gaal exercicios 7 (4)

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GAAL: Exerc´ıcios 7 (turmas online)
1. Sejam u = (1, 1,−2), v = (a,−1, 2). Para quais valores de a o conjunto
{u, v} e´ ortogonal?
2. Sejam u = (1/
√
2, 0, 1/
√
2), v = (a, 1/
√
2, b). Para quais valores de a, b o
conjunto {u, v} e´ ortonormal?
3. Encontre uma base ortonormal para o plano x + y + z = 0 em R3.
4. Seja W o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores
{(1, 1,−1, 0), (0, 2, 0, 1), (−1, 0, 0, 1)}.
(a) Mostre que a dimensa˜o de W e´ 3.
(b) Use o processo das aulas para achar uma base ortogonal de W .
(c) Use o processo das aulas para achar uma base ortonormal de W .
5. Mostre que o seguinte conjunto e´ uma base de R3:
{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 2, 3)}.
Aplique o processo das aulas para obter uma base ortonormal de R3 a
partir desta base.
6. Mostre que se o vetor v e´ ortogonal aos vetores w1, . . . , wk, enta˜o v e´
ortogonal a qualquer combinac¸a˜o linear de w1, . . . , wk.
7. Seja v = (v1, . . . , vn) um vetor na˜o nulo em Rn. Mostre que o conjunto
W = {w ∈ Rn | v · w = 0}
de todos os vetores de Rn ortogonais a v e´ um subespac¸o de Rn. Calcule
a dimensa˜o de W .
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