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1 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Dr. Frederico de Oliveira Matias Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL fred@mat.ufpb.br Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br Site do curso www.mat.ufpb.br/ead Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 Carga horária: 60 horas Créditos: 04 Ementa Limites, Continuidade e Derivadas. Descrição Esta disciplina consiste em uma apresentação seqüencial de conceitos, propriedades, resultados derivados e aplicações, integrantes de um estudo que envolve os conteúdos de Limites, Continuidade e Derivadas. Para que os aprendentes passem a dominar estes assuntos, partiremos de princípio que os mesmos tenham cursado a disciplina Matemática para o Ensino Básico II onde foram apresentados aos conteúdos das funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais. O estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataforma Moodle. Objetivos Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para: Compreender, aplicar o conceito de limites e dominar suas principais propriedades; Compreender, aplicar o conceito de continuidade e dominar suas principais propriedades; Compreender, aplicar o conceito de derivada de uma função real e dominar suas principais propriedades; Construir modelos para resolver problemas envolvendo funções de uma variável real e suas derivadas; Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas. 2 Conteúdo Unidade I Limites • Noção Intuitiva • Definição • Propriedades dos Limites • Limites Laterais • Cálculo de Limites • Limites no Infinito • Limites Infinitos • Propriedades dos Limites Infinitos • Limites Fundamentais Unidade II Continuidade • Continuidade em um ponto • Teste de Continuidade • Propriedades de Funções Contínuas • Composta de Funções Contínuas • Teorema do Valor Intermediário: Unidade III Derivada • A Derivada de uma Função num Ponto • A Reta Tangente • Continuidade de Funções Deriváveis • Derivadas Laterais • Regras de Derivação • Derivada das Funções Elementares do Cálculo • Regras de L’Hospital • Derivação de Função Composta • Derivada da Função Inversa • A Derivada de uma Função na Forma Implícita 3 Unidade I Limites 1. Situando a Temática O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais Para entender os três últimos conceitos da lista acima, a Teoria de Limites é fundamental. Além disso, para compreender esta teoria será preciso que você tenha domínio sobre o conteúdo de Funções que são regras bem definidas que associam a cada elemento de um conjunto de partida, denominado Domínio, um único elemento em um conjunto de chegada, denominado Contra- Domínio. Mais precisamente, BAf →: é função BxfyA ∈=∃∈∀⇔ )( !, x . Os conjuntos BA e representam respectivamente o Domínio e o Contra-Domínio da função f . O elemento )(xf denomina-se a imagem do elemento x pela função f . Na disciplina Matemática para o Ensino Básico II você foi apresentado aos conteúdos das funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais, as quais serão úteis para o estudo do conteúdo de limites. O objetivo desta unidade é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de uma maneira convencional. Vamos apresentar propriedades e teoremas referentes a limites de funções. Tais resultados (propriedades e teoremas) serão apresentados, na sua maioria, sem demonstrações, através de alguns exemplos ou exercícios ilustrativos mas, se você tiver interesse em estudá-los poderá encontrá-los nas referências bibliográficas. Uma justificativa para a omissão das demonstrações é tornar o texto conciso. Este texto complementa-se na plataforma MOODLE, onde estão as listas de exercícios e atividades relacionadas com o texto. Os exercícios são parte fundamental da disciplina, uma vez que vamos adotar uma metodologia apoiada na resolução de exercícios. 4 Problematizando a Temática Limite na vida prática Observamos algumas situações, nas quais estão presentes as idéias intuitivas de limite: 1. Se o câmbio do dólar americano tende a estabilizar em torno de R$ 1,73, então o valor pago por 100 dólares estabiliza em torno de R$ 173,00. Logo, podemos falar que o limite (valor pago por 100 dólares) é igual a R$ 173,00, quando o valor pago por 1 dólar tende a R$ 1,73 . Podemos representar tal situação por: 17373,1 100 lim =→ x x 2. Imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente por estar sendo aquecida. Se x representa o comprimento do lado, a área da placa é dada por 2)( xxA = . Evidentemente, quando x se aproxima de 3 , a área da placa A se aproxima de 9 . Expressamos essa situação simbolicamente por 9 3 2lim =→ x x 3. Suponhamos agora que você esteja dirigindo um automóvel. Se o acelerador for calcado para baixo em torno de 2 cm, então a velocidade se manterá próximo aos 60 Km/h. Logo, podemos dizer que o limite (velocidade instantânea do automóvel) é igual a 60 Km/h, quando o acelerador tender a 2 cm para baixo. Matematicamente escrevemos tal situação por 60)( 2 lim =→ xv x , onde )(xv é a velocidade instantânea do automóvel e x é a medida em centímetros do deslocamento do pedal do acelerador. 