Transmissão de Energia Elétrica

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Curso de Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
Transmissão de Energia Elétrica 
Elementos Básicos 
 
 
Prof. Luiz Bizerra de Aguiar 
 
 
 
Agosto 2013 
Revisões: Fevereiro 2014, Fevereiro 2015 
 
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APRESENTAÇÃO 
As linhas de transmissão permitem o transporte da energia gerada nas 
usinas geradoras de energia elétrica até os centros de consumo. Das usinas, 
onde a energia é também transformada, através dos transformadores elevadores, 
partem as linhas de transmissão em tensões elevadas, indo até as áreas onde 
ocorre nova transformação, através dos transformadores abaixadores. Passa, 
então, a ser retransmitida ou distribuída até os centros e unidades de utilização. 
Este texto apresenta os elementos básicos sobre a transmissão de energia 
elétrica. envolvendo as linhas de transmissão e seu papel nos sistemas elétricos 
de potência. 
Trata-se de um texto orientativo para os alunos da disciplina Transmissão 
de Energia Elétrica, em carater introdutório, que deve ser complementado com 
resoluções de exercícios, discussões em sala de aula e consultas às referências. 
Contem, portanto, elementos básicos sobre transmissão, aprofundando e 
aplicando conceitos vistos nas disciplinas de Análise de Circuitos, 
Eletromagnetismo e Introdução ao Sistema de Potência, e dá suporte a outras 
disciplinas como Análise de Sistemas de Potência. 
Esses elementos servem como preparação para estudos mais avançados 
em transmissão de energia, voltados particularmente para o estudo das linhas de 
grandes extensões, para a compreensão do comportamento das linhas no 
desempenho do sistema em regime permanente, assim como para as questões 
de transitórios relativas às sobretensões e definição dos isolamentos. Alguns 
aspectos adicionais são também incluídos, relacionados aos aspectos mecânicos 
e aos efeitos dos campos elétricos e magnéticos. 
 
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INDICE 
1. GENERALIDADES SOBRE TRANSMISSÃO DE ENERGIA................3 
2. CONCEITOS BÁSICOS........................................................................11 
3. CONDUTORES E PARÂMETROS BÁSICOS......................................23 
4. INDUTÂNCIA DE LINHAS DE TRANSMISSÃO...................................32 
5. CAPACITÂNCIA DE LINHAS DE TRANSMISSÃO..............................47 
6. CÁLCULO DAS IMPEDÂNCIAS EM LINHAS TRIFÁSICAS...............57 
7. EQUAÇÕES DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO..................................65 
8. COLAPSO DE TENSÃO E CAPACIDADE TRANSMISSÃO...............79 
9. DIAGRAMAS CIRCULARES E HIPERBÓLICOS DE POTÊNCIAS...90 
10. TRANSITÓRIOS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO.............................98 
11. ASPECTOS MECÂNICOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO............110 
12. TÓPICOS COMPLEMENTARES........................................................117 
 
REFERÊNCIAS...................................................................................126 
ANEXOS..............................................................................................127 
 
