Estatistica_Basica

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Universidade de Pernambuco – Escola Politécnica -Estatística Básica - Profª. Mônica Barradas 1
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
BÁSICA 
(Profª Mônica Barradas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
 
 
 
1. Introdução Geral à Compreensão Estatística........................................................................3 
 
2. Distribuição de Freqüência.................................................................................................10 
 
3. Medidas de Centralidade ou de Tendência Central............................................................14 
 
4. Medidas de Assimetria e Curtose.......................................................................................23 
 
5. Principais Tipos de Representação Gráfica........................................................................25 
 
6. Medidas de Dispersão ou de Variabilidade........................................................................28 
 
7. Correlação e Regressão.......................................................................................................32 
 
8. Introdução à Amostragem...................................................................................................47 
 
9. Probabilidade......................................................................................................................53 
 
10. Variáveis Aleatórias Discretas ........................................................................................56 
 
11. Distribuições de Variáveis Aleatórias Discretas..............................................................60 
 
12. Distribuições de Variáveis Aleatórias Contínuas............................................................62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO A ESTATISTICA 
1. Objeto da Estatística 
Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, 
organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, 
tais como média ou desvio padrão. 
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas 
vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, 
sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor 
compreensão das situações que representam. 
Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser 
utilizados mesmo antes de se recolher à amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que 
nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo 
de informação relevante para o problema em estudo, ou seja, para a população de onde os 
dados provêm. 
Quando de posse dos dados, procura-se agrupa-los e reduzi-los, sob forma de amostra, 
deixando de lado a aleatoriedade presente. 
Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou 
testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a 
potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma 
população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro 
cometido. 
2. Ferramentas Estatísticas 
 
2.1 - O que é Estatística? 
 
Segundo JURAN: 
1. É a ciência da tomada de decisão perante incertezas; 
2. Coleta, análise e interpretação de dados; 
3. É um “kit” de ferramentas que ajuda a resolver problemas; 
4. Base para a maior parte das decisões tomadas quanto ao controle da qualidade, assim 
como em quase todas as outras áreas da atividade humana moderna. 
 
Vista dessa forma, a Estatística não deve ser confundida como uma disciplina isolada, e sim, 
compreendida como uma ferramenta ou um conjunto de ferramentas, disponível para a 
solução de problemas em diversas áreas do conhecimento. 
 
Segundo FEIGENBAUM: “Precisão significativamente aumentada em produção de itens e 
produtos tem sido acompanhada pela necessidade de métodos aperfeiçoados para medição, 
especificação e registro dela. A estatística, denominada ciência das medições, representa 
uma das técnicas mais valiosas utilizadas nas quatro tarefas, e isso tem ficado cada vez mais 
evidente”. 
 
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2.2 Onde se aplica a Estatística na Engenharia? 
 
As aplicações concentram-se fundamentalmente em dois campos de ação: o Controle 
Estatístico do Processo e o Controle Estatístico da Qualidade. 
 
Definições segundo JURAN: 
1. Processo: é qualquer combinação específica de máquinas, ferramentas, métodos, materiais 
e/ou pessoas empregadas para atingir qualidades específicas num produto ou serviço. Estas 
qualidades são chamadas de “características de qualidade”, que podem ser uma dimensão, 
propriedade do material, aparência, etc. 
2. Controle: é um ciclo de feedback (realimentação) através da qual medimos o desempenho 
real, comparando-o com o padrão, e agimos sobre a diferença. 
3. Controle Estatístico do Processo (CEP): aplicação de técnicas estatísticas para medir e 
analisar a variação nos processos. 
4. Controle Estatístico da Qualidade (CEQ): aplicação de técnicas estatísticas para medir e 
aprimorar a qualidade dos processos. CEQ inclui CEP, ferramentas de diagnóstico, planos de 
amostragem e outras técnicas estatísticas. 
Segundo FEIGENBAUM, provavelmente, mais importante do que os próprios métodos 
estatísticos têm sido o impacto causado sobre o pensamento industrial pela filosofia que 
representam. O “ponto de vista estatístico” resume-se essencialmente nisto: a variabilidade 
na qualidade do produto deve ser constantemente estudada: 
 
1. Dentro de lotes de produto; 
2. Em equipamentos de processo; 
3. Entre lotes diferentes de um mesmo produto; 
4. Em características críticas e em padrões; 
5. Em produção piloto, no caso de novos produtos. 
 
Esse ponto de vista, que enfatiza o estudo da variação, exerce efeito significativo sobre 
certas atividades no controle da qualidade. Ainda segundo FEIGENBAUM, cinco 
ferramentas estatísticas tornaram-se amplamente utilizadas nas tarefas de controle da 
qualidade: 
 
1. Distribuição de freqüências; 
2. Gráficos de controle; 
3. Aceitação por amostragem; 
4. Métodos especiais; 
5. Confiabilidade. 
 
Na abordagem do papel dos métodos estatísticos no gerenciamento de processos de 
produção, KUME também faz referência à variabilidade. Diz que, “(...) independentemente 
dos tipos de produtos ou de métodos de produção usados, as causas de produtos defeituosos 
são universais. Variação, esta é a causa.”, “Variações nos materiais, na condição dos 
equipamentos, no método de trabalho e na inspeção são as causas dos defeitos.” Ainda 
segundo KUME, “(...) os métodos estatísticos são ferramentas eficazes para a melhoria do 
processo produtivo e redução de seus defeitos”. 
 
O primeiro passo na busca da verdadeira causa de um defeito é a cuidadosa observação do 
fenômeno do defeito. Após tal observação cuidadosa, a verdadeira causa torna-se evidente. 
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As ferramentas estatísticas, diz KUME, conferem objetividade e exatidão à observação. As 
máximas da forma estatística de pensar são: 
 
1. Dar maior importância aos fatos do que os conceitos abstratos; 
2. Não expressar fatos em termos de intuição ou idéias. Usar evidências obtidas a partir de 
resultados específicos da observação; 
3. Os resultados da observação, sujeitos como são a erros e variações, são partes de um todo 
obscuro.A principal meta da observação é descobrir esse todo obscuro; 
4. Aceitar o padrão regular que aparece em grande parte dos resultados observados como 
uma informação confiável. 
5. O conhecimento dominado ato o presente momento não é nada mais que um 
embasamento para hipóteses futuras. Uma vez que isso tenha sido compreendido, a forma de 
pensar mencionada pode ser aproveitada para aprofundar a compreensão do processo 
produtivo e dos meios para melhorá-lo. 
 
2.3 Definições Básicas da Estatística 
 
1) FENÔMENO ESTATÍSTICO: é qualquer evento que se pretenda analisar, cujo estudo 
seja possível da aplicação do método estatístico. São divididos em três grupos: 
Fenômenos de massa ou coletivo: são aqueles que não podem ser definidos por uma simples 
observação. A estatística dedica-se ao estudo desses fenômenos. 
 
Fenômenos individuais: são aqueles que irão compor os fenômenos de massa. 
Fenômenos de multidão: quando as características observadas para a massa não se 
verificam para o particular. 
 
2) DADO ESTATÍSTICO: é um dado numérico e é considerado a matéria-prima sobre a 
qual iremos aplicar os métodos estatísticos. 
3) POPULAÇÃO: é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma 
característica comum. 
4) AMOSTRA: é uma parcela representativa da população que é examinada com o 
propósito de tirarmos conclusões sobre a essa população. 
5) PARÂMETROS: São valores singulares que existem na população e que servem para 
caracterizá-la.Para definirmos um parâmetro devemos examinar toda a população. 
6) ESTIMATIVA: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da 
amostra. 
7) ATRIBUTO: quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o 
levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são designados 
genericamente de estatística de atributo. 
8) VARIÁVEL: É, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
 
Variável Qualitativa: Quando seus valores são expressos por atributos 
Variável Quantitativa: Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o 
conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica, trata-se, portanto da estatística de 
variável e se dividem em: 
Variável Discreta ou Descontínua: Seus valores são expressos geralmente através de 
números inteiros não negativos. Resulta normalmente de contagens. Ex: Nº de alunos 
presentes às aulas de introdução à estatística econômica no 1º semestre de 1997: mar = 18, 
abr = 30 , mai = 35 , jun = 36. 
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Variável Contínua: Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seus 
possíveis valores corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, 
teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex.: Quando você vai medir a temperatura de 
seu corpo com um termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, 
ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas intermediárias até chegar na temperatura 
atual do seu corpo. 
 
