Lista de Exercícios (GAAL - 07)

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Uni - BH
Instituto de Engenharia e Tecnologia – Curso de Engenharia Civil
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Lista de Exercícios
A reta r passa pelos pontos A(2,3) e B(5,4). Determine a equação de uma reta s que é paralela a r e passa por (1,-4). Represente essas duas retas no plano cartesiano.
Considere os pontos A(1,2), B(7,4) e C(5,8). 
Represente esses três pontos no plano cartesiano.
Determine a equação reduzida das retas AB, AC e BC.
Determine as coordenadas dos pontos M, N e P que são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos AB, AC e BC
Determine a equação de cada mediana do triângulo ABC.
Determine a equação da mediatriz do segmento AB
Determine a equação da mediatriz do segmento AC
Quais são as coordenadas dos pontos comuns às duas mediatrizes ?
Qual é a equação de uma reta perpendicular à reta AB e que passa por C ?
Qual é a equação de uma reta perpendicular à reta AC e que passa por B ?
Quais são as coordenadas do ponto comum às duas retas anteriores ?
Quais são as coordenadas do baricentro do triângulo ABC ?
Considere os pontos A(2,3), B(12,5) e C(8,17).
Represente esses três pontos no plano cartesiano
Seja u o versor do vetor AB. Quais são as coordenadas de u ?
Seja v o versor do vetor AC. Quais são as coordenadas de v ?
Seja w = u + v. Quais são as coordenadas de w ?
Determine a equação vetorial e a equação geral da reta r que passa pelo ponto A e possui a direção do vetor w.
Represente no plano cartesiano as retas AB, AC e a reta r.
Qual é o ângulo entre os vetores u e w ? E entre os vetores v e w ?
A reta r é a bissetriz do ângulo BAC ? Por que ?
A reta r é vertical e passa pelo ponto (2,1). Qual é sua equação vetorial ? E sua equação geral ?
A reta r é horizontal e passa pelo ponto (2,1). Qual é sua equação vetorial ? E sua equação geral ?
A reta r passa pelo ponto (3,2) e possui a direção do vetor u = (5,7). Já a reta s passa pelo ponto (-2, 4) e possui a direção do vetor (3,-4). Determine as coordenadas do ponto comum às retas r e s.
As retas r e s possuem equações gerais respectivamente iguais a 2x + 3y + 5 = 0 e 5x – 4y – 7 = 0. Represente essas duas retas no plano cartesiano e determine as coordenadas de seu ponto comum.
A reta r passa pelos pontos (2,5) e (12,2). A reta s é perpendicular a r e passa pelo ponto (1,1). Quais são as coordenadas do ponto comum a essas duas retas ?
Considere os pontos A(-2,3), B(-5,-7), C(12,-8) e D(7,9). Sejam M, N, P e Q, respectivamente, os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD e DA. Determine a equação das retas MN e PQ. Essas retas são paralelas ?
Considere os pontos A = (2,3), B = (12,2), C = (11,9), D = (7,6), E = (5,10), F = (4,9), G = (1,10). 
Represente no plano cartesiano o polígono ABCDEFG
Determine a área e o perímetro dessa figura
Considere a reta r de equação 3x + 4y – 7 = 0 e o ponto P de coordenadas (7,12). Determine:
A inclinação de r
A inclinação de uma reta perpendicular a r
A equação da reta s que é perpendicular a r e que passa por P
As coordenadas do ponto Q que é a interseção das retas r e s.
A distância entre P e Q.
Represente em um mesmo plano cartesiano as retas r e s e os pontos P e Q.
Qual é a distância entre o ponto P e a reta r ?
Observe que a equação da reta r é da forma ax + by + c = 0 e as coordenadas do ponto P são (x0,y0). Determine o valor de 
Considere o ponto P(2,5) e a reta r de equação 5x – 12y + 17 = 0. Determine a distância entre P e r. 
Considere os pontos A = (3,5), B = (8,12) e C = (23,x). Determine x para que os pontos A, B e C estejam alinhados.