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1. GENERALIDADES SOBRE TRANSMISSÃO DE ENERGIA 
Aspectos Gerais 
Transmissão de energia elétrica é o processo que consiste em 
transportar energia entre dois pontos, de onde ela é disponível para onde é 
utilizada. O transporte é realizado, em geral, através de linhas de transmissão em 
tensão ou corrrente alternada trifásica, com uma capacidade de transmissão 
adequada. 
A linha de transmissão é um meio usado para transmitir potência elétrica 
sob a forma de energia eletromagnética. Essa transmissão não é irradiada, mas 
sim guiada a partir de uma fonte geradora para uma carga consumidora, 
constituindo-se a linha num guia de onda de campos elétricos e tensões e de 
campos magnéticos e correntes. 
A transmissão de energia propriamente dita envolve potências elevadas 
ligando as usinas geradoras aos grandes centros, mas inclui também a 
distribuição, onde e energia é distribuída dentro de centros urbanos e utilizada 
pelos consumidores. As tensões das linhas de transmissão normalmente são 
acima de 230 kV. As linhas de distribuição são usualmente na faixa de 13,8 kV e 
34,5 kV, sendo a faixa intermediária entre 69 e 138 kV a subtransmissão. A 
conversão entre níveis de tensão é feita através dos transformadores. 
Em sistemas de grande porte é usual a interligação entre sistemas, 
através das linhas de transmissão, formando uma rede. As interligações 
aumentam a confiabilidade do sistema, porém aumenta a sua complexidade. A 
interligação pode contribuir para a melhoria do suprimento de energia, mas 
também propaga falhas do sistema, pois um problema que ocorre em 
determinado ponto da rede pode afetar outras áreas, principalmente as mais 
próximas. 
Fisicamente as linhas de transmissão são constituídas de componentes, 
destacando os cabos ou condutores, as estruturas, os isoladores e alguns 
acessórios. Os cabos ou condutores são os componentes que permitem a 
transmissáo de energia. 
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As estruturas ou torres, em linhas aéreas, são necessárias para erguer os 
cabos a uma distância segura do solo, de forma a evitar contato elétrico com 
pessoas, vegetação e veículos que estejam próximos da linha. As torres devem 
suportar os cabos em condições extremas, determinadas basicamente pelo tipo 
de cabo e as condições meteorológicas adversas. São usualmente construídas 
em aço, com algumas alternativas em madeira e concreto para tensões mais 
baixas O projeto das torres deve ser otimizado para tornar a linha técnica e 
economicamente viável. 
Os isoladores permitem que as torres suportem os cabos mantendo-os 
isolados eletricamente da estrutura. Esses suportes devem garantir a rigidez 
dielétrica e suportar o peso dos cabos. Em geral são constituídos de cerâmica, 
vidro ou polímeros. Os acessórios são componentes adicionais que 
complementam a formação da estrutura de transmissão. 
As linhas de transmissão são conectadas às subestações, que dispõe de 
mecanismos de manobra e controle, de forma a reduzir problemas decorrentes de 
eventos transitórios que podem ocorrer durante a operação normais de 
chaveamentos ou descargas atmosféricas. 
Capacidade de Transmissão 
Um fator importante a considerar nas linhas de transmissão é sua 
capacidade de transporte de potência, o seu limite de transmissão. Esse valor não 
é único, pois depende do critério adotado. Usualmente são utilizados como 
critérios os da ampacidade, da potência natural, da tensão operativa, da 
estabilidade estática e colapso de tensão. 
A ampacidade é a capacidade máxima de corrente elétrica nos condutores, 
que depende das suas características térmicas. A temperatura dos condutores 
depende da corrente elétrica e das condições metereológicas. Influenciam na sua 
dilatação, aumentando a flecha e diminuindo a distância do condutor para o solo, 
mas que deve ser atendida uma altura mínima de segurança. 
A potência natural é uma das características das linhas de transmissão. 
Seu valor varia diretamente com o quadrado da tensão e inversamente com a 
impedância característica da linha, que depende da capacitância e reatância. Ela 
equivale à potência de uma carga com factor de potência unitário que esteja 
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demandando essa potência, sendo que nessa condição a energia reativa da linha 