4. Outra aplicação interessante do limite de uma função é o cálculo da velocidade instantânea de um corpo em queda livre sob a ação da gravidade. O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: • Noção Intuitiva • Definição • Propriedades dos Limites • Limites Laterais • Cálculo de Limites 5 • Limites no Infinito • Limites Infinitos • Propriedades dos Limites Infinitos • Limites Fundamentais 3. Conhecendo a Temática 3.1 Limites 3.1.1 Noção Intuitiva Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função :f ℝ \ {1}→ℝ definida por: 1 1 )1)(1( 1 1)( 2 +=− +−=− −= x x xx x xxf Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto 1=x , ponto este que não pertence ao domínio de f , constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor 2=L , quando os valores de x se aproximam de 1=x , tanto por valores de 1<x (à esquerda de 1) como por valores 1>x (à direita de 1). Do ponto de vista numérico, a tabela abaixo mostra o comportamento da função f , para valores x à esquerda e à direita de 1=x . TABELA Pela esquerda de 1=x Pela direita de 1=x x 0 5,0 8,0 9,0 99,0 999,0 1 x 2 5,1 2,1 1,1 01,1 001,1 1 )(xf 1 5,1 8,1 9,1 99,1 999,1 2 )(xf 3 5,2 2,2 1,2 01,2 001,2 2 Neste caso, dizemos 2=L é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por: 2)( 1 lim =→ xf x 6 3.1.2 Definição Informal de Limite Seja )(xf definida em um intervalo aberto em torno de x0 exceto talvez em x0. Se )(xf fica arbitrariamente próximo de L , para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, dizemos que f tem limite L quando x tende a x0 e escrevemosLxf xx = → )(lim 0 Essa definição é “informal” porque as expressões “arbitrariamente próximo” e “suficientemente próximos” são imprecisas; seu significado depende do contexto. Para um metalúrgico que fabrica um pistão, próximo pode significar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda galáxias distantes, próximo pode significar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição é suficientemente clara para permitir o reconhecimento e a avaliação dos limites de várias funções específicas. Exemplo 1: O Valor do Limite Não Depende do Modo como a Função é Definida em 0x Com efeito, consideremos as seguintes funções: a) 1 , 1 1 )( 2 ≠− −= x x xxf b) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠− − = 1 ,1 1 , 1 1 g(x) 2 x x x x c) 1 )( += xxh Note que 2)( 1 )( 1 )( 1 limlimlim =→ = → = → xh x xg x xf x sem que exista )1(f , com 21)1( ≠=g e 2)1( =h (Veja Figura 1). Figura 1: Funções do Exemplo 1. 7 Exemplo 2: Os Limites Podem Não Existir De fato: discutamos o comportamento quando 0→x das seguintes funções: (a) A função de salto unitário definida por ⎩⎨ ⎧ ≥ <= 0 ,1 0 ,0 )( x x xU (b) A função ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠= 0 ,0 0 ,1 )( x x xxg (c) A função ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ≤ = 0 ,1 0 ,0 )( x x sen x xf Soluções: (a) A função de salto unitário )(xU não tem limite quando 0→x porque seus valores “saltam” em 0=x . Para valores negativos de x arbitrariamente próximos de zero, 0)( =xU . Para valores positivos de x , arbitrariamente próximos de zero, 1)( =xU . Não há um único valor de L do qual )(xU se aproxime quando 0→x (Figura 2 (a)). (b) A função cresce demais para ter um limite: )(xg não tem um valor limite quando 0→x porque g cresce arbitrariamente em valor absoluto quando 0→x e não se mantém próximo de nenhum valor real (Figura 2 (b)). (c) A função oscila demais para ter um limite: )(xf não tem limite quando 0→x porque os valores da função oscilam entre 1 e 1− em cada intervalo aberto que contém 0 . Os valores não se mantêm próximos de nenhum número quando 0→x (Figura 2 (c)). Figura 2: Funções do Exemplo 2. 3.1.3 Definição Formal de Limite 8 Definição:Seja )(xf uma definida em um intervalo aberto em torno de 0x , exceto possivelmente em 0x . Dizemos que )(xf tem limite L quando 0xx → e escrevemos Lxf xx = → )(lim 0 , se, para cada número 0>ε , existir um número correspondente 0>δ tal que para todos os valores de x, εδ <−⇒<−< Lxfxx )(0 0 . Graficamente temos: Exemplo: Testando a Definição Mostre que 2)1( 1 lim =+→ x x Solução: sejam 10 =x , 1)( += xxf e 2=L na definição de limite. Para qualquer 0>ε , precisamos encontrar um 0>δ adequado ( )(εδδ = , isto é, o número real δ depende do número real ε fornecido), tal que se 1≠x e x está a uma distância menor do que δ de 10 =x , ou seja, se δ<−< 10 x , então )(xf está a uma distância menor do que ε de 2=L , isto é, ε<− 2)(xf . Encontraremos δ ao resolvermos a inequação: ε<+=−+ 121 xx .Daí, basta escolher εδ = e verifica-se que 2)1( 1 lim =+→ x x . 