Técnicas de integração3.0,POLI-UPE

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Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 1 
 
 
 
Técnicas de integração 
Sumário 
1 Introdução ............................................................................................................................... 2 
2 Integração por partes ............................................................................................................ 2 
3 Integrais cujo integrandos são Funções Trigonométricas .................................................... 5 
3.1 Integrais cujo integrando envolvem seno e cosseno: ................................................... 5 
3.1.1 Integrais cujo integrando envolvem potencia das funções sen x e cos x ............... 5 
3.1.2 Integrais com integrando envolvendo produto de potencias de senx e cos x. ....... 7 
3.2 Integrais cujo o integrando envolvem funções tangente, cotangente, secante e 
cossecante................................................................................................................................... 8 
3.2.1 Integrais cujo integrandos envolvem funções que são pontencia das funções 
tangente e cotangente. ........................................................................................................... 9 
3.2.2 Integrais cujo integrando envolvem produto de potências das funções tangente e 
secante ou cotangente e cossecante. .................................................................................. 10 
3.3 Integrais que geram funções trigonométricas inversas. ............................................. 11 
3.4 Integrais resolvidas usando substituição trigonométrica ............................................ 12 
4 Integrais cujo integrando envolve Funções Racionais ........................................................ 15 
4.1 Denominadores são fatores do 1° grau: ..................................................................... 16 
4.2 Denominadores são fatores do 2° grau ..................................................................... 18 
5 Integrais resolvidas por substituição diversas: .................................................................... 20 
6 Exercícios de Técnicas de Integração:................................................................................ 20 
6.1 Integração por Partes: .................................................................................................. 21 
6.2 Integrais Trigonométricas: ............................................................................................. 21 
6.3 Integração por Substituição Trigonométricas: ............................................................. 22 
6.4 Integrações de Frações Parciais: .................................................................................. 23 
6.5 Substituições Diversas: .................................................................................................. 23 
7 Exercícios sobre Técnicas de Integração – Problemas diversos. ....................................... 24 
8 Referencias Bibliográricas ..................................................................................................... 26 
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 2 
 
 
1 Introdução 
 Roteiro de aula para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II, da Universidade 
Estadual de Pernanbuco – UPE, Escola Politécnica de Engenharia – POLI. Produzido inicialmente 
pelo professor Darlan Moutinho, modificado pela Professora Kíssia Carvalho (Versão não 
Definitiva – Terceira). Assim sendo, como o material foi editado a quatro mãos, ainda existe 
muitas discrepância de notações, falta de consistencia nas fontes de letras e outros problemas 
que serão corrigidas nas próximas versões. 
 Observe que o material aqui apresentado é apenas um roteiro, a respeito técnicas 
de integração, a ser usado durante a aula. Esse material não exclui o uso do livro texto adotado 
e demais livros que envolvem o assunto. 
2 Integração por partes 
A fórmula da diferencial do produto: 
 d (u. v) = v. du + u. dv 
 u.dv = d (u.v ) – v du. 
Aplicando integral em ambos os lados 
u dv = d (u.v) - v du = u.v - v.du
 
Esta fórmula é usada na integração de produtos de funções. 
 
Exemplos de integração por partes 
 
Calcule as integrais das funções: 
01)
ln x dx.
 
Solução: 
Faça: u du
x











ln x
dv = dx
 dx
v = x
1
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 3 
 
ln
ln
 x dx = u dv = u.v - v. du
 x dx = x. ln x - x. 
1
x
- dx = x ln x - x + K

 dx x ln x
 
 
02) 
e x dxx.sen
 
Solução: 
u e
dv
du e dx
v
x x







 



sen
.
cos x dx x
 
e dx ex x.sen cos .cos cos x dx = -e x - - cos x. e x+ e x dxx x x 
 
Repetindo a integração por partes para 
e xdxx cos
, teremos: 
u e
dv xdx
du e dx
v x
x x











cos sen
 
 
 
e xdx x x e xdx
e x dx x x e x dx
x x
K
x x
x x
sen cos sen sen
. sen sen cos sen
sen cos
  