é consumida por ela própria e as perdas são mínimas. Aumentar a potência 
natural corresponde a aumentar a capacidade de transmissão. 
A compensação de linhas é obtida através de capacitores em derivação e 
capacitores série. Para linhas com grandes comprimentos, da ordem de 400 km 
ou mais, é necessário também o uso de equipamentos de compensação indutiva, 
através de reatores em derivação.Uma combinação adequada dos equipamentos 
de compensação podem promover o aumento da capacidade de transmissão da 
linha. 
As tensões de operação nos terminais das linhas devem obedecer 
determinados limites, normalmente 5% para mais e para menos em torno da 
tensão nominal, sendo um fator condicionante da capacidade de transmissão da 
linha. Normalmente essas tensões são resultantes da ação dos equipamentos de 
compensação e controle. 
O limite de transmissão por estabilidade estática corresponde ao máximo 
de potência que a linha pode transmitir sem perder a estabilidade de regime 
permanente. Em termos aproximados, esse limite depende diretamente do 
produto das tensões terminais e inversamente da reatância da linha e ocorre 
quando o ângulo da carga, ou ângulo entre as tensões, atinge 900. 
Também se constitue em indicador da capacidade de transmissão da linha 
a proximidade da ocorrência de colapso de tensão, que corresponde ao máximo 
que a linha pode transmitir com uma determinada tensão do lado da fonte. 
Normalmente nessa condição a tensão no lado da carga é muito baixa, mas para 
linhas longas o ponto de colapso pode ser da ordem das tensões operativas, isto 
é, em torno das nominais. 
Tipos de Transmissão 
Quanto à forma de onda gerada a transmissão pode ser em tensão ou 
corrente alternada (CA) e tensão ou corrente contínua (CC). 
Quanto ao número de fases pode ser monofásica, bifásica, trifásica, 
hexafásica etc.. 
Sob o aspecto físico a transmissão pode ser através de linhas aéreas, 
linhas subterrâneas e linhas subaquáticas. 
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A transmissão em corrente contínua tem sido considerada também como 
alternativa para a transmissão de grandes blocos de energia. A conversão entre 
corrente alternada e corrente continua é realizada através de retificados 
utilizando tiristores de alta tensão, sendo seu custo o maior fator de desvantagem. 
O uso da corrente contínua tem como vantagens o desacoplamento entre 
sistemas e a economia de cabos, usando estruturas mais leves. Pode ser 
realizada de forma unipolar (um condutor, com retorno pelo terra) ou bipolar (dois 
condutores, de polaridades positiva e negativa). 
Uma solução para os grandes centros urbanos é o uso de linhas 
subterrâneas, normalmente na distribuição e às vezes na subtransmissão. A 
principal dificuldade é na isolação e blindagem dos condutores, de forma a 
acomodarem-se nos espaços reduzidos, ao contrário das linhas aéreas que 
utilizam cabos nus, utilizando-se do ar como isolante natural. 
O uso de condutores isolados também dificulta a dissipação de calor, 
reduzindo consideravelmente a ampacidade da linha. O grande fator limitante é o 
custo, podendo ser da ordem de dez vezes o custo das linhas a éreas 
Na travessia de rios e canais por linhas aéreas demanda um projeto 
especial, por quase sempre haver a necessidade de transpor um vão muito 
grande. A catenária formada pelos cabos poderia ser muito grande, necessitando 
o uso de cabos com liga especial e torres muito altas. 
Pode-se mencionar que na travessia do Rio Yangtze uma linha de 
transmissão apresenta as torres maiores do mundo, com 346,5 m de altura, para 
transpor um vão de 2303 m. As linhas submarinas evita o uso de estruturas, 
reduzindo a poluição visual e contornando-se problemas de navegação. 
Níveis de Tensão 
O transporte de energia pode ser feita em diversos níveis de tensão, com 
valores padronizados, podendo ser classificada conforme segue: 
 Distribuição: 13,8 e 34,5 kV 
 Subtransmissão: 69 e 138 kV 
 Transmissão: 230 kV e valores superiores. 
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 A transmissão propriamente dita pode ser classificada como: 
 Alta tensão: 230 kV 
 Extra-alta tensão: 345, 500, 765 kV (CA), 600 kV (CC) 
 Ultra-alta tensão: 1000 kV (CA), 800 kV (CC) e valores superiores. 
A Figura 1.1 mostra exemplos de linhas de transmissão em 765 kV, 500 kV 
e 230 kV. 
 
