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HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/1UNIDADE/prova2.png HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/1UNIDADE/prova.png HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/3UNIDADE/prova 3 hiper - TARDE.ftl 301 206 1 0 1 1 1 1 5 4 0 0 0 0 +0.00000e+000 +0.00000e+000 -1.00000e+030 +1.00000e+030 -1.00000e+030 +1.00000e+030 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 5 17 22 35 57 63 76 48 2 9 14 78 91 0 0 2 2 10 10 1 1 4 1 1 4 2 0 1 6 0 0 11 11 10 10 2 2 2 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 'e' 0 0 50 0 1 0 's' 0 -20 0 0 1 'e' 0 1.07186e+010 0.3 10 1e-005 1 'i' 1 0 0.1 0.12 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0.008 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 +5.00000e+000 +4.00000e+000 0 +0.00000e+000 +5.00000e+000 +0.00000e+000 +4.00000e+000 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 2 1 1 3 3 1 2 +0.00000e+000 +4.00000e+000 0 +0.00000e+000 +5.00000e+000 +4.00000e+000 +4.00000e+000 2 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 3 1 1 1 -90 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 2 3 3 4 2 1 3 +9.00000e+000 +4.00000e+000 0 +5.00000e+000 +9.00000e+000 +4.00000e+000 +4.00000e+000 3 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 4 2 2 5 4 1 4 +9.00000e+000 +0.00000e+000 0 +9.00000e+000 +9.00000e+000 +0.00000e+000 +4.00000e+000 4 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/3UNIDADE/PROVA 3 MANHÃ momento.PNG HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/3UNIDADE/PROVA 3 MANHÃ.ftl 301 206 1 0 1 5 11 5 15 13 0 0 0 0 +0.00000e+000 +0.00000e+000 -1.00000e+030 +1.00000e+030 -1.00000e+030 +1.00000e+030 0.5 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 5 17 22 35 50 63 76 48 2 9 14 78 91 0 0 2 2 10 10 4 4 4 2 2 4 2 3 1 6 0 0 11 11 10 10 2 2 2 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 2 5 'w' -50 0 0 'q' 0 0 0 '8' 0 0 0 '2' 0 0 0 'u' 0 0 -80 0 1 0 'g' 0 -30 0 1 't' -40 -40 3 'sad' 2 8.1e+007 0.2 25 1e-005 'x' 1 2.05e+008 0.3 77 1.2e-005 'd' 2 102984 0.2 25 1e-005 2 'i' 1 0 1 12 's' 7 0 0.008 0 4 0 0 1.5 0 0 -1 1.5 -1 1.5 0 5.5 0 1.5 -1 5.5 -1 5.5 0 10.5 0 5.5 -1 10.5 -1 0 0 0 4 -1 0 -1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 5 5 11 11 11 12 11 1 10 +1.50000e+000 +4.00000e+000 0 +0.00000e+000 +1.50000e+000 +0.00000e+000 +4.00000e+000 1 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 5 5 12 11 11 13 12 1 11 +5.50000e+000 +4.00000e+000 0 +1.50000e+000 +5.50000e+000 +4.00000e+000 +4.00000e+000 2 0 0 0 0 1 3 1 0 1 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 5 5 13 12 12 14 13 1 12 +1.05000e+001 +4.00000e+000 0 +5.50000e+000 +1.05000e+001 +4.00000e+000 +4.00000e+000 4 0 0 0 0 1 3 1 0 1 0 0 5 1 1 1 90 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 5 5 13 14 14 15 13 1 13 +5.50000e+000 +0.00000e+000 0 +5.50000e+000 +5.50000e+000 +0.00000e+000 +4.00000e+000 3 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/3UNIDADE/PROVA 3 MANHÃ.PNG HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/3UNIDADE/PROVA 3 MANHÃ - Copia.ftl 301 206 1 0 1 5 11 5 15 13 0 0 0 0 +0.00000e+000 +0.00000e+000 -1.00000e+030 +1.00000e+030 -1.00000e+030 +1.00000e+030 0.5 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 5 17 22 35 50 63 76 48 2 9 14 78 91 0 0 2 2 10 10 4 4 4 2 2 4 2 3 1 6 0 0 11 11 10 10 2 2 2 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 2 4 'w' -50 0 0 'q' 0 0 0 '8' 0 0 0 '2' 0 0 0 0 1 0 'g' 0 0 0 1 't' -40 -40 3 'sad' 2 8.1e+007 0.2 25 1e-005 'x' 1 2.05e+008 0.3 77 1.2e-005 'd' 2 102984 0.2 25 1e-005 2 'i' 1 0 1 12 's' 7 0 0.008 0 4 0 0 1.5 0 0 -1 1.5 -1 1.5 0 5.5 0 1.5 -1 5.5 -1 5.5 0 10.5 0 5.5 -1 10.5 -1 0 0 0 4 -1 0 -1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 5 5 11 11 11 12 11 1 10 +1.50000e+000 +4.00000e+000 0 +0.00000e+000 +1.50000e+000 +0.00000e+000 +4.00000e+000 1 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 5 5 12 11 11 13 12 1 11 +5.50000e+000 +4.00000e+000 0 +1.50000e+000 +5.50000e+000 +4.00000e+000 +4.00000e+000 2 0 0 0 0 1 3 1 0 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 5 5 13 12 12 14 13 1 12 +1.05000e+001 +4.00000e+000 0 +5.50000e+000 +1.05000e+001 +4.00000e+000 +4.00000e+000 4 0 0 0 0 1 3 1 0 1 0 0 5 1 1 1 90 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 5 5 13 14 14 15 13 1 13 +5.50000e+000 +0.00000e+000 0 +5.50000e+000 +5.50000e+000 +0.00000e+000 +4.00000e+000 3 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/2UNIDADE/prova2.PNG HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/2UNIDADE/Exercícios.pdf 1. Para a estrutura abaixo, traçar o diagrama dos momentos fletores e calcular os esforços nas barras simples. Dados: Chapas: E = 2500 kN/cm2 α = 1,0×10-5/ºC I = 549250 cm4 Barras simples: E = 20500 kN/cm2 α = 1,2×10-5/ºC S = 38 cm2 B C D E F A G 4 m 5 m 1,5 m1,5 m 2 m 2 m 36 kN B C D E F 25 kN/m A G 4 m 5 m 1,5 m1,5 m 2 m 3 0 k N /m 2 m Estrutura: Estrutura carregada: 2. Para a estrutura abaixo, traçar o diagrama dos momentos fletores. Dados: Apoio elástico: r = 10000 kN/m Chapas: E = 2700 kN/cm2 α = 1,0×10-5/ºC I = 479160 cm4 Barras simples: E = 21000 kN/cm2 α = 1,2×10-5/ºC S = 40 cm2 B C D E F A G 2,3 m2 m 2 m2,3 m 4,2 m 1,5 m B C D E F 20 kN/m A G 50 kN 35 kN 2,3 m2 m 2 m2,3 m 4,2 m 1,5 m Estrutura: Estrutura carregada: 3. Para a estrutura abaixo, traçar o diagrama dos momentos fletores. Dados: Chapas: E = 2500 kN/cm2 α = 1,0×10-5/ºC I = 686000 cm4 Barras simples: E = 21000 kN/cm2 α = 1,2×10-5/ºC S = 80 cm2 B C D E F A G 4 m4 m2,5 m 2,5 m 4 m 2 m H I A G 50 kN 30 kN 30 kN H I 80 kN B C D E F 25 kN/m Estrutura: Estrutura carregada: HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/2UNIDADE/Prova 2 - Hiperestática (prof Mônica).pdf HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/3UNIDADE/Questões de prova/Questões de prova 02.1 - hiper 3 unidade.pdf HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/3UNIDADE/III UNIDADE -Exercícios - Parte 2.pdf Processo dos Deslocamentos - Exercício Página 32 Processo dos Deslocamentos - Exercício Página 33 Processo dos Deslocamentos - Exercício Página 34 Processo dos Deslocamentos - Exercício Página 35 Processo dos Deslocamentos - Exercício Página 36 Processo dos Deslocamentos - Exercício Página 37 Processo dos Deslocamentos - Exercício Página 38 Processo dos Deslocamentos - Exercício Página 39 Processo dos Deslocamentos - Exercício Página 40 HIPERESTÁTICA - Prof. Mônica/Notas de aula - ENG 114.pdf UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPTo DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 - HIPERESTÁTICA Apresentação do Curso PROFa. MÔNICA CRISTINA CARDOSO DA GUARDA ENG 114 – HIPERESTÁTICA – Plano do Curso 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA PLANO DE CURSO - 2°°°° Semestre de 2015 PROGRAMA DA DISCIPLINA 1. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 1.1. Determinação Geométrica 1.2. Diagramas de Esforços Solicitantes 1.3. Princípio dos Trabalhos Virtuais 1.4. Cálculo de Deslocamentos e Rotações 2. PROCESSO DOS ESFORÇOS 2.1. Estruturas Submetidas a Ações Diretas 2.2. Estruturas Submetidas a Variação de Temperatura 2.3. Estruturas Submetidas a Recalques de Apoios 2.4. Estruturas com Apoios Elásticos 2.5. Simplificações Devidas à Simetria 3. PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS 3.1. Estruturas Submetidas a Ações Diretas 3.2. Estruturas Submetidas a Variação de Temperatura 3.3. Estruturas Submetidas a Recalques de Apoios 3.4. Estruturas com Apoios Elásticos 4. PROCESSO DE CROSS METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM A avaliação da aprendizagem, de acordo com o Regulamento do Ensino de Graduação e do Regimento Geral, será realizada a partir: • da apuração da freqüência às aulas, • da atribuição de notas aos alunos em três avaliações parciais, correspondentes a provas escritas e individuais. • Será considerado aprovado o aluno que obtiver nota final, resultante da média ponderada das avaliações parciais, igual ou superior a cinco, sem aproximação de decimais, de acordo com o Artigo 71 do Regimento Geral da UFBA. Os pesos das avaliações são apresentados a seguir. DATAS DAS AVALIAÇÕES: Primeira Avaliação: 25/02/2016 (Peso 2) Segunda Avaliação: 12/04/2016 (Peso 4) Terceira Avaliação: 02/06/2016 (Peso 4) Segunda Chamada: 06/06/2016 OBSERVAÇÕES: 1. Só será computada a presença do aluno que assistir aula na turma em que estiver regularmente matriculado, ou seja, cujo nome constar da caderneta. 2. Nas avaliações podem ser utilizadas calculadoras científicas, programáveis e alfanuméricas (HP, Casio, etc). Não é permitido o uso de notebook, ultrabook, netbook, tablet (ou similar). NÃO É PERMITIDO O PORTE DE CELULAR NA SALA DE AULA NOS DIAS DAS AVALIAÇÕES. 3. O aluno que faltar às avaliações e entrar com o pedido de segunda chamada na Secretaria da Escola Politécnica, apresentando justificativa de acordo com o Regulamento do Ensino de Graduação e de Pós- Graduação da UFBA, e no prazo determinado por este, poderá fazer outra avaliação com o mesmo assunto da avaliação que faltar, e em horário determinado a critério da professora (Data: 06/06/2016). ENG 114 – HIPERESTÁTICA – Plano do Curso 2 PROGRAMAÇÃO DAS AULAS * Datas sujeitas a alterações BIBLIOGRAFIA SORIANO, H. L.; LIMA, S.S. Análise de Estruturas: Método das Forças e Métodos dos Deslocamentos. Vol.2, Editora Ciência Moderna, Rio de Janeiro. SOUZA, J. C. A. O.; ANTUNES, H. M. C. C. Processos Gerais da Hiperestática Clássica. Universidade de São Paulo – Escola de Engenharia de São Carlos. SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. Vols. 1, 2 e 3. Editora Globo, Rio de Janeiro. No. DIA DATA* ASSUNTO 1 Terça 12/jan Apresentação do curso / Determinação geométrica 2 Quinta 14/jan Cálculo de reações de apoio / Esforços sol icitantes: Cálculo e traçado de diagramas 3 Terça 19/jan Cálculo de reações de apoio / Esforços sol icitantes: Cálculo e traçado de diagramas 4 Quinta 21/jan Princípio dos Trabalhos Virtuais: Considerações iniciais e exemplos 5 Terça 26/jan Não haverá aula (?) 6 Quinta 28/jan Princípio dos Trabalhos Virtuais: Estruturas fletidas usuais 7 Terça 02/fev Princípio dos Trabalhos Virtuais: Estruturas fletidas usuais 8 Quinta 04/fev Recesso da carnaval 9 Terça 09/fev Recesso da carnaval 10 Quinta 11/fev Recesso da carnaval 11 Terça 16/fev Princípio dos Trabalhos Virtuais: Estruturas fletidas usuais 12 Quinta 18/fev Princípio dos Trabalhos Virtuais: Treliça 13 Terça 23/fev Princípio dos Trabalhos Virtuais: Estruturas fletidas com barras simples 14 Quinta 25/fev PRIMEIRA AVALIAÇÃO (PESO 2) 15 Terça 01/mar Processo dos esforços: Considerações iniciais 16 Quinta 03/mar Processo dos esforços: Estruturas fletidas submetidas a ações externas 17 Terça 08/mar Processo dos esforços: Estruturas fletidas submetidas a ações externas 18 Quinta 10/mar Processo dos esforços: Estruturas fletidas submetidas a ações externas 19 Terça 15/mar Processo dos esforços: Estruturas fletidas submetidas a variação de temperatura 20 Quinta 17/mar Processo dos esforços: Estruturas fletidas submetidas a var. de temp./recalque de apoio 21 Terça 22/mar Processo dos esforços: Estruturas fletidas submetidas a recalque de apoio 22 Quinta 24/mar Não haverá aula 23 Terça 29/mar Processo dos esforços: Estruturas sobre apoios elásticos 24 Quinta 31/mar Processo dos esforços: Estruturas sobre apoios elásticos 25 Terça 05/abr Processo dos esforços: Treliças 26 Quinta 07/abr Processo dos Esforços: Simplificações devidas à simetria/Exercício 27 Terça 12/abr SEGUNDA AVALIAÇÃO (PESO 4) 28 Quinta 14/abr Processo dos deslocamentos: Considerações iniciais 29 Terça 19/abr Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a ações externas 30 Quinta 21/abr Não haverá aula 31 Terça 26/abr Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a ações externas 32 Quinta 28/abr Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a ações externas 33 Terça 03/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas sobre apoios elásticos 34 Quinta 05/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a variação de temperatura 35 Terça 10/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a variação de temperatura 36 Quinta 12/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a variação de temperatura 37 Terça 17/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a recalques de apoio 38 Quinta 19/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a recalques de apoio 39 Terça 24/mai Processo dos deslocamentos: Estruturas fletidas submetidas a recalques de apoio 40 Quinta 26/mai Não haverá aula 41 Terça 31/mai Processo de Cross: Considerações iniciais e exemplos em vigas 42 Quinta 02/jun TERCEIRA AVALIAÇÃO (PESO 4) 43 Segunda 06/jun SEGUNDA CHAMADA 2 ª U N ID A D E 3 ª U N ID A D E 1 a. U N ID A D E UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 - HIPERESTÁTICA 1ª. UNIDADE ENG 114 Hiperestática Introdução 1 1 EELLEEMMEENNTTOOSS FFUUNNDDAAMMEENNTTAAIISS DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS 1.1 INTRODUÇÃO “As estruturas são constituídas de um elemento ou de um conjunto de elementos ligados entre si e externamente ao solo, de tal forma que o sistema assim formado seja estável. A estrutura é, portanto, um sistema adequado para receber solicitações externas e encaminhá-las até seus vínculos externos”. Os elementos que constituem uma estrutura são chamados elementos estruturais. 1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS Classificação de acordo com as dimensões principais dos elementos. 1.2.1 ELEMENTO DE BARRA Quando duas dimensões são pequenas em relação à terceira. l h b 1.2.2 ELEMENTO DE SUPERFÍCIE Quando uma dimensão é muito menor que as outras duas. l h b Os elementos de superfície são divididos em: · Placa: as ações atuam perpendicularmente ao plano da superfície. b @ h < l b @ l > h ENG 114 Hiperestática Introdução 2 · Chapa: as ações atuam paralelamente ao plano da superfície. · Casca: elemento de superfície com curvatura não nula de seu plano 1.2.3 ELEMENTO DE BLOCO Não há dimensão preponderante sobre as outras. b l h 1.3 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS Função dos elementos que a compõem. 