 



 
 e + e
= e =
e
x x
x
x
2
2
 
 
03) 
 dx)x3(arctg
 
Sendo: 
xvdxdv
dx
x91
3
du)x3(arctgu
2


 
 

 dx
x91
x3
)x3(arctg3dx)x3(arctg
2
 
Usando a técnica da substituição 
Se 
xdx3
6
dw
xdx18dwx91w 2 
 
   

2
2
x91ln
6
1
wln
6
1
w
dw
6
1
dx
x91
x3 
   kx91ln6
1
)x3(artg3dx)x3(arctg 2
 
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04) 

 xdxsene x
 
Faça: 
xcosvxsendv
dxedueu xx

 
 
 (equação 1) 
 :teremos partes, por xdxcose solvendoRe
x-
 
xsenvxcosdv
edueu xx

 
 
 
 
Substituindo em ( equação1 ): 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de integração por partes. 
 
Calcule as integrais: 
01
03
1 1
05 2
2 3
) ln
)
) ( )dx
 x 02) x(2x+ 3)
 
x
 04) 
x
 cos x dx 06) (x+1)
99
3 5
10
 
 
 
 

xdx dx
dx
x
dx
x
x
 
  dx(lnx) 08) xdxlnx )07
22
 
 

 
x1
dxx
 10) dx 
x
x cotgarc 
 )09
2
3 
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Carvalho, Kíssia 5 
 
 
3 Integrais cujo integrandos são Funções Trigonométricas 
3.1 Integrais cujo integrando envolvem seno e cosseno: 
Fórmulas trigonométricas para consulta: 
01) cos2 a + sen2 a = 1 
02) sen 2 a = 2 sen a cos a03) cos 2 a = cos 2 a – sen 2 b 
04) sen2 a = 
1
2
 (2a)
1
2
cos
 
05) 
cos2
1
2
1
2
a   cos (2a)
 
06) sen p + sen q = 
2
2
sen cos 
p+ q
2












p q
 
07) sen p – sen q = 
2
2
sen cos 
p - q
2












p q
 
08) cos p + cos q = 
2
2 2
cos cos
p q p q











 
09) cos p – cos q = 












2
2 2
sen sen
p q p q
 
10) sen a cos b = 
 
1
2
sen( ) sen( )a b a b  
 
11) sen a sen b = 
 
1
2
 - cos(a+b)+ cos(a - b)
 
12) cos a cos b = 
 
1
2
 cos(a+b) + cos(a - b)
 
13)
sen u du = -cos u +K
 
14)
cos u du = sen u+K
 
 
3.1.1 Integrais cujo integrando envolvem potencia das funções sen x e cos x 
 
 
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I) Se n é um número ímpar: 
 sen senn
n
x dx x sen x d x xdx= sen x = 1- cosn-1 2


1
2
 
 
Exemplo de integral para pontência de seno e coseno ímpar: 
 
01) 
 sen sen3 x dx x senx dx x x dx x senx dx= sen = 1- cos = senx dx - cos2 2 2
 
 
sen cos3
1
3
x dx x x k    cos3
 
 
02) 
 
 
 
 
 
 Resolvendo cada integral por substituição, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II) Se n é um número par: 
 cosn
n
n
x dx x dx dx= cos cos(2x)2
2
2
1
2
1
2
 






 
 
Exemplo de integral para pontência de seno e coseno par: 
01) 
cos sen( )2
1
2
1
2
1
2
1
4
2xdx x x k 





    cos(2x) dx 
 
02) 
  











 dx)x4(cos
4
1
)x4cos(
2
1
4
1
dx)x4cos(
2
1
2
1
dx)x2(sen 2
2
4
= 
 





 k)x8sen(
64
1
x
8
1
)x4sen(
8
1
x
4
1
dx)x8cos(
2
1
2
1
4
1
)x4sen(
8
1
x
4
1
 
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3.1.2 Integrais com integrando envolvendo produto de potencias de senx e cos x. 
 