Figura 1.1 - Exemplos de linhas de transmissão 
A Figura 1.2 mostra exemplos de linhas de subtransmissão e distribuição 
em 138 kV, 69 kV e 13,8 kV. 
 
Figura 1.2 - Exemplos de linhas de subtransmissão e distribuição 
A Figura 1.3 mostra um exemplo de uma linha de transmissão em CC 600 
kV, um cabo para linha subaquática CC 200 kV e um trecho em construção de 
uma LT 230 kV. 
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Figura 1.3 - Exemplo de LT em CC, cabo CC para linha subaquática e LT subterrânea 
Evolução dos Sistemas de Transmissão 
Alguns marcos históricos relacionados com a evolução dos sistemas de 
transmissão de energia podem ser mencionados em destaque, conforme indicado 
a seguir: 
 1880: Fase inicial em CC (Edison, New York); 
 1885: CA (George Westinghouse/EUA); 
 1885/1886: Sistema experimental em CA com 50 lâmpadas; 
 1888: Motores de indução e síncronos bifásicos (Tesla); 
 1889: Primeira UHE no Brasil; 
 1890: Primeira LT em operação, Oregon/EUA, 3,3 kV, 20 km, monofásica, 
iluminação, motores monofásicos; 
 1893: Distribuição bifásica; 
 1894: 5 UHE nos EUA (1 bifásica/e 4 trifásicas); 
 1907: Transmissão em 100 kV; 
 1913: Transmissão em 220 kV; 
 1917: Sistemas interligados; 
 1923: Transmissão em 244 kV (operação em 1926); 
 1926: Transmissão em 287 kV (operação em 1936); 
 1953: Transmissão em 345 kV; 
 1965: Transmissão em 500 kV e 735 kV (Hidro Quebec/Canadá); 
 1969: Transmissão em 765 kV. 
 
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Sistema de Transmissão no Brasil 
 O sistema elétrico brasileiro é um dos maiores e mais complexos do 
mundo. Em termos de transmissão de energia elétrica pode-se mencionar alguns 
dados relativos aos quantitativos de linhas de transmissão e de potência 
transmitida, conforme segue: 
 Capacidade instalada de geração de energia elétrica: 
- 124.796 MW, em 2013; 
- 195.883 MW, previsão para 2023. 
 Capacidade de transformação na transmissão: 
- 288.946 MVA, em 2013; 
- 451.904 MVA, previsão para 2023. 
 O sistema de transmissão nas tensões de 230 kV a 750 kV: 
- 112.660 km, em 2013; 
- 182447 km, previsão para 2023. 
Observa-se que a demanda máxima instantânea verificada em 2013 foi de 
84.481 MW, prevendo-se 118.993 MW para 2023. 
Estudos Realizáveis em Linhas de Transmissão 
Dentre os tipos de estudos que podem ser realizados envolvendo as linhas 
de transmissão podem ser mencionados: 
 Análise em regime permanente; 
 Influência das características das cargas; 
 Análise de transitórios; 
 Sobretensões, isolamento e sobrecorrentes; 
 Projetos mecânicos e custos; 
 Aspectos ambientais e biológicos; 
 Efeitos corona, interferências e ruídos. 
Desenvolvimentos e Perspectivas 
A seguir estão mencionados alguns pontos que representam áreas em que 
se encontra elevado desenvolvimento tecnológico e perspectivas para o futuro da 
transmissão de energia: 
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 Transmissão UAT/CA em 800 a 1500 kV (EUA, Canadá, Japão, Rússia, 
Itália, Brasil); 
 Transmissão CC (EUA, Itália, Brasil, China), Eletrônica de potência, 
multiterminais; 
 Transmissão hexafásica; 
 Linhas de transmissão compactas; 
 Linhas de meio comprimento de onda; 
 Linha de potência natural elevada – LPNE; 
 Compensação de reativos e controle de tensão; 
 Tecnologias de materiais e equipamentos; 
 Tecnologias de informática e comunicação. 
 
