Controlador Atraso-Avanço de Fase e PID

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Projeto de controladores
(Atraso e Avanço de Fase)
Controlador em Atraso e Avanço de Fase
❑ A compensação por avanço de fase basicamente aumenta tanto a 
velocidade de resposta como a estabilidade do sistema. 
❑ A compensação por atraso de fase melhora a precisão do sistema em 
regime permanente, mas reduz a velocidade de resposta.
❑ O compensador por atraso e avanço de fase combina as vantagens da 
compensação por atraso de fase e por avanço de fase. 
❑ Como o compensador por atraso e avanço de fase possui dois polos e 
dois zeros, essa compensação aumenta a ordem do sistema em duas 
unidades, a menos que ocorra o cancelamento de polo(s) e zero(s) no 
sistema compensado.
Controlador em Atraso e Avanço de Fase
𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑐
𝑠 +
1
𝑇
𝑠 +
𝛾
𝑇
.
𝑠 +
1
𝑇
𝑠 +
1
𝛽𝑇
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝛾 > 1 𝑒 𝛽 > 1
Avanço de 
Fase
Atraso de 
Fase
Controlador em Atraso e Avanço de Fase
Considerando que 𝛾 pode ser diferente de 𝛽, o procedimento de projeto é 
uma combinação de um projeto de compensador por avanço de fase e de 
um compensador por atraso de fase. O procedimento do projeto do 
compensador por atraso e avanço de fase para o sistema mostrado abaixo é 
o seguinte:
Técnica de projeto de Controlador em 
Avanço e Atraso de Fase
ALGORITMO
1) Com base nas especificações de desempenho dadas, determine a localização 
desejada dos polos dominantes de malha fechada.
2) Utilizando a função de transferência de malha aberta G(s) do sistema não 
compensado, determine a deficiência angular 𝜙 para que os polos dominantes de 
malha fechada estejam na posição desejada. A parte de avanço de fase do 
compensador por atraso e avanço de fase deve contribuir com esse ângulo 𝜙.
Técnica de projeto de Controlador em 
Avanço e Atraso de Fase
3) Supondo que s = s1 é um dos polos dominantes de malha fechada, escolha 
os valores de T1 e 𝛾 partir do requisito:
A escolha de T1 e 𝛾 não é única. (Uma infinidade de pares de T1 e 𝛾 é 
possível.) Então, determine o valor de Kc da condição de módulo:
Técnica de projeto de Controlador em 
Avanço e Atraso de Fase
4) Se a constante de erro estático de velocidade Kυ for especificada, determine 
o valor de β que satisfaça esse requisito para Kυ. A constante de erro estático de 
velocidade Kυ é dada por:
Técnica de projeto de Controlador em 
Avanço e Atraso de Fase
Assim, dado o valor de Kυ, pode-se determinar o valor de β com base nessa 
última equação. Então, utilizando o valor de β assim determinado, escolha o 
valor de T2 tal que:
Exemplo 01
O sistema da figura abaixo possui polos de malha fechada em 
s = –0,2500 ± j1,9843. O coeficiente de amortecimento é 0,125, a frequência 
natural não amortecida é 2 rad/s e a constante de erro estático de velocidade é 
8 s–1.
É desejável tornar o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de 
malha fechada igual a 0,5 e aumentar a frequência natural não amortecida para 
5 rad/s e a constante de erro estático de velocidade para 80 s–1. Projete um 
compensador apropriado para atender a todas as especificações de desempenho.
Exemplo 01
Resposta do sistema para entrada degrau
Exemplo 01
Resposta do sistema para entrada rampa
Vamos supor que seja utilizado um compensador por atraso e avanço de fase 
com a função de transferência
onde 𝛾 é diferente de β. Então, a função de transferência em malha aberta do 
sistema compensado será:
A partir das especificações de desempenho, os polos dominantes de malha 
fechada devem situar-se em:
como
−𝜉𝜔𝑛 ±𝑗𝜔𝑛 1 − 𝜉
2
−2,5 ± 𝑗4,33
Assim temos
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 + â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 = ±180°
𝜙 + (−235) = ±180°
𝜙 = 55°
Contribuição angular do 
controlador avanço de fase
❑ No projeto da parte de avanço de fase do compensador, primeiro são 
determinadas as posições do zero e do polo que fornecerão a contribuição 
de 55°. 
❑ Existem muitas possibilidades de escolha, mas aqui adotaremos o zero em 
s = – 0,5 de maneira que cancele o polo da planta em s = – 0,5. Uma vez 
escolhido o zero, o polo pode ser localizado de modo que a contribuição 
angular seja 55°. 
❑ Por um cálculo simples ou por meio de análise gráfica, verifica-se que o 
polo deve situar-se em s = –5,021. Assim, a parte relativa ao avanço de fase 
do compensador será:
Em seguida, determine o valor de Kc com base na condição de módulo:
A parte de atraso de fase do compensador pode ser projetada como segue:
❑ Determina-se o valor de β para satisfazer o requisito da constante de erro 
estático de velocidade.
❑ Por fim, escolhe-se um valor de T2 tal que satisfaça as duas condições a 
seguir:
Podemos escolher vários valores para T2 e verificar se as condições de 
módulo e angular são satisfeitas. Com cálculos simples, chegamos a T2 = 5.
Satisfaz as 
condições 
impostas
Agora, a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase 
projetado é dada por:
O sistema compensado terá a função de transferência de malha aberta:
Exemplo 01
Resposta do sistema para entrada rampa
Exemplo 01
Resposta do sistema para entrada degrau