9 3.1.4 Propriedades dos Limites Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Teorema 3.1: Unicidade do Limite: O limite de uma função, quando existe, é único, isto é, Se Lxf xx = → )(lim 0 e Mxf xx = → )(lim 0 , então ML = Teorema 3.2: Se 0,, xML e k são números reais e Lxf xx = → )(lim 0 e Mxg xx = → )(lim 0 então: 1. Regra da Soma: O limite da soma de duas funções é a soma de seus limites, isto é, ( ) MLxgxf xx +=+ → )()(lim 0 2. Regra da Diferença: O limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites, isto é, ( ) MLxgxf xx −=− → )()(lim 0 3. Regra do Produto: O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites, isto é, ( ) MLxgxf xx ⋅=⋅ → )()(lim 0 4. Regra da Multiplicação por Constante: O limite de uma constante multiplicada pela função é a constante multiplicada pelo limite da função, isto é, ( ) Lkxfk xx ⋅=⋅ → )(lim 0 Em particular, kk xx = →lim0 5. Regra do Quociente: O limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero, isto é, 10 0M ,. )( )( lim 0 ≠= → M L xg xf xx 6. Regra da Potenciação: O limite de uma potência racional de uma função é a potência do limite da função, desde que a última seja um número real, isto é, Se r e s são números inteiros e 0≠s , então ( ) srsr Lxf xx = → )(lim 0 desde que srL seja um número real. Exemplo: Usando as Regras do Limite, calcule 3 2 5 32 3 12 1 lim ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ++ → x xx x Solução: 3 2 5 32 3 12 1 lim ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ++ → x xx x = ( ) ( ) 11 4 4 31 1121 3 1 1 1 2 1 3 11 1 1 2 11 3 1 12 1 3 12 1 3 2 3 2 3 2 5 32 3 2 5 32 3 2 5 323 2 5 32 3 2 5 32 lim limlim limlim limlimlim lim lim lim ==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + +⋅+= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ → +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ → +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ → = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ → + → → + → + →= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + → ++ →=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ++ → x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x xx x Observação: A Regra da Soma que vale para duas funções, também vale para um número finito de funções. Além disso, se somente uma das parcelas não possui limite, então o limite da soma de todas as parcelas não existirá. Verifique esta afirmação. Observação: O Teorema 3.2 só é válido se ambas as funções f e g possuírem limites. Verifique esta afirmação. 11 Teorema 3.3 (Teorema do Sanduíche): Se valem as desigualdades )()()( xhxgxf ≤≤ para todo x em um intervalo aberto contendo x0, exceto talvez em x = x0 e se )()( limlim 00 xh xx Lxf xx → == → , então Lxg xx = → )(lim 0 Definição: Dizemos que uma função f é limitada quando existe uma constante C > 0 tal que Cxf ≤)( , para todo Dx∈ , onde D representa o Domínio da função f . Corolário 3.3: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que 0)(lim 0 = → xg xx , então 0)()(lim 0 =⋅ → xgxf xx , mesmo que não exista )(lim 0 xf xx→ . Exemplo: Mostre que 01 0 lim =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ → x xsen x Solução: Como 0,11 ≠∀≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ x x sen e 0 0 lim =→ x x , conclui-se, pelo Corolário 3.3, que 01 0 lim =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ → x xsen x 3.1.5 Limites Laterais Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )bx ,0 , onde bx <0 . Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para x0, e escrevemos Lxf xx = → + )(lim 0 se, para todo 0>ε , existe um 0>δ tal que ε<− Lxf )( sempre que δ+<< 00 xxx . Notação: 00 xxxx →⇒→ + com 0xx > 12 Definição. Seja f uma função definida em um intervaloaberto ( )0, xc , onde 0xc < . Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função f quando x tende para 0x , e escrevemos Lxf xx = → − )(lim 0 se, para todo 0>ε , existe um 0>δ tal que ε<− Lxf )( sempre que 00 xxx <<−δ . Exemplo: Seja ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠−= 0 ,3 0 , )( x x x x xf Como ⎩⎨ ⎧ <+ >−=− 0 ,1 0 ,1 x x x x conclui-se que 1)( 0 lim −= → + xf x e )( 0 lim xf x −→ = 1 Teorema 3.4. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo x0, exceto possivelmente no ponto x0, então Lxf xx = → )(lim 0 se, e somente se, Lxf xx = → + )(lim 0 e Lxf xx = → − )(lim 0 . Exemplo: Utilizando o Teorema 3.4 Como 1)( 0 lim −= → + xf x e 1)( 0 lim = → − xf x , conclui-se, do exemplo anterior, que não existe )( 0 lim xf x→ . Notação: 00 xxxx →⇒→ − com 0xx < Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quando substituímos 0xx → por +→ 0xx ou −→ 0xx . 13 3.1.6 Cálculo de Limites Antes de apresentar exemplos de cálculos de limites, vamos falar um pouco sobre expressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões: São indeterminadas. O que significa isto? Exemplo: Verificando a indeterminação 0 0 . (a) Sejam 3)( xxf = e 2)( xxg = . Temos que 0)( 0 )( 0 limlim =→ = → xg x xf x e 0 0 0)( )( 0 limlimlim 2 3 = → = → = → x xx x xxg xf x (b) Sejam 2)( xxf = e 22)( xxg = . Temos que 0)( 0 )( 0 limlim =→ = → xg x xf x e neste caso, 2 1 2 1 02 0)( )( 0 limlimlim 2 2 = → = → = → xx x xxg xf x Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são necessários: são casos de funções racionais em que o limite do denominador é zero num determinado ponto e o limite do numerador também é zero neste mesmo ponto. Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 0 0 . ∞∞∞⋅∞∞∞ ∞ 1 , ,0 ,0 ,- , , 0 0 00 14 Exemplo: Calcule 4 23 2 2 3 lim − +− −→ x xx x Solução: =−+ ++− −→ =− +− −→ )2)(2( )2)(12( 24 23 2 2 2 3 limlim xx xxx xx xx x 4 9 2 2 12 2 2 12 2 lim lim lim 2 2 −=− −→ +− −→=− +− −→ = x x xx x x xx x Exemplo: Calcule x x x 22 0 lim −+ → Solução: Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da função. Segue então, ( ) ( )( )22 22220 22 0 limlim ++⋅ ++⋅−+ → =−+ → xx xx xx x x = ( ) ( )( ) ( ) ( ) 221221 022 22 022 22 0 limlimlim 22 =++→ =++⋅ −+ → =++⋅ −+ → xxxx x xxx x x 3.1.7 Limites no Infinito O símbolo ∞ não representa nenhum número real. Usamos ∞ para descrever o comportamento de uma função quando os valores em seu domínio ou imagem ultrapassam todos os limites finitos. Por exemplo, a função x xf 1)( = é definida para qualquer valor de 0≠x (Figura 3). Quando x vai se tornando cada vez maior, x 1 se torna “próximo de zero”. Podemos sintetizar esse fato dizendo x xf 1)( = tem limite 0 quando ±∞→x . 15 Figura 3: Gráfico de x y 1= Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )+∞,a . Escrevemos, .)( ;0 ,0)(lim εε <−⇒>>∃>∀⇔=+∞→ LxfMxMLxf x Analogamente, Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )b,∞− . Escrevemos, .)( ;0 ,0)(lim εε <−⇒<<∃>∀⇔=−∞→ LxfNxNLxf x Definição. A reta by = é uma assíntota horizontal do gráfico da função )(xfy = Se bxf x = +∞→ )(lim ou bxf x = −∞→ )(lim Teorema 3.5. Se n é um número inteiro positivo, então (a) 01 lim =+∞→ nxx (b) 01 lim =−∞→ nxx (c) KK x = ±∞→lim ,onde K é uma constante Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quando substituímos 0xx → por +∞→x ou −∞→x . 16 Exemplo: Usando as propriedades de limites, calcule 432 1 2 2 lim +− ++ +∞→ xx xx x Solução: = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− +∞→ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ +∞→= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ +∞→ =+− ++ +∞→ 2 2 2 2 2 2 2 2 432 111 432 111 432 1 lim lim limlim xxx xxx xx x xx x xxx xx x 2 1 002 001 1 4 1 3 2 1 1 1 2 2 limlimlim limlimlim =+− ++= +∞→ + +∞→ − +∞→ +∞→ + +∞→ + +∞→= xxxxx xxxxx 3.1.8 Limites Infinitos Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto, possivelmente, em x = x0. Dizemos que +∞= → )(lim 0 xf xx 0 ,0 >∃>∀⇔ δM ; Mxfxx >⇒<−< )(0 0 δ Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto, possivelmente, em x = x0. Dizemos que −∞= → )(lim 0 xf xx 0 ,0 >∃>∀⇔ δN ; Nxfxx −<⇒<−< )(0 0 δ Definição. A reta 0xx = é uma assíntota vertical do gráfico da função )(xfy = se ±∞= → + )(lim 0 xf xx ou ±∞= → − )(lim 0 xf xx . 17 Exemplo: Encontre as assíntotas do gráfico da função 4 8)( 2 −−= xxf (Veja figura 4). Solução: Estamos interessados no comportamento do gráfico quando ±∞→x e quando 2±→x , onde o denominador é zero. Observe que f é uma função par de x , isto é, )()( xfxf =− , para todo 2±≠x . Neste caso, o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y . O comportamento quando ±∞→x . Como 0)(lim =±∞→ xf x , tem-se que a reta 0=y é uma assíntota horizontal. O comportamento quando 2±→x . Uma vez que −∞= → + )( 2 lim xf x e +∞= → − )( 2 lim xf x , a reta 2=x é uma assíntota vertical. Analogamente, por simetria, 2−=x , também é uma assíntota vertical. Figura 4: Gráfico de 4 8 2 − −= x y Observação: A tabela abaixo nos dá um resumo dos fatos principais válidos para os limites infinitos, onde podemos ter 0xx → , +→ 0xx , −→ 0xx , +∞→x ou −∞→x . 18 )(lim xf )(lim xg =)(xh )(lim xh simbolicamente 01 ∞± ∞± )()( xgxf + ∞± ∞± =∞± ∞± 02 ∞+ ∞+ )()( xgxf − ? ( ) ( )∞+−∞+ é indeterminação 03 ∞+ k )()( xgxf ± ∞+ ( ) +∞=±∞+ k 04 ∞− k )()( xgxf ± ∞− ( ) −∞=±∞− k 05 ∞+ ∞+ )()( xgxf ⋅ ∞+ ( ) ( ) +∞=∞+⋅∞+ 06 ∞+ ∞− )()( xgxf ⋅ ∞− ( ) ( ) −∞=∞−⋅∞+ 07 ∞+ 0>k )()( xgxf ⋅ ∞+ ( ) +∞=⋅∞+ k , 0>k 08 ∞+ 0<k )()( xgxf ⋅ ∞− ( ) −∞=⋅∞+ k , 0<k 09 ∞± 0 )()( xgxf ⋅ ? ( )∞± 0⋅ é indeterminação 10 k ∞± )()( xgxf 0 0=∞±k 11 ∞± ∞± )()( xgxf ? ∞±∞± é indeterminação 12 0>k +0 )()( xgxf ∞+ +∞=+0k , 0>k 13 ∞+ +0 )()( xgxf ∞+ +∞=∞+ +0 14 0>k −0 )()( xgxf ∞− −∞=−0k , 0>k 15 ∞+ −0 )()( xgxf ∞− −∞=∞+ −0 16 0 0 )()( xgxf ? 00 é indeterminação Exemplo: Determinar )143( 35lim +−+∞→ xx x Solução: Neste caso, temos uma indeterminação ∞−∞ . Para determinar o limite usamos o seguinte artifício de cálculo. Escrevemos, )143( 35lim +−+∞→ xx x = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− +∞→ 52 5 143lim xxxx = ∞+ ( )003 +− = ∞+ 19 3.1.9 Limites Fundamentais Teorema 3.6. (a) 1 0 lim =→ x senx x (b) ( ) ex x x =+ → 11 0 lim , onde e é o número irracional neperiano cujo valor é ...597182818284,2 , (c) a x a x x ln1 0 lim =−→ ( 0>a , 1≠a ) Exemplo: Calcule xsen xsenx 3 2 0 lim→ Solução: xsen xsen x 3 2 0 lim→ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅⋅ → xsen x x x x xsen x 3 3 3 2 2 2 0 lim = xsen x xx x xx xsen x 3 3 03 2 02 2 0 limlimlim → ⋅ → ⋅ → = x xsen x x x xx xsen x 3 3 0 1 3 2 02 2 0 lim limlim → ⋅ → ⋅ → = 1 1 3 21 ⋅⋅ = 3 2 . Neste exemplo, x xsen x 2 2 0 lim→ = u senu u lim 0→ = 1 , onde xu 2= e 0→u quando 0→x . Analogamente, x xsen x 3 3 0 lim→ = 1 e 3 2 3 2 0 lim =→ x x x 4. Avaliando o que foi construído Nesta unidade você travou o primeiro contato com o estudo de limites de funções, foi apresentado ao conteúdo programático, bem como aprendeu a calcular, através dos exemplos, usando as propriedades, alguns limites de funções. Porém, fique certo, ainda há muito que aprender dentro de tema. 20 No Moodle... 