1.3.1 ESTRUTURAS LINEARES São aquelas formadas por elementos de barras. Podem ser planas ou espaciais. b @ h @ l ENG 114 Hiperestática Introdução 3 1.3.2 ESTRUTURAS DE SUPERFÍCIE Formadas por elementos de superfície. 1.3.3 ESTRUTURAS DE VOLUME Formadas por elementos de bloco. 1.4 ESTRUTURAS LINEARES PLANAS São aquelas formadas por barras cujos eixos estão situados no mesmo plano. Alguns exemplos: § Vigas § Pórticos § Treliças § Grelhas § Arcos OBS: O elemento de barra pode apresentar desempenhos distintos no conjunto da estrutura: § Ele pode suportar ações transversais ao seu eixo, e, com isso, transmitir momentos fletores e esforços cortantes, sendo chamado, neste caso, de chapa. § Ele pode transmitir apenas esforços axiais, sendo chamado, neste caso, de barra simples, ou simplesmente barra ENG 114 Hiperestática Introdução 4 12 3 4 i c 2 VVIINNCCUULLAAÇÇÃÃOO DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS LLIINNEEAARREESS PPLLAANNAASS 2.1 INTRODUÇÃO Como as estruturas podem ser formadas por vários elementos ligados entre si e exteriormente com o solo, essas ligações são chamadas vínculos. Podem ser distinguidos três tipos de vínculos: § Articulação entre chapas : ligação interna que une as chapas. § Articulação entre barras : ligação interna que une as barras (nó). § Apoios : ligação entre a estrutura e o solo (vínculos externos). Os elementos estruturais mais os vínculos devem formar um conjunto estável, sendo os vínculos responsáveis por restringir o movimento da estrutura. São três os movimentos possíveis nas estruturas lineares planas (graus de liberdade ): § Uma rotação § Duas translações 2.2 REPRESENTAÇÃO DOS TIPOS DE VÍNCULOS Os vínculos são caracterizados pelo número de graus de liberdade retirados da estrutura. 2.2.1 APOIO MÓVEL Permite a rotação e uma translação, retirando, portanto, um grau de liberdade da estrutura. 2.2.2 APOIO FIXO Permite somente a rotação, restringindo, portanto, as duas translações. 2.2.3 ARTICULAÇÃO ENTRE CHAPAS Restringe deslocamentos entre as chapas, permitindo rotações relativas entre elas. Seja uma articulação onde c chapas se encontram. Supondo-se uma das chapas fixa, a articulação retira dois graus de liberdade de cada uma das (c-1) chapas, em relação àquela suposta fixa. O número total de graus de liberdade retirados da estrutura por esse tipo de vínculo é, então, igual a 2(c-1). ENG 114 Hiperestática Introdução 5 2.2.4 ENGASTE FIXO Impede todos os movimentos no plano, retirando três graus de liberdade da estrutura. 2.2.5 ENGASTE MÓVEL Impede o giro e um movimento, retirando, assim, dois graus de liberdade da estrutura. 3 DDEETTEERRMMIINNAAÇÇÃÃOO GGEEOOMMÉÉTTRRIICCAA DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS 3.1 INTRODUÇÃO As relações entre o número de vínculos e o número de elementos que constituem uma estrutura devem satisfazer certas condições para que esta tenha sua posição determinada no plano. O estudo dessas relações denomina-se determinação geométrica. As estruturas podem ser classificadas, do ponto de vista geométrico, da seguinte forma: Se be = bn ® a estrutura é geometricamente determinada. Se be > bn ® a estrutura é geometricamente superdeterminada. Se be < bn ® a estrutura é geometricamente indeterminada ou móvel. Sendo: be = número de barras simples e de barras vinculares existentes na estrutura; c = número de chapas (ou barras gerais); n = número de nós bn = número de barras necessárias para que a estrutura em estudo seja determinada. 3.2 DEFINIÇÕES São apresentadas a seguir algumas definições necessárias à determinação geométrica das estruturas lineares planas. 3.2.1 CHAPAS (BARRAS GERAIS) Função geométrica: definir distâncias entre todos os seus pontos: ENG 114 Hiperestática Introdução 6 l l l l 1 2 3 Função estática: transmitir todos os esforços. 3.2.2 BARRAS SIMPLES (BARRAS) Função geométrica: definir a distância entre seus pontos extremos: l Função estática: transmitir apenas esforços axiais. 3.2.3 NÓS Encontro de barras simples Nó b b b 3.2.4 ARTICULAÇÃO Encontro de barras e chapas ou só de chapas Articulação c b b c c Articulação c 3.2.5 BARRAS VINCULARES Correspondem aos graus de liberdade impedidos pelos vínculos internos e externos. a) Engaste fixo Corresponde a três barras vinculares ENG 114 Hiperestática Introdução 7 b) Apoio fixo Corresponde a duas barras vinculares c) Apoio móvel Corresponde a uma barra vincular d) Engaste móvel Corresponde a duas barras vinculares 3.2.6 CHAPA TERRA Apoio de todas as estruturas 3.3 ESTRUTURAS ELEMENTARES 3.4 2.1 TRELIÇA Estrutura composta apenas de barras simples e nós, com carga aplicada somente nos nós. ® bn = 2n Exemplo: Tem-se: Þ Barras efetivamente existentes be = 11 + 4 = 15 n = 7 bn = 2 x 7 = 14 à Barras vinculares be = 15 > bn = 14 ® Treliça superdeterminada Grau: g = be – bn = 15 – 14 = 1 ® 1 x superdeterminada ENG 114 Hiperestática Introdução 8 3.4.1 ESTRUTURAS COMPOSTAS DE APOIOS E CHAPAS Transmitem todos os esforços ® bn = 3c Exemplo: Tem-se: be = 5 c = 1 n = 0 bn = 3c = 3 x 1 = 3 be = 5 > bn = 3 ® Estrutura superdeterminada Grau: g = be – bn = 5 – 3 = 2 ® Estrutura 2 x superdeterminada 3.4.2 ESTRUTURAS COMPOSTAS DE APOIOS, BARRAS, CHAPAS E NÓS ® bn = 3c + 2n Exemplo 1 Tem-se: be = 2 + 3 = 5 c = 1 n = 1 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 1 = 5 be = bn = 5 ® Estrutura determinada ENG 114 Hiperestática Introdução 9 Exemplo 2 Tem-se: be = 1 + 5 = 6 c = 2 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 2 + 2 x 0 = 6 be = bn = 6 ® Estrutura determinada OBS.: § Articulação entre duas chapas ® 2 barras vinculares § Articulação entre c chapas ® 2 (c – 1) barras vinculares Voltando ao exemplo anterior, tem-se: be = 9 c = 3 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 3 + 2 x 0 = 9 be = bn = 9 ® Estrutura determinada Exemplo 3: be = 3 c = 1 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 0 = 3 be = bn = 3 ® Estrutura determinada ENG 114 Hiperestática Introdução 10 Exemplo 4: be = 6 c = 1 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 0 = 3 be = 6 > bn = 3 ® Estrutura superdeterminada Grau: gh = be – bn = 6 – 3 = 3 ® Estrutura 3 x superdeterminada 3.5 CASOS EXCEPCIONAIS 3.5.1 BARRAS VINCULARES PARALELAS Móvel be = 3 c = 1 n = 0 bn = 3c = 3 be = bn = 3 ® Estrutura determinada Þ A estrutura é móvel ENG 114 Hiperestática Introdução 11 3.5.2 DIREÇÃO DAS BARRAS VINCULARES PASSANDO POR UM PONTO Móvel be = 9 + 3 = 12 c = 0 n = 6 bn = 2n = 12 be = bn = 12 ® Estrutura determinada Þ A estrutura é móvel 3.6 DETERMINAÇÃO ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS As estruturas podem ser classificadas, do ponto de vista estático, da seguinte forma: Se be = bn ® a estrutura é isostática. Se be > bn ® a estrutura é hiperestática. Se be < bn ® a estrutura é hipostática. 4 TTEEOORRIIAA LLIINNEEAARR DDAA EELLAASSTTIICCIIDDAADDEE DDEE 11aa OORRDDEEMM ((MMÉÉTTOODDOO CCLLÁÁSSSSIICCOO)) Admite-se que os deslocamentos da estrutura são muito pequenos e, até um certo nível de solicitação, os materiais tenham comportamento elástico e sem fenômenos significativos de ruptura. Com essas hipóteses, tem-se como conseqüência, a proporcionalidade entre causa e efeito, implicando na superposição de efeitos. 