2.4 Planejamento para Coleta e Análise de Dados 
 
As ferramentas devem ser utilizadas de maneira eficiente para alcançar o sucesso. Para tanto, 
o processo deve incluir: 
1. planejamento cuidadoso da coleta de dados; 
2. análise de dados para tirar conclusões estatísticas e 
3. transição para a resposta ao problema técnico original. 
 
Segundo JURAN, alguns passos-chave são: 
1. Coletar informações anteriores suficientes para traduzir o problema de engenharia em 
problema específico que possa ser avaliado por métodos estatísticos; 
2. Planejar a coleta de dados: 
a. Determinar o tipo de dados necessários – quantitativos (mais custo, mais útil) e 
qualitativos; 
b. Determinar se quaisquer dados prévios estão disponíveis e são aplicáveis ao presente 
problema; 
c. Se o problema exigir uma avaliação de várias decisões alternativas, obter informações 
sobre as conseqüências econômicas de uma decisão errada. 
d. Se o problema exigir a estimação de um parâmetro, definir a precisão necessária para a 
estimativa; 
e. Determinar se o erro de medição é grande o suficiente para influenciar o tamanho 
calculado da amostra ou o método da análise de dados; 
f. Definir as suposições necessárias para calcular o tamanho da amostra exigido; 
g. Calcular o tamanho da amostra necessário considerando a precisão desejada do resultado, 
erro amostral, variabilidade dos dados, erros de medição e outros fatores; 
h. Definir quaisquer requisitos para preservar a ordem das medições quando o tempo for um 
parâmetro chave; 
i.Determinar quaisquer requisitos para coletar dados em grupos definidos – diferentes 
condições a serem avaliadas; 
j. Definir o método de análise de dados e quaisquer hipóteses necessárias; 
k.Definir os requisitos para quaisquer programas de computador que venham a ser 
necessários. 
3. Coletar dados: 
a. Usar métodos para assegurar que a amostra é selecionada de forma aleatória; 
b. Registrar os dados e também as condições presentes no momento de cada observação; 
c. Examinar os dados amostrais para assegurar que o processo mostra estabilidade suficiente 
para se fazer previsões válidas para o futuro. 
4. Analisar os dados: 
a. Selecionar os dados; 
b. Avaliar as hipóteses previamente estabelecidas. Se necessário, tomar atitudes corretivas 
(novas observações); 
c. Aplicar técnicas estatísticas para avaliar o problema original; 
d. Determinar se dados e análises adicionais são necessários; 
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e. Realizar “análises de sensibilidade” variando estimativas amostrais importantes e outros 
fatores na análise e observando o efeito sobre as conclusões finais. 
5. Rever as conclusões da análise de dados para determinar se o problema técnico original 
foi avaliado ou se foi modificado para se enquadrar nos métodos estatísticos. 
6. Apresentar os resultados: 
a. Estabelecer as conclusões de forma significativa, enfatizando os resultados nos termos do 
problema original, e não na forma dos índices estatísticos usados na análise; 
b. Apresentar graficamente os resultados quando apropriado. Usar métodos estatísticos 
simples no corpo do relatório e colocar as análises complexas em um apêndice. 
7. Determinar se as conclusões do problema específico são aplicáveis a outros 
problemas ou se os dados e cálculos poderiam ser úteis para outros problemas. 
 
 
3. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
Viu-se anteriormente um roteiro para coleta e análise de dados. As séries de dados, 
basicamente, são provenientes de duas fontes: os “dados históricos” e os “dados de 
experimentos planejados”. 
 
Os dados históricos são séries de dados existentes e, em geral, analisar estatisticamente 
esses dados é mais econômico (tempo e despesas) se comparado com dados obtidos a partir 
de experimentos planejados. Mesmo com uma análise estatística complexa, em geral, pouco 
sucesso se obtém com tais dados. No controle de um processo, algumas razões para esse 
insucesso ocorrer são: 
1.As variáveis do processo podem estar altamente correlacionadas entre si, tornando 
impossível distinguir a origem de um determinado efeito. 
2.As variáveis do processo podem ter sido manipuladas para controlar o resultado do 
processo. 
3.As variáveis do processo têm abrangência pequena em relação ao intervalo de operação do 
processo. 
4.Outras variáveis que afetam o resultado do processo podem não ter sido mantidas 
constantes, e serem as reais causadoras dos efeitos observados no processo. 
Por essas razões, recomenda-se a análise de séries de dados históricos apenas para a 
indicação de variáveis importantes a serem observadas em um experimento planejado. 
 
Os dados de experimentos planejados são coletados com o objetivo estudar e analisar um 
problema. São dados reunidos em diversas séries de variáveis com aparenteimportância em 
um processo, enquanto se mantém constantes (com valores registrados) todas as outras 
variáveis que possivelmente poderiam alterar o resultado. Aqui tratar-se-á de métodos 
práticos de organização de dados. Segundo SPIEGEL4: “A parte da estatística que procura 
somente descrever e analisar um certo grupo, sem tirar quaisquer conclusões ou inferências 
sobre um grupo maior, é chamada estatística descritiva ou dedutiva.” 
Freqüentemente dois ou mais métodos de organização são utilizados para descrever com 
clareza dados coletados. Alguns desses métodos são: gráficos dos dados na ordem 
cronológica, distribuição e histogramas de freqüência, características amostrais, medidas de 
tendência central e medidas de dispersão. 
 
 
 
 
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4. SÉRIES ESTATÍSTICAS 
TABELA: Resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira 
sistemática. 
De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar: 
• um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero; 
• três pontos ( ... ) quando não temos os dados; 
• zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada; 
• um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de 
determinado valor. 
Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto. "Salientamos que 
nestes documentos as tabelas não serão abertas devido a limitações do editor html". 
É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em 
função da época, do local ou da espécie. 
Séries Homógradas: são aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou 
descontínua. Podem ser do tipo temporal, geográfica ou específica. 
a) Série Temporal: Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a 
espécie (fenômeno) são elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica ou 
evolutiva. 
ABC VEÍCULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2002 
PERÍODO 
 
UNIDADES VENDIDAS * 
 
JAN/2002 2 0 
FEV/2002 1 0 
TOTAL 3 0 
* Em mil unidades 
. 
 
 
 
 
 
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b) Série Geográfica: Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato 
(espécie) são elementos fixos. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização. 
ABC VEÍCULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2002 
FILIAIS 
 
UNIDADES VENDIDAS * 
 
São Paulo 1 3 
Rio de Janeiro 1 7 
TOTAL 3 0 
* Em mil unidades 
c) Série Específica: O caráter variável é apenas o fato ou espécie. Também é chamada de 
série categórica. 
ABC VEÍCULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2002 
MARCA 
 
UNIDADES VENDIDAS * 
 
FIAT 1 8 
GM 1 2 
TOTAL 3 0 
* Em mil unidades 
Séries Conjugadas: Também chamadas de tabelas de dupla entrada. São apropriadas à 
apresentação de duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de 
classificação: uma horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é de uma série geográfica-
temporal. 
ABC VEÍCULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2002 
FILIAIS Janeiro/2002 Fevereiro/2002 
São Paulo 1 0 3 
Rio de Janeiro 1 2 5 
TOTAL 2 2 8 
* Em mil unidades 
Obs: as séries heterógradas serão estudas no capítulo 2 ( distribuição de frequências ). 
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CAPÍTULO 2 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
 
 
É uma ferramenta estatística apropriada para a apresentação de grandes massas de dados 
numa forma que torna mais clara a tendência central e a dispersão dos valores ao longo da 
escala de medição, bem como a freqüência relativa de ocorrência dos diferentes valores. 
 
Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-
os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou 
categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe. 
É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as frequências (repetições 
de seus valores). 
Tabela primitiva ou dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram 
numericamente organizados. É difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do 
grupo como um todo, a partir de dados não ordenados. 
Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51 
ROL: Tem-se um rol após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente). 
Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60 
Distribuição de frequência sem intervalos de classe: É a simples condensação dos dados 
conforme as repetições de seus valores. Para um tabela de tamanho razoável esta distribuição 
de frequência é inconveniente, já que exige muito espaço. Veja exemplo abaixo: 
Tabela 1 
Dados Frequência 
41 3 
42 2 
43 1 
44 1 
45 1 
46 2 
50 2 
51 1 
52 1 
54 1 
57 1 
58 2 
60 2 
Total 20 
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Distribuição de frequência com intervalos de classe:Quando o tamanho da amostra é 
elevado é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe. 
Tabela 2 
Classes Frequências 
41 |------- 45 7 
45 |------- 49 3 
49 |------- 53 4 
53 |------- 57 1 
57 |------- 61 5 
Total 20 
 
2.1 Elementos de uma Distribuição de Freqüência com classes 
CLASSE: são os intervalos da variável simbolizada por i e o número total de classes 
simbolizada por k. Ex: na tabela anterior k=5 e 49 |------- 53 é a 3ª classe, onde i=3. Para a 
construção de uma tabela a partir de um dado bruto calcularemos o k através da Regra de 
Sturges" k=1+3,3logn (para n<25) ou k=√n (para n>25). 
LIMITES DE CLASSE: são os extremos de cada classe. O menor número é o limite 
inferior de classe (li) e o maior número, limite superior de classe (Ls). Ex: em 49 |--- 53 
Li3= 49 e Ls3= 53. O símbolo |--- representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à 
direita. O dado 53 não pertence à classe 3 e sim a classe 4 representada por 53 |--- 57. 
AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: é obtida através da diferença entre o 
limite superior e inferior da classe simbolizada por a = Ls - li. Ex: na tabela anterior a= 53 - 
49 = 4. Obs: Na distribuição de frequência c/ classe o c será igual em todas as classes. Para 
a construção de uma tabela a partir de um dado bruto temos: a=Ls-Li/K 
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO: é a diferença entre o valor máximo e o 
valor mínimo da amostra. Onde At = Xmax - Xmin. Em nosso exemplo At = 60 - 41 = 19. 
PONTO MÉDIO DE CLASSE: é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes 
iguais. Ex: em 49 |------- 53 o ponto médio x3 = (53+49)/2 = 51, ou seja, x3=(Li+Ls)/2. 
 
 
 
 
 
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Os dados brutos a seguir apresentam um conjunto de tempos para determinada operação. 
 
5,1 5,3 5,3 5,6 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,2 
6,3 6,3 6,3 6,4 6,4 6,4 6,5 6,5 6,6 6,7 
6,7 6,8 6,8 6,9 6,9 7 7,1 7,1 7,2 7,2 
7,3 7,4 7,5 7,5 7,6 7,6 7,6 7,7 7,7 7,8 
7,8 7,9 7,9 8 8 8,1 8,2 8,3 8,3 8,4 
8,5 8,5 8,6 8,7 8,8 8,8 8,9 9 9,1 9,2 
9,4 9,4 9,5 9,5 9,6 9,8 9,9 10 10,2 10,2 
10,4 10,6 10,8 10,9 11,2 11,5 11,8 12,3 12,7 14,9 
2.2 Regras para a elaboração de uma distribuição de freqüências com classes 
1º Organize os dados brutos em um ROL. 
2º Calcule a amplitude total At. 
No nosso exemplo: At =14,9 – 5,1 = 9,8 
3º Calcule o número de classes (K), que será calculado usando K = . Obrigatoriamente 
deve estar compreendido entre 5 a 20. Nestecaso, K é igual a 8,94, aproximadamente, 8. No 
nosso exemplo: n = 80 dados, então , k=√n = 8,9 . 
4º Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: 
 
No exemplo, a será igual a: 
 
5º Temos então o menor nº da amostra, o nº de classes e a amplitude do intervalo. Podemos 
montar a tabela, com o cuidado para não aparecer classes com frequência = 0 (zero). 
6º Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe 
(inferior e superior), onde limite Inferior será 5,1 e o limite superior será 15 + 1,23. 
 
Intervalo de 
Classe 
Freqüência 
Absoluta (fi) 
Freqüência 
Acumulada (Fi) 
Freqüência 
Relativa (fr) 
Freqüência 
Acumulada (Fr)
05,10 |---| 06,33 13 13 16,25 16,25 
06,34 |---| 07,57 21 34 26,25 42,50 
07,58 |---| 08,81 22 56 27,50 70,00 
08,82 |---| 10,05 15 71 18,75 88,75 
10,06 |---| 11,29 4 75 5,00 93,75 
11,30 |---| 12,53 3 78 3,75 97,50 
12,54 |---| 13,77 1 79 1,25 98,75 
13,78 |---| 15,01 1 80 1,25 100 
Total 80 - 100 - 
 
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Obs: Agrupar os dados em classes é uma importante ferramenta para resumir grandes massas 
de dados brutos, no entanto acarreta perda de alguns detalhes. 
Frequências simples ou absolutas (fi): são os valores que realmente representam o número 
de dados de cada classe. A soma das frequências simples é igual ao número total dos dados 
da distribuição. 
Frequências relativas (fr): são os valores das razões entre as frequências absolutas de cada 
classe e a frequência total da distribuição. A soma das frequências relativas é igual a 1 (100 
%). 
Frequência simples acumulada de uma classe (Fi): é o total das frequências de todos os 
valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determida classe. 
Frequência relativa acumulada de um classe (Fr): é a frequência acumulada da classe, 
dividida pela frequência total da distribuição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 3 – MEDIDAS DE CENTRALIDADE 
 
 
Há várias medidas de tendência central, entretanto nesta apostila, será abordado o estudo de 
apenas aquelas que são mais significativas. As mais importante medidas de tendência central 
são: a média aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética ponderada, 
mediana, moda. 
 
3. Medidas de Centralidade 
3.1 Média Aritmética= 
Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua 
utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados. 
A média possui uma particularidade bastante interessante, que consiste no seguinte: 
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses 
desvios o resultado obtido é igual a zero. 
A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas 
aplicações: Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, 
utiliza-se a média. 
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade 
pretendida. 
É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores. 
...onde xi são os valores da variável e n o número de valores. 
.Dados não-agrupados: 
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas de frequências, 
determinamos a média aritmética simples. 
Exemplo: Os dados a seguir apresentam leituras de concentração de um processo químico 
feitas a cada duas horas 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12, temos, uma concentração média de: 
.= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 
Desvio em relação à média: é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e 
a média aritmética, ou seja:.. di = Xi - 
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No exemplo anterior temos sete desvios:.d1 = 10 - 14 = - 4 ,.d2 = 14 - 14 = 0 , d3 = 13 - 14 = 
- 1 ,.d4 = 15 - 14 = 1 ,.d5 = 16 - 14 = 2 ,..d6 = 18 - 14 = 4 e.d7 = 12 - 14 = - 2. 
Propriedades da média 
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula. 
No exemplo anterior : d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0 
2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de 
uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante. 
Se no exemplo original somarmos a constante 2 a cada um dos valores da variável temos: 
Y = 12+16+15+17+18+20+14 / 7 = 16 ou 
Y = .+ 2 = 14 +2 = 16 
3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável 
por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa 
constante. 
Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores da variável 
temos: 
Y = 30+42+39+45+48+54+36 / 7 = 42 ou 
Y = x 3 = 14 x 3 = 42 
. 
Dados agrupados: 
Sem intervalos de classe 
Consideremos a distribuição relativa de um canal de comunicação que está sendo 
monitorado pelo registro do nº de erros em um conjunto de caracteres (string) 1.000 bits. 
Dados para 34 desses conjuntos são vistos a seguir. 
Nº de erros frequência = fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
total 34 
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Como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas 
funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética 
ponderada, dada pela fórmula: 
 
..xi. ..fi. ..xi.fi .
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
total 34 78 
onde 78 / 34 = 2,3 erros 
Com intervalos de classe 
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de 
classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por 
meio da fórmula: 
..onde Xi é o ponto médio da classe. 
Exemplo: Calcular o número de molas fora de conformidade, em cada batelada de produção, 
com um tamanho igual a 40 conforme a tabela abaixo. 
Nº de molas frequência = fi ponto médio = xi ..xi.fi.
50 |---- 54 4 52 208 
54 |---- 58 9 56 504 
58 |---- 62 11 60 660 
62 |---- 66 8 64 512 
66 |---- 70 5 68 340 
70 |---- 74 3 72 216 
Total 40 2.440
Aplicando a fórmula acima temos: 2.440 / 40.= 61. logo... = 61 molas 
 