5. Referências 1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987. 2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002. Pois é. Você precisa visitar o espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial I na plataforma MOODLE, onde terá a oportunidade de revisar, testar e enriquecer seus conhecimentos. Lembre-se de que somos parceiros nos estudos e, portanto, eu não pretendo seguir adiante sem que você me acompanhe. Aguardo você no MOODLE! 21 Unidade II Continuidade 1. Situando a Temática Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráfico de uma função cujos valores foram gerados em laboratórios ou coletados no campo, geralmente unimos esses pontos por uma curva não interrompida para mostrar quais seriam os valores prováveis da função em todos os instantes em que não medimos (Figura 5). Fazendo isso, supomos que estamos trabalhando com uma função contínua, uma função cujos valores variam continuamente e não saltam de um valor para outro sem assumir todos os valores entre eles. Qualquer função cujo gráfico possa ser esboçado sobre o domínio em um único movimento contínuo, sem levantar o lápis, é um exemplo de função contínua. Mas uma função pode ser contínua e seu gráfico se compor de dois “pedaços” distintos. Verifique esta afirmação. Estudaremos, nesta unidade, a idéia de continuidade. Figura 5: Mostra como os batimentos cardíacos retornam ao normal depois de uma corrida. O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: • Continuidade em um ponto • Teste de Continuidade • Propriedades de Funções Contínuas • Composta de Funções Contínuas • Teorema do Valor Intermediário 22 2. Problematizando a Temática As funções contínuas são usadas para achar o ponto em que um planeta mais se aproxima do Sol ou o pico de concentração de anticorpos no plasma sangüíneo. Elas também são as funções que usamos para descrever como um corpo se move através do espaço ou como a velocidade de uma reação química varia com o tempo. Na verdade, tantos processos físicos ocorrem de modo contínuo que nos séculos XVIII e XIX raramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipo de comportamento. Foi uma surpresa quando os físicos descobriram, em 1920, que a luz vem em partículas e que os átomos aquecidos emitem luz em freqüências distintas (Figura 6). Como conseqüência dessas e de outras descobertas e em função do grande uso de funções descontínuas na ciência da computação, na estatística e em modelos matemáticos, o tema da continuidade se tornou importante tanto prática quanto teoricamente. Figura 6 3. Conhecendo a Temática 3.1. Continuidade em um Ponto 3.2 Definição. Seja ⊆I ℝ um intervalo. Uma função →If : ℝ é contínua em um ponto Ia∈ quando )()(lim afxf ax = → 23 Exemplo: Uma função com Descontinuidade de Salto A função Salto Unitário definida por ⎩⎨ ⎧ ≥ <= 0 ,1 0 ,0 )( x x xU é contínua à direita em 0=x , mas não é contínua à esquerda nem contínua aí (Veja Figura 2(a)). Ela apresenta descontinuidade de salto em 0=x 3.2 Continuidade Definição. Seja ⊆I ℝ um intervalo. Uma função →If : ℝ é contínua quando f é contínua em todo ponto Ia∈ Exemplo: Identificando Funções Contínuas A função x xf 1)( = ( Figura 3) é contínua em todo 0≠x . 3.3 Propriedades de Funções Contínuas. Teorema 3.3: Se f e g são funções contínuas em ax = , então as seguintes combinações são contínuas em ax = . 1. Soma: gf + 2. Diferença: gf − 3. Produto: gf ⋅ 4. Constantes Múltiplas: fk ⋅ , para qualquer número k 5. Quociente: gf , desde que 0)( ≠ag Considerações sobre a Definição (a) Quando f não é contínua em um ponto a , dizemos que f é descontínua em a e que a é um ponto de descontinuidade de f ; (b) f contínua à esquerda no ponto ax = quando )()(lim afxf ax = → − ; (c) f contínua à direita no ponto ax = quando )()(lim afxf ax = → + . 24 3.4. Composta de Funções Contínuas. Teorema 3.4. Se f é contínua em a e g em )(afb = , então a composta fg o é contínua em a , isto é, ))(())(())(( limlim afgxf ax gxfg ax = → = → Exemplo: Usando as propriedades de funções contínuas, conclua que a função 1 1)( 2 + += x xxh é contínua em 1=x Solução: Sejam 1 1)( 2 + += x xxf e xxg =)( . Daí, ))(())(()( xfgxfgxh == o . Sendo 1 11 11)1( 2 =+ +=f e 11)1())1(( === gfg , tem-se que ))1((1 11 11 1 1)())(( 22limlimlim 111 fg x xxhxfg xxx ==+ +=+ +== →→→ 3.5. Teorema do Valor Intermediário Teorema 3.5. .Seja [ ]→baf ,: ℝ uma função contínua em um intervalo fechado [ ]ba, tal que )()( 0 bfyaf ≤≤ , então )(0 cfy = para algum c em [ ]ba, . 25 Exemplo: Aplicando o Teorema 3.5 Existe algum número real que somado a 1 seja exatamente igual ao seu cubo? Solução: A resposta para esta pergunta está no Teorema do Valor Intermediário. Com efeito, seja x este tal número que deve satisfazer a equação 31 xx =+ ou, equivalentemente, 013 =−− xx . Portanto, estamos procurando um zero da função contínua 1)( 3 −−= xxxf (Veja Figura 7 abaixo). Esta função muda de sinal no intervalo [ ]2,1 , pois 5)2(0)1(1 =<<=− ff , logo deve existir um ponto c entre 1 e 2 tal que 0)( =cf Figura 7 Ampliando o seu Conhecimento Você sabia que, geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário diz que qualquer reta horizontal dy = cruzando o eixo y entre os números )(af e )(bf cruzará a curva )(xfy = pelo menos uma vez no intervalo [ ]ba, , desde que f seja contínua em [ ]ba, . 