Aula 01 - Conversao de Bases

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Conversão de Bases e 
Aritmética Computacional
Lógica Computacional
Prof. M.Sc. Ulisses R. Afonseca
Instituto Federal de Goiás – Campus Luziânia
Slides originais do Prof. Willians Santos
Faculdade de Tecnologia Senac Goiás
Notação posicional
◼ Na notação 
posicional, o que 
indica o valor de 
cada numeral é a 
posição na qual ele 
é escrito.
◼ Exemplo: sistema de 
numeração decimal
Notação posicional
◼ Generalizando
◼ Em um sistema qualquer de numeração posicional, 
um número N é expresso da seguinte forma:
N = (dn-1dn-2dn-3 ... d1 d0)b
◼ Onde:
◼ d: cada algarismo do número
◼ n-1, n-2, ..., 1, o: posição dos algarismos
◼ b: base
◼ O valor de N pode ser obtido do seguinte somatório:
N = dn-1x b
n-1 + dn-2 x b
n-2 + dn-3x b
n-3 + ... d1x b
1 + d0x b
0
Outras bases de Numeração
◼ Como representar números em outras 
bases de numeração:
◼ (342)5 – na base 5
◼ (257)8 – na base 8 (octal)
◼ (1101001)2 – na base 2 (binário)
◼ (9BC4)16 – na base 16 (hexadecimal)
◼ Qual o valor decimal desses números?
Exemplos
Exemplos
◼ (342)5 = 3 x 5
2 + 4 x 51 + 2 x 50 =
= 3 x 25 + 4 x 5 + 2 x 1 =
= 75 + 20 + 2 = (97)10
◼ (257)8 = 2 x 8
2 + 5 x 81 + 7 x 80 =
= 2 x 64 + 5 x 8 + 7 x 1 =
= 128 + 40 + 7 = (175)10
Conversão: base 10 para Base 2
◼ Deve-se representar o número como uma 
soma de potências de 2.
◼ Método das Divisões Sucessivas: dividir 
sucessivamente o número representado no 
sistema decimal por 2 até que seja obtido o 
quociente 0 (zero).
◼ Exemplo: 194610 = ?2
Conversão: base 10 para Base 2
194610 = 111101011002
Exercícios
◼ Converter para o sistema de numeração 
binário os seguintes números:
Conversão: base 10 para Base 2
◼ Método da Tabela:
◼ desenhar uma tabela, em que cada coluna 
represente o valor correspondente à posição 
de um número no sistema binário.
◼ A primeira posição à direita deve ser igual a 1 
e cada posição à esquerda deve ter o dobro 
do valor da anterior.
◼ Este método permite a conversão do sistema 
binário para decimal, e vice-versa.
Exemplo
n Desenhar colunas na tabela até que se 
obtenha uma coluna com o valor 
correspondente maior que o número 
decimal a ser convertido. Usando o 
exemplo 15010, é necessário construir 
uma tabela com colunas até o valor 256.
256 128 64 32 16 8 4 2 1
Exemplo: 15010
1. Colocar dígitos 1 (um) na tabela até ser obtido 
o valor correspondente ao número a ser 
convertido. O primeiro dígito 1 será na 
penúltima coluna, da esquerda para a direita.
256 128 64 32 16 8 4 2 1
1
• Descobrir quanto falta ser representado, subtraindo o 
valor que deve ser representado daquele que acabou de 
ser inserido na tabela: 150 – 128 = 22. Portanto, faltam 
representar 22 unidades do valor original.
Exemplo: 15010
1. Colocar o próximo dígito 1 na coluna 
correspondente ao maior valor que esteja contido 
no resultado da subtração (unidades que faltam 
ser representadas). No exemplo, faltam 22 
unidades. Portanto, a coluna 16 deve ter dígito 1.
256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1
1. Repetir as etapas 3 e 4 até que se obtenha como resultado da 
subtração o valor 0 (zero). No exemplo acima:
256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 1
Exemplo: 15010
1. Terminada a colocação dos dígitos 1 
(um), as colunas restantes devem ser 
preenchidas com dígitos 0 (zero). Não 
é necessário colocar zeros à esquerda. 
No exemplo anterior, temos.
256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 0 1 1 0
Portanto: 15010 = 100101102
Exercícios
◼ Converter para o sistema de numeração 
binário os seguintes números:
Conversão – base 2 para Base 10
◼ O número binário a ser convertido deve ser escrito 
dentro da tabela. Cada dígito deve ser colocado em 
uma coluna, sempre da direita para a esquerda.
256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 1 0 0 1
100010012 = 128 + 8 + 1 = 13710
 Somar o valor correspondente de cada coluna 
que tiver o dígito igual a 1 (um).