 
 
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MODA 
É o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. 
Mo é o símbolo da moda. 
Desse modo, a força modal de remoção para um conector é a força mais comum, isto é, a 
força de remoção medida em um teste de laboratório para um conector. 
. 
A Moda quando os dados não estão agrupados 
• A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor 
que mais se repete. 
Exemplo: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10. 
• Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça 
mais vezes que outros. 
Exemplo: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal. 
• .Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, 
que a série tem dois ou mais valores modais. 
Exemplo: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é 
bimodal. 
.A Moda quando os dados estão agrupados 
a) Sem intervalos de classe 
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o 
valor da variável de maior frequência. 
Exemplo: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo: 
Temperaturas Frequência 
0º C 3 
1º C 9 
2º C 12 
3ºC 6 
Resp: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior frequência. 
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. 
b) Com intervalos de classe 
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, 
podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre 
os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em 
tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta. 
Mo = ( Li+ Ls) / 2 
onde Li = limite inferior da classe modal e Ls= limite superior da classe modal. 
Exemplo: Calcule a resistência modal dos 33 resistores conforme a tabela abaixo. 
Resistencia (em ohms) Frequência
54 |---- 58 9 
58 |---- 62 11 
62 |---- 66 8 
66 |---- 70 5 
Resp: a classe modal é 58|--- 62, pois é a de maior frequência. Li=58 e Ls=62 
Mo = (58+62) / 2 = 60 cm (este valor é estimado, pois não conhecemos o valor real da 
moda). 
Método mais elaborado pela fórmula de CZUBER: 
Mo = Li + ((fmo - fant) / ( 2fmo – (fant + fpost))) x c 
Li= limite inferior da classe modal 
fmo = frequência da classe modal 
fant =frequência da classe anterior à da classe modal 
fpost =frequência da classe posterior à da classe modal 
c = amplitude da classe modal 
Obs: A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de 
posição ou quando a medida de posição deva ser o valor mais típico da distribuição. Já a 
média aritmética é a medida de posição que possui a maior estabilidade. 
 
 
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MEDIANA 
A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem (crescente ou 
decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos 
de mesmo número de elementos. 
Símbolo da mediana: Md 
.A mediana em dados não-agrupados 
Dada uma série de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 } 
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação 
(crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } 
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9. 
Método prático para o cálculo da Mediana 
Se a série dada tiver número ímpar de termos: 
O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula : 
O elemento mediano será:..EMd = n + 1 / 2
Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 } 
1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 } 
n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a 
mediana. 
A mediana será o 5º elemento, ou seja, Md = 2 
Se a série dada tiver número par de termos: 
O elemento mediano será:..EMd = n / 2 
Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 } 
1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 } 
n = 10 logo a fórmula ficará: :..EMd = 10 / 2 = 5 
Será na realidade (5º termo + 6º termo) / 2 
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A mediana será = (2+3) / 2, ou seja, Md = 2,5 . A mediana no exemplo será a média 
aritmética do 5º e 6º termos da série. 
Notas: 
• Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da 
mediana com um dos elementos da série. 
• Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá 
coincidência da mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a 
média aritmética dos 2 elementos centrais da série. 
• Em um série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor. 
• A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. 
Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média (que se deixa 
influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos: 
Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10 
Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10 
Isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência 
dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma. 
. 
A mediana em dados agrupados 
a) Sem intervalos de classe 
Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade 
da soma das frequências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal 
frequência acumulada. 
Exemplo conforme tabela abaixo: 
Variável xi Frequência fi Frequência acumulada 
0 2 2 
1 6 8 
2 9 17 
3 13 30 
4 5 35 
Total 35 - 
Quando o somatório das frequências for ímpar o valor mediano será o termo de ordem dado 
pela fórmula :. 
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Como o somatório das frequências = 35 a fórmula ficará: ( 35+1 ) / 2 = 18º termo = 3.. 
Quando o somatório das frequências for par o valor mediano será o termo de ordem dado 
pela fórmula :. 
Exemplo - Calcule Mediana da tabela abaixo: 
Variável xi Frequência fi Frequência acumulada
12 1 1 
14 2 3 
15 1 4 
16 2 6 
17 1 7 
20 1 8 
Total 8 - 
Aplicando a fórmula acima teremos: [(8/2)+ (8/2+1)]/2 = (4º termo + 5º termo) / 2 = (15 + 
16) / 2 = 15,5 
b) Com intervalos de classe 
Devemos seguir os seguintes passos: 1º) Determinamos as frequências acumuladas ; 2º) 
Calculamos ; 3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada 
imediatamente superior à . Tal classe será a classe mediana; 4º) Calculamos a 
Mediana pela seguinte fórmula:..Li + [(EMd - Fant) x c] / fMd 
Li = é o limite inferior da classe mediana. 
Fant = é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana. 
fMd= é a frequência simples da classe mediana. 
c = é a amplitude do intervalo da classe mediana. 
 
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Exemplo: 
classes frequência = fi Frequência acumulada 
50 |---- 54 4 4 
54 |---- 58 9 13 
58 |---- 62 11 24 
62 |---- 66 8 32 
66 |---- 70 5 37 
70 |---- 74 3 40 
Total 40 - 
= 40 / 2 =.20..logo.a classe mediana será 58 |---- 62 
Li = 58....... Fant = 13........... fMd = 11........... c = 4 
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos: Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 = 58 + 28/11 
= 60,54 
OBS: Esta mediana é estimada, pois não temos os 40 valores da distribuição. 
Emprego da Mediana 
• Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais. 
• Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 4 - MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE 
 
Denominamos curtose o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma 
distribuição padrão, denominada curva normal (curva correspondente a uma distribuição 
teórica de probabilidade). 
 
Distribuições simétricas 
A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a 
uma classe média. Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 
 
 
Caso especial de uma distribuição simétrica 
Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de 
dados que se distribuem em forma de sino. 
 
Distribuições Assimétricas 
A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados: 
 
 
 
 
 
 
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Distribuições com "caudas" longas 
Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos 
concentradosna região central da distribuição. 
 
 
A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 
1.for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana 
2.for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser 
maior que a mediana 
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a 
ser inferior à mediana. 
São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca 
substituir as tabelas estatísticas. Têm como características principais, o uso de escalas, a 
existência de um sistema de coordenadas, a simplicidade, clareza e veracidade de sua 
representação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 5 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
 
Os gráficos podem ser: 
 
1. Gráficos de informação: gráficos destinados principalmente ao público em geral, 
objetivando proporcionar uma visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente 
expositivos, dispensando comentários explicativos adicionais. As legendas podem ser 
omitidas, desde que as informações desejadas estejam presentes ou 
 
2. Gráficos de análise: gráficos que prestam-se melhor ao trabalho estatístico, fornecendo 
elementos úteis à fase de análise dos dados, sem deixar de ser também informativos. Os 
gráficos de análise freqüentemente vêm acompanhados de uma tabela estatística. Inclui-se, 
muitas vezes um texto explicativo, chamando a atenção do leitor para os pontos principais 
revelados pelo gráfico. 
 
Mas o uso indevido de Gráficos pode trazer uma idéia falsa dos dados que estão sendo 
analisados, chegando mesmo a confundir o leitor, tratando-se, na realidade, de um problema 
de construção de escalas. 
. 
Os gráficos pode ser classificados em: Diagramas, Estereogramas, Pictogramas e 
Cartogramas. 
. 
4.1 - Diagramas 
São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na 
representação de séries estatísticas. Eles podem ser : 
 
1 - Gráficos em barras horizontais. 
 
2 - Gráficos em barras verticais (colunas). Quando as legendas não são breves usa-se de 
preferência o gráfico em barras horizontais. Nesses gráficos os retângulos têm a mesma base 
e as alturas são proporcionais aos respectivos dados. A ordem a ser observada é a 
cronológica, se a série for histórica, e a decrescente, se for geográfica ou categórica. 
 