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2. CONCEITOS BÁSICOS 
Os estudos de transmissão de energia elétrica utilizam como variáveis as 
grandezas fundamentais tensão e corrente e as grandezas derivadas potência e 
energia. 
Nas linhas trifásicas são consideradas as tensões de linha (entre fases) e 
as tensões de fase (entre fase e neutro) e as correntes de linha (em cada fase) e 
as correntes entre fases. As potências são dostipos potência ativa ou real, 
potência reativa ou imaginária e potência aparente. 
Os parâmetros básicos são a resistência, a indutância, a condutância e a 
capacitância, assim como os valores derivados das reatâncias indutivas e 
capacitivas e das correspondentes impedâncias. 
As linhas apresentam-se em diversos níveis de tensão padronizados, 
desde a distribuição em 13,8 kV até ultra tensão, acima de 1000 kV. Em função 
do nível de tensão e do comprimento as linhas podem ser reunidas em três 
grupos, como linhas curtas, linhas médias e linhas longas, para efeito de 
realização dos estudos de forma simplificada ou de forma exata. 
Para os estudos das linhas elas podem ser representadas através de 
modelos de impedâncias concentradas ou de impedâncias distribuídas, 
dependendo do grau de precisão necessária. Os modelos de impedâncias 
concentrados são usualmente dos tipos T e π, nominais e equivalentes. 
A análise do comportamento e desempenho da linha pode ser realizada em 
regime permanente, assim como em regime transitório na propagação de ondas 
de tensão e de corrente na linha. 
Tensão, Corrente e Potência 
As tensões e correntes nas linhas podem ser expressas como funções do 
tempo e como fasores, conforme as seguintes correspondências: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Nessas expressões tem-se os valores máximos VM e IM, os valores 
eficazes Vef e Ief e as fases 0
0 e α0, correspondentes às tensões e correntes, 
respectivamente. Os valores podem ser para circuitos monofásicos e circuitos 
equivalentes monofásicos de um circuito trifásicos, com grandezas de linha ou de 
fase. 
As expressões das potências instantâneas p(t) e aparentes S são as 
seguintes: 
 
As funções v(t), i(t) e p(t) podem ser representadas conforme mostradas 
no gráfico da Figura 2.1. 
 
Figura 2.1 – Representação das tensões correntes e potências 
Desenvolvendo a expressão da potência, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A potência é constituida, portanto, de duas parcelas ou componentes, que 
correspondem à potência na parte resistiva, chamada de potência real ou ativa, e 
potência na parte reativa, chamada de potência reativa, respectivamente, tendo-
se então: 
 
 
 
 
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A potência média da segunda parcela é nula e a potência média total 
resulta na potência média da primeira parcela, isto é: 
 
 
 
 
As componentes da potência também podem ser expressas em termos das 
correntes na parte resistiva e na parte reativa, constituindo-se nas seguinte 
formas: 
 
 
As componentes da corrente na parte resistiva e na parte reativa são, 
portanto: 
 
 
Em termos de fasores, a composição das potências ativa e reativa forma a 
potência aparente. Dessa forma, sendo P a potência a ativa e Q a potência 
reativa fica definida uma potência aparente S, complexa, da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ângulo θ é o ângulo entre a potência ativa e a potência aparente, que 
corresponde também ao ângulo entre a tensão e a corrente. O fator de potência fp 
é a relação entre a potência ativa e a potência aparente sendo, portanto, igual ao 
cosseno do ângulo entre essas potências, isto é, cosθ. Tem-se, então, que: 
 
 
 
 
 
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Essas grandezas podem ser representadas através dos fasores das 
tensões e correntes e do triângulo de potências ativas, reativas e aparentes, 
conforme mostra a Figura 2.2. 
 