Considere os pontos A = (-22,3), B = (17,9), C = (5,y) e D = (x,7). Determine x e y para que os pontos A, B, C e D estejam alinhados.
Considere os pontos A(1,1), B(8,3) e C = (5,k). Determine K para que os pontos A, B e C determinem um triângulo de área 30.
Considere os pontos A = (2t+1,3t+2) , B = (4t-3,2t-3) e C = (t+4,5-t). 
Existem dois valores de t que fazem os pontos A, B e C ficarem alinhados, quais são esses valores ? 
Quais são os valores de t que fazem o triângulo ABC ter área 80 ?
Represente no plano cartesiano os pontos A = (3,4 ; 5,5), B = (5,5 ; 8,9) e C = (8,9 ; 14,4). Apenas olhando sua figura e sem fazer cálculo algum, diga se esses pontos estão ou não alinhados. A seguir, faça as contas e verifique se eles estão ou não alinhados. 
Represente no plano cartesiano o triângulo ABC com A = (1,1), B = (-33,2) e C = (-15,31). Apenas olhando sua figura e sem fazer cálculo algum, diga se esse triângulo é equilátero. A seguir, faça as contas e classifique esse triângulo quanto aos lados. Aproveite e calcule a área dessa figura.
A figura abaixo representa dois triângulos eqüiláteros, um de lado 8cm e o outro de lado 6cm.
Determine a área e o perímetro do triângulo BDE
Na figura abaixo, determine a área colorida. Os pontos mostram quadrados de lado 1m. 
A reta r passa pelos pontos A(-4,1) e B(-2,2). A reta s passa pelos pontos C(1,8) e D(16,2). Seja P o ponto comum a essas duas retas. Determine a área e o perímetro do triângulo APD.
Represente em um mesmo plano cartesiano as retas r:2x+3y-15=0 e s:5x-7y+11=0. Seja P o ponto comum às retas r e s. Determine a distância entre o ponto P e a origem.
Represente em um mesmo plano cartesiano as retas de equação 4x+9y-98=0, 3x-14y+51=0 e 7x-5y+36=0. Essas três retas determinam um triângulo. Determine a área e o perímetro desse triângulo.
Observe a figura abaixo:
Nessa figura temos um quadrado de lado 20, P e Q são pontos médios dos lados desse quadrado e o ponto A está a uma distância 6 do vértice do quadrado. Determine a área do quadrilátero PQRS
Observe a figura abaixo
Nessa figura temos um retângulo de base 40m e altura 20m. P é ponto médio da base e Q é ponto médio do segmento PR. Determine a área e o perímetro do quadrilátero ABCD.
Observe a figura
Nela temos:
um quadrado BCFG de lado 30, 
um triângulo isósceles AGH (AG = AH) com GH = 20
um triângulo isósceles CDE (CE = ED) com CD = 40
Determine a distância entre os pontos I e J.
Observe a figura
Nela temos três triângulos isósceles:
O triângulo ABE (EA = EB) com AB = 10 e AE = 12
O triângulo DBE (DE = DB) com DE = 50
O triângulo BCD (CB = CD)
Determine a área e o perímetro de cada um desses três triângulos.
A figura abaixo mostra a localização de uma casa em um lote de 12m por 30m. Determine:
A área do lote
A área construída
A figura abaixo mostra a planta de uma casa de um pavimento. Determine:
A área de cada cômodo da casa
A varanda terá um piso especial, que custa R$ 25,00 por m2. Qual será o custo do piso da varanda ?
O pé direito da casa é de 3m. As paredes internas do salão e dos quartos serão pintadas (o banho e a cozinha serão revestidos de azulejos). Todos os tetos serão pintados. Qual é a área a ser pintada ? E qual é a área que será revestida de azulejos ?
A figura abaixo mostra o perfil de uma subida em uma estrada. A estrada é a linha mais forte, vista de lado. Como seus argutos olhos perceberam, o desenho está totalmente fora de escala.
Determine o ângulo que cada trecho da subida forma com a horizontal.
Refaça a figura em escala.
