MÉTODO DAS FORÇAS

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MMéétodo das Fortodo das Forççasas
O problema consiste em escrever as equaO problema consiste em escrever as equaçções ões 
geomgeoméétricas expressas em funtricas expressas em funçção das incão das incóógnitas gnitas 
hiperesthiperestááticas. Estas equaticas. Estas equaçções traduzem a ões traduzem a 
condicondiçção de ser nulo o deslocamento na direão de ser nulo o deslocamento na direççãoão
de cada incde cada incóógnita escolhida.gnita escolhida.
Incógnitas:
Esforços seccionais
Precisamos romper
vínculos até obter 
uma estrutura 
Isostática. 
Sistema PrincipalSistema Principal
E0 → Efeito do Carregamento Externo no Sistema Principal
E1 → Efeito de X1 = 1 no Sistema Principal
E2 → Efeito de X2 = 1 no Sistema Principal
Coeficientes de flexibilidade:Coeficientes de flexibilidade:
(deslocamentos)(deslocamentos)
d10 = deslocamento na dired10 = deslocamento na direçção de X1 para a aão de X1 para a aççãoão
externa; externa; 
d20 = deslocamento na dired20 = deslocamento na direçção de X2 para a aão de X2 para a aççãoão
externa; externa; 
d11 = deslocamento na dired11 = deslocamento na direçção de X1 para X1 = 1; ão de X1 para X1 = 1; 
d12 = deslocamento na dired12 = deslocamento na direçção de X1 para X2 = 1; ão de X1 para X2 = 1; 
d21 = deslocamento na dired21 = deslocamento na direçção de X2 para X1 = 1; ão de X2 para X1 = 1; 
d22 = deslocamento na dired22 = deslocamento na direçção de X2 para X2 = 1;ão de X2 para X2 = 1;
EquaEquaçções de compatibilidade de deslocamentosões de compatibilidade de deslocamentos
0 = d10 + d11 X1 + d12 X2
0 = d20 + d21 X1 + d22 X2
Resolvendo o sistema, podemos obter X1 e X2
E = E0 + E1 X1 + E2 X2 (esforço qualquer)
M = M0 + M1 X1 + E2 X2 (momento fletor)
R = R0 + R1 X1 + R2 X2 (reação de apoio)
Se tivermos n incSe tivermos n incóógnitas, teremos n equagnitas, teremos n equaççõesões
Coeficientes:Coeficientes:
Teremos que resolver o sistema principal para a aTeremos que resolver o sistema principal para a açção:ão:
a) Das aa) Das açções externas;ões externas;
b) Dos estados auxiliares b) Dos estados auxiliares XkXk = 1.= 1.
A determinaA determinaçção dos deslocamentos ão dos deslocamentos éé feita por meio dofeita por meio do
PrincPrincíípio dos Trabalhos Virtuais.pio dos Trabalhos Virtuais.
Chamando:Chamando:
Mk Mk –– momentos para momentos para XkXk = 1;= 1;
Mi Mi –– momentos para Xi = 1; momentos para Xi = 1; 
M0 M0 –– momentos devidos momentos devidos ààs as açções externos.ões externos.
dki = ∫ (Mk Mi / EJ) ds
Se considerarmos apenas a contribuição dos
momentos fletores:
dk0 = ∫ (Mk M0 / EJ) ds
Estamos desprezando a influência de cortante, 
normal e torsor.
Observação: Se o grau hiperestático for n,
lidaremos com n + 1 diagramas.
Roteiro para o MRoteiro para o Méétodo das Fortodo das Forççasas
1.1. Escolher o Sistema Principal e indicar os Escolher o Sistema Principal e indicar os 
hiperesthiperestááticos;ticos;
2.2. Calcular os n + 1 diagramas M0 e Mi;Calcular os n + 1 diagramas M0 e Mi;
3.3. Calcular os coeficientes de flexibilidade Calcular os coeficientes de flexibilidade --
δδi0 e i0 e δδijij;;
4.4. Estabelecer as equaEstabelecer as equaçções de compatibilidadeões de compatibilidade
de deslocamentos e resolvêde deslocamentos e resolvê--las (Xi);las (Xi);
5.5. Calcular de esforCalcular de esforçços e reaos e reaçções de apoio por ões de apoio por 
superposisuperposiçção na estrutura hiperestão na estrutura hiperestáática.tica.