4.1 HIPÓTESES GERAIS DO MÉTODO CLÁSSICO a) Validade da Lei de Hooke § O material é considerado elástico e linear. § As tensões (s ou t) são diretamente proporcionais às deformações específicas. e=s E g=t G b) Validade das hipóteses de Bernouilli § As seções transversais planas permanecem planas após a deformação. ENG 114 Hiperestática Introdução 12 § As tensões em uma determinada seção transversal podem ser substituídas por suas resultantes (esforços internos). § As tensões são diretamente proporcionais aos esforços internos. Flexão simples: M I y=s Cisalhamento devido à flexão: V I b sM=t Compressão ou tração: N S 1=s c) Continuidade da estrutura com a deformação § Em um ponto b qualquer, a tangente à sua esquerda coincide com a tangente à sua direita. § Os nós contínuos são supostos indeformáveis; os ângulos entre as barras se mantêm na estrutura deformada A B C D E fA Af fB Bf Bf b d) As condições de equilíbrio são computadas na posição indeformada B A C A B Q C Q l d (Q)l M = QlA M = Q [l + d(Q)] A Nas estruturas usuais d (Q) é muito pequeno e pode ser desprezado. Portanto, MA = Q l e) Os esforços internos são sempre diretamente proporcionais às ações externas ENG 114 Hiperestática Introdução 13 4.2 SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS A proporcionalidade entre o efeito E e sua causa C implica diretamente na validade da superposição dos efeitos, isto é, para diversas causas C1, C2, C3, ... , Cn, tem-se: )C(E)C(E)C(E)C(E)CCCC(E n321n321 +×××+++=+×××+++ ENG 114 Hiperestática Cálculo de Reações 1 1 CCÁÁLLCCUULLOO DDEE RREEAAÇÇÕÕEESS 1.1 REAÇÕES EXTERNAS E INTERNAS As reações externas, existentes nos apoios (esforços nas barras vinculares), bem como as reações internas, existentes nas ligações (vínculos), e barras simples dessa estrutura, são necessários à determinação dos esforços solicitantes nos elementos que compõem a estrutura. Tais reações externas e internas são calculadas utilizando-se as equações de equilíbrio da Estática: 0FH =å 0FV =å 0M =å Seja a estrutura apresentada a seguir. d 0,5a cb 0,5a 2 d 0,5c P p1 p2 Q = p c1 1 2Q = p d2 2 3 d 3 A B D C E Fazendo a determinação geométrica, tem-se: be = 1 + 5 = 6 c = 2 n = 0 bn = 3c = 6 Þ be = bn Logo, a estrutura é determinada ou isostática, sendo o número de incógnitas igual ao número de equações de equilíbrio. Desta forma, o número de reações a serem calculadas é igual a seis, que é o número total de barras existentes na estrutura. Dessas barras, três são externas (barras vinculares) e três são internas (barras da articulação entre as chapas ABC e BCD, mais a barra simples AD). Portanto, devem ser calculadas seis reações, sendo três externas e três internas. ENG 114 Hiperestática Cálculo de Reações 2 1.2 RECOMENDAÇÕES PARA O CÁLCULO DAS REAÇÕES § As cargas distribuídas podem ser substituídas por suas respectivas cargas concentradas equivalentes (Q1 e Q2, da figura anterior), cujos valores são numericamente iguais às “áreas das superfícies de carregamento” e os pontos de aplicação estão situados nos centros de gravidades dessas superfícies. § Sempre que possível, as reações externas devem ser calculadas em primeiro lugar. § Somente após terem sido esgotadas as possibilidades de cálculo das reações externas, é que as chapas da estrutura devem ser separadas entre si, para o cálculo das reações internas e das possíveis reações externas ainda não calculadas. ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 1 1 EESSFFOORRÇÇOOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS EEMM EESSTTRRUUTTUURRAASS PPLLAANNAASS 1.1 INTRODUÇÃO Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços solicitantes que atuam em uma seção qualquer, equilibram as ações externas que agem à esquerda ou à direita desta seção, conforme indicado na figura abaixo. Nas estruturas planas, com carregamento agindo no seu plano, são três os esforços solicitantes: § Momento fletor (M) § Esforço cortante (V) § Esforço normal (N) R2 3R M N V S R1 S R2 R1 R3 S N M V 1.2 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES 1.2.1 CONVENÇÃO DE SINAIS a) Esforço Normal Considera-se positivo o esforço normal que provoca tração no trecho que atua. Tração Þ N(+) Compressão Þ N(-) ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 2 b) Momento Fletor O diagrama de momentos fletores deve ser desenhado com as cotas marcadas do lado das fibras tracionadas, em relação ao eixo longitudinal de cada trecho. Compressão Tração Tração nas fibras inferiores M Tração nas fibras superiores M Compressão Tração Costuma-se considerar positivo o momento que traciona as fibras inferiores, e negativo o momento que traciona as fibras superiores. c) Esforço Cortante É considerado positivo o esforço cortante que provoca, junto com a resultante das ações atuantes à direita ou à esquerda de uma seção, um binário no sentido horário. R = P/21 V S l P l/2 P V R = P/22 V R = P/21 l/2 R = P/22 l V P S P V R = P/21 R = P/22 R = P/21 R = P/22 V V V P P V(-)V(+) ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 3 1.2.2 RELAÇÕES ENTRE CARGA, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR Sendo a carga, o esforço cortante e o momento fletor funções de x, abscissa ao longo da estrutura, para um elemento de comprimento infinitesimal dx, em equilíbrio sob o efeito da carga p = p(x), e dos esforços solicitantes M = M(x) e V = V(x), pode-se estabelecer: p = p(x) x l x + dx M(x) V(x) V(x) + dV(x) p = p(x) M(x) + dM(x) dx P = p(x) dx O å = 0Fv 0dV(x)][V(x)dx )x(p)x(V =--- 0)x(dVdx )x(p =-- Þ dx )x(dV )x(p =- (1) å = 0MO 0)]x(dM)x(M[ 2 dx dx )x(pdx )x(V)x(M =+--+ Desprezando-se os infinitesimais de segunda ordem: 0)x(dM)x(V =- Þ dx )x(dM )x(V = (2) Derivando a eq.(2) em relação a x, tem-se 2 2 dx )x(Md dx )x(dV = (3) E, substituindo-se a eq.(3) na eq.(1), obtém-se: 2 2 dx )x(Md )x(p =- (4) Portanto, sempre que se conhecer a função p(x), a eq.(4) pode ser resolvida para M(x), e, por diferenciação, o esforço cortante V(x) pode ser determinado. ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 4 1.2.3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DOS MOMENTOS FLETORES Integrando-se a eq.(4) duas vezes, encontra-se: 1C x)x(pdx )x(dM +-= (5) 21 2 Cx C 2 x )x(p)x(M ++-= (6) As constantes de integração C1 e C2 podem ser determinadas através das condições de apoio. Vale lembrar que a eq.(4) só é válida nos trechos sem carga concentrada aplicada. Considerando-se p(x) = constante = p, de acordo com as eqs (5) e (2), tem-se: 1Cx pdx )x(dM +-= 1Cx p)x(V +-= ® Equação de uma reta (7) E, a partir da eq.(6), encontra-se: 21 2 Cx C 2 x p )x(M ++-= ® Equação de uma parábola do 2° grau (8) A análise das equações (7) e (8) permite que se possam prever as formas que os diagramas dos esforços M e V irão assumir, conforme tabela abaixo: Forma do Diagrama Tipo de Carga Esforço Cortante V(x) Momento Fletor M(x) p(x) = 0 Constante Linear p(x) = constante Linear Parábola de 2º grau p(x) = a x + b Parábola de 2º grau Parábola cúbica ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 5 OBSERVAÇÕES: 1) Essa análise é válida nos trechos onde a carga p é contínua. Havendo cargas concentradas, que representam descontinuidades de carregamento, essa análise só é válida nos trechos compreendidos entre essas cargas. 