 
Fig 1. Gráfico de barras de harmônicos da rede elétrica em uma determinada região. 
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3 - Gráficos em barras compostas. 
 
4 - Gráficos em colunas superpostas. Eles diferem dos gráficos em barras ou colunas 
convencionais apenas pelo fato de apresentar cada barra ou coluna segmentada em partes 
componentes. Servem para representar comparativamente dois ou mais atributos. 
 
5 - Gráficos em linhas ou lineares. São freqüentemente usados para representação de séries 
cronológicas com um grande número de períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do 
que as colunas, quando existem intensas flutuações nas séries ou quando há necessidade de 
se representarem várias séries em um mesmo gráfico. Quando representamos, em um mesmo 
sistema de coordenadas, a variação de dois fenômenos, a parte interna da figura formada 
pelos gráficos desse fenômeno é denominada de área de excesso. 
 
6 - Gráficos em setores. Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado 
sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelo 
círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores são tais que 
suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. O gráfico em setores só 
deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados. 
 
Obs: As séries temporais geralmente não são representadas por este tipo de gráfico. 
. 
 
4.2 - Estereogramas 
São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois representam volume. São usados 
nas representações gráficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de 
gráfico fica difícil de ser interpretado dada a pequena precisão que oferecem. 
 
4.3 - Pictogramas 
São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este tipo de 
gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e 
sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que 
apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos. Veja o 
exemplo abaixo: 
 
 
 
 
 
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4.4 - Cartogramas 
São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o de figurar 
os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. 
 
Dados obtidos de uma amostra servem como base para uma decisão sobre a população. 
Quanto maior for o tamanho da amostra, mais informação obtemos sobre a população. 
Porém, um aumento do tamanho da amostra também implica um aumento da quantidade de 
dados e isso torna difícil compreender a população, mesmo quando estão organizados em 
tabelas. Em tal caso, precisa-se de um método que possibilite conhecer a população num 
rápido exame. 
Um histograma atende às necessidades, por meio da organização de muitos dados num 
histograma, pode-se conhecer a população de maneira objetiva. 
 
4.5 - Gráficos dos Dados na Ordem Cronológica 
Representação gráfica do resultado Y versus a ordem cronológica de execução do 
experimento (diagrama do resultado Y versus tempo t). Nesse tipo de gráfico, alguns dos 
possíveis fenômenos que podem ser observados são: 
1.Curva de aprendizagem dos experimentadores (pontos no início do experimento). 
2.Tendências dentro de um determinado período (horas, turnos, dias, etc.), freqüentemente 
em função de aquecimento, fadiga, e outros fatores relacionados com o tempo. 
3.Aumento ou diminuição da variabilidade dos dados com o tempo, podendo representar 
curva de aprendizagem ou características relativas ao material. 
 
4.6 - Histogramas de Freqüência ou Distribuição de Freqüências 
É uma ferramenta estatística apropriada para a apresentação de grandes massas de dados 
numa forma que torna mais clara a tendência central e a dispersão dos valores ao longo da 
escala de medição, bem como a freqüência relativa de ocorrência dos diferentes valores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 6 - MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE 
VARIABILIDADE 
 
No capítulo 3 vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de 
dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados. 
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados é o da determinação 
da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro 
da amostra. 
 
DESVIO PADRÃO ( S ) 
É a medida de dispersão mais empregada, pois leva em consideração a totalidade dos valores 
da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável. O desvio padrão 
baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida 
como: a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada 
por S. 
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a 
mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as 
mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio 
padrão. 
 
 
O desvio padrão é umamedida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior 
for, maior será a dispersão dos dados. 
 
A fórmula acima é empregada quando tratamos de uma população de dados não-
agrupados. 
 
 
 
 
 
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Exemplo: Calcular o desvio padrão da população representada por - 4 , -3 , -2 , 3 , 5 
 Xi 
- 4 - 0,2 - 3,8 14,44 
- 3 - 0,2 - 2,8 7,84 
- 2 - 0,2 - 1,8 3,24 
 3 - 0,2 3,2 10,24 
 5 - 0,2 5,2 27,04 
Total - - 62,8 
Sabemos que n = 5 e 62,8 / 5 = 12,56. 
A raiz quadrada de 12,56 é o desvio padrão = 3,54 
Quando os dados estão agrupados (temos a presença de frequências) a fórmula do desvio 
padrão ficará: 
 ou 
Exemplo: Calcule o desvio padrão populacional da tabela abaixo: 
 Xi f i Xi . f i . f i 
0 2 0 2,1 -2,1 4,41 8,82 
1 6 6 2,1 -1,1 1,21 7,26 
2 12 24 2,1 -0,1 0,01 0,12 
3 7 21 2,1 0,9 0,81 5,67 
4 3 12 2,1 1,9 3,61 10,83 
 Total 30 63 - - - 32,70 
Sabemos que ∑ fi = 30 e 32,7 / 30 = 1,09. 
A raiz quadrada de 1,09 é o desvio padrão = 1,044 
Se considerarmos os dados como sendo de uma amostra o desvio padrão seria a raiz 
quadrada de 32,7 / (30 -1) = 1,062 
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Obs: Nas tabelas de frequências com intervalos de classe a fórmula a ser utilizada é a 
mesma do exemplo anterior. 
 
VARIÂNCIA ( S2 ) 
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos 
desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de 
observações da amostra menos um. 
 
 
 
 
A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, porém é 
extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras. 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO RELATIVA 
CVP: Coeficiente de Variação de Pearson 
Na estatística descritiva o desvio padrão por si só tem grandes limitações. Assim, um desvio 
padrão de 2 unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor 
médio é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito. 
Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu 
emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à sua 
dispersão ou variabilidade, quando expressas em unidades diferentes. 
Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou 
variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, medida essa denominada de 
CVP: Coeficiente de Variação de Pearson (é a razão entre o desvio padrão e a média 
referente aos dados de uma mesma série). 
A fórmula do CVP = (S / ) x 100 (o resultado neste caso é expresso em percentual, 
entretanto pode ser expresso também através de um fator decimal, desprezando assim o valor 
100 da fórmula). 
 
 
 
 S2 = 
 
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Exemplo 1: 
Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos: 
Discriminação M É D I A DESVIO PADRÃO 
ESTATURAS 175 cm 5,0 cm 
PESOS 68 kg 2,0 kg 
Qual das medidas (Estatura ou Peso) possui maior homogeneidade? 
Resposta: Teremos que calcular o CVP da Estatura e o CVP do Peso. O resultado menor 
será o de maior homogeneidade (menor dispersão ou variabilidade). 
CVP estatura = ( 5 / 175 ) x 100 = 2,85 % 
CVP peso = ( 2 / 68 ) x 100 = 2,94 %. 
Logo, nesse grupo de indivíduos, as estaturas apresentam menor grau de dispersão que os 
pesos. 
 
Exemplo 2: 
O risco de uma ação de uma empresa pode ser devidamente avaliado através da variabilidade 
dos retornos esperados. Portanto, a comparação das distribuições probabilísticas dos 
retornos, relativas a cada ação individual, possibilita a quem toma decisões perceber os 
diferentes graus de risco. Analise, abaixo, os dados estatísticos relativos aos retornos de 5 
ações e diga qual é a menos arriscada? 
 
Discriminação Ação A Ação B Ação C Ação D Ação E 
Valor esperado 15 % 12 % 5 % 10 % 4 % 
Desvio padrão 6 % 6,6 % 2,5 % 3 % 2,6 % 
Coeficiente de variação 0,40 0,55 0,50 0,30 0,65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 7 – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
 
 
 
 
7.1 DIAGRAMAS DE DISPERSÃO 
 
Na prática, é muitas vezes essencial estudar a relação entre duas variáveis associadas como, 
por exemplo, o grau a dimensão de uma peça de máquina irá variar em função da mudança 
da velocidade de um torno. 
 
Para estudar a relação entre duas variáveis, tais como dito acima, pode-se usar o chamado 
diagrama de dispersão. Diagrama de Dispersão é uma forma de gráfico onde simplesmente 
representa-se graficamente cada par de variáveis de uma série de dados em um sistema de 
eixos. 
 
