Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência

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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Prof. Ohara Kerusauskas Rayel
Disciplina de Sistemas de Controle 1 - ET76H
Curitiba, PR
14 de junho de 2016
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Revisão de resposta em frequência
Sinais estreitos no domínio no tempo têm banda larga
As componentes de alta frequência fazem o sistema reagir mais
rapidamente
Os compensadores atuam como filtros que atenuam ou amplificam
as componentes que nos interessam para melhorar a resposta do
sistema!
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Características dos compensadores/filtros
Controladores PI e Atraso de Fase
Reduzem o erro de estado estacionário mas deixam o sistema mais
lento → Passa-baixa
Controladores PD e Avanço de Fase
Melhoram a resposta transitória (menor tempo de estabelecimento
e de subida) → Passa-alta
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Análise de estabilidade
K G(S)+ -
U(S) Y(S)
H(S)
A análise de estabilidade: avaliar o ganho quando a fase é -180o
(inversão de fase)
Ganhos maiores que 1 (0dB) indicam instabilidade!
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Margens do sistema
Margem de Ganho:
Quanto o ganho pode ser
aumentado mantendo o
sistema estável
Margem de Fase: Quanto
a fase pode ser alterada sem
que exista ganho positivo
em 180o
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Coeficiente de amortecimento e Kp
O coeficiente de amortecimento está relacionado à margem de fase
(consequentemente o overshoot):
ζ ≈ ΦM
100
A constante de erro de posição pode ser deduzida do valor de inicial
do diagrama já que Kp = lim
s→0
G(s) = G(0)
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Equações importantes
ζ =
−ln(%OS/100)√
pi2 + ln2(%OS/100)
ΦM = arctan

 2ζ√
−2ζ2 +
√
1 + 4ζ4

 ≈ 100 × ζ
ωBW = ωn
√
(1− 2ζ2) +
√
4ζ4 − 4ζ2 + 2
Ts =
4
ζωn
Tp =
pi
ωn
√
1− ζ2
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Motivações do Projeto por Ajuste de Ganho
A margem de fase está relacionada com o coeficiente de
amortecimento do sistema (ζ), assim como com %OS
Podemos ajustar o ganho para alterar o valor de margem de fase, a
fim de ajustar a %OS do sistema!
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Procedimento
1 Traçar o diagrama de Bode com um valor conveniente de ganho (De
maneira que o ganho de 0dB ocorra em ω = 0, 1 rad/s por exemplo)
2 Usando ζ determinar a margem de fase necessária ΦM
3 Determinar a frequência ωΦM onde ocorre o valor de fase igual a
−180o +ΦM para o sistema sem compensação
4 Ajustar o ganho para que o diagrama de bode cruze 0dB em ωΦM ,
de modo que a nova margem de fase será ΦM
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Procedimento
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
Dado o sistema abaixo, determinar o valor do ganho para que o
sistema apresente uma ultrapassagem percentual de 9, 5%.
K = 3, 6 para que o diagrama de Bode cruze 0dB em ω = 0, 1 rad/s
%OS = 9, 5%→ ζ = 0, 6→ ΦM = 59, 2o
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Procedimento
1 Gs = tf([100],poly([−100 −36 0]));
2 w = logspace(−1,4,1e5);
3 bode(3.6∗Gs,w);
4 grid;
Procurar pela fase −180o + 59, 2o = −120, 8o no diagrama de Bode
−200
−150
−100
−50
0
M
ag
ni
tu
de
 (d
B) System: untitled1
Frequency (rad/s): 14.8
Magnitude (dB): −44.2
10−1 100 101 102 103 104
−270
−225
−180
−135
−90
System: untitled1
Frequency (rad/s): 14.8
Phase (deg): −121
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Procedimento
1 Gs = tf([100],poly([−100 −36 0]));
2 w = logspace(−1,4,1e5);
3 bode(3.6∗Gs,w);
4 grid;
Ajustar o ganho para o diagrama cruzar 0dB nesta frequência ωΦM .
Obtemos K = 44, 2dB, de modo que a nova ΦM seja igual a 59, 2
o.