2) Pela eq.(2) observa-se que quando o esforço cortante se anula, a função momento passa por um extremo, que é de máximo, já que a derivada segunda dessa função é negativa. 0 dx )x(dM )x(V == )x(p dx )x(Md 2 2 -= 3) É válida a superposição de efeitos, e, portanto, de seus diagramas nos trechos sujeitos à ação de cargas concentradas. 4) Tudo que é válido para o esforço cortante também o é para o esforço normal. ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Chapas Inclinadas 1 EESSFFOORRÇÇOOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS EEMM CCHHAAPPAASS IINNCCLLIINNAADDAASS Em uma chapa (barra geral) inclinada podem atuar carregamentos em direções diversas. Também neste caso, a variação dos esforços solicitantes pode ser indicada em diagramas, utilizando como eixo das abscissas o próprio eixo da chapa, e representando segundo o eixo das ordenadas, a intensidade dos esforços, seção por seção. São apresentados a seguir, os diagramas de esforços solicitantes para os principais tipos de carregamento uniformemente distribuído que podem atuar nas estruturas. 1. CARGA ACIDENTAL p L h l a a a p l p l cos a p l sen a p l 2 p l 2 p l 2 cos a cos a p l 2 sen a p l 2 sen a 2 p l a a p l co s a l / c os a p co s a = 2 = p l sen a l / c os a p co s a sen a 8 p l M =max 2 cos ap l 2 cos a 2 p l (+) (-)V M p l sen a 2 N (+) (-) sen a 2 p l ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Chapas Inclinadas 2 2. AÇÃO DO VENTO p L h l a a p h 2 sen a sen a 2 l p h 8 p h M =max 2 sen ap h 2 sen a 2 p h (+) (-)V M N (+) p h sen a a p h a p h c os a p h 2 l p h 2 2p h 2 l p h sen a p h cos a sen a 2 p h 2 sen a) 2 l h p h (co s a + h p h (co s a + sen a) 2 l p h 2 l 2 sen a sen a c os a l p h cos a p h l 2 ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Chapas Inclinadas 3 3. PESO PRÓPRIO p L h l a a a p l p l p l p l 2 tg ap l 2 tg a 2 p l a a p co s a p se n a 8 cos a p l M =max 2 p l 2 2 p l (+) (-)V M p l tg a 2 N (+) (-) tg a 2 p l cos a sen a cos a 2 cos a p l 2 cos a p l 2 p l ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 1 1 PPRRIINNCCÍÍPPIIOO DDOOSS TTRRAABBAALLHHOOSS VVIIRRTTUUAAIISS 1.1 INTRODUÇÃO Seja uma estrutura linear qualquer com suas vinculações definidas. Seja um estado de forças (a) agindo nessa estrutura, com forças externas em equilíbrio com os esforços internos. F1 F2 F3 F4 F5 l (a) Seja um estado de deslocamentos (b) sobre a mesma estrutura, com deslocamentos e deformações virtuais (isto é, hipotéticos e infinitesimais), geometricamente compatíveis com as vinculações, mas sem qualquer relação obrigatória com o estado de forças (a). l (b) Dl Pelo PTV: O trabalho virtual externo, das forças externas de (a), com os deslocamentos de (b), é igual ao trabalho virtual interno realizado pelos esforços internos de (a) com as deformações de (b), ou seja: å å= INTEXT TT 1.2 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS Seja um estado de deslocamento (b) real, mas com deslocamentos pequenos o suficiente para que em estados de forças que venham a ser criados sobre a estrutura, possam ser considerados na posição inicial. (b) s ds B d = ?B ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 2 As deformações que surgem na seção transversal de um elemento ds da estrutura são: ds dub dvb dfb Para se calcular o deslocamento dB cria-se um estado de forças (a), conveniente, com uma força externa unitária na direção de dB e com um sentido assumido para ele. (a) s B P = 1 Em s os esforços solicitantes causados pela força unitária são Na, Va e Ma. Impondo-se, então, o estado de deslocamento (b) ao estado de forças (a), tem-se, pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais (å å= INTEXT TT ) ò òò f++=d× est b est ab est abaB d Mdv Vdu N1 1.3 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM TRELIÇAS PLANAS 1.3.1 INTRODUÇÃO Para a resolução de uma treliça deve-se: Ø Calcular as reações de apoio Ø Calcular os esforços normais nas barras, utilizando-se: · Equilíbrio de nó · Processo de Ritter · Processo gráfico Carmona Em algumas treliças não é possível o cálculo das reações de apoio sem que antes seja aplicado o equilíbrio de nó ou o processo de Ritter. dub = deformação por esforço normal dvb = deformação por esforço cortante df b = deformação por momento fletor (rotação) ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 3 Com o intuito de facilitar a determinação dos esforços normais nas barras de uma treliça, apresentam-se, a seguir, características da geometria e do carregamento que permitem a obtenção direta destes esforços. Sendo Pi as cargas externas aplicadas nos nós e Fi os esforços normais nas barras, têm-se: 1º. Nó Característico: Nó formado por duas barras, sem carregamento externo e com a assumindo qualquer valor: a 1 2 F1 F2 2º. Nó Característico: Nó formado por duas barras, com carregamento externo na direção de uma ou das duas barras e com a assumindo qualquer valor: a 1 2 F1 F2P1 2P a 3º. Nó Característico: Nó formado por três barras, sendo duas na mesma direção, sem carregamento externo e com a assumindo qualquer valor: 1 3 F1 2F F32 a 4º. Nó Característico: Nó formado por três barras, sendo duas na mesma direção, com carregamento externo na direção da barra (1) e com a assumindo qualquer valor: a 1 3 F1 P1 2F F3 2 a F1 = 0 F2 = 0 Para a = p Þ F1 = F2 F1 = P1 F2 = P2 F1 = 0 F2 = F3 F1 = P1 F2 = F3 ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 4 1.3.2 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS Treliça plana é uma estrutura formada por barras articuladas em suas extremidades, com cargas externas agindo no plano da estrutura e aplicadas em seus nós. · Esforços solicitantes: somente N (M e V = 0) · Deformações: somente du (dv e df = 0) Portanto, pelo PTV: ò= est baEXT du NT onde: Na = esforço axial causado pela força unitária (estado de forças) dub = deformação axial causada pelo agente externo (estado de deslocamentos) Sendo a força axial Na constante por barra, tem-se: òå= i ii 0 b i aEXT duNT l ii b i aEXT NT lD= å sendo que iblD pode ser causado por qualquer agente externo (carga, variação de temperatura, etc). Para a situação muito freqüente, de se ter o estado de deslocamento (b) provocado por cargas, iblD pode ser calculado pela Lei de Hooke, e em função do esforço axial: S E N E S N E ii ib b i b i i b i i ii l l l l =DÞ D =Þe=s onde: ibN = esforço axial atuante em cada barra, e causado pelo agente externo il = comprimento da barra iE = módulo de deformação longitudinal iS = área da seção transversal da cada barra Tem-se, então, pelo PTV: å= i ii i baEXT S E NNT ii l ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 5 No caso do estado de deslocamento (b) ser provocado por uma variação uniforme de temperatura DT, o valor de iblD pode ser obtido a partir de: T ibi ll Da=D E, pelo PTV, tem-se então: iii i aEXT T NT i lDa= å 1.4 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS FLETIDAS Estruturas Fletidas Usuais : · Carregamento contido no plano da estrutura · Esforços solicitantes: N, V e M · Deformações: dub, dvb, ? b Exemplos: Vigas, pórticos, arcos, etc Pelo PTV, tem-se: ò òò f++= est b est ab est abaext d Mdv Vdu NT Pela Resistência dos Materiais sabe-se: ds dub dvb dfb Nb Vb bM Portanto, pelo PTV, obtém-se: ò òò ++= est est ba est baba ext ds EI MM ds GS VV c ds ES NN T ds ES N du bb = ds GS cV dv bb = ds EI M d bb =f ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 6 1.5 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS FLETIDAS CAUSADOS POR VARIAÇÃO DA TEMPERATURA Nas estruturas isostáticas, a variação de temperatura não provoca esforços solicitantes, já que a estrutura pode se expandir sem restrição. Seja a barra reta, representada abaixo, submetida a uma variação de temperatura DTs, na sua face superior, e DTi, na face inferior, com DTi > DTs, e variação linear ao longo da altura h da seção transversal. Logo, no eixo x, que passa pelos centróides das seções transversais, tem-se a variação de temperatura DT. l ds h x Considerando a barra livre e sem vínculos externos, ela se expande longitudinalmente e flete com curvatura voltada para cima. A deformação transversal não é relevante. DT DT s i Sendo a o coeficiente de dilatação térmica, a deformação de um trecho de comprimento infinitesimal ds é ilustrada a seguir. du ds a DT dsi a DT dss b dfb h 2 h 2 Esta deformação se deve ao deslocamento na direção do eixo longitudinal dub, e a rotação das seções transversais df b, que valem: ( ) 2 ds T ds T ds T du sisb Da-Da +Da= ( )ds TT 2 du sib D+D a =Þ ou, ds T du b Da= com, ( ) 2 TT T si D+D =D ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 7 E, para a flexão, tem-se: ( ) 2 h 2 ds T ds T d si b Da-Da =f ( )ds T T h d sib D-D a =fÞ Assim, seja um estado de deslocamento (b) real, causado por variação de temperatura. (b) s ds B d = ?B Seja um estado de força conveniente (a), para o cálculo de dB (a) s B P = 1 Impondo-se o estado de deslocamento (b) ao estado de forças (a), pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais (å å= INTEXT TT ), tem-se: ò òò f++=d est b est ab est abaB d Mdv Vdu N ( ) ( )ò òò úû ù êë é D-D a +×+úû ù êë é D+D a =d est si est a est asiaB ds TTh M0 Vds TT 2 N ( ) ( )ò òD-D a +D+D a =dÞ est est asiasiB dsM TT h dsN TT 2 Sendo ò dsNa e ò dsMa as áreas dos diagramas de esforços normais e de momentos fletores, respectivamente, devidos ao estado de força conveniente. ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 8 1.6 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM PÓRTICOS COM BARRAS SIMPLES (ATIRANTADOS) Para pórticos com barras simples as parcelas dos deslocamentos correspondentes aos esforços normais e cortantes só serão desprezadas na parte da estrutura submetida à flexão. Na parte submetida a esforços normais não é prudente desprezar a contribuição deste esforço. Logo, pelo PTV, tem-se: ò ò f+= flexão sem b flexão com abaEXT d Mdu NT Assim, para os pórticos com barras simples submetidos a forças externas, de acordo com o exposto anteriormente, tem-se: òò += flexão sem ba flexão com ba ext ds ES NN ds EI MM T Exemplo : Calcular o deslocamento vertical da articulação B do pórtico apresentado a seguir. Dados: E = 2000 kN/cm2 Et = 21000 kN/cm2 I = 50000cm4 St = 3 cm2 A 10 kN/m C 4 m3 m 4 m 3 m 1 m 2 m B E, I E , St t E, I a) Determinação geométrica be = 2 + 2 + 1 +1 = 6 c = 2 be = bn ? Estrutura isostática bn = 3c + 2n = 3 × 2 = 6 b) Estado de deslocamento (b) Reações: AV = 52,5 kN 30 kN 40 kN CV = 17,5 kN BV = 17,5 kN V = 17,5 kNB AH = 0 H = 40,83 kNB BH = 40,83 kN N = 40,83 kNt N = 40,83 kNtNt Nt ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 9 C B 30,8 4 29,16 20 11,25 M (kNm)b N (kN)b + 40,83 A c) Estado de força conveniente (a) A 1 C B Reações: C AV = 0,5 CV = 0,5 V = 0,5B AH = 0 BH = 1,167 N = 1,167t N = 1,167tN t N t 1 H = 1,167B BV = 0,5 A C B 0,833 0,83 3 M (m)a N a 1,167 ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 10 d) Cálculo de dVB tt tba i 0 baB SE NN ds MM EI 1 V i ll +=d å ò Parcela da flexão: ( ) ( ) +úû ù êë é -×××--×××=d 833,025,11 3 1 606,3833,084,30 3 1 3,606V EI 'B ( ) ( )úû ù êë é -×××+-×××+ 833,020 3 1 123,4833,084,30 3 1 123,4 úû ù êë é ×××+úû ù êë é ×××+ 833,016,29 3 1 606,3833,016,29 3 1 123,4 ( ) cm 0,378m 00378,0 100,51020 766,37 V 47 ' B -=-= ××× - =d Parcela do esforço normal: cm 059,1m 01059,0 100,3101,2 1483,40167,1 V 48 '' B == ××× ×× =d - Deslocamento vertical da articulação B: 0,681cm 1,059 378,0VVV ''B ' BB =+-=d+d=d Determinação Geométrica 1 Exercícios UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA - T01 Fazer a determinação geométrica das estruturas apresentadas a seguir. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Determinação Geométrica 2 Exercícios 9. 10. 11. 12. 13. 14. Determinação Geométrica 3 Exercícios 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Determinação Geométrica 4 Exercícios 25. 26. 27. 28. 29. Determinação Geométrica 5 Exercícios 30. 31. 32. 33. 34. 35. Respostas da Lista de Exercícios - Determinação Geométrica UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA - ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA Respostas da Lista de Exercícios - Determinação Geométrica Determinada Determinada Determinada 1 x Superdeterminada Determinada Determinada Determinada Indeterminada Determinada Indeterminada Determinada Determinada Determinada Determinada Determinada Determinada 4 x Superdeterminada Determinada Determinada Determinada Determinada Indeterminada 3 x Superdeterminada Indeterminada 1 x Superdeterminada Indeterminada Determinada Indeterminada Determinada Determinada 3 x Superdeterminada 1 x Superdeterminada Determinada 3 x Superdeterminada Indeterminada 33 34 35 29 30 31 32 25 26 27 28 21 22 23 24 17 18 19 20 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 Questão Resposta Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 1 Exercícios UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA Calcular as reações e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as estruturas apresentadas a seguir. 1. 60 kN 20 kN/m 2,0 m 2,0 m 2,0 m2,0 m A B 2. 60 kN 1,0 m1,0 m A B 0,5 m0,5 m 1,0 m 0,5 m 10 kN 20 kN 5 kN 150 kNm 3. A B 5 kN/m 20 kN 20 kN C 4,0 m 2,0 m2,0 m 4,0 m Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 2 Exercícios 4. A 10 k N /m 3,0 m1,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m 30 kN B C D E F 5. A 12 kN/m 4,0 m 3,0 m 3,0 m 8 kN B C D 6 kN 2,0 m 6. A E 10 kN/m 40 kN C 4,0 m 4,0 m 3,0 m 4,0 m 10 kN/m B D 1,5 m Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 3 Exercícios 7. D 20 kN/m 4,0 m 3,0 m 7,0 m A B C 20 kN /m 8. 5 kN/m 20 kN 2,0 m 1,0 m2,0 m1,0 m 1,5 m 2,0 m A B C D E 9. 4,0 m 4,0 m 4,0 m A B 10 k N /m 4,0 m 20 kNm 20 kNm C D E 10 kN/m Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 4 Exercícios 10. A E B D C 3,0 m 3,0 m 1,5 m 3,0 m 20 kN/m 20 kN 10 kN /m 11. 10 kN/m 2,0 m 3,0 m 2,0 m A B E C F D 3,0 m 2,0 m 20 kN/m 12. 10 kN/m 4,0 m 3,0 m 2,0 m A B C D 2,0 m 10 kN/m 20 kN Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 5 Exercícios 13. 