I) Se m e n são números tais que pelo menos um é ímpar: 
 
Exemplo para integrando com produto de potências de seno e coseno com pelo menos uma 
pontencia ímpar: 
 
 
Kxcos 
5
1
xcos 
3
1
dx xsen.xcos-dx xsen.xcos
=dx) x(senxcos.xcos-1= xdx)x.(senxcos.xsenxdxcos.xsen )01
5342
222223


 
   
02) 
    xdxcos)xsen1(xsenxdxcosxcosxsen
xsen
xdxcos 232232
3 2
3 
   kxsen11
3
xsen
5
3
xdxcosxsenxdxcosxsen 311353832
 
 
II) Se m e n são números tais que ambos são pares: 
Use a substituição 
)x2cos(
2
1
2
1
xcos ou )x2cos(
2
1
2
1
xsen 22 
 
Exemplo para integrando com produto de potências de seno e coseno com potência par: 
 
01) 
sen .cos cos( ) . cos( ) cos ( )2 2 2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
4
2x xdx x x x 





 





 





 dx =
1
4
 dx =
 
 
1
4
2
1
2
1
2
4
1
4
4
1
8
2 dx -
1
4
 dx =
1
4
 x -
1
4
 dx x -
1
8
 x -
1
8
 x -
1
32
 sen(4x) +K
cos ( ) cos( ) cos( )dxx x x





  
 
 
02) 





















  dx x2cos2
1
2
1
.x2cos
2
1
2
1
xdxcosxsen
2
42
 


















 dxx2cos4
1
x2cos
2
1
4
1
.x2cos
2
1
2
1 2
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 8 
 
 





 dxx2cos
8
1
x2cos
8
1
x2cos
8
1
8
1 32
= 
    xdx2cos
8
1
xdx2cos
8
1
dx
8
1 2
 
-
   xdx2cosx2cos8
1
x4sen
32
1
x
16
1
x2sen
16
1
x
8
1
xdx2cos
8
1 23
 
    x4sen32
1
x2sen
16
1
x
16
1
xdx2cosx2sen1
8
1
x4sen
32
1
x2sen
16
1
x
16
1 2
 
kx2sen
48
1
x4sen
32
1
x
16
1
kx2sen
48
1
x2sen
16
1 33 
 
 
Exercícios para integrais que os integrandos envolvem potencia de seno e coseno: 
Calcule 
f x( ) dx
, onde f(x) é dada abaixo: 
01) sen 5x 02) cos3(2x) 
03) cos(4x) + sen(3x) 04) cos x. sen4 x 
05) sen4(3x).cos3(3x) 06) (sen(2x) + cos x )2 
07) sen(2x) sen (4x) 08) sen(3x).cos x 
09) cos ( )
sen( )
3
3
3
3
x
x
 10) senx.cos x 3
 
 
3.2 Integrais cujo o integrando envolvem funções tangente, cotangente, secante e 
cossecante. 
Fórmulas fundamentais: 
sec sec
cossec cot
2 2 2
2 2
1 1
1
x tg x x x
x g x
   
 
 e tg
 e cotg x = cossec x -1 
2
2 2
 
Fórmulas de derivadas: 
01) Dx (tg x) = sec
2x 02) Dx(cotg x = - cossec
2x 
03) Dx(secx )= sec x tg x 04) Dx(cossec x) = - cossec x cotg x 
 
Fórmulas de integração: 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 9 
 
01
02
03
04
05
06
07
08
)
)
)
)
)
)
)
)
 tg u du = - ln| cos u |+ k = ln |sec u| + k
 cotg u du = ln | sen u | + k = - ln |cossec u| + k
 sec = tg u + k
 cossec = -cotg u + k
 sec u du = ln | sec u + tg u | + k
 cossec u du = ln | cossec u - cotg u | + k
 sec u tg u du = sec u + k
 cossec u cotg u du = - cossec u + k
2
2








u du
u du
 
3.2.1 Integrais cujo integrandos envolvem funções que são pontencia das funções tangente 
e cotangente. 
 tg x dx x tg x dx x xn = tg = tg sec dxn-2 n-2 22 1
 
 
Exemplo de integrais que envolvem funções que são pontencia funções tangente e 
cotangente.(potencia ímpar ou par): 
 
01)
 cot .cot
cot .cossec
g x dx x dx x gx dx
gx x dx x 
3
2
1= cotgx.cotg = cossec =
- cotgx dx = - 
1
2
 cotg - ln | sen x | + k
2 2
2


