Intervalo de confiança e Testes de hipóteses

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2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
1 - Estimação de Parâmetros
2 - Teste de Hipóteses
3 - Análise de Variância
4 – Análise de Regressão
5 - Amostragem de Aceitação
6 – Estatística Não paramétrica
Estatística Avançada
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CEP – Controle Estatístico
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CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
1 - Estimação de Parâmetros
 Estimação de Parâmetros
Estimação consiste em obter parâmetros de interesse com base em dados amostrais. 
Estimação Pontual
Uma estimativa pontual de uma parâmetro 
populacional é um valor numérico de uma estatística correspondente àquele parâmetro
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Estimação Pontual
1 - Estimação de Parâmetros
onde c4 é um valor tabelado de acordo com o tamanho da amostra.
n
4
5
8
10
12
15
18
20
25
c4
0,9213
0,9400
0,9650
0,9727
0,9776
0,9823
0,9854
0,9869
0,9896
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CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação Intervalar
Consiste em construir um Intervalo que 
contém, com grau de confiança conhecido,
o verdadeiro valor do parâmetro populacional
 
Os intervalos mais utilizados são de 90 95 e 99% de confiança.
Estimação de Parâmetros
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Intervalo de Confiança para Média
 Grandes amostras (n > 30)
O intervalo com 100(1-)% de confiança para o parâmetro  é dado por: 
Estimação de Parâmetros
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2- Controle da Qualidade
Exemplo.: De uma população de 400 peças produzidas uma amostra de 36 peças apresentou um comprimento médio de 56 cm de desvio padrão de 5,8 cm. Construa um I.C. de 95% para a o comprimento médio de toda a população 
Estimação de Parâmetros
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2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
Para n fixo, aumentar o valor do coeficiente de confiança significa aumentar o tamanho do intervalo.
Um I.C. muito largo não é desejável pois é pouco preciso, na prática usamos um coeficiente da ordem 90, 95 e 99%
n < que o necessário
	I.C. muito longo  Impossibilita a tomada de decisões
	n > que o necessário
	I.C. muito estreito  desperdício de tempo e dinheiro
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2- Controle da Qualidade
Cálculo do tamanho da amostra (população infinita)
Exemplo : Para determinar o tempo de entrega de lote padrão, foram coletados algumas amostras. O um desvio padrão encontrado foi de 0,6 horas. Considerando uma confiança de 98% e erro máximo de 0,1 horas, determine o tamanho da amostra.
Estimação de Parâmetros
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2- Controle da Qualidade
Cálculo do tamanho da amostra (população finita)
Para o exemplo anterior considere que o tamanho da população seja 1500 pedidos.
Estimação de Parâmetros
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Intervalo de Confiança para Média
 Pequenas amostras (n < 30) com desvio
 desconhecido de uma população
 com distribuição normal 
O intervalo com 100(1-)% de confiança para o parâmetro  é dado por: 
Estimação de Parâmetros
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2- Controle da Qualidade
Exemplo : O recursos humanos decidiu treinar 15 empregados com o novo método de manutenção em computadores. Foram coletados os dias necessários parar treinar cada um dos 15 empregados. A média da amostra é de 53,87 dias e o desvio de 6,82 dias. 
Construa IC de 95% para o verdadeiro valor da média
Estimação de Parâmetros
[50,09 ; 57,65]
2- Controle da Qualidade
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Uma máquina produz peças cilíndricas. Uma amostra acusou
 os seguintes valores de diâmetros: 1,01 0,97 1,01 1,03 
 0,99 0,98 1,00 1,02 1,03 (polegadas). Admitindo que a 
distribuição dos diâmetros seja aproximadamente normal, 
determinar um intervalo de 98% de confiança para a média
 populacional dos diâmetros
Estimação de Parâmetros
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Estimação de Parâmetros
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Intervalo de Confiança para Diferença de Duas Médias
Suponhamos que 12  22.