1) Resolver a estrutura hiperest1) Resolver a estrutura hiperestáática:tica:
Combinando os diagramas: d10 = Combinando os diagramas: d10 = --20 e d11 = 620 e d11 = 6
d10 + d11 X1 = 0 d10 + d11 X1 = 0 →→ X1 = X1 = -- d10/d11 = 20/6 = 10/3d10/d11 = 20/6 = 10/3
EsforEsforçços Finais:os Finais:
M = M0 + 10/3 M1M = M0 + 10/3 M1
R = R0 + 10/3 R1 R = R0 + 10/3 R1 
MD = 0 + 10/3 (-1) = 3,33
MC3 = -6 + 10/3 (-1) = -9,33
MC2 = 0 + 10/3 (-1) = -3,33 
Barras com inBarras com inéércias constantes e diferentesrcias constantes e diferentes
Seja o quadro da figura. Um deslocamento δ devido ao
trabalho de flexão é: δ = ∫ (M M / EJ) ds =
= Σ ∫barra (M M / EJbarra) ds
Sendo JC uma inércia arbitrária, chamada inércia de 
comparação, que usualmente é arbitrada igual à
menor das inércias das barras, temos: 
E JC δ = Σ JC/Jbarra ∫barra M M ds
Em função dos diagramas M e M em cada
barra, tabelaremos os valores de:
JC/Jbarra ∫barra M M ds
que, somados para todas as barras da
estrutura, nos darão o valor E JC δ, a partir
do qual se obtém o valor do deslocamento
δ desejado.
Expressão de VereschaguinExpressão de Vereschaguin
Os diagramas Os diagramas MM são sempre compostos de trechos retossão sempre compostos de trechos retos
para estruturas compostas por barras retas. Os diagramaspara estruturas compostas por barras retas. Os diagramas
M poder ser quaisquer. Temos, para uma barra de inM poder ser quaisquer. Temos, para uma barra de inéérciarcia
JJii e comprimento le comprimento lii::
JC/Ji ∫llii M M ds = JC/Ji ∫a
a+li M x tg α dx
Da Geometria das Massas, sabemos que Da Geometria das Massas, sabemos que ∫∫ a
a+li M x dx é
o momento estático da área M em relação ao eixo y,
numericamente igual ao produto da área AM do diagrama
M pela distância x do seu centro de gravidade ao eixo y.
JC/Ji ∫llii M M ds = JC/Ji tg α AM x = JC/Ji AM y
O valor de JC/Ji ∫llii M M ds que desejamos tabelar é igual 
ao produto de JC/Ji pela área do diagrama qualquer e pela
ordenada, na posição do seu centro de gravidade, lida
no diagrama retilíneo.
Exemplos:Exemplos:
a) Combinaa) Combinaçção de M e ão de M e MM retilretilííneos:neos:
Chamando-se li Jc / Ji = l’i de comprimento elástico da
barra i e que é o comprimento fictício de uma barra de
inércia Jc que nos dá a mesma deformação da barra de
comprimento li e inércia Ji, temos: 
JC/Ji ∫llii M M ds = l’i/6 [MA (2MA + MB) + MB (2MB + MA)]
b) Combinação de M retilíneo e M parabólico do 2° grau:
2) Calcular o DMF para:2) Calcular o DMF para:
a) Carregamento indicado; b) Aumento uniforme de temperaturaa) Carregamento indicado; b) Aumento uniforme de temperatura
de 30de 30°° C; c) Recalque de apoio vertical no apoio B de 2 cm (C; c) Recalque de apoio vertical no apoio B de 2 cm (↓↓).).
Dados: E = 2,1 x 10Dados: E = 2,1 x 1077 kN/mkN/m22 e J = 0,02 me J = 0,02 m44..
