06 Introdução às Equações Diferenciais I

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Equações diferenciais surgiram na segunda metade do século XVII, 
associadas à descrição de problemas físicos, de forma analítica. A aproximação 
das soluções dessas equações por procedimentos numéricos, tornou-se 
imperativa, à medida que problemas de elevado grau de complexidade tornaram-
se a forma habitual de descrever soluções associadas ao desenvolvimento da 
tecnologia. Avanços importantes tornaram-se possíveis, no sentido da satisfação 
das necessidades humanas. 
Preservação ambiental, estudo de ecossistemas, determinação de 
deformações e esforços em grandes estruturas como barragens, plataformas de 
petróleo e torres de telecomunicação, análise de estruturas de esbeltez elevada, 
estudos de aerodinâmica, previsão atmosférica, erosão costeira ou fluvial, poços 
profundos de irrigação, planejamento cirúrgico, exploração de fluidos em jazidas 
subterrâneas, análise de problemas e projetos relativos sistemas de potência e 
transmissão de energia, todos esses são exemplos de problemas que resultam em 
sistemas de equações diferenciais de elevado número de incógnitas, demandando 
esforço de cálculo proibitivo caso efetuado manualmente, além de resultar em 
custos elevados de execução, vulnerabilizando as soluções obtidas por esse 
procedimento a erros comprometedores (Cook, Malkus e Plesha, 1989). No rol de 
problemas complexos, regidos por equações diferenciais parciais, situa-se a 
modelagem de traçadores em sistemas ambientais ou biológicos e particularmente 
a fluidodinâmica, com duas das suas subáreas, a hidrodinâmica e a 
hemodinâmica. 
 A constante evolução dos computadores nas últimas décadas foi 
acompanhada pelo conseqüente desenvolvimento das técnicas computacionais, 
permitindo a abordagem por métodos numéricos dessa gama considerável de 
problemas, anteriormente considerados complexos ou até de impossível resolução 
por via analítica, sendo atualmente resolvidos de forma prática e rotineira, 
especialmente problemas envolvendo mecânica do contínuo (Pietrobon, 1998). 
Os métodos numéricos, em permanente estado de evolução, associados à 
ferramenta computacional, e às técnicas de programação adequadas à otimização 
da busca das soluções dos problemas complexos, viabilizam o estudo desses 
problemas com elevado número de variáveis. Nas décadas de 50 e 60, o advento 
de métodos numéricos refinados e de técnicas computacionais avançadas, 
possibilitaram prever e projetar, com apurado índice de acerto, resultados 
derivados de sistemas complexos de equações. Hoje podem ser tratados 
problemas teóricos, experimentais e da natureza, concernentes à mecânica do 
contínuo, de forma a simular no tempo o seu desenvolvimento alcançando 
soluções precisas (Bushnell, 1990). Verifica-se assim que a abordagem do estudo 
das equações diferenciais, e especialmente dos métodos numéricos de solução 
dessas, abrange o campo das ciências físicas, biológicas, matemáticas, químicas, 
engenharia, e do meio ambiente. 
2. ORIGENS 
 Se fossemos condensar o raiar da Teoria das Equações Diferenciais, e 
buscar romper o véu do acúmulo maciço de conhecimento que reduz a informação 
sobre sua concepção, embasada por 325 anos de informações, justaposta à 
história dos métodos de solução dessa classe de equações, devemos retornar a 
11 de novembro de 1675, data em que Leibniz rascunhou pela primeira vez: 
2y
2
1
dyy 
 (1) 
e em um momento de grandeza buscou solucioná-la, virtualmente sendo co-
fundador o Cálculo. No mesmo período histórico Newton (Methodus fluxionum et 
serierum infinitarum, escrito em 1671, editado em 1744), classificou o que seriam 
as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem em "equações de fluxo": 
)y(f
dx
dy
)x(f
dx
dy


 (2) 
relacionando uma taxa de variação, analisada como um fluxo, com uma variável, 
x, interpretado como um fluente (variável que flui), e 
)y,x(f
dx
dy

 (3) 
associando dois fluentes, definindo com (2) e (3) as atuais Equações Diferenciais 
Ordinárias, EDO (inglês ODE), bem como uma classe de equações que relaciona 
uma taxa de variação com mais de duas variáveis: 
)z,y,x(g
z
y
)z,y,x(h
x
y
)z,x(yy