Estimação de Parâmetros
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Graus de liberdade
Estimação de Parâmetros
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2- Controle da Qualidade
Exemplo: Um gerente deseja comparar dois métodos de treinamento. O método A foi aplicado a uma amostra de 33 pessoas e o método B foi aplicado a 37 pessoas. Os resultados foram os seguintes:
 x1 = 56	var1= 21,55	n1 = 33 	x2 = 50,5	var2= 12,56 e n2 = 37
Construa um intervalo de 95% de confiança para a diferença entre os desempenhos médios dos dois métodos. 
Estimação de Parâmetros
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Estimação de Parâmetros
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Estimação de Parâmetros
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Estimação de Parâmetros
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Estimação de Parâmetros
Na situação em que as variâncias das duas populações em estudo são supostas iguais, teremos:
Onde:
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Estimação de Parâmetros
Intervalo de Confiança para Amostras Emparelhadas
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Estimação de Parâmetros
A média foi de 0,3 minutos e o desvio padrão da diferença 
de 0,335 minutos. Considerando um I.C de 95% e n =6, temos
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Intervalo de Confiança para Proporção
Considerando que np  5 e n(1-p)  5, o intervalo com 100(1-)% de confiança para o parâmetro P é dado por:
EXEMPLO: 
De um lote de 3000 peças, foi extraída uma de 200 peças sendo que 5 foram classificadas como defeituosas.. Construir um intervalo de 95% confiança para P a proporção de peças defeituosas em todo lote..
Estimação de Parâmetros
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Estimação de Parâmetros
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Estimação de Parâmetros
2- Controle da Qualidade
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Estimação de Parâmetros
Cálculo do tamanho da amostra
Exemplo : Numa amostra inicial encontramos 3% de peças 
defeituosas. Determine o tamanho da amostra para uma 
confiança de 98% e um erro máximo 1%.
n = 2,332 x 0,03 (1-0,03) / 0,012 = 1580.
Onde p é proporção inicial. Caso não tenha esta estimativa utilize p=0,5.
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Estimação de Parâmetros
I.C. para Diferença entre Duas Proporções
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Estimação de Parâmetros
Exemplo : Em uma pesquisa entre 100 funcionários 
do primeiro turno e 50 do segundo, verificou-se que 
70% dos funcionários do primeiro
turno são contrários 
ao trabalho aos sábados e enquanto 60% do segundo turno 
são contrários a esta estratégia da produção. 
Construa um I.C. 95% para a diferença entre as proporções
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CEP – Controle Estatístico
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Estimação de Parâmetros
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2- Teste de Hipóteses
 Teste de Hipóteses
Uma hipótese estatística é uma afirmação 
sobre um ou mais parâmetros da população
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2 - Teste de Hipóteses
A hipótese nula, denotada por H0, é uma 
declaração sobre o parâmetro considerada
verdadeira até que seja obtida alguma prova
em contrário.
A hipótese alternativa, H1, será considerada
verdadeira caso H0 seja julgada falsa
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2- Controle da Qualidade
Exemplo : Considere um modelo particular
de automóvel que atualmente atinge uma 
eficiência média de combustível de 24 km/l
Um grupo de pesquisa de produto desenvolveu um novo motor especificamente
projetado para aumentar a relação de km/l.
2- Teste de Hipóteses
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2- Controle da Qualidade
2- Teste de Hipóteses
Para avaliar o novo motor, diversos deles
serão fabricados, instalados em automóveis
e submetidos aos testes de condução 
controlados pela pesquisa.
2- Controle da Qualidade
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2- Controle da Qualidade
Note que o grupo de pesquisa está buscando
evidências para concluir que o novo motor
aumenta a média de quilômetros por litro.
Nesse caso, a hipótese de pesquisa é que o
novo motor fornecerá uma média de km/l
que exceda 24;isto é,  > 24. 
Teste de Hipóteses
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CEP – Controle Estatístico
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Teste de Hipóteses
Uma hipótese de pesquisa deve ser formulada como H1..
 Assim:
	H0 :   24 vs H1:  > 24
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2- Controle da Qualidade
A va cujo valor é utilizado para determinar
a ação a ser seguida em um teste de 
hipóteses é denominada estatística de teste.
