT!
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