−200
−150
−100
−50
0
M
ag
ni
tu
de
 (d
B) System: untitled1
Frequency (rad/s): 14.8
Magnitude (dB): −44.2
10−1 100 101 102 103 104
−270
−225
−180
−135
−90
System: untitled1
Frequency (rad/s): 14.8
Phase (deg): −121
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Resultado
1 step(feedback(162.18∗3.6∗Gs,1)); grid;
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: untitled1
Peak amplitude: 1.09
Overshoot (%): 8.67
At time (seconds): 0.181
Step Response
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
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Resultado
1 bode(162.18∗3.6∗Gs); grid;
−150
−100
−50
0
50
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
100 101 102 103 104
−270
−180
−90
System: untitled1
Phase Margin (deg): 59.2
Delay Margin (sec): 0.0696
At frequency (rad/s): 14.8
Closed loop stable? YesP
ha
se
 (d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Revisão
Quando projetamos pela técnica do lugar das raízes projetamos
controladores PI e PD
Agora estudaremos controladores por atraso e avanço de fase
Qual a diferença entre eles?
Gc(s) =
s+ 1
T
s+ 1
αT
α > 1 para atraso de fase já que o pólo possui frequência menor que
o zero (Passa-baixa)
α < 1 para avanço de fase já que o zero possui frequência menor
que o pólo (Passa-alta)
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Motivações do Projeto por Atraso de Fase
Melhorar a constante de erro estático alterando apenas o ganho nas
baixas frequências (para não resultar em instabilidade)
Aumentar a margem de fase do sistema para atender uma
especificação de resposta transitória
Implementado como um filtro passa-baixa
Gc(s) = Kc
s+ zc
s+ pc
,
onde zc > pc já que o zero possui frequência maior que o pólo em
um atraso de fase.
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Procedimento
1 Ajustar o ganho K para que o sistema atinja a especificação deerro
desejada, e plotar o Diagrama de Bode para este valor K
2 Encontrar a frequência ω1 em que ocorre −180o +ΦM (adicionar 5o
a 12o para compensar a contribuição de fase do controlador,
portanto encontrar −180o +ΦM + (5o a 12o))
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Procedimento
3 A frequência de corte do zero do compensador é uma década
inferior a frequência ω1:
ωz =
ω1
10
4 A frequência do polo é determinada pela equação:
ωp =
ωz
|G(jω1)|
5 E o ganho do compensador é ajustado da seguinte forma para que a
contribuição de ganho seja nula:
Kc =
ωp
ωz
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Exemplo
K G(S)+ -
U(S) Y(S)
Sendo G(s) =
1
s(s+ 2)
, projetar um compensador de atraso de
fase para que o sistema possua erro em regime permanente de 0, 05
para uma entrada em rampa e mantenha 35% de overshoot.
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Exemplo
1 Determinar o Kv:
Kv = lim
s→0
sG(s) = lim
s→0
sK
s(s+ 2)
=
K
2
e(∞) = 1
Kv
=
1
K
2
= 0, 05→ K = 40
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Exemplo
2 Procurar a frequência que atende os requisitos de margem de fase
(+ margem de segurança. Utilizaremos 10o)
∠G(jω) = −180o +ΦM + 10o = 135o
1 Gs = tf([1],[1 2 0]);
2 bode(40∗Gs); grid;
−50
0
50
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
System: untitled1
Frequency (rad/s): 2
Magnitude (dB): 17
10−1 100 101 102
−180
−135
−90
System: untitled1
Frequency (rad/s): 2
Phase (deg): −135
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Logo ω1 = 2 rad/s e a magnitude é igual a 17dB
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Exemplo
3 A frequência de corte do zero do compensador é uma década
inferior a frequência ω1:
ωz =
ω1
10
=
2
10
= 0, 2 rad/s
4 A frequência do polo é determinada pela equação:
ωp =
ωz
|G(jω1)| =
0, 2
17dB
=
0, 2
7, 07
= 2, 825× 10−2rad/s
Gc(s) = Kc
s+ 0, 2
s+ 2, 825× 10−2 → Kc =
2, 825× 10−2
0, 2
→ Gc(0) = 1
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Exemplo
1 Kc = 2.825e−2/0.2;
2 Gc = Kc∗tf([1 0.2],[1 2.825e−2]);
3 bode(Gc); grid;
−20
−15
−10
−5
0
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−3 10−2 10−1 100 101
−60
−30
0
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Exemplo
1 Gs = tf([1],[1 2 0]);
2 bode(40∗Gs)
3 hold on;
4 bode(40∗Gc∗Gs)
5 hold off; grid;
−100
0
100
200
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
10−3 10−2 10−1 100 101 102
−180
−135
−90
System: untitled2
Phase Margin (deg): 40
Delay Margin (sec): 0.349
At frequency (rad/s): 2
Closed loop stable? Yes
Ph
as
e 
(de
g)
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Exemplo
1 step(feedback(40∗Gs,1));
2 hold on;
3 step(feedback(40∗Gc∗Gs,1));
4 hold off; grid;
0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
System: untitled2
Peak amplitude: 1.33
Overshoot (%): 32.5
At time (seconds): 1.44
System: untitled1
Peak amplitude: 1.6
Overshoot (%): 60.4
At time (seconds): 0.497
Step Response
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
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Exemplo
1 t = [0:50];
2 rampa = t;
3 lsim(feedback(40∗Gc∗Gs,1),rampa,t); grid;
49.97 49.98 49.99 50 50.01 50.02
49.9
49.92
49.94
49.96
49.98
50
50.02
Linear Simulation Results
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
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Motivações do Projeto por Avanço de Fase
Aumenta a margem de fase do sistema, melhorando a resposta
transitória do sistema
Implementado como um filtro passa-alta.