O conjunto de valores de uma estatística
de teste para os quais H0 deve ser rejeitada
é denominado região crítica (ou rejeição) do
teste.
Teste de Hipóteses
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2- Controle da Qualidade
A prob máxima de cometer o erro tipo I é .
Também é denominado nível de significância.
A prob. Máxima de cometer o erro tipo II é 
Teste de Hipóteses
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Procedimentos para Teste de Hipóteses
Teste de Hipóteses
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Hipóteses 
Estatística de teste
Teste de Hipóteses
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CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Exemplo : De uma população de 400 peças produzidas 
uma amostra de 36 peças apresentou um comprimento
 médio de 56 cm de desvio padrão de 5,8 cm. 
Queremos testar se o comprimento médio populacional 
das 400 peças é igual a 50. 
Utilize um nível de significância de 5%.
Teste de Hipóteses
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CEP – Controle Estatístico
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Como 6,20 > 1,96 devemos rejeitar H0 , ao nível
significância de 5%. Os dados fornecem evidências
que o comprimento médio da população é diferente 
de 50 cm.
Teste de Hipóteses
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CEP – Controle Estatístico
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Teste de Hipóteses
O P-valor (ou probabilidade de significância ou p)
 é a probabilidade de ocorrência do valor particular 
observado para a estatística de teste ou de valores
 mais extremos, na direção da região crítica, 
quando a hipótese nula H0 é verdadeira
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Teste de Hipóteses
Exemplo : Para o teste acima temos :
P-valor = 2 P(  | z0 | ).
 = 2 [1- P (  | 6,2| )] 
 = 2 [0,00003] 
 = 0,000
=> Os dados fornecem uma forte evidência para
 rejeitarmos H0, pois P-valor < 0,05
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Teste de Hipóteses
Relação entre Testes de Hipóteses e I.C.
Exemplo: Para as hipóteses: H0 :  = 50 vs H1 :   50. Podemos utilizar o intervalo construído anteriormente para decidirmos:
Como o valor 50 não pertence ao intervalo de 95% de confiança, devemos rejeitar a hipótese nula ao nível de significância de 5%.
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Teste de Hipóteses
Testes de Hipóteses para Diferença entre Médias
 Suponha 12  22. 
As hipóteses são : H0 : 1 = 2 H1 : 1  2. 
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Teste de Hipóteses
Graus de Liberdade
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Teste de Hipóteses
Exemplo : Uma indústria siderúrgica deseja aumentar a 
eficiência do sistema de corte e pesagem de tarugos 
(barras grossas de aço). 
Uma característica de qualidade crítica do tarugo 
é o seu comprimento. A indústria implementou, 
em caráter experimental, um novo sistema de corte em 
uma das máquinas utilizadas no processo. 
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Teste de Hipóteses
Vamos comparar o sistema experimental com sistema atual.
 Uma amostra de 15 tarugos para o sistema atual e outra 
de 15 tarugos foram selecionadas. 
A média do sistema atual é 513,28 (mm) e o desvio de 5,69.
 Para o sistema experimental os valores são 498,20 e 13,69.
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Teste de Hipóteses
Queremos testar H0 : 1 = 2 H1 : 1  2
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Teste de Hipóteses
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Teste de Hipóteses
Assim, o valor tabelado é : 
t0,025;19 = 2,093.
Como 3,94 > 2,093 os dados fornecem evidências para 
rejeitarmos a hipótese nula. Como o objetivo da empresa
 é ter um comprimento próximo de 500, o sistema
 experimental é melhor.
2- Controle da Qualidade
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Hipóteses
Estatística de teste :
Teste de Hipóteses
CEP – Controle Estatístico
Exemplo : 
Um jornal alega que 25% dos seus leitores pertencem a classe A
Para testar a afirmação do jornal, foi extraída uma amostra de 740 leitores, onde 156 pertenciam a classe A. 