Considere as retas de equação y = 2x – 3 e y = -3x + 2.
Esboce, em um mesmo plano cartesiano, essas duas retas.
Determine as coordenadas do ponto comum a essas retas.
Determine o ângulo que cada uma dessas retas forma com a horizontal
Determine o ângulo entre as duas retas.
Considere os pontos A(1,2), B(3,5), C(9,1), D(6,12), E(5,11) e F(4,-2). Determine o que se pede:
A equação reduzida da reta AB
A equação geral da reta CD
O ponto médio do segmento BE
A área do triângulo CDF
O perímetro do triângulo ABC
As coordenadas do ponto comum às retas BC e EF
As retas de equação 2x + 3y + 4 = 0, 5x – 2y + 7 = 0 e 8x + 5y + 13 = 0 determinam um triângulo. Determine as medidas das três medianas desse triângulo.
Considere os pontosA, B, C e D. As coordenadas de A são, nessa ordem, o dia e mês em que você nasceu; as coordenadas de B são, nessa ordem, o dia e o mês em que sua mãe nasceu; as coordenadas de C são, nessa ordem, a hora e os minutos de agora (olhe no relógio) e as coordenadas de D podem ser dois números quaisquer à sua escolha. Sejam M, N, P e Q, respectivamente, os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD e DA. Os segmentos MN e QP tem a mesma medida ? 
Considere os pontos A=(3,7) e B=(5,3).
Represente o segmento AB no plano cartesiano.
Determine as coordenadas de M, ponto médio do segmento AB
Determine a inclinação da reta AB
Determine a equação da reta r que é perpendicular a AB e passa por M
Se o ponto P(1,K) está em r, determine K
Represente a reta r no mesmo desenho que fez no item a
Qual o nome dessa reta r ?
Considere os pontos A = (6,17), B = (3,5) e C = (12,11).
Represente o triângulo ABC no plano cartesiano.
Sejam M, N e P, respectivamente, os pontos médios de AB, AC e BC. Determine as coordenadas desses pontos.
Determine as medidas das três medianas desse triângulo
Determine as coordenadas do ponto G, baricentro desse triângulo.
Determine a inclinação das retas AB, AC e BC
Determine a equação de uma reta r que passa por A e é perpendicular à reta BC.
Determine a equação de uma reta s que passa por B e é perpendicular à reta AC.
Determine as coordenadas do ponto T que é comum às retas r e s. 
Qual é o nome desse ponto T ?
Determine a equação da reta t que passa por M e é perpendicular a AB.
Qual é o nome dessa reta t ?
Determine a equação da reta v que passa por N e é perpendicular a AC.
Qual é o nome dessa reta v ?
Determine as coordenadas do ponto W que é comum às retas t e v.
Determine a distância de W a cada um dos pontos A, B e C.
Qual é o nome desse ponto W ?
Qual é a equação da circunferência de centro W que passa por A ?
Os pontos B e C estão nessa circunferência ? Justifique.
Os pontos G, T e W estão alinhados ?
Qual é a distância de G a T ? E de G a W ? Existe alguma relação entre essas duas distâncias ?
Considere o triângulo ABC em que A = (-3, -4), B = (5,1) e C = (2,8). Determine o que se pede:
As medidas das três medianas desse triângulo
As equações das três mediatrizes desse triângulo
As equações das retas das três alturas desse triângulo
Classifique esse triângulo quanto aos lados 
As coordenadas dos pés das alturas desse triângulo.
Considere os pontos A(-2,3), B(2,4) e C(10,12). Sobre um ponto D sabemos que ele está alinhado com A e B e que a distância entre C e D é 5. Determine as coordenadas de D sabendo que sua abscissa é maior que 11.
Determine as coordenadas de um ponto C tal que d(A,C) = 4 e d(B,C) = , com A = (-5,1) e B = (4,4).
O ponto A(3,8) está alinhado com os pontos B(-7,-k) e C(k,5). Determine a distância entre a origem e o ponto médio do segmento BC
Considere os pontos A(-6,8), B(-4,7), D(5,5) e E(11,7). O ponto C está na reta AB e também está na reta DE. Classifique o triângulo BCD quanto aos lados.