Tomando como exemplo os dados da Tabela abaixo, pode-se construir um diagrama de 
dispersão: 
 
 
 
 
 
7.1.1 COMO CONSTRUIR UM DIAGRAMA DE DISPERSÃO 
 
Um diagrama de dispersão é construído conforme as seguintes etapas: 
 
Etapa 1 
Coletar dados em pares (X,Y) entre os quais deseja-se estudar as relações, e organize-os em 
uma tabela. É desejável que se tenha pelo menos 30 pares de dados. 
 
Etapa 2 
Encontrar os valores máximo e mínimo, tanto para X como para Y. Defina as escalas dos 
eixos horizontal e vertical de forma que ambos os comprimentos sejam aproximadamente 
iguais; assim, o diagrama ficará mais fácil de interpretar. 
 
Determinar, para cada eixo, entre 3 e 10 divisões para as unidades da escala de graduação, e 
utilize números inteiros para torna-lo mais fácil de ler. Quando duas variáveis consistirem 
em um fator e uma característica da qualidade, use o eixo horizontal X para o fator e o eixo 
vertical Y para a característica da qualidade. 
 
Etapa 3 
Marcar os dados num papel milimetrado. Quando os mesmos valores de dados forem obtidos 
a partir de diferentes observações, mostre estes pontos, desenhando círculos concêntricos 
ou marcando o segundo ponto rente ao primeiro. 
 
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Etapa 4 
Inserir todos os itens necessários. Certificar de que os seguintes itens sejam incluídos para 
que qualquer pessoa, além do autor do diagrama, possa entende-lo num rápido exame: 
a. Título do diagrama; 
b. Período de tempo; 
c. Quantidade de pares de dados; 
d. Denominação e unidade de medida de cada eixo; 
 
Exemplo 1: 
Um fabricante de tanques plásticos, que os fabricava pelo processo de moldagem a sopro, 
encontrou problemas de tanques defeituosos com paredes finas. Suspeitou-se que a variação 
da pressão do ar, dia a dia, era a causa das paredes finas não-conformes. A Tabela a seguir 
mostra dados sobre a pressão de sopro e a percentagem defeituosa. 
 
Tabela 1 – Dados da Pressão de Sopro e Percentagem Defeituosa 
 de Tanques de Plástico 
 
 
 
Conforme visto na Tabela acima, existem 30 pares de dados. 
 
Etapa 2 
Neste exemplo, indicamos a pressão de sopro por X (eixo horizontal) e a percentagem 
defeituosa por Y (eixo vertical). 
Assim: 
O valor máximo de x: xmáx = 9,4 (kgf/cm²) 
O valor mínimo de x: xmín = 8,2 (kgf/cm²) 
O valor máximo de y: ymáx = 0,928 (%) 
O valor mínimo de y: ymín = 0,864 (%) 
 
Marca-se divisões para graduação: 
no eixo horizontal – em intervalos de 0,5(kgf/cm²) de 8,0 a 9,5(kgf/cm²) 
no eixo vertical – em intervalos de 0,01(%) de 0,85 a 0,93(%) 
 
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Etapa 3 
Marca-se os pontos no gráfico. 
 
Etapa 4 
Anota-seo período de tempo a que se refere à amostra coletada (1 de outubro a 9 de 
novembro), a quantidade de amostras (n = 30), o eixo horizontal (pressão de sopro 
[kgf/cm²]), o eixo vertical (percentagem defeituosa [%]), e o título do diagrama (diagrama de 
dispersão da pressão do sopro e a percentagem defeituosa). 
 
 
 
Figura 1 – Exemplo de Diagrama de Dispersão 
 
 
7.1.2 Como Interpretar os Diagramas de Dispersão 
 
Assim como é possível avaliar o formato de uma distribuição em um histograma, a 
distribuição global dos pares de dados pode ser interpretada a partir de um diagrama de 
dispersão. Ao proceder a leitura, a primeira coisa que se deve fazer é examinar se há ou não 
pontos atípicos no diagrama. Geralmente, pode-se julgar que quaisquer pontos afastados do 
grupo principal (Figura 2) resultaram de erros na medição ou registro de dados, ou foram 
causados por alguma mudança nas condições de operação. É necessário excluir esses pontos 
para análise da correlação. Contudo, ao invés de desprezar completamente estes pontos, 
deveria ser dada a devida atenção à causa de tais irregularidades, pois muitas vezes, 
informações inesperadas, porém muito úteis, são obtidas descobrindo-se por que eles 
ocorreram. 
 
Existem muitos tipos de padrões de dispersão, e alguns destes são dados da Figura 3. Nesta 
figura, tanto na .1 como na .2, Y aumenta com X; este é o caso da correlação positiva. E 
ainda, como a .1 mostra esta tendência de forma notável, diz-se que ela apresenta forte 
correlação positiva. As Figuras .4 e .5 mostram o oposto da correlação positiva, pois à 
medida que X aumenta, Y diminui; este é o caso da chamada correlação negativa. A Figura 
4 indica uma forte correlação negativa. A Figura .3 mostra o caso em que X e Y não têm 
nenhuma relação específica; portanto, dizemos que não há correlação. Na Figura .6, à 
medida que X aumenta, Y varia num padrão curvo. Isto será explicado posteriormente. 
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Figura 2 – Exemplo de Pontos Suspeitos 
 
 
 
.1 - Correlação Positiva 
.2 - Correlação Negativa 
.3 - Pode haver Correlação Positiva 
.4 - Pode haver Correlação Negativa 
.5 - Não Há Correlação 
.6 - Não Há Correlação 
 
 
 
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Figura 3 – Exemplos de Correlação 
 
 
 
7.2 Cálculo de Coeficientes de Correlação 
 
Para estudar a relação entre X e Y é importante traçar primeiro um diagrama de dispersão, 
entretanto, a fim de conhecer a força da relação em termos quantitativos, é útil calcular o 
coeficiente de correlação de acordo com a seguinte definição: 
 
 
onde: 
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onde “n” é a quantidade de pares de dados 
 
O coeficiente de correlação, r, está no intervalo –1 ≤ r ≤ +1. Se o valor absoluto de r for 
maior que 1, houve claramente um erro de cálculo e deve-se refaze-lo. No caso de forte 
correlação positiva, ele atinge um valor próximo de +1 e, de forma análoga, numa forte 
correlação negativa, ele fica próximo de –1. Quando | r | está próximo de 1, ele indica uma 
forte correlação entre X e Y. Quando se aproxima de 0 (zero), implica numa correlação fraca. 
Quando | r | = 1, os dados estarão sobre uma linha reta. 
 
Exemplo 2 
Calculemos o coeficiente de correlação para o Exemplo 1, dos tanques de plástico. A Tabela 
2 abaixo apresenta os cálculos, a partir dela obtêm-se os resultados desejados. 
 
 
 
 
O valor de r é 0,59, existindo portanto uma correlação positiva entre a pressão de sopro e a 
percentagem defeituosa de tanques de plástico. 
 
 
 
 
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Tabela 2 – Preparação para o cálculo do coeficiente de correlação. 
 
 
 
7.3 AJUSTAMENTO DE CURVAS E O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
 
Num diagrama de dispersão é possível, freqüentemente, visualizar uma curva regular que se 
aproxima dos dados. Essa curva é denominada de ajustamento. 
 
 
 
Figura 4 – Exemplo de Curvas em Diagramas de Dispersão 
 
 
 
 
 
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O problema geral da determinação das equações de curvas que se acomodem a certos 
conjuntos de dados é denominado AJUSTAMENTO DE CURVAS. 
 
 
7.4 Equações das Curvas de Ajustamento 
 
Para fins de referência, relaciona-se abaixo alguns tipos de curvas de ajustamento e suas 
equações. Todas as letras, exceto X e Y, representam constantes. As letras X e Y referem-se, 
freqüentemente, a variáveis independentes e dependentes, respectivamente, embora esses 
papéis possam ser permutados. 
 
 
 
onde o segundo membro das equações são denominados polinômios do 1º, 2º, 3º, 4º e 
n-ésimo graus. 
 
As funções definidas pelas quatro primeiras equações são, às vezes, denominadas Funções 
Linear, Quadrática, Cúbica e do 4º Grau, respectivamente. 
 