 
 
k |xsec| lnxtg 
2
1
xtg 
4
1
dxtgx dx xsec tgxxtg 
4
1
dx )1x(sec tgxxtg 
4
1
dx xtg tgxxtg 
4
1
dx xtg-dx xsec .xtgdx )1x.(secxtgdx xtg. xtgdx xtg )02
24
242424
32323235



   
    
 
 
03) 
    dx)1xsec(cosxgcotxdxgcot.xgcotxdxgcot
22224
 
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Carvalho, Kíssia 10 
 
    dx)1xsec(cosxgcot3
1
xdxgcotxdxseccosxgcot 23222
 
 
3.2.2 Integrais cujo integrando envolvem produto de potências das funções tangente e 
secante ou cotangente e cossecante. 
 xdxseccosxcotg e xdxsecxtg
mnmn
 
I) Se pelo menos m ou n é um número inteiro positivo par: 
Exemplo de integrais cujo o integrando envolvem produto de potencia de de tangente e secante 
ou cotangente e cossecante , com pelo meno uma potência par 
 
01) 
   tg x xdx tg x tg x x dx tg x x dx x x dx
x x k
3 4
3
2 2 3 2 21
1
4
1
6
sec sec sec sec   
 
  + tg
 tg tg
5
4 6
 
II) Se m e n são ambos ímpares. 
Exemplo de integrais que envolvem produto de potencia de de tangente e secante ou 
cotangente e cossecante , com ambas as potencias ímpar: 
  
 
cot cossec .(cossec
cossec cossec
cot cossec
g x x dx x x x cotgx dx
x (cossecx x x cotgx dx
g x x dx x x K
3 5
6
3 5
1
1
5
= cossec cossec ) =
cotgx dx) - cossec
= -
1
7
 cossec cossec
2 4
4
7 5

 



 
 
Exercícios de funções trigonométricas cujo integrando envolvem tagente, cotangente, secante e 
cosecante. 
 
Calcule as integrais abaixo: 
 
 
 
dx 
xtg
xsec
 06) 
cosx+1
dx
 )05
 dx xsec xtg 04) dx xsec )03
dx xsecx tg 02) dx xcotg )01
2
4
344
423
 
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Carvalho, Kíssia 11 
 
 
3.3 Integrais que geram funções trigonométricas inversas. 
Fórmulas: 
a) Para a=1 
01) 
 
 
 
02) 
 
 
 
03) 
 
 
 
b) Para caso geral 
01) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 se 
02) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 se 
03) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 se 
 
Exemplos de integrais que geram funções trigonométricas inversas. 
 
Determine as integrais: 
01) 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Faça : 
u x du dx dx du    



5
2
5
2
2
5
 
2
5
2 1
1
52
du
u
arc sen u arc sen x K
. 
  +K =
5
5
10
2
 
02) xdx
x4 25

 
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Faça: u = x2  du = 2x dx  x dx = du / 2. 
xdx
x
du
u
arc tg
4 225
1
2
25
1
2 25
1
2
1
5 5


















  
du
u
u
5
+K =
1
10
 arc tg 
x
+K 
2
2
.
 
 
03) 

 2x2x
dx
2
 
Completando o quadrado: 
  11x11x2x2x2x 222 
 
   

 11x
dx
2x2x
dx
22
 
Faça u = x – 1 logo du = dx 
  



k)1x(arctgkarctgu
1u
du
2x2x
dx
22
 
 
Exercício de integrais que geram funções trigonométricas inversas 
 
Calcule as integrais: 

 
 
 






2x2x
dx
 10) 
1)+(x+2
dx
 )09
x1
dxx
 08) 
4x+1
dxx 
 )07
xcos-2
dxsenx 
 06) 
e7
dxe
 )05
dx
5x6x3)-(x
2
 04) 
916uu
du
 )03
x-2x+15
dx
 02) 
169x
dx
 01)
22
8
3
4
2x2
x
22
22
 
 
3.4 Integrais resolvidas usando substituição trigonométrica 
 
 
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 13 
 
 
Tabela de substituição trigonométrica 
 
Expressão do 
Integrando 
substituição derivada identidade triangulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de integrais resolvidas usando substituição trigonométrica: 
01) 4 2
2


x
x
dx
 
Solução: 4 2
2
 




x
x
dx Faça:
x = 2sen
dx = 2cos d

 
 
Resolvendo a equação na variável  
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando para a variável . Considere o triângulo usado na substituição. 
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02
92
) 
1
x
 dx
2 x 

 
Faça : x = 3 tg   dx = 3 sec 2  d. 
 