Exercícios
◼ Converter para o sistema de numeração 
decimal os seguintes números:
Sistema de Numeração Octal
◼ Utiliza 8 dígitos 
para representar 
os números:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
◼ Cada dígito octal 
corresponde a 
um grupo 
diferente de três 
dígitos binários.
Decimal Binário Octal
0 000 0
1 001 1
2 010 2
3 011 3
4 100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7
Sistema de Numeração 
Hexadecimal
◼ Utiliza 16 dígitos para representar os números:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
◼ Esse sistema originou-se do sistema binário para 
facilitar a interação entre o homem e o computador.
◼ Cada dígito hexadecimal corresponde a um grupo 
diferente de quatro dígitos binários, o que diminui a 
quantidade de numerais necessários para representar 
um determinado número.
Sistema de Numeração 
Hexadecimal
Decimal Binário Hexadecimal
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
Conversão entre bases 
Potência de 2
◼ Entre as bases 2 e 8
◼ Como 8 = 23, um número binário pode ser convertido 
em octal, dividindo-o em grupos de 3 bits, da direita 
para esquerda.
◼ Para converter de octal para binário, substitua cada 
algarismo pelos seus 3 bits correspondentes.
◼ Exemplos:
◼ (111010111)2 = 111 010 111 = (727)8
◼ (1010011111)2 = 001 010 011 111 = (1237)8
◼ (327)8 = 011 010 111 = (11010111)2
◼ (6734)8 = 110 111 011 100 = (110111011100)2
Conversão entre bases 
Potência de 2
◼ Entre as bases 2 e 16
◼ Análogo às conversões em octal, só que 
agora os grupos são de 4 bits, pois 16 = 24.
◼ Exemplos:
◼ (110110010111)2 = 1101 1001 0111 = (D97)16
◼ (1010111111)2 = 0010 1011 1111 = (2BF)16
◼ (B21)16 = 1011 0010 0001 = (101100100001)2
◼ (CAB0)16 = 1100 1010 1011 0000 = 
(1100101010110000)2
Conversão entre bases 
Potência de 2
Aritmética binária
◼ Serão apresentados procedimentos para 
realização das quatro operações em binário:
◼ Adição
◼ Subtração
◼ Multiplicação
◼ Divisão
◼ Os números serão inteiros e positivos (sem sinal).
◼ Posteriormente será apresentado procedimentos 
para execução dessas operações com números 
positivos e negativos, bem como números 
fracionários.
Adição binária
◼ Esta operação é simples e semelhante 
àquela realizada com números decimais, 
basta utilizar a tabela abaixo:
+ 12 02
12 102 12
02 12 02
Exercícios
◼ Efetuar as seguintes operações de 
aritmética binária:
• 1102 + 1012
• 10102 + 1110112
• 1111112 + 12
• 1010112 + 1010112
• 1011012 + 11002 + 10001112
Multiplicação Binária
◼ Esta operação é simples e semelhante àquela 
realizada com números decimais. Abaixo, a 
tabuada binária:
X 12 02
12 12 02
02 02 02
Exercícios
◼ Efetuar as seguintes operações de 
aritmética binária:
• 1012 x 112
• 11011102 x 102
• 10112 x 1012
• 1100011012 x 112
• 10112 x 1112
Subtração Binária
◼ Assemelha-se à subtração realizada com 
números decimais, mas com algumas 
características especiais. Abaixo, a 
tabuada binária:
- 12 02
12 02 12
02 Não 
existe
02
Subtração Binária
◼ Quando ocorre a subtração binária 02 – 12, é 
necessário realizar um processo semelhante ao que 
ocorre na subtração no sistema decimal: o dígito à 
esquerda deve “emprestar” 1 ao dígito da direita.
◼ No sistema binário, ao subtrair 12 do dígito 
imediatamente à esquerda, esse dígito que 
“emprestou” 12 se transforma em 02 e o 02 da 
operação em questão assume o valor 102. A 
subtração 102 – 12 tem como resultado 12.
◼ Caso o número imediatamente à esquerda não seja 
igual a 1, deve-se procurar à esquerda até encontrar.
◼ A cada deslocamento é necessário estar atento que, 
quando o valor 102 empresta 12, ele muda o valor 
para 12.
Subtração Binária
Exercícios
◼ Efetuar as seguintes operações de 
aritmética binária:
• 11012 - 10112
• 110002 - 1002
• 1010102 - 101012
• 11102 - 10012
• 1000102 - 1012
Divisão Binária
◼ É realizada da mesma forma que o sistema 
decimal, apenas levando em consideração que 
as multiplicações e as subtrações devem seguir 
as regras apresentadas para essas operações 
comnúmeros binários. Exemplo:
Exercícios
◼ Efetuar as seguintes operações de 
aritmética binária:
• 10110102 / 102
• 10000002 / 10002
• 1000112 / 1012
• 1010102 / 1112
• 10100012 / 10012