Gc(s) = Kc
s+ zc
s+ pc
=
1
β
s+ 1
T
s+ 1
βT
,
onde zc < pc já que o zero possui frequência menor que o pólo em
um avanço de fase.
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Apresentação
O pico da contribuição de
fase deve ocorrer no ponto
onde o ganho vale 0 dB para
o sistema não-compensado
O valor do pico deve ser alto
o suficiente para gerar nova
margem de fase D > B
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Procedimento
1 Ajustar o ganho K para que o sistema atinja a especificação de erro
desejada.
2 Determinar a margem de fase atual do sistema, com o ganho
ajustado.
3 Determinar a contribuição de fase do compensador:
θmax =
(
ΦM(Desejado) − ΦM(Atual)
)
+ 5o a 12o
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Procedimento
4 Determinar β:
sen(θmax) =
1− β
1 + β
5 Determinar a frequência ωmax:
A máxima contribuição de fase do compensador deve se dar no
ponto de interesse para aproveitar ao máximo o compensador.
O ganho compensador neste ponto em dB é:
|Gc(ωmax)| = 20 log10
1√
β
Assim, escolhemos o ponto ωmax onde ocorre o valor de magnitude
−|Gc(ωmax)| na função não compensada G(s).
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Procedimento
6 Sabendo-se β e ωmax, calcula-se T da relação:
T =
1
ωmax
√
β
7 E assim:
Gc(s) = Kc
s+ zc
s+ pc
=
1
β
s+ 1
T
s+ 1
βT
8 Por fim, verifica-se se o sistema atende aos requisitos de banda em
malha fechada (ωBW). Encontra-se a frequência onde o diagrama
de Bode do sistema compensado está em −7dB e a fase para esta
frequência deve estar −135o e −225o.
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
Projetar um compensador de avanço de fase para que o sistema
possua 20% de overshoot, Kv = 40 e Tp = 0, 1s.
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
1 Primeiro verificar a banda em malha fechada necessária para
atender às especificações de velocidade impostas por Tp = 0, 1s.
Para ζ = 0, 456 (overshoot 20%), temos:
ωBW = ωn
√
(1− 2ζ2) +
√
4ζ4 − 4ζ2 + 2
=
pi
Tp
√
1− ζ2
√
(1− 2ζ2) +
√
4ζ4 − 4ζ2 + 2 = 46, 6rad/s
2 Determinar K:
Kv = 40 = lim
s→0
sG(s) = lim
s→0
s100K
s(s+ 36)(s+ 100)
=
100K
3600
→ K = 1440
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/AvançoExemplo
3 Verificar a margem de fase atual do sistema para o ganho calculado:
1 Gs = tf([144000],poly([0 −36 −100]));
2 bode(Gs); grid;
−150
−100
−50
0
50
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
100 101 102 103 104
−270
−180
−90
System: Gs
Phase Margin (deg): 34.1
Delay Margin (sec): 0.0201
At frequency (rad/s): 29.6
Closed loop stable? Yes
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
4 ΦM(Desejado) = arctan
(
2ζ√
−2ζ2+
√
1+4ζ4
)
= 48, 1o. Assim,
θmax =
(
ΦM(Desejado) − ΦM(Atual)
)
+10o = (48, 1o−34, 1o)+10o = 24o
5 Cálculo do β:
sen(θmax) =
1− β
1 + β
= sen(24o)→ β = 0, 4217
6 Agora se encontra a frequência ωmax através do |Gc(ωmax)|,
encontrando este valor de ganho no diagrama de Bode de |G(s)|:
|Gc(ωmax)| = 20 log10
1√
β
= 3, 7497dB
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
1 w = logspace(0,4,1e4);
2 bode(Gs,w); grid;
−150
−100
−50
0
50
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
System: Gs
Frequency (rad/s): 39
Magnitude (dB): −3.75
100 101 102 103 104
−270
−180
−90
System: Gs
Frequency (rad/s): 39
Phase (deg): −159Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
36 / 57
Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
7 Assim: ωmax = 39 rad/s. Achar o T :
T =
1
ωmax
√
β
= 0, 0395
8 Encontrar a função de transferência do compensador:
Gc(s) =
1
β
s+ 1
T
s+ 1
βT
= 2, 3714
s+ 25, 326
s+ 60, 0343
37 / 57
Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
1 Gc = 2.3714∗tf([1 25.326],[1 60.0343]);
2 bode(Gc); grid;
0
2
4
6
8
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
100 101 102 103
0
10
20
30
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