Considere o triângulo ABC com A(-4,4), B(4,9) e C(5,1). Faça o que se pede:
Classifique o triângulo ABC quanto aos lados.
Determine o perímetro do triângulo ABC
Determine os pontos médios dos lados desse triângulo.
Determine as medidas das três medianas do triângulo.
Determine as coordenadas do ponto comum às retas AB e CD em que A = (1,2), B = (2,5), C = (3,5) e D = (4,4).
Mostre que os pontos A(-3,-4), B(0,2) e C(5,-1) não estão alinhados. A seguir, modifique apenas a ordenada do ponto B de modo que, com a nova ordenada, os pontos fiquem alinhados.
Considere os pontos A(3,5), B(8,7) e C(9, t2 – 5t + 6). Sabendo que eles estão alinhados, determine as coordenadas do ponto médio do segmento AC
Represente, no plano cartesiano a reta que passa pelos pontos (-1,0) e (0,-2). Determine sua equação geral e sua equação reduzida.
Dado o triângulo ABC com A = (1,2), B = (2,-2) e C = (4,3), determine a equação geral e a equação reduzida da mediana que sai de A.
Considere o triângulo ABC com A = (2,5), B = (3,7) e C = (6,1). Determine a equação geral das retas que formam os lados desse triângulo.
A reta r passa pelos pontos (2,3) e (7,9). Determine sua equação reduzida e as coordenadas do seu ponto que possui abscissa 5.
Dados A = (3,5) e B = (7,-2), em que pontos a reta AB corta os eixos coordenados.
Dados A = (5,7) e B = (-2,-3), a reta r: 2x + 3y + 1 = 0 passa pelo ponto médio do segmento AB ?
Represente, em um mesmo plano cartesiano, as retas r: 2x + 3y – 5 = 0, s: 8x + 3y – 11 = 0 e t: 5x – 4y – 5 = 0 e determine a área do triângulo que elas determinam.
A reta r passa pelos pontos (1,2) e (9,12). Já a reta s passa pelos pontos (2,8) e (7,5). Determine as coordenadas do ponto de interseção dessas duas retas.
As retas 2x + 3y = 2 e x – 3y = 1 possuem o ponto (a,b) como seu ponto comum. Determine o valor de 3a + 2b.
Mostre que as retas de equação 2x + 3y – 1 = 0, x + y = 0 e 3x + 4y -1 = 0 passam por um mesmo ponto P. Determine, também, as coordenadas desse ponto.
Afirmo que as retas 3x + ay + 7 = 1 e (b+1)x + 3y – 7 = 0 são concorrentes no ponto (1,1). Determine a + b.
Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (3,5) e (6,7).
A reta r possui equação 5x + 3y + 13 = 0. Determine seu coeficiente angular.
A reta r passa pelo ponto (2,4) e possui coeficiente angular igual a 5. Determine sua equação geral.
A reta r corta o eixo y no ponto de ordenada 5 e possui inclinação 7. Determine sua equação reduzida.
A reta r passa pelo ponto (3,5). Quando representamos essa reta no plano cartesiano, ela define com os eixos coordenados um triângulo isósceles. Determine a área e o perímetro desse triângulo.
A reta r passa pelo ponto (k,k2) e possui inclinação 2k. Determine as coordenadas das interseções de r com os eixos coordenados.
Determine as coordenadas de um ponto P que está na reta 2x + 3y + 8 = 0 de tal forma que a distância entre P e Q = (1,1) é igual a 10.
A reta de equação (k – 3) x – (4 – k2) y + k2 – 7k + 6 = 0 passa pela origem. Determine k.
A reta r passa pelos pontos (0,2) e (4,0). A reta s passa pelos pontos (0,5) e (3,0). A reta t passa pela origem e pela interseção de r e s. Determine o ângulo que a reta t forma com o eixo x.
A reta r possui equação 3x + 2y – 5 = 0 e a reta s possui equação 8x + 3y – 11 = 0. Determine a equação da reta vertical que passa pela interseção de r e s.