 3
9 9 9
1
9
1
9
1
9
1
1
9
2
2 2 2
2 2sec cot cossec
 
 


    
    
d
d g d
d 
 tg tg tg
 d d =
 +
1
9
 cossec d =
1
9
 -
1
9
 cotg +k2

    

 
 
Voltando para a variável . Considere o triângulo usado na substituição. 
 
 
 
 cotg  = 3
x
 
  arc tg 
x
3
 
Logo, 
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 15 
 
dx
x x
k
2 29
1
9
   arc tg 
x
3
 
1
3x
 
 
Exercícios para integrais resolvidas usando substituição trigonométrica: 
 
01) x
x
dx
2 9
 02) 
 
1
16 2
5 2


x
dx
/
 
03)
1
25 162x x
dx


 04) 
 
x
x
dx
2
2 3 21 9
 /
 
07
1 2
) 
1
5 + x
 dx 08) 
x
 dx 
2
2


x
 
09
1 2
) 
1
4 - x
 dx 10) 
x
 dx
2
2


x
 
11 2 2) - x dx 12) 9 - x dx2 2  x
 
 
4 Integrais cujo integrando envolve Funções Racionais 
Sejam 
F(x), P(x), Q(x), S(x) e R(x), polinômios definidos no conjuto dos números reais tal que 
 
 
 
 
 com e o grau do 
 polinômio é dado por 
 
Polinomio é constituido de frações racionais, pode 
 
 
 
 
 
em que , ou, 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 16 
 
 
em que e . 
Exemplo de polinômio racionalDeseja-se resolver a integral 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1 Denominadores são fatores do 1° grau: 
 
I) Fatores lineares distintos 
 
 
 
 
 Exemplo de fatores lineares distintos 
01) 
 
 
 
 Usando frações parciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcula-se o valor de A e B resolvendo o sistema, por meio da igualdade de polinômios. 
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 17 
 
 
 
 
II) Fatores lineares repetidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com A1, A2 ,…, An a determinar. 
 
 Exemplo de fatores lineares distintos 
02) 
 
 
 
 
Fatorando o denominador 
 
 . Observe que o segundo termo é um polinômio 
sem raiz real. 
 
 
Logo é possível fatorar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E a integral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando os coeficientes e resolvendo a a integral têm-se: 
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo e Exercícios para integrais cujo integrando envolve Funções Racionais com fatores do 
primeiro grau 
 
Resolva as integrais: 
01
6 2
03
4 1 11 5
4 5 2
05
8 1
1
2 2
3 3 2
2 3 2
)
)
)
 
x
 dx 02) 
4x - 2
x
 dx
 
x
 dx 04) 
5x
 dx
 
dx
16x
 06) 
3x
 dx
2
3
2 2
4
2
x x x x
x
x x
x
x x x
x
x
x x
   
 

 
  
 
 




 
 
4.2 Denominadores são fatores do 2° grau 
 
I) Sem multiplicidade de polinômios 
 
 
 
 Exemplo 
01) 
 
 
 
Fatorando o denominador do integrando. 
 
Observe que o segundo polinômio da fatoração não possui raizes reais, logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 19 
 
 Calculando o valor das constantes tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolver a segunda integral é necessário completar os quadrados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 E assim resolver as integrais por substituição e função trigonométrica inversa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II) Com multiplicidade de polinômios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
01) 
 
 
 
 
 Fatorando o denominador 
 
Então o integrando pode ser fatorado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando os valores das variáveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo e Exercícios para integrais cujo integrando envolve Funções Racionais com fatores do 
segundo grau 
01
4 9
03
2 6 5 1
1
9 1
2 3
2 2
3 2
3 2 3 2
)
)
 
1
x
 dx 02) 
1
x
 dx
2x
 dx 04) 
10x
 dx
4 4
4 2
 
   
  