38 / 57
Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
1 bode(Gs,w);
2 hold on;
3 bode(Gc∗Gs,w);
4 hold off; grid;
−150
−100
−50
0
50
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
System: untitled1
Frequency (rad/s): 66.7
Magnitude (dB): −7
100 101 102 103 104
−270
−180
−90
Ph
as
e 
(de
g)
System: Gs
Phase Margin (deg): 34.1
Delay Margin (sec): 0.0201
At frequency (rad/s): 29.6
Closed loop stable? Yes
System: untitled1
Phase Margin (deg): 45.5
Delay Margin (sec): 0.0204
At frequency (rad/s): 38.9
Closed loop stable? Yes
System: untitled1
Frequency (rad/s): 66.7
Phase (deg): −164
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
9 Atende aos requisitos de banda? ωBW = 66, 7 rad/s, maior do que os 46, 6
rad/s projetados. ATENDE!
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
1 step(feedback(Gs,1));
2 hold on;
3 step(feedback(Gc∗Gs,1));
4 hold off; grid;
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: untitled2
Peak amplitude: 1.23
Overshoot (%): 22.7
At time (seconds): 0.0736
Step Response
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
1 t=[0:50];
2 rampa=t;
3 lsim(feedback(Gs∗Gc,1),rampa,t); grid;
49.9997 49.9997 49.9998 49.9998 49.9999 49.9999 50
49.965
49.97
49.975
49.98
49.985
49.99
49.995
50
50.005
Linear Simulation Results
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Atraso e avanço de fase
Primeiro método:
Projetar um compensador por atraso de fase para reduzir o ganho
nas altas frequências, estabilizar o sistema e melhorar o erro;
Em seguida projetar um compensador por avanço de fase para
atender o requisito de margem de fase.
Segundo método:
Utilizar um compensador que realiza o atraso e avanço de fase em
conjunto, o que pode ser mais econômico, eliminando a necessidade
de um buffer entre o circuito de atraso e de avanço necessário no
primeiro método
Focaremos, portanto, neste método!
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Atraso e avanço de fase
Função de transferência do compensador por atraso e avanço em
conjunto:
Gc(s) = GAvanço(s)GAtraso(s) =
(
s+ 1
T1
s+ γ
T1
)(
s+ 1
T2
s+ 1
γT2
)
,
onde γ > 1
O primeiro termo entre os parênteses produz o avanço de fase e o
segundo termo entre os parênteses produz o atraso de fase
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Procedimento
1 Encontrar ωBW necessária para atender Ts, Tp ou Tr utilizando uma
aproximação de 2a ordem
2 Ajustar o ganho K para que o sistema atinja a especificação de erro
desejada.
3 Determinar a margem de fase atual do sistema, com o ganho
ajustado.
4 Utilizando uma aproximação de 2a ordem, encontrar ΦM para
atender %OS ←→ ζ
5 Escolher ωΦM = ωmax próxima de ωBW
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Procedimento
6 No diagrama de Bode do sistema não-compensado, verificar o
avanço de fase necessário θmax em ωΦM = ωmax para atingir ΦM .
Considerar uma pequena contribuição do atraso de fase.
7 Encontrar a frequência do zero do compensador por atraso de fase
1
T2
=
ωmax
10
8 Encontrar γ =
1
β
através da equação sen(θmax) =
1− β
1 + β
9 Assim, a função de transferência da parte de atraso de fase do
compensador por atraso e avanço de fase se torna:
GAtraso(s) =
1
γ
(
s+ 1
T2
s+ 1
γT2
)
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Procedimento
10 Calcular T1 =
1
ωmax
√
β
11 Assim, a função de transferência da parte de avanço de fase do
compensador por atraso e avanço de fase se torna:
GAvanço(s) = γ
(
s+ 1
T1
s+ γ
T1
)
12 Verificar se ωBW está dentro das especificações através do
critério 8 do projeto por avanço de fase
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
K G(S)+ -
U(S) Y(S)
Sabendo que G(s) =
K
s(s+ 1)(s + 4)
projetar um compensador de
atraso e avanço de fase para que o sistema possua 13, 25% de
overshoot, Kv = 12 e Tp = 2s.