 (4) 
que são atualmente denominadas Equações Diferenciais Parciais, EDP (PDE). 
 Significativas contribuições foram desenvolvidas por Newton e por Leibnitz. 
O primeiro adotou o desenvolvimento da parte direita da sua "equação de fluxo" 
em uma série de potências, obtendo um polinômio de aproximação, em termos da 
(s) variável(eis) independente(s), assumindo que a solução da equação diferencial 
seja determinada por uma série infinita, com coeficientes a determinar 
sucessivamente: 
n
n
3
3
2
210 xaxaxaxaay  
 (5) 
1n
n21 xnaxa2a
dx
dy  
 (6) 
assim, para uma equação diferencial, como por exemplo: 
yxxy2x32
dx
dy 22 
 (7) 
resulta por substituição da série representativa de y, (5) em (7), após 
desenvolvimento comparativo com (6), 

203
12
01
a2a1a3
a23a2
a22a



 (8) 
solução da equação (Tractatus de quadratura curvarum, escrito em 1676, 1a 
publicação em Opticks, 1704). Note-se que o coeficiente a0 resulta totalmente 
arbitrário, sendo uma constante a determinar, o que define uma família de 
soluções possíveis, infinita, associada ao valor dessa constante. 
 O segundo co-autor do Cálculo, Leibnitz, determinou em 1691 a técnica de 
separação de variáveis ao solucionar a equação diferencial: 
)y(Y)x(X
dy
dx
y 
 (9) 
separando a função de variáveis, f(x,y), em duas funções de uma única variável 
cada. 
 O desenvolvimento econômico e industrial ao longo dos séculos XVIII e 
XIX, apresentou uma série de requisitos para a ocupação do espaço territorial, a 
invenção e o desenvolvimento da mecânica, eletricidade, mineração, navegação 
vôo, construção, e outras demandas da sociedade moderna. A confluência de 
rivalidades entre as potências levou ao choque ideológico e econômico, o que 
requisitou maiores e novos avanços na tecnologia, só possíveis devido ao avanço 
no conhecimento, principalmente nas área fundamentais à compreensão dos 
fenômenos associados com esse desenvolvimentos: a matemática, a física, a 
química e a engenharia. O rápido alcance dos limites de segurança impostos 
pelos materiais e técnicas empíricas de construção de equipamentos impôs o 
desenvolvimento de exploração de condições de uso de materiais, tecnologias e 
equipamentos nos limites da segurança e da resistência dos materiais: 
 O vôo a jato, 
 O exploração em águas profundas, 
 Construções de grandes estruturas, 
 Planejamento cirúrgico computacional, 
são exemplos dessas utilizações nos limites da segurança. No seu conjunto tais 
requisitos de desenvolvimento da tecnologia resultam em modelos matemáticos 
regidos por sistemas de equações diferenciais, ODEs e EDPs, cujas soluções só 
se apresentaram possíveis por meio da abordagem numérica computacional. 
3. CONCEITOS GERAIS 
 Basicamente três abordagens podem ser utilizadas independente, ou 
conjuntamente, para a solução de problemas regidos por equações diferenciais, a 
experimental, a analítica ou a computacional (Tanehill, Andersen e Pletcher, 
1997). 
 Na abordagem experimental, um modelo físico deve ser construído de 
forma a desenvolver estudos do problema sob análise através da medição direta 
dos parâmetros determinantes desse problema, cuidando-se de efetuar adequada 
análise dimensional, sendo recomendável o emprego da Teoria da Semelhança, 
para tais modelos físicos, direcionada a preservar a homogeneidade dimensionaldas equações que exprimem leis ou processos físicos, de forma a que a alteração 
da magnitude das grandezas fundamentais dessas equações não alterem as 
relações por essas expressas (Carneiro, F. Lobo, 1993). A abordagem 
experimental tem a capacidade de produzir as mais realistas respostas para 
problemas de fluxo, contudo tem custo elevado e diariamente crescente. 
 Na abordagem analítica, simplificações teóricas são adotadas objetivando 
tornar os problemas complexos tratáveis, e se possível adotar uma solução 
fechada para o problema. A acurácia da solução analítica pode ser grandemente 
elevada e é dependente da precisão e eficácia das simplificações hipotéticas 
efetuadas no modelo matemático analítico. É uma abordagem útil em projeto, 
projeções, simulações e design preliminar, referenciando razoáveis soluções em 
um lapso de tempo relativamente curto. 
 Na abordagem computacional é desenvolvido um limitado número de 
simplificações características do modelo em estudo, viabilizando a elaboração de 
um modelo computacional coerente a ser resolvido com técnicas de modelagem e 
simulação numérica, pela aplicação de método de discretização do contínuo, em 
computadores de alta velocidade e/ou alto desempenho. O objeto de resolução é 
o sistema de equações diferenciais obtidas no modelo numérico. As derivadas 
podem ser substituídas, por diferenças finitas apropriadas em cada ponto da 
malha de discretização do contínuo, ou serem integradas por meio de elementos 
finitos representativos do contínuo discretizado. 
 A simulação computacional apresenta, em relação à abordagem 
experimental, a liberdade de limitações de ordem dimensional, de ordem física e 
espacial e outras específicas da modelagem física, para obtenção de dados 
destinados à análise conclusiva das soluções do problema em foco. A ausência de 
limitações relativamente aos procedimentos experimentais e analíticos indica ser a 
abordagem computacional a de maior potencial evolutivo. A análise computacional 
necessita de precisão na prevenção de erros numéricos relacionados com a a 
análise do problema, com a modelagem e com o desenvolvimento e implantação 
do algoritmo de solução do problema, cuidando-se de incorporar ferramentas 
numéricas e técnicas de estabilidade e convergência do processo de solução 
(Lapidus e Pinder, 1999), nas etapas de resolução e formulação do modelo 
matemático, com relação ao problema real sob análise. Tais técnicas garantem, a 
precisão na obtenção da solução. 
 