Teste de Hipóteses
CEP – Controle Estatístico
Teste de Hipóteses
n= 740 , p0 = 0,25, p = 156 / 740 = 0,2108
CEP – Controle Estatístico
Teste de Hipóteses
Teste de Hipóteses - Diferença de Duas Proporções
CEP – Controle Estatístico
Teste de Hipóteses
Exemplo : Em uma pesquisa entre 100 funcionários do 
primeiro turno e 50 do segundo, verificou-se que 70% 
dos funcionários do primeiro turno são contrários ao 
trabalho aos sábados e enquanto 60% do segundo turno 
são contrários a esta estratégia da produção. Existe diferença
 entre os turnos no que se refere a preferência por trabalhar 
aos sábados? Utilize  = 0,05.
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Teste de Hipóteses
Solução: 
p1 = 0,70	n1 = 100	p2 = 0,60	n2 = 50
As são hipóteses H0 : P1 = P2 e H1 : P1 . P2
CEP – Controle Estatístico
Teste de Hipóteses
Como 1,22 < 1,96 os dados não dão evidências para 
rejeitar H0. Portanto não podemos rejeitar a hipótese 
de igualdade entre os turnos. 
Isto também pode ser concluído
através do intervalo de 
confiança (-0,06 P1 - P2  0,26), pois o mesmo contém
o valor zero.
	Parâmetros (população)
	Estimador (amostra)
	Nome
	Notação
	Notação
	Fórmula
	Média
	( 
	
	
	Desvio padrão
	(
	s/c4
	
	Proporção
	P
	p
	
_1004677828.unknown
_1004677829.unknown
_1004677831.unknown
_1004677827.unknown
Assim temos que o valor tabelado é 
. 
_1004677851.unknown
Exemplo: Considerar os dois métodos de produção. A empresa possui 6 empregados.
Considere que os tempos seguem uma distribuição normal
Operador	 TP M1	TP M2 Diferença(d)
 1			6	 5,4	 	 0,6 	
 2			5	 5,2		 -0,2
 3			7	 6,5		 0,5
 4			6,2	 5,9		 0,3
 5			6	 6		 0	
 6			6,4	 5,8		 0,6
=>0,0034 ( P ( 0,0466
p = x / n = 5 /200 = 0,025 e 
 = 1,96
_1004677855.unknown
-0,06( P1 - P2 ( 0,26
p1 = 0,70	n1 = 100		p2 = 0,60	n2 = 50
Erro tipo I e II
Situação real e desconhecida
H0 verdadeira
H0 falsa
Decisão
Não rej. H0
Correta
Erro tipo II
Rejeitar H0
Erro tipo I
Correta
1 - Identifique o parâmetro de interesse.
2 - Estabeleça a hipótese nula, H0
3 – Estabeleça uma hipótese alternativa apropriada, H1
4 – Escolha o nível de significância ( ( )
5 – Determine a Estatística de Teste apropriada.
6 – Determine a região de rejeição do Teste.
7 – Calcule o valor da Estatística de Teste.
8 – Decida se H0 deve ou não ser rejeitada
9 – Apresente a decisão no contexto
rejeitar H0 se |
| > z( / 2
_1004677862.unknown
Teste de Hipóteses para Média - Grandes Amostras
H0 : ( = (0 vs H1 : ( ( (0 
Solução: 
Dados : 
 = 56	s = 5,8		n = 36 		( = 0,05
Da tabela Z temos 
 = 1,96.
Queremos testar as hipóteses : H0 : ( = 50 vs H1 : ( ( 50
_1004677864.unknown
_1004677865.unknown
_1004677863.unknown
_1004677869.unknown
rejeitar H0 se |
| > z( / 2
_1004677862.unknown
Teste de Hipóteses para Proporção
H0 : P = p0 vs H1 : P ( p0
rejeitar H0 pois 2,52 > 1,96
H0 : P = 0,25 vs H1 : P ( 0,25
devemos rejeitar H0 se |
| > z( / 2.
_1004677889.unknown
As hipóteses: H0 : P1 = P2 e H1 : P1 (. P2.