3,0 m 5,0 m 5,0 m A E 5,0 m F D B G 40 kN C 10 kN/m Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 1) Reações de Apoio Momentos Fletores Esforços Cortantes Esforços Normais Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 2 2) Reações de Apoio Momentos Fletores Esforços Cortantes Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 3 Esforços Normais 3) Reações de Apoio Momentos Fletores Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 4 Esforços Cortantes Esforços Normais 4) Estrutura Reações de Apoio Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 5 Momentos Fletores Esforços Cortantes Esforços Normais 5) Estrutura Reações de Apoio Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 6 Momentos Fletores Esforços Cortantes Esforços Normais 6) Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 7 Reações de Apoio Momentos Fletores Esforços Cortantes Esforços Normais 7) Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 8 Reações de Apoio Momentos Fletores Esforços Cortantes Esforços Normais 8) Reações de Apoio Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 9 Momentos Fletores Esforços Cortantes Esforços Normais Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 10 9) Reações de Apoio Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 11 Momentos Fletores Esforços Cortantes Esforços Normais Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 12 10) Estrutura Reações de Apoio Momentos Fletores Esforços Cortantes Esforços Normais 11) Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 13 Reações de Apoio Momentos Fletores Esforços Cortantes Esforços Normais Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 14 12) Reações de Apoio Momentos Fletores Esforços Cortantes Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 15 Esforços Normais 13) Reações de Apoio Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 16 Momentos Fletores Esforços Cortantes Esforços Normais Princípio dos Trabalhos Virtuais Exercícios UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA – T01 Exercícios 1. Para a estrutura apresentada a seguir, pede-se: a) Calcular as reações externas e internas. b) Traçar os diagramas de momentos fletores, de esforços cortantes e de esforços normais. c) Calcular o deslocamento vertical da articulação C Dados: E = 21000 kN/cm2 I = 40500 cm4 10 kN/m A E B D C 3,0 m 3,0 m 1,5 m 3,0 m 20 kN/m 20 kN cm65,9 CV =d 2. Para a estrutura apresentada a seguir, pede-se: a) Calcular as reações externas e internas. b) Traçar os diagramas dos esforços solicitantes (momentos fletores, esforços cortantes e esforços normais). c) Calcular o deslocamento vertical do ponto D. Dados: E = 2500 kN/cm2 Seção transversal retangular para todos os elementos, com b = 20 cm e h = 60 cm. 4,0 m 8,0 m3,0 m3,0 m A 50 kN 60 kN 20 kN/m B C D E F 4,0 m4,0 m 4,0 m m202,0 DV =d Princípio dos Trabalhos Virtuais: Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas 1 Exercícios UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA Exercícios 1. Para a estrutura apresentada a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes e calcular o deslocamento horizontal do ponto E. Sabe-se que além do carregamento indicado na figura, a barra CE sofre um acréscimo uniforme de temperatura de 60 oC. Dados: Estrutura fletida: E = 3000 kN/cm2 I = 270000 cm4 α = 10-5/ºC h = 60 cm Barra simples: E = 21000 kN/cm2 φ = 20 mm α = 1,2 ×10-5/ºC 4 m2 m 1 m 1,5 m1,5 m 80 kN 4,0 m 4,0 m A 20 kN/m 4,0 m 4,0 m 60 kN B C D E F Resposta: δδδδH = 0,0376m 2. Para a estrutura apresentada a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes e calcular o deslocamento vertical do ponto F. Dados: Estrutura fletida: E = 3000 kN/cm2 Seção transversal = = = cm70h cm15b Barra simples: E = 21000 kN/cm2 φ = 20 mm Resposta: δδδδV = 0,03m Princípio dos Trabalhos Virtuais: Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas 2 Exercícios A 20 kN/m 4,0 m 4,0 m 60 kN B C D E F 80 kN 4,0 m 4,0 m 80 kN G 2,0 m2,0 m 2,0 m 3,0 m 2,0 m 3. Para a estrutura apresentada a seguir, pede-se: a) Calcular as reações externas e internas. b) Traçar os diagramas dos esforços solicitantes. c) Calcular a rotação do apoio F causada pelo carregamento indicado na figura e por uma variação de temperatura de ∆Ti = 18 oC e ∆Ts = 45 oC. Dados: E = 2500 kN/cm2 I = 360000 cm4 α = 10 -5 / oC h = 60 cm 4,0 m 20 kN/m E A 3,0 m B F 4,5 m 1,5 m 80 kN 2,0 m C D 3,0 m 60 kN 2,0 m 100 kNm Resposta: φφφφf = 0,028410 rad Esforços Normais em Barras de Treliças 1 Exercícios UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA Calcular os esforços normais nas barras das treliças apresentadas a seguir. 1. 1,5 m 30 kN 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 2. 40 kN80 kN 30 kN 60 kN 3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m 8,0 m 4,0 m 4,0 m Esforços Normais em Barras de Treliças 2 Exercícios 3. 30 kN 2,0 m3,0 m 3,0 m2,0 m 4,0 m 4,0 m 60 kN 4. 20 kN20 kN 1,8 m1,8 m 1,8 m1,8 m 2,4 m 2,4 m 5. 20 kN20 kN 2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m Esforços Normais em Barras de Treliças 3 Exercícios 6. 30 kN 4,0 m 4,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m3,0 m 20 kN 20 kN 7. 100 kN 4,0 m 4,0 m 6,0 m 3,0 m 4,0 m 80 kN 60 kN 6,0 m6,0 m 3,0 m 40 kN Esforços Normais em Barras de Treliças 4 Exercícios UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA RESULTADOS 1. 2. Esforços Normais em Barras de Treliças 5 Exercícios 3. 4. 5. Esforços Normais em Barras de Treliças 6 Exercícios 6. 7. UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA Exercício Para a treliça apresentada na figura abaixo, pede-se: a) O deslocamento vertical do nó 6, positivo se para baixo; b) O deslocamento relativo entre os nós 4 e 5, positivo se de aproximação; c) A rotação da barra 9-10, positiva se horária; d) A rotação relativa entre as barras 1-3 e 1-4, positiva no sentido de aumentar o ângulo. Dados: E = 21000 kN/cm2 Os valores entre parênteses correspondem às áreas das seções transversais das barras (cm2). 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 400400 400 400 30 0 1 (12) (12) (12) (12) (3) (4) (4) (3) (1 0) (6 ) (6 ) (6 ) (1 0) (5) (3) (3) (5) 3 5 7 9 2 4 6 8 10 a) Estado de deslocamento (b) N b 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 1 (-60) (-80) (-80) (-60) (0) (60) (60) (0) (- 75 ) (- 4 5) (- 30 ) (- 4 5) (- 75 )(75) (25) (25 ) (75 ) 3 5 7 9 2 4 6 8 10 b) Estado de força conveniente para o cálculo de dVB (Na1) 1 (-0,667) (-1,333) (-1,333) (-0,667) (0) (0,667) (0,667) (0) (- 0, 50 ) (- 0, 50 ) (0 ) (- 0, 50 ) (- 0, 50 )(0,833) (0,833) (0,8 33) (0,8 33) 3 5 7 9 2 4 6 8 10 1 c) Estado de força conveniente para o cálculo de d rel 4,5 1 (0) (-0,80) (0) (0) (0) (-0,80) (0) (0) (0 ) (- 0, 60 ) (- 0, 60 ) (0 ) (0 ) (0) (1,00) (0) (0) 3 5 7 9 2 4 6 8 10 1 1 d) Estado de força conveniente para o cálculo de f 9-10 1 (0,0833) (0,1667) (0,1667) (0,2500) (0) (-0,0833) (-0,250) (-0,3333) (0 ,0 62 5) (0 ) (-0,1042) (-0,1042) (0,1 042 ) (0,1 042 ) 3 5 7 9 2 4 6 8 10 1 (0 ,0 62 5) (- 0, 06 25 ) (- 0, 06 25 ) 1/3 1/3 e) Estado de força conveniente para o cálculo de f rel 1-3,1-4 1 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0 ) (0 ,2 5) (0 ) (0 ) (0 ) (-0,15) (0) (0) (0) 3 5 7 9 2 4 6 8 10 0,20 0,20 0,25 0,25 1 1 Pelo PTV ® l