3.1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Uma equação diferencial, é uma equação que contém em sua formulação 
uma ou mais derivadas, de 1a, 2a, ou ordem superior. Quando as derivadas 
forem todas ordinárias, ou seja, quando correlacionarem uma função, ou 
variável dependente, com uma única variável independente, trata-se de 
uma EDO. Se a função for dependente de mais de uma variável, as suas 
derivadas deverão determinar qual a variável com que se relaciona, 
determinando então que a equação seja uma EDP (Dieguez, 1994): 
0)
dx
yd,,
dx
yd,
dx
dy,y,x(*ff n
n
2
2
 
 
 (10) 
0)
t
y,
z
y,
x
y
,,
t
y,
z
y,
x
y,
t
y,
z
y,
x
y,t,z,y,x(*gg
n
n
n
n
n
n
2
2
2
2
2
2


















 
 (11) 
A ordem de uma equação diferencial é aquela da maior derivada que contém, seja 
uma EDO seja uma EDP. 
3.2. MÉTODOS NUMÉRICOS 
Conceitualmente os métodos numéricos são procedimentos matemáticos, 
de aplicação otimizada para emprego computacional, por meio de implementação 
em códigos que obedeçam a algoritmos lógicos, que buscam obter a solução de 
um problema de caráter científico através de aproximações numéricas sucessivas. 
Devem obedecer a uma rotina de análise e modelagem do problema, á 
determinação das relações matemáticas entre variáveis, funções e condicionantes 
desse problema, e à execução de testes de validação e aperfeiçoamento do 
algoritmo/código de solução: 
 Problemas complexos, associados à existência de um elevado número de 
incógnitas e de equações que regem o problema, e especificamente os que 
resultam em sistemas de EDOs ou EDPs, têm sua solução determinada por meio 
computacional aplicando as técnicas numéricas adequadas, através de 
procedimentos específicos, cujas fases são: 
 Análise do problema, definindo a precisão dos resultados e dos 
dados de entrada, ou das medições a realizar, com base na 
análise de todos os fatores conhecidos que possam vir a 
influenciar no resultado final; 
 Modelagem matemática, que objetiva definir os parâmetros, 
incógnitas do problema e as equações que melhor se apliquem 
na busca da solução de um fenômeno específico, e os métodos e 
técnicas adequados à implementação da solução; 
 Desenvolvimento do algoritmo, especificando os passos e etapas 
componentes da execução dos cálculos necessários à aplicação 
do modelo matemático de solução do problema a tratar; 
 Implementação do algoritmo, que diz respeito a transformar as 
etapas determinadas anteriormente em um conjunto de 
operações a serem efetuadas em uma ordem lógica para a 
solução do problema. Computacionalmente significa desenvolver 
um código escrito em uma linguagem de programação adequada 
a operar por meio computacional; 
 Execução de testes, e análise dos resultados, verificando a 
validade e aplicabilidade do programa à busca de soluções 
representativas do problema específico; 
 
 Otimização da solução, que deve ser efetuada, se possível, de 
forma a tornar o código desenvolvido a partir do algoritmo e do 
modelo matemático em um código mais eficiente e preciso; 
 Solução do problema, que diz respeito a obter os resultados 
necessários a compreender o fenômeno sob estudo. 
Tal procedimento necessita, portanto, de um processo de iterativo, ou seja, 
da determinação em ciclos sucessiva de cálculos de uma solução candidata a 
solução do problema sob análise, sendo a solução em uma iteração seguinte 
obtida a partir do resultado da iteração anterior: 
 Pontos importantes devem ser destacados acerca dos métodos numéricos: 
 Os resultados obtidos são aproximados, podendo serem 
controladas as precisões dessas aproximações; 
 Tolerâncias adequadas e aceitáveis, ou seja, valores de máximos 
para os erros, determinantes das aproximações, devem ser 
especificadas para controle da aproximação iterativa da solução 
numérica; 
Os algoritmos e métodos utilizados nas soluções devem ser dominados 
pelo modelista e pelos usuários de um determinado programa (código) 
computacional, na análise e interpretação de soluções de problemas a partir de 
métodos numéricos para adaptações a novos problemas (implementações). 
 