 
 


x x
x x x
x x x
x
x x x
 
 
5 Integrais resolvidas por substituição diversas: 
Exemplo e Exercícios para integrais resolvidas por substituição diversa 
 
Calcule as integrais: 
 
01
3 2
) x x+ 9 dx 02) 
5x
x+ 3
 dx3 
 
03
3
) 
1
4 + x
 dx 04) 
1
x
 dx
4  x
 
05) e 1+ e dx 06) 
sen(2x)
1+ senx
 dx 3x x 
 
07) 
1
1+ senx+ cosx
 dx 08) 
1
tgx+ senx
 dx
 
 
6 Exercícios de Técnicas de Integração: 
Calcule as integrais: 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 21 
 

 
 
 






2x2x
dx
 10) 
1)+(x+2
dx
 )9
x1
dxx
 8) 
4x+1
dxx 
 )7
xcos-2
dxsenx 
 6) 
e7
dxe
 )5
dx
5x6x3)-(x
2
 4) 
916uu
du
 )3
x-2x+15
dx
 2) 
169x
dx
 1)
22
8
3
4
2x2
x
22
22
 
6.1 Integração por Partes: 
Calcule as integrais: 
1
3
1 1
5 2
2 3
) ln
)
) ( )
 x 2) x(2x + 3)
 
x
 4) 
x
 cos x dx 6) (x +1)
99
3 5
10
 
 
 
 

xdx dx
dx
x
dx
x
x dx
 
7) ln x 8)) (lnx)2 2xdx dx
 
6.2 Integrais Trigonométricas: 
Calcule as integrais: 
1) cos 2) sen 3 2x dx x dx
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 22 
 
3
5
7
9
3 3
2 3
) cos cos
) cos sen
)
)
cos sec
 sen 4) senx
 sen 6) cosx
 sen2x cos4x dx 8) sen3x sen5x dx
 
e
 10) 
1- senx
x + cosx
5
3
cosx
x xdx xdx
x xdx xdx
x
dx dx




 
Calcule as integrais Trigonométricas: 
1
3
5 3 4
)
)
) sec sec
 cotg2) tg
 sec 4) cossec
 tg 6) tg
2 4
3 4
5 5
x dx xdx
xdx xdx
x xdx x xdx



 
7
9
1
1 1 1
5 3
3 2 2 2 2
) sec sec
) ( ) cos sec ( )
 tg 8) tg
 
x
x
 10) xcotg
7 2
2
2
x xdx x xdx
tg x dx x x dx
 
 














  
 
6.3 Integração por Substituição Trigonométricas: 
Integrandos Tipos: 
a a u
u a 
du a 
b a
du a 
c a
)
sen
cos
)
sec
)
 
 d
 u 
u = a tg
 d
 u 
u = a sec
du = a sec tg d
2
2
2 2
2
2
2
 






 





 





 

 

  
 
Calcule as integrais: 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 23 
 
1
4
3
5
7
9
3 4 1
2 2
2 2
2 2 2
3
2 2 2
2 2 2
3
2
2 2
)
)
) )
)
)
)
 2) 
x
 
dx
a
 4) 
dx
x
 (1- 4x 6) x
 
dx
x
 8) 
dx
(x
 
x
 10) 
5x + 4
x
2
2 3
2 2
3 2
2
3
a x
x
dx 
x
dx
x
dx 
x a
dx
dx a x dx
x a a
x
dx 
x
dx


 

 
 



 

 
6.4 Integrações de Frações Parciais: 
a) Denominadores são fatores lineares distintos: 
Calcule as integrais: 
1
4 4
3
2 2 1
5 4
2 1
5
5
46 48
5 24
7
6 2
2 2
3 2 2
3 2
2
)
)
)
)
cos
 
2x
 2) 
x - 1
x
 
3x
 4) 
x
 
10 - 2x
x
 6) 
x
 
5e
 8) 
3sen d
cos
3
3
2 2
2
2
t
2
x x
dx 
x x
dx
x x x
dx 
x
x x
dx
x
dx 
x
x x x
dx
dt
e et t
   
  
 
 

 
 
   



 
 
