Analise Numerica 20140212164858

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Introdução à Análise Numérica
Prof. Gilson de Souza Santos
Cálculo Numérico
Unidade 01 – Introdução à Análise Numérica 
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 Sistemas de Numeração Binário e Decimal
É um conjunto de símbolos utilizados para representação de quantidades e as regras que definem a forma de representação.
É determinado fundamentalmente pela base (número de símbolos utilizados).
A base é o coeficiente que determina qual o valor de cada símbolo de acordo com a sua posição.
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 Sistema de Numeração Decimal
É o nosso sistema natural (expressa medidas do cotidiano).
O sistema decimal é formado pelos números inteiros da base β={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
A partir desta base, que denotaremos β10, todos os números podem ser expressos neste sistema.
Cada posição tem um valor intrínseco que equivale a dez vezes o valor da posição que está imediatamente a sua direita.
Números superiores a 9; convencionamos o significado da posição de cada dígito em relação a uma potência de 10.
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 Sistema de Numeração Decimal
102
101
100
base
2
4
5
dígitos
245
245 = 2*102+ 4*101+5*100
centena dezena unidade
Exemplos
7986 = 7x103+9x102+8x101+6x100
Nota: Conforme observa-se, um número é expresso pela soma de
potências da base 10 multiplicadas pelos dígitos correspondentes.
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 Sistema de Numeração Binário
Sistema de numeração posicional em que todas as quantidades se representam com base em dois números, com o que se dispõe das cifras: zero ou um (0 ou 1).
Neste sistema, os dígitos binários representam os coeficientes das potências de base 2.
Nota: Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, pelo que o seu sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). 
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 Sistema de Numeração Binário
O número 1910 (o subscrito indica a base) é representado pela seqüência de dígitos binários:
100112 = 1x24+0x23+0x22+1x21+1x20
100112 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 1910
Exemplos
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 Conversões de Número Binário para Decimal
Notaremos que de maneira geral, a regra básica de formação de um número consiste no somatório de cada dígito multiplicado por uma potência da base relacionada à posição daquele dígito.
O algarismo menos significativo( base elevada a zero = 1) localiza-se à direita, ao passo que os mais significativos(maiores potências da base) ficam à esquerda.
Começando a ler o número da direita para a esquerda:
Primeiro digito representa a potência de base 2 e expoente 0;
Segundo digito representa a potência de base 2 e expoente 1;
Terceiro digito representa a potência de base 2 e expoente 2;
nésimo digito representa a potência de base 2 e expoente n-1;
Somar as multiplicações parciais efetuadas entre o dígito e a potência a ele atribuída.]
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 Conversões de Número Binário para Decimal
21029282726252423222120
1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
Potências de 2 
Exemplos 
22
21
20
Base
1
0
0
Dígitos
1*22+0*21+0*20= 4
1002= 410
1002
23
22
21
20
1
0
1
1
1*23+0*22+1*21+1*20= 11
10112
10112=1110
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 Conversões de Número Binário para Decimal
Converter o número 0011102 em decimal.
Lembrando que 0 zero à esquerda de um número é um algarismo não significativo, temos:
0011102 = 11102
11102 = 1x23+1x22+1x21+0x20 =
11102 = 8 + 4 + 2 + 0 = 1410
Converter o número 1010102 em decimal.
1010102 = 1x25+0x24+1x23+0x22 + 1x21 + 0x20 
1010102 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 4210
Exemplos 
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 Conversões de Número Decimal para Binário
Parte Inteira 
Considere a divisão inteira de N por 2. Dado que cada divisão desloca o ponto decimal uma posição para a esquerda temos:
O dígito menos significativo x1 corresponde ao resto da divisão inteira e o quociente corresponde a um novo número N’ = ...x8x4x2 , onde x2 passa a ser o algarismo menos significativo.
Efetuar divisões sucessivas por 2 até se obter o quociente 1.
Agrupar o último quociente e todos os restos da divisão encontrados por ordem inversa.
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 Conversões de Número Decimal para Binário
Parte Inteira 
Exemplos 
Decimal
Multiplicador
Quociente/Multiplicador
Resto
Valores convertidos
19
2
9*2=18
19-18=1
1
9
2
4*2
9-8=1
1
4
2
2*2=4
4-4=0
0
2
2
1*2=2
2-2=0
0
1
1910= 100112
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 Conversões de Número Decimal para Binário
Parte Inteira 
Exemplos 
Decimal
Multiplicador
Quociente/Multiplicador
Resto
Valores convertidos
20
2
10*2=20
20-20=0
0
10
2
5*2
10-10=0
0
5
2
2*2=4
5-4=1
1
2
2
1*2=2
2-2=0
0
1
2010= 101002
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 Conversões de Número Decimal para Binário
Parte Fracionária 
A parte fracionária de um número em decimal é obtida em binário por meio da aplicação do método das multiplicações sucessivas.
Multiplicar o número fracionário por dois;
 Do resultado, a parte inteira será considerada o primeiro dígito da representação do número em binário. A parte fracionária é novamente multiplicada por dois;
 O procedimento continua sucessivamente até obtermos que a parte fracionária do último produto seja igual a zero;
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 Conversões de Número Decimal para Binário
Parte Fracionária 
É necessário decompor o número em sua parte inteira e sua parte fracionária. Assim, 102.247 seria decomposto em 102 e 0.247 e a representação de cada parte achada. 
Por outro lado, para se transformar um número decimal fracionário (menor que 1) em número binário, usamos o método que consiste em “dobrar” repetidamente a fração decimal. Se aparecer um “1” na parte inteira, esse “1”é acrescentado à direita da fração binária que está sendo formada e é eliminado da parte inteira. Se depois de uma multiplicação por 2 permanecer um "0" na parte inteira, esse "0" é acrescentado à fração binária que está sendo formada.
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Parte Fracionária 
Exemplos 
0.1875 X 2 = 0.3750
0.3750 X 2 = 0.7500
0.7500 X 2 = 1.5000
0.5000 X 2 = 1.0000
Assim, a representação do número em binário é dada por: 0.1875β=10 = 0.0011 β=2 
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Parte Fracionária 
Exemplos 
25.4375 β10 = ?2
25.4375 = 25 + 0.4375
25 β10 = 11001 β 2
0.4375 x 2 = 0.875
0.875 x 2 = 1.75
0.75 x 2 = 1.5
0.5 x 2 = 1.0
0.4375 = 0. 0 1 1 1
ou seja, 25.4375 β10 =11001.0111 β 2