Diagramas no Sistema PrincipalDiagramas no Sistema Principal
ql2/8 = 16 x 152 / 8 = 450 
CCáálculo dos d:lculo dos d:
EJEJcc d11 = 2 x 1/3 x 1 x 1 x 6 + 1 x 1 x 1 x 6 = 10d11 = 2 x 1/3 x 1 x 1 x 6 + 1 x 1 x 1 x 6 = 10
EJEJcc d12 = 1/2 x 1 x 1 x 6 = 3 d12 = 1/2 x 1 x 1 x 6 = 3 
EJEJcc d22 = 2 x 1/3 x 1 x 1 x 6 + 1 x 1 x 1 x 6 = 10d22 = 2 x 1/3 x 1 x 1 x 6 + 1 x 1 x 1 x 6 = 10
EJEJcc d10 = d10 = --2/3 x 450 x 1 x 6 = 2/3 x 450 x 1 x 6 = --18001800
EJEJcc d20 = d20 = --2 x 1/3 x 450 x 1 x 6 = 2 x 1/3 x 450 x 1 x 6 = --1800 1800 
Matriz 2 x2: Matriz 2 x2:  d11 d12 d11 d12 --11 = =  a b a b --11 = 1/= 1/∆∆ x x  d d --c c 
 d21 d22 d21 d22   cc d d   --b a b a 
d d = = 10 3 10 3  d d --11 = =  10/91 10/91 --3/91 3/91 
 3 10 3 10   --3/91 10/91 3/91 10/91 
[ [ d ]= a x d d ]= a x d –– b x c = 100 b x c = 100 –– 9 = 919 = 91
a) Carregamento externo:a) Carregamento externo:
 X1 X1  ==  10/91 10/91 --3/91 3/91   1800 1800  ==  138,5 138,5 
 X2 X2   --3/91 10/91 3/91 10/91   1800 1800   138,5 138,5 
bb) Varia) Variaçção de Temperatura:ão de Temperatura:
d1t = 10d1t = 10--55 x 30 x 15 x (x 30 x 15 x (--1/6) = 1/6) = --75 x 1075 x 10--55
d2t = d2t = 1010--55 x 30 x 0 = 0x 30 x 0 = 0
EJEJcc d1t = d1t = --315315
EJEJcc d2t = 0d2t = 0
 X1 X1  == 10/91 10/91 --3/91 3/91   315 315  ==  34,6 34,6 
 X2 X2   --3/91 10/91 3/91 10/91   0 0  --10,4 10,4 
cc) Recalque de Apoio:) Recalque de Apoio:
d1r = 0d1r = 0
1 x d1 x d2r2r + (+ (--2/15) x 0,02 = 0 2/15) x 0,02 = 0 ∴∴ dd2r2r = 0,04/15= 0,04/15
EJEJcc d1r = 0 d1r = 0 
EJEJcc d2r= 1120d2r= 1120
 X1 X1  ==  10/91 10/91 --3/91 3/91   0 0  = =  36,9 36,9 
 X2 X2   --3/91 10/91 3/91 10/91   --1120 1120  --123,0123,0 
3) Calcular o DMF para a estrutura, em que todas as barras têm E3) Calcular o DMF para a estrutura, em que todas as barras têm EJJ
constante, considerando apenas o efeito do momento fletor. Ticonstante, considerando apenas o efeito do momento fletor. Tirarrar
partido da simetria vertical.partido da simetria vertical.
As figuras seguintes apresentam os estados E0, E1 e E2,As figuras seguintes apresentam os estados E0, E1 e E2,
aut0aut0--equilibrados, com os correspondentes DMFs. equilibrados, com os correspondentes DMFs. 
A partir dos diagramas e utilizando as tabelas:A partir dos diagramas e utilizando as tabelas:
Sistema de equaSistema de equaçções:ões:
12 X1 + 2X2 = 148012 X1 + 2X2 = 1480
2 X1 + 12 X2 = 2 X1 + 12 X2 = --840840
X1 = 138,85 kNm e X2 = X1 = 138,85 kNm e X2 = --93,14 kNm93,14 kNm
Diagrama FinalDiagrama Final
4) Tra4) Traççar os diagramas de esforar os diagramas de esforçços solicitantes (DMF, DEC eos solicitantes (DMF, DEC e
DMT) para a grelha representada na figura.DMT) para a grelha representada na figura.
Sistema Principal e HiperestSistema Principal e Hiperestááticosticos
Ações no Sistema Principal - Carregamento
AAçções no Sistema Principal ões no Sistema Principal –– X1=1X1=1
Ações no Sistema Principal – X2=1
CCáálculo dos deslocamentos:lculo dos deslocamentos:
d11 = 1,404 x 10d11 = 1,404 x 10--3 3 ; d10 = ; d10 = --2,889 x 102,889 x 10--22;;
d22 = 1,222 x 10d22 = 1,222 x 10--4 4 ; d20 = 2,000 x 10; d20 = 2,000 x 10--33; ; 
d33 = 1,111 x 10d33 = 1,111 x 10--4 4 ; d30 = ; d30 = --6,519 x 106,519 x 10--3 3 ..
d12 = d12 = --5,000 x 105,000 x 10--5 5 ;;
EJ d13 = 3,556 x 10EJ d13 = 3,556 x 10--4 4 ;;
EJ d23 = 0,000;EJ d23 = 0,000;
Resolvendo o sistema de equaResolvendo o sistema de equaçções:ões:
X1 = 29,38 kN;X1 = 29,38 kN;
X2 = X2 = --4,35 kNm;4,35 kNm;
X3 = X3 = --35,34 kNm 35,34 kNm 
Diagramas Finais:Diagramas Finais:
PROGRAMA SALT PROGRAMA SALT ––Diagrama de MomentosDiagrama de Momentos
PROGRAMA SALT PROGRAMA SALT –– Diagrama de Momentos Torsores e de CortantesDiagrama de Momentos Torsores e de Cortantes
4) Resolver a treli4) Resolver a treliçça hiperesta hiperestáática da figura, cujas barras têm, todas,tica da figura, cujas barras têm, todas,
a mesma a mesma áárea.rea.