Como outras equações possíveis (entre muitas usadas na prática), menciona-se as seguintes: 
 
 
 
Para decidir qual a curva a adotar, é conveniente a obtenção de diagramas de dispersão das 
variáveis transformadas. Por exemplo, se o diagrama de dispersão de log Y em função de X 
apresentar uma relação linear, a equação terá o aspecto da (7), enquanto, se o de log Y em 
função de log X for linear, a equação terá o formato de (8). 
 
Emprega-se, freqüentemente, para tal finalidade, gráficos no qual uma ou ambas as escalas 
são logarítmicas (semilog ou log-log [dilog]). 
 
 
 
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7.5 O Método dos Mínimos Quadrados 
Antes, é necessário instituir uma definição da “melhor reta de ajustamento”, da “melhor 
parábola de ajustamento”, etc. 
 
 
 
Figura 5 - A melhor curva de ajustamento 
 
 
Para conseguir uma definição possível, considere-se a Figura 6.2 na qual os dados estão 
representados pelos pontos (X1,Y1), (X2,Y2), ..., (Xn,Yn). Para um valor dado de X, por 
exemplo X1, haverá uma diferença entre y1 e p valor correspondente determinado na curva 
C. 
 
Como está representado na figura, essa diferença é e1, que é, muitas vezes, designada como 
desvio, erro ou resíduo e pode ser positivo, negativo ou nulo. De modo semelhante, obtém-se 
os desvios e2, e3, ..., en. 
 
Uma medida de “qualidade do ajustamento”da Curva C aos dados apresentados (aderência) é 
proporcionada pela quantidade e2² + e3² + ... + en². Se ela é pequena, o ajustamento é bom, 
se é grande, o ajustamento está ruim. 
 
Portanto, uma definição pode ser feita: 
 
⇒ De todas as curvas que se ajustam a um conjunto de pontos, a que tem a propriedade de 
apresentar o mínimo valor de e2² + e3² + ... + en² é denominada a melhor curva de 
ajustamento. 
 
⇒ Diz-se que uma curva que apresenta essa propriedade ajusta os dados no sentido dos 
mínimos quadrados e é denominada curva de mínimos quadrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7.6 REGRESSÃO 
Deseja-se, freqüentemente, com base em dados amostrais estimar o valor de uma variável Y, 
correspondente ao conhecido de uma variável X. Isso pode ser alcançado mediante a 
avaliação do valor de Y, a partir de uma curva de mínimo quadrado que se ajuste aos dados 
amostrais. A curva resultante é denominada de regressão de Y para X, visto que Y é 
avaliado a partir de X. 
Se se desejar estimar o valor de X a partir de um atribuído a Y, usa-se uma curva de 
regressão de X para Y, o que importa em uma permutação das varáveis no diagrama de 
dispersão, de modo que X passa a ser a variável dependente e Y a independente. 
Em geral, areta ou curva de regressão de Y para X não é igual à de X para Y. 
 
Exemplo 3 
No Exemplo 1, dos tanques plásticos com paredes finas defeituosas, constatou-se que havia 
uma correlação positiva entre a pressão de sopro e a percentagem defeituosa. A fim de evitar 
esse problema, pergunta-se: 
- Quando a pressão de sopro estiver em um certo valor, qual será a espessura das paredes 
formadas? 
- Como a pressão de sopro deve ser controlada para que as paredes do tanque não fiquem 
finas? 
 
Para realizar essa análise e poder responder às perguntas feitas, é necessário compreender, 
quantitativamente, a relação entre a pressão de sopro e a espessura da parede. 
 
A Tabela 3 mostra os dados de uma experiência na qual a pressão de sopro foi mudada e, em 
cada vez, a espessura das paredes foi medida. A Figura 6 é um diagrama de dispersão 
baseado nestes dados. 
 
Tabela 3 – Pressão de Sopro x Espessura da Parede 
 
Figura 6 – Relação entre a Pressão de Ar e a Espessura da Parede 
 
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Pode-se representar a pressão do sopro por x e a espessura da parede por y, admitindo uma 
relação linear: 
 
onde: 
α é uma constante 
β é chamado de coeficiente de regressão 
 
Tal reta é geralmente chamada de reta de regressão, onde y é a variável resposta (ou 
variável dependente), e x é a variável explicativa (ou variável independente). A forma 
quantitativa de entender a relação entre x e y, pela busca de uma forma de regressão entre x e 
y , é chamada de Análise de Regressão. 
 
Seja (Xi,Yi) (para 1 ≤ i ≤ n) um conjunto de n pares de dados observados. Sejam os 
valores estimados e a e b, e seja ei o resíduo entre , isto é: 
 
 
 
Pelo método dos mínimos quadrados, são obtidos como os valores que minimizam 
soma dos quadrados dos resíduos. Esse método é aplicado através das seguintes 
etapas: 
 
 
os valores de aˆ e bˆ obtidos dessas etapas minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. 
Agora, usando os dados da Tabela 4, pode-se calcular a reta de regressão. 
 
 
 
 
 
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 Tabela 4 
 
 
A cada aumento de 1(kgf/cm²) da pressão do ar, a espessura da parede diminui de 1,28(mm). 
 
 
 
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Figura 7 - mostra a reta de regressão calculada acima. 
 
7.8 Problemas que envolvem mais de duas variáveis 
Podem ser tratadas de maneira análoga aos de duas. Por exemplo, pode haver uma relação 
entre três variáveis X, Y e Z que pode ser descrita pela expressão: 
 
que é denominada equação linear das variáveis X, Y e Z. 
 
Em um sistema tridimensional de coordenadas retangulares, essa equação representa um 
plano e os pontos amostrais reais (X1,Y1), (X2,Y2), ..., (Xn,Yn) podem “dispersar-se” em 
posições não muito distantes desse plano, que pode ser denominado de ajustamento. 
 
Mediante a extensão do método dos mínimos quadrados, pode-se falar de um plano de 
mínimos quadrados de ajustamento dos dados. 
 
Se o número de variáveis exceder a três, perde-se a intuição geométrica porque, então, seria 
necessário considerar espaços de quatro ou mais dimensões. 
Os problemas que envolvem a avaliação de uma variável a partir de duas ou mais outras são 
denominados problemas de regressão múltipla. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
1) A quantidade de libras de vapor usadas por mês por uma planta química esta relacionada à 
temperatura (ºF) média ambiente para aquele mês. O consumo do ano passado e a temperatura 
são mostrados na seguinte tabela: 
 
Meses Temperatura Consumo/1.000 
Janeiro 21 185,79 
Fevereiro 24 214,47 
Março 32 288,03 
Abril 47 424,84 
Maio 50 454,58 
Junho 59 539,03 
Julho 68 621,55 
Agosto 74 675,06 
Setembro 62 562,03 
Outubro 50 452,93 
Novembro 41 369,95 
Dezembro 30 273,98 
 
a) Construa um diagrama de dispersão 
b) Encontre a equação da reta 
c) Calcule a correlação 
d) Qual será a estimativa do consumo esperado de vapor quando a temperatura média for de 
55ºF? 
 
2) Um artigo publicado numa revista (março de 1986) apresentou dados sobre a concentração de 
licor verde de Na2S e da produção de uma máquina de papel. 
 
Número de 
observações 
Concentração 
(g/l) de licor 
verde de Na2S 
 
Produção (t/dia) 
1 40 825 
2 42 830 
3 49 890 
4 46 895 
5 44 890 
6 48 910 
7 46 915 
8 43 960 
9 53 990 
10 52 1010 
11 54 1012 
12 57 1030 
13 58 1050 
a) Encontre o valor ajustado y, correspondente a x = 910 
b) Encontre a correlação entre as variáveis estudadas 
 
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3) A tabela a seguir representa o número de horas de estudo fora da sala de aula para 
determinada turma de alunos de Estatística, ao longo de três semanas e as notas obtidas 
numa prova aplicada ao final do período: 
Estudante 1 2 3 4 5 6 7 8 
Horas de Estudo 20 16 34 23 27 32 18 22 
Grau obtido 64 61 84 70 88 92 72 77 
a. Trace o diagrama de dispersão correspondente. 
b. Determine a equação de regressão dos mínimos quadrados para predizer o grau 
obtido na prova com base nas horas de estudo. Desenhe a reta do item anterior 
sobre o diagrama. 
c. Estime o grau que seria obtido na prova por alguém que estudasse 30 horas fora 
da sala de aula. 
d. Calcule o coeficiente de correlação e interprete-o. 
e. Teste se o coeficiente de correlação populacional (ρ) pode ser considerado nulo 
ao nível de 5% de significância? Interprete o resultado obtido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 8 – INTRODUÇÃO À AMOSTRAGEM 
 
 
 
8- Definições 
8.1 População e amostra 
Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. 
Obviamente teria-se uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a 
população, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se 
que é impraticável na grande maioria dos casos, estudar-se a população em virtude de 
distâncias, custo, tempo, logística, entre outros motivos. 
A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é 
confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para 
que a inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta 
de determinação correta da população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da 
amostra. 
 
Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam-
se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra. 
Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a sua 
utilização pode dar origem a interpretações erradas. 
 
8.2 Recenseamento 
Recenseamento é a contagem oficial e periódica dos indivíduos de um País, ou parte de um 
País. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de situações. Assim, pode definir-se 
recenseamento do seguinte modo: 
Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o propósito 
de adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos 
acerca de características importantes desse universo. 
 
 
 
 
 
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8.3 Amostragem 
 
Amostragem é o processo que procura extrairda população elementos que através de 
cálculos probabilísticos ou não, consigam prover dados inferenciais da população-alvo. 
 
Não Probabilística 
Acidental ou conveniência 
Intencional 
Quotas ou proporcional 
Desproporcional 
Probabilística 
Aleatória Simples 
Aleatória Estratificada 
Tipos de Amostragem 
Conglomerado 
8.3.1.Não Probabilística 
A escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre encontrará desvantagem 
frente ao método probabilístico. No entanto, em alguns casos, se faz necessário a opção por 
este método. Fonseca (1996), alerta que não há formas de se generalizar os resultados 
obtidos na amostra para o todo da população quando se opta por este método de 
amostragem. 
• Acidental ou conveniência 
Indicada para estudos exploratórios. Freqüentemente utilizados em super mercados 
para testar produtos. 
• Intencional 
O entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua opinião. Por 
exemplo, quando de um estudo sobre automóveis, o pesquisador procura apenas 
oficinas. 
• Quotas ou proporcional 
Na realidade trata-se de uma variação da amostragem intencional. Necessita-se ter 
um prévio conhecimento da população e sua proporcionalidade. Por exemplo, deseja-
se entrevistar apenas indivíduos da classe A, que representa 12% da população. Esta 
será a quota para o trabalho. Comumente também subestratifica-se uma quota 
obedecendo a uma segunda proporcionalidade. 
• Desproporcional 
Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à população. 
Atribuem-se pesos para os dados, e assim obtém-se resultados ponderados 
representativos para o estudo. 
 
 
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8.3.2 Probabilística 
Para que se possa realizar inferências sobre a população, é necessário que se trabalhe com 
amostragem probabilística. É o método que garante segurança quando investiga-se alguma 
hipótese. Normalmente os indivíduos investigados possuem a mesma probabilidade de ser 
selecionado na amostra. 
• Aleatória Simples 
É o mais utilizado processo de amostragem. Prático e eficaz, confere precisão ao processo de 
amostragem. Normalmente utiliza-se uma tabela de números aleatórios e nomeia-se os 
indivíduos, sorteando-se um por um até completar a amostra calculada. 
 
 
Uma variação deste tipo de amostragem é a sistemática. Em um grande número de 
exemplos, o pesquisador depara-se com a população ordenada. Neste sentido, tem-se os 
indivíduos dispostos em seqüência o que dificulta a aplicação exata desta técnica. 
Quando se trabalha com sorteio de quadras de casas, por exemplo, há uma regra crescente 
para os números das casas. Em casos como este, divide-se a população pela amostra e 
obtém-se um coeficiente (y). A primeira casa será a de número x, a segunda será a de 
número x + y; a terceira será a de número x + 3. y. Supondo que este coeficiente seja 6. O 
primeiro elemento será 3. O segundo será 3 + 6. O terceiro será 3 + 2.6. O quarto será 3 + 
3.6, e assim sucessivamente. 
• Aleatória Estratificada 
Quando se deseja guardar uma proporcionalidade na população heterogênea. Estratifica-se 
cada subpopulação por intermédio de critérios como classe social, renda, idade, sexo, entre 
outros. 
• Conglomerado 
Em corriqueiras situações, torna-se difícil coletar características da população. Nesta 
modalidade de amostragem, sorteia-se um conjunto e procura-se estudar todo o conjunto. É 
exemplo de amostragem por conglomerado, famílias, organizações e quarteirões. 
 
 
 
 
 
 
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8.4 Tipos de dados 
VARIÁVEL: É, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
 
Variável Qualitativa: Quando seus valores são expressos por atributos: sexo, cor da pele, etc. 
 
Variável Quantitativa: Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto 
dos resultados possui uma estrutura numérica, trata-se, portanto da estatística de variável e 
se dividem em: 
 
Variável Discreta ou Descontínua: Seus valores são expressos geralmente através de 
números inteiros não negativos. Resulta normalmente de contagens. Ex: Nº de alunos 
presentes às aulas de introdução à estatística econômica no 1º semestre de 1997: mar = 18, 
abr = 30, mai = 35, jun = 36. 
 
Variável Contínua: Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seus 
possíveis valores corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, 
teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex.: Quando você vai medir a temperatura de 
seu corpo com um termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, 
ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas intermediárias até chegar na temperatura 
atual do seu corpo. 
De acordo com o que dissemos anteriormente, numa análise estatística distinguem-se 
essencialmente duas fases: 
Uma primeira fase em que se procura descrever e estudar a amostra: Estatística Descritiva e 
uma segunda fase em que se procura tirar conclusões para a população: 
1ª Fase Estatística Descritiva 
Procura-se descrever a amostra, pondo em evidência as características principais e as 
propriedades. 
2ª Fase Estatística Indutiva 
Conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de uma análise descritiva da amostra), 
expressas por meio de proposições, imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a 
existência de leis (na população). 
No entanto, ao contrário das proposições deduzidas, não podemos dizer que são falsas ou 
verdadeiras, já que foram verificadas sobre um conjunto restrito de indivíduos e, portanto 
não são falsas, mas não foram verificadas para todos os indivíduos da População, pelo que 
também não podemos afirmar que são verdadeiras. 
Existe, assim, um certo grau de incerteza (percentagem de erro) que é medido em termos de 
Probabilidade. 
 
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Considerando o que foi dito anteriormente sobre a Estatística Indutiva, precisamos aqui da 
noção de Probabilidade, para medir o grau de incerteza que existe, quando tiramos uma 
conclusão para a população, a partir da observação da amostra. 
8.5 Espaço Amostral 
 
A estatística trabalha com os resultados dos experimentos. Quando algum experimento é 
realizado, algum resultado ocorre; denota-se um resultado típico pelo símbolo “e”. Tal 
resultado é chamado evento simples. 
 
Se for feita uma lista de todos os possíveis resultados de interesse do experimento, essa série 
é chamada de espaço amostral. 
 
8.6 Dimensionamento da amostra – Plano Amostral 
Quando deseja-se dimensionar o tamanho da amostra, o procedimento desenvolve-se em três 
etapas distintas: 
• Avaliar a variável mais importante do grupo e a mais significativa; 
• Analisar se é ordinal, intervalar ou nominal; 
• Verificar se a população é finita ou infinita; 
Variável intervalar e população infinita 
 
Variável intervalar e população finita 
 
Variável nominal ou ordinal e população infinita 
 
Variável nominal ou ordinal e população finita 
 
Obs: A proporção (p) será a estimativa da verdadeira proporção de um dos níveis escolhidos 
para a variável adotada. Por exemplo, 60% dos telefones da amostra é Nokia, então p será 
0,60. 
A proporção (q) será sempre 1 - p. Neste exemplo q, será 0,4. O erro é representado por d. 
Para casos em que não se tenha como identificar as proporções confere-se 0,5 para p e q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade de Pernambuco – Escola Politécnica -Estatística Básica - Profª. Mônica Barradas 53
CAPÍTULO 9