ES NN T ba i ext S= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Class. Barra l S E Nb 3 x 6 4 x 5 7/8 Na1 Na2 Na3 Na4 9 x 10 9 x 11 9 x 12 9 x 13 1-3 4,00 0,0012 2,10E+08 -60,0 -240,0 2,52E+05 -9,52E-04 -0,667 0,000 0,08333 0,000 6,35E-04 0,00E+00 -7,94E-05 0,00E+00 3-5 4,00 0,0012 2,10E+08 -80,0 -320,0 2,52E+05 -1,27E-03 -1,333 -0,800 0,16670 0,000 1,69E-03 1,02E-03 -2,12E-04 0,00E+00 5-7 4,00 0,0012 2,10E+08 -80,0 -320,0 2,52E+05 -1,27E-03 -1,333 0,000 0,16670 0,000 1,69E-03 0,00E+00 -2,12E-04 0,00E+00 7-9 4,00 0,0012 2,10E+08 -60,0 -240,0 2,52E+05 -9,52E-04 -0,667 0,000 0,25000 0,000 6,35E-04 0,00E+00 -2,38E-04 0,00E+00 2-4 4,00 0,0003 2,10E+08 0,0 0,0 6,30E+04 0,00E+00 0,000 0,000 0,00000 0,000 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 4-6 4,00 0,0004 2,10E+08 60,0 240,0 8,40E+04 2,86E-03 0,667 -0,800 -0,08333 0,000 1,91E-03 -2,29E-03 -2,38E-04 0,00E+00 6-8 4,00 0,0004 2,10E+08 60,0 240,0 8,40E+04 2,86E-03 0,667 0,000 -0,25000 0,000 1,91E-03 0,00E+00 -7,14E-04 0,00E+00 8-10 4,00 0,0003 2,10E+08 0,0 0,0 6,30E+04 0,00E+00 0,000 0,000 -0,33330 0,000 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 1-2 3,00 0,0010 2,10E+08 -75,0 -225,0 2,10E+05 -1,07E-03 -0,500 0,000 0,06250 0,000 5,36E-04 0,00E+00 -6,70E-05 0,00E+00 3-4 3,00 0,0006 2,10E+08 -45,0 -135,0 1,26E+05 -1,07E-03 -0,500 -0,600 0,06250 0,250 5,36E-04 6,43E-04 -6,70E-05 -2,68E-04 5-6 3,00 0,0006 2,10E+08 -30,0 -90,0 1,26E+05 -7,14E-04 0,000 -0,600 0,00000 0,000 0,00E+00 4,29E-04 0,00E+00 0,00E+00 7-8 3,00 0,0006 2,10E+08 -45,0 -135,0 1,26E+05 -1,07E-03 -0,500 0,000 -0,06250 0,000 5,36E-04 0,00E+00 6,70E-05 0,00E+00 9-10 3,00 0,0010 2,10E+08 -75,0 -225,0 2,10E+05 -1,07E-03 -0,500 0,000 -0,06250 0,000 5,36E-04 0,00E+00 6,70E-05 0,00E+00 1-4 5,00 0,0005 2,10E+08 75,0 375,0 1,05E+05 3,57E-03 0,833 0,000 -0,10420 -0,150 2,98E-03 0,00E+00 -3,72E-04 -5,36E-04 3-6 5,00 0,0003 2,10E+08 25,0 125,0 6,30E+04 1,98E-03 0,833 1,000 -0,10420 0,000 1,65E-03 1,98E-03 -2,07E-04 0,00E+00 6-7 5,00 0,0003 2,10E+08 25,0 125,0 6,30E+04 1,98E-03 0,833 0,000 0,10420 0,000 1,65E-03 0,00E+00 2,07E-04 0,00E+00 8-9 5,00 0,0005 2,10E+08 75,0 375,0 1,05E+05 3,57E-03 0,833 0,000 0,10420 0,000 2,98E-03 0,00E+00 3,72E-04 0,00E+00 S 0,01987 0,00179 -0,00169 -0,00080 d VB d rel 4,5 F 9-10 Frel 1-3,1-4 (m) (m) (rad) (rad) D ia go na l B an zo S up er io r B an zo I nf er io r M on ta nt e UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA - ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA Exercícios Resolvidos Para as estruturas apresentadas a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes (momentos fletores, esforços cortantes e esforços normais). 1. A B 15 kN/m E G 4 m 2 m 3 m D 3 m F C 50 kN 1,5 m 3 m 60 kNm 2 m 1/27 2/27 3/27 4/27 2. 20 kN/m B 1 5 k N /m 80 kN 2 m4 m 2 m 3 m 6 m 60° A C ED F 5/27 6/27 7/27 8/27 3. 3 m3 m 3 m 2 m 4 m A C ED 20 kN/m F G 20 kN/m B 1 5 kN /m 9/27 10/27 11/27 12/27 4. 3 m4 m 2,5 m 4,5 m A B D E C F 90 kN 1,5 m 1 5 k N /m 50 kN 3 0 kN /m 3 m 3 m 13/27 14/27 15/27 16/27 17/27 5. 15 kN/m E G 4 m 2 m 3 m D 3 m F C 50 kN 1,5 m 3 m 60 kNm 2 m A B 18/27 19/27 20/27 monicaguarda Line monicaguarda Text Box 167,64 21/27 6. 3 m3 m 3 m 4 m A B D E C F 18 kN/m 2 m 2 m 1,5 m1,5 m 10 kN 10 kN 15 kN/m 30 kNm 15 kN 22/27 23/27 24/27 25/27 26/27 27/27 1 of 18 2 of 18 3 of 18 4 of 18 5 of 18 6 of 18 7 of 18 8 of 18 9 of 18 10 of 18 11 of 18 12 of 18 13 of 18 14 of 18 15 of 18 16 of 18 17 of 18 18 of 18 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 - HIPERESTÁTICA 2ª. UNIDADE Processo dos Esforços 1 PROCESSO DOS ESFORÇOS 1 INTRODUÇÃO Em uma estrutura hiperestática, as condições de equilíbrio não são suficientes para a determinação dos esforços internos e das reações de apoio. Existem infinitas possibilidades de se obter o equilíbrio, daí a necessidade de se gerar equações adicionais (condições de compatibilidade ou de coerência de deslocamentos) para resolver o problema. O Processo dos Esforços se caracteriza por procurar determinar esforços em número igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura. Conhecidos esses esforços, chamados de incógnitas hiperestáticas, a partir das condições de equilíbrio, se determinam os esforços internos e as reações de apoio. 2 DESENVOLVIMENTO Seja uma estrutura com grau de hiperestaticidade igual a n e submetida a uma ação externa qualquer (problema real). Pelo Processo dos Esforços, retira-se n vínculos para se obter uma estrutura isostática. Como o problema real não pode alterado, devem ser adicionados os esforços correspondentes aos vínculos retirados F1, F2, ... , Fj, ... , Fn, que são as incógnitas hiperestáticas. O problema real (r) é agora um conjunto de ações em uma estrutura isostática (ação externa qualquer mais cada uma das incógnitas hiperestáticas Fj). Pela superposição de efeitos, esse problema real pode ser a soma da ação externa (problema 0), mais a superposição dos problemas correspondentes à aplicação de cada um dos Fj separadamente (problema 1, problema 2, ... , problema j, ..., problema n). 1 j n 1F jF nF O valor de Fj pode ser colocado em evidência e superposto a um problema (j) correspondente a uma força unitária na direção e sentido de Fj. Processo dos Esforços 2 1 j n 1 1 n 1 j 1 F1 jF nF X F1 jX F nX F (1) (0) (r) (j) (n) @ + + + + + Assim, )n(F)j(F)1(F)0()r( nj1 +×××++×××++= (1) e, )n(EF)j(EF)1(EF)0(EE nj1 +×××++×××+×+= (2) Sabe-se do problema real (r) que os vínculos retirados existem, isto é, os deslocamentos na direção dos vínculos retirados são conhecidos, nulos ou não. Sendo d jk o deslocamento na direção e sentido de Fj no problema (k) qualquer, pelas condições de compatibilidade ou de coerência de deslocamentos, tem-se: ï ï ï î ï ï ï í ì d+×××+d+×××+d+d=d d+×××+d+×××+d+d=d d+×××+d+×××+d+d=d nnnnjj1n10nnr jnnjjj1j10jjr n1nj1j11110r1 FFF FFF FFF M M (3) Pelo Teorema da Reciprocidade dos Deslocamentos (ou Teorema de Maxwell), sabe-se que: kjjk d=d Processo dos Esforços 3 Os deslocamentos d jr são definidos no problema real (r) e conhecidos d jk podem ser determinados pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais. Portanto, pode-se resolver o sistema de equações (Eq.3) e determinar as incógnitas hiperestáticas F1, ..., Fj, ... ,Fn. E com a solução do problema real (r), que consiste na solução de uma estrutura isostática, obtém-se os esforços internos e as reações de apoio da estrutura hiperestática, utilizando-se a eq.(2) Exemplo: Resolver a viga da figura abaixo, com grau de hiperestaticidade igual a 2. p Retirando-se os vínculos internos correspondentes à força vertical, tem-se: 1 1 F1 2F X F1 2X F (1) (0) (r) (2) @ + p d10 20d d2111d d2212d @ + De acordo com os vínculos retirados, as condições de compatibilidade de deslocamentos são: î í ì =d =d 0 0 r2 r1 Þ î í ì =d+d+d=d =d+d+d=d 0FF 0FF 22221120r2 12211110r1 Calculando-se os d jk utilizando-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais e resolvendo-se o sistema de equações determinam-se as incógnitas hiperestáticas F1 e F2. Então, a partir da eq.(2), podem ser obtidos os esforços internos e as reações de
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