TrataTrata--se de uma trelise de uma treliçça uma vez hiperesta uma vez hiperestáática internamente. O Sistematica internamente. O Sistema
Principal estPrincipal estáá representado na figura da direita. Poderrepresentado na figura da direita. Poderííamos ter rompidoamos ter rompido
Outra barra no Sistema Principal.Outra barra no Sistema Principal.
Diagramas no Sistema PrincipalDiagramas no Sistema Principal
Temos, então:Temos, então:
EA d10 = EA d10 = ΣΣ (N1 N0 l) = 2 P a (1 + SQRT(2))(N1 N0 l) = 2 P a (1 + SQRT(2))
EA d11 = EA d11 = ΣΣ (N(N1 N1 l) = 4 a (1 + SQRT(2))1 N1 l) = 4 a (1 + SQRT(2))
X1 = X1 = -- d10 / d11 = d10 / d11 = -- P/2P/2
EsforEsforçços Finais: N = N0 + N1 X1 = N0 os Finais: N = N0 + N1 X1 = N0 –– (P/2) X1 (P/2) X1 
4) Obter, pelo M4) Obter, pelo Méétodo das Fortodo das Forçças, os diagramas solicitantes naas, os diagramas solicitantes na
estrutura representada na figura, para uma diminuiestrutura representada na figura, para uma diminuiçção uniformeão uniforme
de temperatura de 40 de temperatura de 40 °°C em toda a estrutura.C em toda a estrutura.
Dados: Viga: J = 0,045 mDados: Viga: J = 0,045 m44; A = 0,3000 m; A = 0,3000 m22; E = 21 GPa; E = 21 GPa
Tirante: A = 0,0005 mTirante: A = 0,0005 m22; E 210 Gpa; E 210 Gpa
αα = 10= 10--5 / 5 / °°CC
Sistema Principal e HiperestSistema Principal e Hiperestááticosticos
Efeitos no Sistema Principal Efeitos no Sistema Principal –– X1 =1X1 =1
ΣΣ Fx = 0 Fx = 0 →→ HHAA = = -- HHBB
ΣΣ Fy = 0 Fy = 0 →→ VVAA + V+ VBB = = --11
MCrot = 0 MCrot = 0 →→ HHBB = 0 = 0 →→ HHAA = 0 = 0 
ΣΣ MA = 0 MA = 0 →→ 15 X1 + 6 V15 X1 + 6 VBB –– 8 H8 HBB = 0 = 0 →→ VB = VB = --15/6 = 15/6 = --2,5 kN2,5 kN
VA = VA = --1 + 2,5 = 1,5 kN 1 + 2,5 = 1,5 kN 
Desprezando a deformaDesprezando a deformaçção por esforão por esforçço cortante, temos:o cortante, temos:
d11 = (1/Ed11 = (1/EvvJJvv) (9 x 9 x 6/3 + 9 x 9 x 9/3) + (1/E) (9 x 9 x 6/3 + 9 x 9 x 9/3) + (1/ETTJJTT) (2,5 x 2,5 x 8) =) (2,5 x 2,5 x 8) =
= 405 / (21 x 10= 405 / (21 x 1066 x 0,045) + 50 / (210 x 10x 0,045) + 50 / (210 x 1066 x 0,0005) = x 0,0005) = 
= 4,29 x 10= 4,29 x 10--44 + 4,76 x 10+ 4,76 x 10--44 = 9,05 x 10= 9,05 x 10--44
VariaVariaçção Uniforme de Temperatura:ão Uniforme de Temperatura:
Todas as barras: Todas as barras: ∆∆t = tg = t = tg = --40 40 °°CC
Como todas as barras têm inComo todas as barras têm inéércia constante: rcia constante: 
d1t = d1t = αα tg tg ∫∫ N1N1 dxdx = 10= 10--55 x (x (--40) x (40) x (--2,5) x 8 = 8,0 x 102,5) x 8 = 8,0 x 1033
CCáálculo do Hiperestlculo do Hiperestáático: 9,05 x 10tico: 9,05 x 10--44 X1 + 8,0 x 10X1 + 8,0 x 1033 = 0= 0
X1 = X1 = -- 8, 84 kN8, 84 kN
Diagramas Finais: Diagramas Finais: 
ExercExercíício de casacio de casa
Resolver o problema anterior adotando o seguinte Resolver o problema anterior adotando o seguinte 
Sistema Principal:Sistema Principal:
d11 = 1,45 x 10d11 = 1,45 x 10--44 d1t = d1t = -- 3,2 x 103,2 x 10--3 3 X1 = 22,10 X1 = 22,10 kNkN