Fluxograma esquemático do processo de solução 
de problemas complexos por métodos numéricos. 
Análise do problema
Modelagem matemática
Desenvolvimento do algoritmo
Implementação
Testes
Otimização
Solução
 
4.1. EDO 
 Problemas envolvendo EDOs, ainda que de ordem superior, podem sempre 
ser reduzidos ao tratamento de cadeias de EDOs de 1a ordem, por exemplo: 
)x(r
dx
dy
)x(q
dx
yd
2
2

 (12) 
que pode ser rescrita na forma de duas EDOs de 1a ordem: 
)x(z)x(q)x(r
dx
dz
)x(z
dx
dy


 (13) 
sendo z(x) uma nova variável dependente (Dieguez, 19994). O problema genérico 
da solução de EDOs é portanto a redução das EDOs de ordem superior ao estudo 
de uma cadeia de n equações de 1a ordem acopladas em termos de funções yi , 
i=1,2,...,n: 
)yy,x(f
dx
dy
n,...,1i
i 
 (14) 
 O problema de solução de EDO de ordem n, não é no entanto resolvidosomente com essas n equações de 1a ordem. Crucial na solução do problema é o 
ataque numérico necessariamente considerando as condições de contorno 
associadas à equação. Por condições de contorno entende-se os valores 
algébricos de yi em pontos discretos específicos, requerendo das variáveis valores 
determinados , podendo tratar-se de: 
 PVI, problema de valor inicial: em que valores algébricos de yi são fornecidos 
em pontos iniciais xs, sendo necessário o conhecimento desses valores para 
iniciar a solução da equação; 
 PVC, problema de valor de contorno: sendo necessário o conhecimento de 
valores, ou condições associadas a yi, em pontos xf que determinam a fronteira 
da solução do problema. 
A idéia básica que orienta os Métodos Numéricos para EDOs é o conceito de 
discretização desenvolvido por Euler: substitui-se a taxa relacional 
dx
dy
 por 
“steps” ou incrementos y e x (Numerical recipes, 2002): 
      1ii  
 
e multiplicando toda a equação por x. O resultado é a obtenção de uma 
formulação algébrica análoga à EDO, que fornece variação da função 
correspondente à variação de x de um x. No limite adotando-se, incrementos 
adequadamente pequenos, resulta uma aproximação ótima para a avaliação 
da função y, solução da EDO. 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
(1) E. L. Ince, Ordinary differential equations, Dover publications, New york, 
1944; 
(2) L. Lapidus and G. F. Pinder, Numerical solutions of partial differential 
equations in science and engineering, John Wiley & Sons Inc, Toronto, 
1999; 
(3) Cook, Malkus e Plesha, 1989; 
(4) Pietrobon, F.C.; Formulação Numérica por Diferenças Finitas Energéticas 
da Flexão Dinâmica de Vigas com a Consideração da Deformabilidade por 
Cortante e da Inércia de Rotação; Tese M.Sc., COPPE/PEC-UFRJ, Rio de 
Janeiro, 1998; 
(5) Bushnell, D.; Finite-difference Energy Models Versus Finite Element 
Models: Two Variacional Approaches in One Computer Program; Lockheed 
Missiles and Space Co., Palo Alto, in “Stress, Stability and Chaos in 
Structural Engineering Approach”, organizer El Naschie, McGraw-Hill Book 
Co., Singapore, 1990; 
(6) Isaac Newton, Methodus fluxionum et serierum infinitarum, 1744; 
(7) Tractatus de quadratura curvarum, Opticks, 1704; 
(8) Tannehill, J.C.; Andersen, D.A.; Pletcher, R.H.; Computacional Fluid 
Mechanics and Heat Transfer; Taylor & Francis Publishers, 1997; 
(9) Carneiro, F. Lobo.; Análise Dimensional e Teoria da Semelhança e dos 
Modelos Físicos; Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 1993; 
(10) Numerical recipes, Cambridge University Press, 2002.