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Professor: Dr. Cristian Bernardi Semestre 2011_2 Momento de forças ou Torque RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exemplos 1- M = F. d 40 = F . 0,22 F= 40/0,22 = 181,8 N ? Obs: cuidado com as unidades, 40N.m , e distancia estava em cm tem que passar para metro. Exemplo 2 Exemplo 3 Exemplo 4 Exemplo 5 40 N Lembrando que o momento resultante no ponto o é a soma do momento de todas as forças envolvidas. mNdFM .1002.50. Resolução Para força de 50 N Momento horário então ele é negativo Para força de 60 N mNdFM .00.60. Para força de 20 N d msenddsen 5,130.3 3 30 Primeiro temos que achar a distancia d Momento anti-horário então ele é positivo mNdFM .305,1.20. Para força de 40 N y myy 6,230cos.3 3 30cos md 6,66,222 mNdFM .2646,6.40. Momento horário então ele é negativo mNM .334264300100 Obs: esse sistema tende a rotacionar no sentido horário. Exemplo 6 NsenFx Fx sen 20030.400 400 30 Primeiro temos que achar a força na direção X e na direção Y. Fy Fx NFy Fy 4,34630cos.400 400 30cos MyMxMo mNdFyMy .1384,0.4,346. mNdFxMx .402,0.200. mNMo .56,9856,13840 F= 100N F= 100N Fr= 0 N Na prática da engenharia, em geral, a carga sobre um corpo pode ser representado como um sistema coplanar de forças. A aplicação, com sucesso, das equações de equilíbrio requer a especificações completa de todas as forças conhecidas e desconhecidas que atuam sobre o corpo. A melhor maneira de considerar essas forças é desenhar o diagrama de corpo livre. M = F. d F cabo .d cabo =F grifo .d grifo 40.0,180 =F.0,03 F= 40.0,180 0,03 = 240N Exemplo 7 0=ΣM Para estar em equilíbrio, a gangorra tem que estar parada. 0=)M(+M BA P1=30 N 2 m 4 m A B MA=MB F A .d A =F B .d B 30.2=P. 4 P= 30.2 4 = 15N Exemplo 8 Calcular a força no bíceps: ΣM= 0 0=)M(+M abic M bic =M a F bic .d bic =F a .d a 20.0,34.0,04=Fbic N==Fbic 170 0,04 20.0,34 Montar um diagrama de forças 0,04m 0,30 m P=20N Exemplo 9 Reações (forças de vínculo) numa estrutura Ações externas conhecidas forças ou qualquer outro tipo de ação que cause deformação na estrutura. Exemplos: peso do corpo, vento, variação de temperatura, movimento do solo sobre o qual a estrutura está apoiada (recalque), forças decorrentes do tipo de utilização da estrutura (peso de paredes, equipamentos, etc) Forças externas desconhecidas reações ou forças de vínculos. Através dessas forças o solo e/ou outros corpos impedem que a estrutura se translade ou sofra rotação, obrigando-a a permanecer na mesma posição. As reações ocorrem nos pontos da estrutura onde a mesma é vinculada (tem contato) com o solo ou outro corpo. Reações incógnitas do problema Numa estrutura bidimensional, há 3 tipos de vínculos: 1. Apoio móvel (1º gênero) Impede apenas 1 movimento de translação (a reação tem linha de ação conhecida). Exemplos Reações (forças de vínculo) numa estrutura Impedem o movimento vertical Ry Reação: Ry 2. Apoio fixo (2º gênero) Impede a translação em todas as direções, mas não impede rotação. (a reação não tem linha de ação conhecida). Exemplos 3. Engaste (3º gênero) Impede movimentos de translação e rotação Reações (forças de vínculo) numa estrutura Impedem o movimento vertical e horizontal Ry Rx Ry Rx Reações: Rx e Ry Reações: Rx, Ry e MZ Mz ENGASTAMENTO Reações (forças de vínculo) numa estrutura Representação: a)Viga em balanço engastada na extremidade: b)Viga bi-apoiada engaste Apoio fixo Apoio móvel Ry Rx RyRy Rx M Exemplo: dente Gerber Representa um apoio fixo (uma viga está se apoiando na outra) Outra representação de apoio móvel: A B Apoio móvel RA Representa um apoio móvel (rolete confinado entre chapas planas) Exemplos de apoios em estruturas a)Pontes em viga (entre a viga e o pilar existe um aparelho de apoio) Esquema estático: (cada pilar representa um apoio para a viga; as vigas são calculadas separadas dos pilares) Viga com 4 apoios vigapilar Esquema estático: viga com 4 apoios e 2 balanços) viga a)Pontes em Pórtico (não há aparelho de apoio entre viga e pilar, vigas e pilares formam um único sólido) Esquema estático: (considera as vigas junto com os pilares formando um pórtico) Considera esses apoios como apoio fixo ou engaste dependendo da rigidez do solo onde o pórtico está apoiado ou Esquema estático: PÓRTICO Treliças Planas para Coberturas: tesouras Treliça plana Pilar que serve de apoio para a treliça Esquema estático Exemplos: a) b) Treliças para Pontes e Passarelas a) Exemplos de esquemas estáticos b) Exemplos de pontes treliçadas EQUILÍBRIO DE UM CORPO BIDIMENSIONAL Seja uma estrutura bidimensional, definida no plano (x,y): as forças são na direção x e y; os momentos são em torno do eixo z, logo: 0 xF 0 yF 0 AM 0xM 0yM 0zF zA MM A estrutura estará em equilíbrio se: Momento em torno do eixo z, em relação a um ponto qualquer A da estrutura Através das equações de equilíbrio, calculam-se as reações nos vínculos, que são incógnitas. ESTRUTURA ISOSTÁTICA Nº de reações incógnitas = Nº de equações de equilíbrio 3 equações de equilíbrio EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS ESTRUTURA ISOSTÁTICA Nº de reações incógnitas = Nº de equações de equilíbrio ESTRUTURA HIPOSTÁTICA Nº de reações incógnitas < Nº de equações de equilíbrio O nº de vínculos que a estrutura possui, é apenas aquele necessário para impedir seu movimento ( a estrutura não se movimenta) O nº de vínculos que a estrutura possui é menor que aquele necessário para impedir seu movimento ( a estrutura se movimenta) ESTRUTURA HIPERESTÁTICA Nº de reações incógnitas >Nº de equações de equilíbrio O nº de vínculos que a estrutura possui é maior que aquele necessário para impedir seu movimento ( a estrutura não se movimenta) Movimento horizontal não está impedido! Exemplos de cálculos de apoios em estruturas F= 5 kN 3 m Calcule a força e o momento que o engaste tem que fazer para manter a viga em equilíbrio. Exemplo 10 F= 5 kN 3 m Força que o engaste tem que suportar é de 5 kN. mNdFM .150003.5000. Calculo do momento, a força de 5kN causa um momento no sentido horário. Então o momento que o engaste tem que fazer é de 15000 N.m no sentido anti-horário. Calcule a força e o momento que o engaste tem que fazer para manter uma viga de 200 kg em equilíbrio. Use g= 10 m/s² F= 2 kN 4 m Exemplo 11 F= 2 kN 4 m P= m.g = 200.10 = 2000 N P A força resultante na viga é de: FR= P + F = 2 kN + 2 kN = 4 kN Força que o engaste tem que suportar é de 4 kN. Calculo do momento para cada força. mNdPM .40002.2000. mNdFM .80004.2000. mNMMM Fpeso .12000)8000(4000 Então o momento que o engaste tem que fazer é de 12000 N.m no sentido anti-horário. Calcule a força de reação em cada apoio tem que fazer para manter uma viga em equilíbrio. Exemplo 12 5 m P= 50 kN A B 5 m P= 50 kN A B RA= 25kN RB= 25kN Obs: Como a força resultante se concentra no meio da viga e os apoios estão nas extremidades, a força é divida pela metade em cada apoio. Calcule a força de reação em cada apoio tem que fazer para manter uma viga em equilíbrio. Exemplo 13 5 m FR= 50 kN A B 2 m 0=ΣM 0=MΣ A dRd= BA ..F - 0 R 5 m FR= 50 kN A B 2 m RA RB Existem duas incógnitas a reação em A e em B, então temos que ter 2 equações RR= BB 5 000.100 5.2.50.000 - 0 RB= 20 kN 0=MΣ B dRd= AB ..F 0 R RR= AA 5 000.150 5.3.50.000 0 RA= 30 kN Calcule a força de reação em cada apoio tem que fazer para manter o eixo equilíbrio. Exemplo 14 0=ΣM 0=MΣ A RR= BB 4,0 5,312 5,0.2254,0.25,0.800 - 0 RB= 781,25 N 0=MΣ B RR= AA 4,0 5,97 1,0.2254,0.15,0.800 0 RA= 243,75 N RA RB
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