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
1 Primeiro verificar a banda em malha fechada necessária para
atender às especificações de velocidade impostas por Tp = 2s. Para
ζ = 0, 5411 (overshoot 20%), temos:
ωBW = ωn
√
(1− 2ζ2) +
√
4ζ4 − 4ζ2 + 2
=
pi
Tp
√
1− ζ2
√
(1− 2ζ2) +
√
4ζ4 − 4ζ2 + 2 = 2, 2853rad/s
2 Determinar K:
Kv = 12 = lim
s→0
sG(s) = lim
s→0
sK
s(s+ 1)(s+ 4)
=
K
4
→ K = 48
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Rayel, O.K. — Projetode Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
3 Verificar a margem de fase atual do sistema para o ganho calculado:
1 Gs = tf([48],poly([0 −1 −4]));
2 w=logspace(−2,2,1e4);
3 bode(Gs,w); grid;
−100
−50
0
50
100
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−2 10−1 100 101 102
−270
−180
−90 System: Gs
Phase Margin (deg): −18.7
Delay Margin (sec): 1.98
At frequency (rad/s): 3.02
Closed loop stable? No
Ph
as
e 
(de
g)
System: Gs
Frequency (rad/s): 1.8
Phase (deg): −175
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
4 ΦM(Desejado) = arctan
(
2ζ√
−2ζ2+
√
1+4ζ4
)
= 55, 02o.
5 Selecionamos ωmax = 1, 8 rad/s (próximo de ωBW), fase 175
o
θmax =
(
ΦM(Desejado) − ΦM(Atual)
)
+5o = (55, 02o−5o)+5o = 55, 02o
6 Cálculo do β:
sen(θmax) =
1− β
1 + β
= sen(55, 02o)→ β = 0, 0993→ γ = 10, 0713
7 Assim
1
T2
=
1, 8
10
GAtraso(s) =
1
γ
(
s+ 1
T2
s+ 1
γT2
)
= 0, 0993
(
s+ 0, 18
s+ 0, 0179
)
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
8 Calcular T1 =
1
ωmax
√
β
= 1, 763
9 Assim, a função de transferência da parte de avanço de fase do
compensador por atraso e avanço de fase se torna:
GAvanço(s) = γ
(
s+ 1
T1
s+ γ
T1
)
= 10, 0713
(
s+ 0, 5672
s+ 5, 7126
)
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
1 Gc = tf(poly([−0.18 −0.5672]),poly([−0.0179 −5.7126]));
2 w=logspace(−2,2,1e5);
3 bode(Gc,w); grid;
−20
−15
−10
−5
0
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−2 10−1 100 101 102
−90
−45
0
45
90
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
1 Gs = tf([48],poly([0 −1 −4]));
2 bode(Gs,w); hold on;
3 bode(Gc∗Gs,w); hold off; grid;
−100
−50
0
50
100
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
System: untitled1
Frequency (rad/s): 3.14
Magnitude (dB): −7
10−2 10−1 100 101 102
−270
−180
−90
Ph
as
e 
(de
g)
System: untitled1
Frequency (rad/s): 3.14
Phase (deg): −152
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
10 Atende aos requisitos de banda? ωBW = 3, 14 rad/s, maior do que os 2, 2853
rad/s projetados. ATENDE!
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
1 step(feedback(Gc∗Gs,1)); grid;
0 5 10 15 20 25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: untitled1
Peak amplitude: 1.12
Overshoot (%): 12.3
At time (seconds): 1.56
Step Response
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exemplo
1 t=[0:50];
2 rampa=t;
3 lsim(feedback(Gs∗Gc,1),rampa,t); grid;
49.9992 49.9993 49.9994 49.9995 49.9996 49.9997 49.9998 49.9999 50 50.0001
49.9
49.92
49.94
49.96
49.98
50
Linear Simulation Results
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Exercícios
Exercícios para estudo: refazer os realizados em sala de aula, além
dos seguintes Exercícios de Avaliação (Skill-Assessment) do livro
“Engenharia de sistemas de controle": 11.1, 11.2 e 11.3.
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Introdução Ajuste de Ganho Atraso de Fase Avanço de Fase Atraso/Avanço
Próxima Aula:
Projeto pelo Espaço de
Estados!
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Rayel, O.K. — Projeto de Compensadores por Resposta em Frequência
	Introdução
	Introdução
	Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
	Ajuste de Ganho
	Atraso de Fase
	Revisão
	Procedimento
	Exemplo
	Avanço de Fase
	Procedimento
	Exemplo
	Atraso/Avanço
	Procedimento
	Exemplo