Determine a distância entre o ponto de interseção das retas 2x – 3y + 26 = 0 e 5x + 2y – 49 = 0 e o ponto de interseção das retas 8x + 4y – 16 = 0 e 5x – 3y + 1 = 0.
Considere o triângulo ABC com A = (2,1), B = (9,12) e C = (3,11).
Represente esse triângulo no plano cartesiano
Determine a inclinação da reta AB.
Determine a inclinação da reta AC.
Calcule a medida do ângulo A desse triângulo.
Considere o triângulo ABC com A = (-3,-2), B = (7,-1) e C = (3,8). Determine:
a área e o perímetro desse triângulo
a medida de cada um dos ângulos desse triângulo.
A medida de cada mediana desse triângulo
A equação da mediatriz de cada lado desse triângulo
As coordenadas do baricentro, do ortocentro e do circuncentro desse triângulo.
Observe a figura abaixo:
Determine a área do quadrilátero mostrado.
Uma subida reta em uma estrada tem 12% de inclinação. Isso significa que se a representarmos em um plano cartesiano, sua inclinação é 0,12. Faça uma figura representando essa reta no plano cartesiano e passando pela origem. Você acha essa subida muito íngreme ? (Essa é a inclinação máxima permitida para uma rampa onde devem passar caminhões)
No instante t = 0 (o tempo é medido em horas) temos dois navios no oceano. Um navio está na origem e se dirigindo para o norte a uma velocidade de 60km/h enquanto o outro navio está no ponto (300,0) e vai para oeste a uma velocidade de 80km/h. Qual é a distância entre esses dois navios nos instantes t = 0 e t = 1 ? 
Considere os pontos A(780,0), B(-780,0)e C(0,1351). Qual é a medida de cada ângulo desse triângulo ? O triângulo ABC é equilátero ?
Uma rampa de acesso a garagem deve ter uma inclinação máxima de 20% quando em um prédio e de 25% em uma casa. Qual deve ser o comprimento dessa rampa para que o carro suba um andar, ou seja, 3,5 m ?
Uma rampa para uso de pessoas não pode ultrapassar uma inclinação de 10%, sendo que se sua inclinação for acima de 6%, a rampa deve ser revestida com material antiderrapante. Queremos construir uma rampa que ligue dois níveis que distam 12m. 
Qual é o comprimento mínimo dessa rampa se ela usar material antiderrapante ?
E se não usar ?
Desejamos instalar uma esteira rolante para acessar um desnível de 3m com inclinação de 15%. Qual é, aproximadamente, o comprimento dessa esteira ?
A reta r passa pelo ponto (3,5) e faz um ângulo de 35o com a horizontal. Determine as coordenadas dos pontos em que essa reta corta os eixos coordenados.
Observe a figura abaixo
Determine as coordenadas do ponto P
Uma reta passa pelos pontos (4,K), (12,13) e (25,54). Determine K.
Considere os pontos M(4,7), N(8,12) e P(5,17). Sabendo que esses são os pontos médios, respectivamente, dos segmentos AB, AC e BC, determine as coordenadas dos pontos A, B e C e represente-os no plano cartesiano.
Considere os pontos A(-2,-3), B(0,13) e C(8,5). Determine as coordenadas do ortocentro, do baricentro, do circuncentro e do incentro desse triângulo.
Olhando um mapa e nele colocando um sistema de coordenadas, as cidades A, B e C estão, respectivamente, nos pontos de coordenadas (-5,7), (6,1) e (1,-3). Um empresário quer construir um negócio que atenda às três cidades e, por isso, decidiu se instalar em um local a uma mesma distância dessas cidades. Quais as coordenadas do local onde ele deve se instalar ?
Os pontos A(3,7), B, C e D(12,19) estão em uma reta, nessa ordem, de tal forma que AB, BC e CD tem a mesma medida. Quais são as coordenadas de B e C ?
Por enquanto é só.
Dúvidas ? Converse com o monitor. Ele pode te ajudar.