 
 


dx
x4x
8x105x
 10) dx
1)-(x
1-6x
 )9
3
2
2
 
6.5 Substituições Diversas: 
Resolva as integrais: 
01) 
dx
x1
 02) 
dx
x x4 
 
03) 
x
x2  dx
 04) 
x3 1 2x dx2 
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 24 
 
05) 
x x5 25 2 dx
 06) 
sec
sen
x
x1 dx
‘ 
07 2 1
09
11 1
1
3
3 4
)
)
)
 x x+ 9 dx 08) x dx
 
5x
(x+ 3)
 dx 10) 
1
4 + x
 e dx 12) 
2
2
3
3x
x
dx
e
x x
dxx





 
 
7 Exercícios sobre Técnicas de Integração – Problemas diversos. 
Resolva as integrais, usando o método mais imediato: 
  
 


dx 
3xcos2
senx
 04) dx 
2+x
1-x
 )03
dx 
x-16 x
1
 02) dx 
x
x4
 )01
5
22
2 
 
 
 
 
 






dxsen x arcx 12) dx ln x x )11
dx 
x+16
1
 10) dx 
9xx 
1
 )09
dx 
x+1
 x tgarc
 08) dx 
ln xx 
1
 )07
dx 
ee
ee
 06) dx 
53x
x
 )05
222
2
xx
xx
22
 
    


 dx 
3x4x.2-x
10x124x
 14) dx 
xx1011
3
)13
2
2
2
 
     
dx 
xxx
1
 16) dx 
 xcos+1
 xsen
 )15
43
 
dx 
(5x)cossec 
x
 18) dx e )17 lnx+1 
 
  
dx 
1- x
x
 20) dx 
5+x
1+2x
 )19
3100
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 25 
 
  

dx x cos 1x 22) dx 
25x8x
2+3x
 )21 3
2
 
 xdxcosxsen)23
23
 
xdxcosxsen)24 3
 
 
 dx)x3(cos)25
2
 


dx
)x2(sen
x2cos1
)26
2
 
 
 xdxcosxsen)27
24
 
 xdxcosxsen)28
35
 
 
 xdxsec)29
6
 
 xdxsecxtg)30
33
 
 
31)
tg x xdx5 sec
 32) 
sen( )cos( )3 2x x dx
 
 
33)
x xdxcos2
 34)
x dxx3
 
38)
x xdx2 ln
 39)
sen2x
e
dx
x
 
 
40)
x
x
dx
5
31
 41) 
   x x dx  1 2
10
 
 
42) 4 2
2


x
x
dx
 43)
1
92 2x x
dx

 
 
44)
x
x
dx
2 9
 44) 
 
1
16 2
5 2


x
dx
/
 
 
45)
1
25 162x x
dx

 46) 
 
x
x
dx
2
2
3 2
1 9
 /
 
 
47)
 
dx
x x1
2




 ln
 48) 
 sen ln x dx
 
 
Disciplica Cálculo II - POLI Tópico 01 – Técnicas de Integração 
Moutinho, Darlan 
Carvalho, Kíssia 26 
 
49)
arctg xdx
 50) 
 
x
x
dx
2
2
2
4

 
51) 
 





 dx
x
1
.
x
1
1
2
 52) 
 dx)xcos(x
23
 
53) 
 
dx
xcos3xsen4
1
 54) 


dx
e1
e
x
x3 
55) 
dx x35x 
 56) 
 dx
xcos
e
2
tgx 
57) 
 dx
xcos
x
2
 58) 
  

dx
)2x.(4x
4x6x4
2
2 
59) 


dx
x16
x
2
3 60) 
 xdxsecxtg
3
 
 
8 Referencias Bibliográricas 
Bibliografia 
 STEWART, J.: Cálculo - Vol. 1, 7ª edição. Editora Pioneira Thomson Learning, 
2013. 
 MUNEM, M. & FOULIS, D.J. Cálculo. Vol. 1 e 2. Guanabara II: LTC, 1982 
 SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1 e 2. São Paulo: 
Makron Books, 2000. 
 LEITHOLD, L.: O Cálculo com Geometria Analítica (2 volumes). Harbra, 1994. 
 
Bibliografia on-line 
 
 http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2012/06/integracao-por-
substituicao.html 
 http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2012/06/integracao-por-fracoes-
parciais-parte-1.html