26 4. Avaliando o que foi construído No Moodle... Dialogando e Construindo Conhecimento Dialogando e Construindo Conhecimento 5. Referências 1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editorada UFSC, 5a Edição, 1987 2. Ávila, G., CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 3. Thomas, George B., CÁLCULO. Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002. Vá à plataforma MOODLE e dedique-se à resolução das tarefas relacionadas ao assunto desta unidade. Saiba que o aprendizado em Matemática deve ser continuado e o sucesso no estudo das funções contínuas vai depender de você visitar constantemente a plataforma e procurar resolver os exercícios nela proposta. Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte conosco. 27 Unidade III Derivadas 1. Situando a Temática No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy para designar os infinitésimos em x e em y . Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”. A partir daí, com a introdução do conceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento poderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos mais diversos campos da Ciência. Por exemplo, as derivadas são muito usadas em Engenharia, Física, Economia, Medicina e Ciência da Computação. Para calcular a velocidade e a aceleração instantânea de uma partícula em movimento cuja trajetória é descrita pela equação de movimento )(tss = , onde t representa o tempo, para explicar o funcionamento de máquinas, para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as conseqüências de erros cometidos durante as medições. A partir de agora, vamos entrar no passeio divertido do “mundo” das derivadas. Nesta unidade, abordaremos os seguintes tópicos: • A Derivada de uma Função num Ponto • A Reta Tangente • Continuidade de Funções Deriváveis • Derivadas Laterais • Regras de Derivação • Derivada das Funções Elementares do Cálculo • Regras de L’Hospital • Derivação de Função Composta • Derivada da Função Inversa • A Derivada de uma Função na Forma Implícita 28 2. Problematizando a Temática Para solucionarmos este problema precisamos definir o conceito de derivada de uma função num ponto. A partir de agora vamos desenvolver toda a teoria necessária para solucionarmos este e outros problemas que envolvem derivadas. 3. Conhecendo a Temática 3.1 A Derivada de uma Função Definição. A derivada de uma função )(xfy = em relação à variável x é a função f ′ cujo valor em x é h xfhxf h xf )()( 0 )( lim −+ → =′ , desde que este limite exista. Exemplo: Aplicando a Definição Considerações sobre a Definição: (a) O domínio de f ′ é o conjunto de pontos no domínio de f para o qual o limite existe. Ele pode ser o mesmo domínio de f ou menor; (b) Se f ′ existe para um determinado valor de x , dizemos que f é derivável em x ; Calculando )(xf ′ a partir da Definição de Derivada Passo 1. Escreva expressões para )(xf e )( hxf + Passo 2. Desenvolva e simplifique o quociente h xfhxf )()( −+ Passo 3. Usando o quociente simplificado, encontre )(xf ′ calculando o limite h xfhxf h xf )()( 0 )( lim −+ → =′ Problema: Encontrar a equação da reta tangente a uma curva )(xfy = no ponto ),( 00 yxP , onde )( 00 xfy = 29 Encontre a derivada de xy = para 0>x . Solução: Passo 1: xxf =)( e hxhxf +=+ )( Passo 2 : h xfhxf )()( −+ = h xhx −+ = ( ) ( )( )xhx xhxh xhx ++ ++⋅−+ = ( )xhxh xhx ++⋅ −+ = ( )xhx ++ 1 Passo 3 : lim)( oh xf → =′ ( )xhx ++ 1 = x2 1 (Veja Figura 8 (a) e 8(b) ) Figura 8 Notação: Há várias maneiras de representar a derivada de uma função )(xfy = . Além de )(xf ′ , as notações mais comuns são: (i) y′ ( lê-se y linha). Esta notação foi dada por Newton (ii) dx dy ( lê-se dydx ). Esta notação foi dada por Leibniz 30 3.2. A Reta Tangente Definição. Dada uma curva de equação )(xfy = , seja ),( 00 yxP um ponto sobre ela, ou seja , )( 00 xfy = . A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo coeficiente angular Tm é dado pela expressão h xfhxfm h T )()( 00 0 lim −+= → , quando este limite existe. Assim, )( 0xfmT ′= . Exemplo: Determine a equação da reta tangente à curva xy = em 4=x Solução: Do Exemplo 3.1, vimos que x xf 2 1)( =′ Logo, o coeficiente angular da reta tangente a esta curva em 4=x é dado por 4 1 42 1)4( ==′= fmT . A reta tangente passa pelo ponto )2,4(P e tem como equação )4( 4 12 −⋅=− xy ⇔ 1 4 1 += xy Figura 9 31 3.3 Continuidade de Funções Deriváveis Teorema 3.3. Se f é derivável em 0xx = , então f é contínua 0xx = . Corolário 3.3. Se f não é contínua em 0x , então f não é derivável em 0x Observação: Nem toda função contínua é derivável. Vejamos a seguir Exemplo: A função xxf =)( , 0≥x é contínua em 0=x mas não é derivável aí, pois x xf 2 1)( =′ x > 0 e hhh h hh hf hh fhf x f 1 00 )( 0 )0()( 0 )0( limlimlimlim → = → = → =− → =′ que não existe e, portanto, f não é derivável neste ponto. Prova: Como )( 0xf ′ existe, devemos mostrar que )()( 0 0 lim xfxf xx = → ou , equivalentemente, que )()( 0 00lim xfhxf h =+ → . Com efeito, se 0≠h , então h h xfhxf xfhxf ⋅−++=+ )()()()( 0000 Assim, h hh xfhxf h xf h hxf h limlimlimlim 0 )()( 0 )( 0 )( 0 00 00 → ⋅−+ → + → =+ → )(0)()( 000 xfxfxf =⋅′+= 32 3.4 Derivadas Laterais Definição Se a função )(xfy = está definida em 0x ,então a derivada à direita de f em 0x , denotada por )( 0xf+′ , é definida por h xfhxf h xf )()( 0 )( 000 lim −+ → =′ ++ 0 0 0 )()( lim xx xfxf xx − − → = + , caso este limite exista. Analogamente, a derivada à esquerda de f em 0x , denotada por )( 0xf−′ , é definida por h xfhxf h xf )()( 0 )( 000 lim −+ → =′ −− 0 0 0 )()( lim xx xfxf xx − − → = − , desde que este limite exista. Exemplo: A função xxf =)( não é derivável em 0=x , embora seja contínua aí Solução: À direita da origem ( 0>x ) Considerações sobre a Definição: (a) Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais; (b) Quando as derivadas laterais à direita e à esquerda existem e são diferentes em um ponto 0x , dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função )(xfy = . Neste caso, f não é derivável em 0x ; (c) Se uma das derivadas laterais não existe em um ponto 0x , então f não será derivável em 0x . 33 ( )1)( == x dx dx dx d e 1 0 )0()0( 0 )0( limlim = → =−+ → =′ +++ h h hh fhf h f À esquerda da origem )0( <x , ( ) 1)( −=−= x dx dx dx d e 1 0 )0()0( 0 )0( limlim −=− → =−+ → =′ −−− h h hh fhf h f Como )0()0( −+ ′≠′ ff , tem-se que f não é derivável 0=x (Veja Figura 10). Figura 10 34 3.5 Regras de Derivação Teorema 3.5. Se f e g são funções deriváveis em x , então as seguintes combinações são deriváveis em x 1. Soma: gf + e ( ) )()()( xgxfxgf ′+′=′+ ; 2. Diferença: gf − e ( ) )()()( xgxfxgf ′−′=′− ; 3. Produto: )( gf ⋅ e )()()()()()( xgxfxgxfxgf ′+′=′⋅ ; 4. Quociente ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ g f e [ ]2)( )()()()()( xg xgxfxfxgx g f ′−′= ′ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ , desde que 0)( ≠xg ; 5. Constantes Múltiplas: fk ⋅ e )()()( xfkxfk ′⋅=′⋅ , para todo número real k . No Moodle... Exemplo: Aplicando as regras de derivação Determine as derivadas das seguintes funções: (a) )1)(2()( 32 ++= xxxxf (b) 1 2)( 3 5 += x xxg (c) xxxxh 2)( 34 ++= (d) xxy = Solução: (a) Olá pessoal, visite a plataforma MOODLE e resolva os seguintes exercícios: (i) Prove o Teorema 3.5 (Regras de Derivação) (ii) Mostre que 1)( −= nn nxx dx d , onde n é um número real (Derivada da Potência) (iii) Mostre que ( ) 0=C dx d , onde C é uma constante. 35 [()2()1(])2()[( 3232 ⋅+++⋅′+′= xxxxxx )03()2()1()22( 223 +⋅+++++= xxxxx )3()2()1()22( 223 xxxxx ⋅+++++= (b) 23 3535 )1( )1()2()1()2()( + ′+⋅−+⋅′=′ x xxxxxg 23 2534 )1( )03()2()1(10 + +⋅−+⋅= x xxxx 23 2534 )1( )3()2()1(10 + ⋅−+⋅= x xxxx (c) )2()()()( 34 ′+′+′=′ xxxxh 234 23 ++= xx (d) )( ′=′ xxy )()( ′⋅+⋅′= xxxx ])[(1 21 ′⋅+⋅= xxx ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅⋅+= 2 11 2 1 xxx x xx 2 += x x x xx ⋅+= 2 ( )22 xxxx += x xxx 2 += 2 xx += 3.6. Derivada das Funções Elementares do Cálculo Nesta seção apresentaremos as derivadas das funções elementares: exponencial, logarítmica e trigonométricas. )1)(2()1()2()( 3232 ′++++⋅′+=′ xxxxxxxf 36 Exemplo: Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções: (a) senxxy += 2 (b) xetgxy 2+= (c) xxy ln= (d) xxxy cossec += Solução: (a) )( 2 ′+=′ senxxy xx cos2 += (b) )2( ′+=′ xetgxy )2()( ′+′= xetgx xex 2sec2 += (c) )(lnln)()ln( ′+′=′=′ xxxxxxy x x xx ln11ln +=⋅+= (d) Função Derivada )(xf )(xf ′ 01 xe xe 02 xln 0 x, 1 > x 03 senx xcos 04 xcos senx− 05 tgx x2sec 06 gxcot x2seccos− 07 xsec tgxx ⋅sec 08 xseccos gxx cotseccos ⋅− 37 )cos()(sec ′+′=′ xxxy )(cos1sec senxxxtgxx −⋅+⋅+⋅= senxxxtgxx ⋅−+⋅= cossec 3.7. Regras de L’Hospital Nesta seção apresentaremos um método para levantar indeterminações do tipo ∞ ∞ou 0 0 . Esse método é dado pelas Regras de L’Hospital dadas a seguir. Teorema 3.7.(Regras de L’hospital): Sejam g e f funções deriváveis num intervalo aberto I , exceto, possivelmente, em um ponto Ia∈ . Suponhamos que I em ax ,0)( ≠∀≠′ xg . (i) Se L xg xf xg xfL xg xfxg ax xf ax =′ ′ → = → =′ ′ → = → = → )( )( ax)( )( ax então , )( )( ax e 0)()( limlimlimlimlim (ii) Se L xg xf xg xfL xg xfxg ax xf ax =′ ′ → = → =′ ′ → ∞= → = → )( )( ax)( )( ax então , )( )( ax e )()( limlimlimlimlim Exemplo: Determine os seguintes limites: Considerações sobre o Teorema 3.7: (i) Se L (x)g (x)f ax xg ax xf ax =′′ ′′ → =′ → =′ → limlimlim e 0)()( , então L xg xf =′ ′ → )( )( ax lim e assim sucessivamente... (ii) Se L (x)g (x)f ax xg ax xf ax =′′ ′′ → ∞=′ → =′ → limlimlim e )()( , então L xg xf =′ ′ → )( )( ax lim e assim sucessivamente... 38 (a) 23 6 2 2 2 lim +− −+ → xx xx x (b) 2 0 lim −+ +− → −xx ee senxx x (c) xx e x x 4 1 3lim + − ∞→ Solução: Aplicando as Regras de L’hospital, temos (a) 5 1 5 322 122 32 12 2 23 6 2 limlim 2 2 ==−⋅ +⋅=− + → =+− −+ → x x xxx xx x (b) 0 0 cos1 02 0 limlimlim =+ − → =− +− → =−+ +− → −−− xxxxxx ee senx xee x xee senxx x (c) +∞= +∞→ = +∞→ =++∞→ =+ − +∞→ 6 6 43 4 1 limlimlimlim 23 xxxx e xx e xx e xxx e x 3.8. Derivação de Função Composta Consideremos duas funções f e g onde )(xgu = . Para todo x tal que )(xg está no domínio de f , podemos escrever ))(()( xgfufy == , isto é, podemos considerar a função composta ))(())(( xgfxgf =o . Por exemplo, uma função tal como 72 )25( ++= xxy pode ser vista como a composta das funções )(7 ufuy == e )(252 xgxxu =++= (Ver Figura 2.29 Thomas página 180) Teorema 3.8. A Regra da Cadeia Observação: As Regras de L’hospital são válidas para limites laterais e limites no infinito. 39 Se )(uf é derivável no ponto )(xgu = e )(xg é derivável em x , então a função composta ))(())(( xgfxgf =o è derivável em x e uufxgxgfxgf ′⋅′=′⋅′=′ )()())(()()( o Na notação de Leibniz, se )(ufy = e )(xgu = , então dx du du dy dx dy ⋅= , onde du dy é calculado em )(xgu = . Exemplo: Dada a função 72 )25( ++= xxy , determinar dx dy . Solução: Vimos anteriormente que podemos escrever )(7 ufuy == , onde )(252 xgxxu =++= Assim, pela Regra da Cadeia, dx du du dy dx dy ⋅= )52(7 6 +⋅= xu )52()25(7 62 +⋅++= xxx . Exemplo: Dada a função xxseney x 2cos)2( 3 ++= , determinar dx dy Solução: Sejam xvxu 2,2 == e xw cos= . Assim, podemos escrever 2wsenvey u ++= Assim, pela Regra da Cadeia, )()cos)2(( 22 3 ′++=′++=′ wsenvexxseney ux wwvvuewsenve uu′⋅+′⋅+′=′+′+′= )2()(cos)()()( 2 )()cos2(2))2(cos(3 2 3 senxxxxe x −⋅+⋅+⋅= xsenxxex x cos2)2cos(23 32 ⋅−+⋅= 40 3.9. Derivada da Função Inversa Teorema 3.9. Derivada da Função Inversa Seja )(xfy = uma função definida em um intervalo aberto ),( ba . Suponhamos que )(xf Admita uma função inversa )(ygx = contínua. Se )(xf ′ existe e é diferente de zero para qualquer ponto ),( bax∈ , então 1−= fg é derivável e vale ))(( 1 )( 1)( ygfxf yg ′=′=′ ou )( 1))(( xf xfg ′=′ Exemplo 3.9: Seja 12)( −== xxfy , 0>x . Determine )3(g ′ , onde 1−= fg . Solução 1: 2 1 )1(1)( +=+== yyygx (Verifique !). Daí, 12 12 1 1 2 1 += − +=′ y )(y(y)g . Em particular, 4 1 132 1 )3( =+=′g Solução 2: Pelo Teorema 3.8 , xxf xfgyg 2 1 )( 1 ))(( )( =′=′=′ Em particular, 3 2 =⇔= yx Assim, 4 1 22 1 )2( 1 )3( =⋅=′=′ fg . Prova: Sendo 1−= fg , tem-se que xxfg =))(( , para todo ),( bax∈ e usando a Regra da Cadeia, conclui-se )( 1))((1)())(( xf xfgxfxfg ′=′⇔=′⋅′ 41 3.9. Derivada da Função Implícita 3.9.1. Função na Forma Implícita Dizemos que a função )(xfy = é definida implicitamente pela equação 0 ),( =yxF se ao substituirmos y por )(xf nesta equação obtemos uma identidade, isto é, 0 ))(,( =xfxF . Exemplo: A equação 01 2 12 =−+ yx define implicitamente a função )21(2 xy −⋅= . De fato, substituindo )1(2 2xy −⋅= na equação 01 2 12 =−+ yx , obtemos a identidade 01)1( 2 2 12 2 =−−⋅+ xx . 3.9.2. A Derivada de uma Função na Forma Implícita Suponhamos que a equação 0 ),( =yxF define implicitamente uma função derivável )(xfy = . Usaremos a Regra da Cadeia para determinar y′ sem explicitar y . Exemplo: Sabendo que )(xfy = é definida implicitamente pela equação yxyxy 2322 +=+ , determinar y′ . Solução: Derivando ambos os membros desta equação em relação à x e supondo que )(xfy = é derivável, obtém-se: )2()322( ′+=′+ yxyxy c )2()()32()2( ′+′=′+′ yxyxy c yyyyyxy ′+=′⋅+′⋅⋅+ 212622 Isolando y′ na última igualdade, temos 2262 21 −+ −=′ yxy yy 42 Em particular, o ponto )1,1(P está na curva )(xfy = e aí, 0)1,1( =′y E a equação da reta tangente à esta curva neste ponto é dada por 1)1(01 =⇔−⋅=− yxy se Co cime nto Você sabia que só no século XVII, quando Decartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções? A Matemática recebeu assim um grande impulso, notadamente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daí, todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por ouro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis. Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto. Esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o “Problema da Tangente”. 43 Ampliando o seu Conhecimento Ampliando 4. Avaliando o que foi construído No Moodle... Dialogando e Construindo Conhecimento Fermat notou que, para certas funções nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido num desses pontos ))(,( xfxP com valor assumido no outro ponto ))(,( hxfhxQ ++ próximo de P , a diferença entre )( hxf + e )(xf era muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de h , diferença das abcisssas de Q e P . Assim, o problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados. Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Diferencial, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy , para designar os infinitésimos em x e em y . Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Infinitesimal” Na plataforma MOODLE, no espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial e Integral I, você poderá testar seus conhecimentos a respeito do tema Derivadas. Dedique-se à resolução das tarefas relacionadas a este assunto. Encontrar-nos-emos no MOODLE. Até lá! Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Visite constantemente a plataforma MOODLE, faça as tarefas nela propostas Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Participe! Acredite em seu potencial e conte conosco. 44 5.Referências 1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÀLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987. 2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002.
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