Figura 2.2. Representação dos fasores e triângulo de potências 
Modelos para Análise das Linhas 
Os modelos de análise de linhas de transmissão envolvem os valores 
instantâneos e complexos das tensões, correntes e potências. As grandezas 
podem ser expressas, portanto, no domínio tempo e no domínio frequência, 
dependendo do tipo de estudo, se no estado transitório ou permanente. 
As linhas podem ser representadas através de modelos de linhas curtas, 
médias e longas, dependendo dos níveis de tensão e comprimentos envolvidos, 
também em função do grau de precisão necessário aos estudos. 
Cada modelo de linha é representado através dos seus parâmetros, 
concentrados e distribuídos, tendo como alternativa a representação de um 
determinado modelo por outro equivalente. 
Os parâmetros básicos das linhas são a resistência, a condutância, a 
indutância e capacitância, mas nas linhas de transmissão serão utilizadas as 
constantes generalizadas ABCD, que dependem desses parâmetros, conforme 
será visto adiante. 
As linhas podem ser analisadas através de alguns valores calculados a 
partir dos parâmetros básicos, que podem ser considerados como características 
das linhas, a saber: impedância característica, impedância de surto, potência 
natural, constante de propagação e constantes de fase e de atenuação. Essas 
características serão apresentadas adiante. 
Transmissão de Potência e Capacidade de Transmissão 
No processo de transmissão de energia é de interesse a determinação das 
tensões e correntes, da variação de tensão e regulação, das perdas e da variação 
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de reativos, cujos valores estão relacionados com os limites de transmissão de 
potência na linha. 
 A capacidade de transmissão de uma linha não é um único valor, pois 
dependem de várias condições, assim como dos critérios ou condições 
consideradas. Os critérios usuais são discriminados a seguir: 
 Capacidade por corrente; 
 Capacidade pela tensão operativa; 
 Capacidade por estabilidade estática; 
 Capacidade por colapso de tensão; 
 Capacidade pela potência natural. 
Análise da Linha Curta 
Considera-se como linha curta, em geral, uma linha com uma tensão de 
distribuição em 13,8 kV e 34,5 kV, ou em tensões maiores mas com o 
comprimento pequeno, até cerca de 80 km. 
Basicamente a linha curta é representada pela resistência e reatância 
indutiva do condutor. As equações que envolvem as tensões e as correntes em 
função das potências são aproximadas, mas compatíveis com os resultados a 
serem obtidos. A Figura 2. 3 mostra uma representação de uma linha curta e o 
diagrama fasorial correspondente. 
 
Figura 2. 3 - Representação de uma linha curta e diagrama fasorial 
Normalmente são determinadas as quedas de tensão na linha e a 
regulação na carga, utilizando-se os parâmetros e variáveis em valores normais 
ou em por unidade (pu) e por cento (%). 
Sendo a potência na carga S=P+jQ, e a tendo a tensão na carga como 
referência, com ângulo δ=00, a equação da linha é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
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A queda de tensão na linha é: 
 
Em termos aproximados, a queda de tensão na linha pode ser dada em 
volt (V) por: 
 
 
 
 
Utilizando as unidades em kW, kVAr, MW, MVAr e kV, tem-se em (kV): 
 
 
 
 
 
 
 
Por exemplo, para uma linha de 10 km de comprimento, com os 
parâmetros r = 0,1 Ω/km e x = 0,5 Ω/km, tem-se: R = 1 Ω e X = 5 Ω. Alimentando 
uma carga de P = 2 MW e Q = 1 MVAr, na tensão V = 13,8 kV, resulta uma queda 
de tensão ∆V ≈ 0,51 kV, ou seja, 3,7 % da tensão da linha. 
A quedade tensão expressa em por unidade (pu) e por cento (%) da 
tensão de referência é dada por: 
 
 
 
 
Adotando uma determinada base de potência, normalmente 100 MVA para 
as linhas de transmissão e sistemas de potência, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando todos os valores de impedâncias e potências em pu, tem-
se uma expressão muito simples: 
 
Por exemplo, para a linha de R = 1 Ω e X = 5 Ω alimentando a carga de 
valores P = 2 MW e Q = 1 MVAr, na tensão V = 13,8 kV, tem-se em por unidade 
que R = 0,525 pu, X = 2,625 pu, P = 0,02 pu e Q = 0,01 pu. Resulta uma queda 
de tensão ∆V ≈ 0,037 pu, ou seja, 3,7 % da tensão da linha. 
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A regulação de tensão ρ na barra de carga pode ser definida como a 
diferença entre as tensões nessa barra em vazio V0 e em carga Vc, em relação à 
tensão em carga, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso de variação somente de reativo, tem-se aproximadamente: 
 
Istoé, a regulação da tensão na carga no final da linha é igual ao produto 
da reatância da linha pela variação da potência reativa. 
 Análise da Linha Média 
Considera-se com linha média, em geral, uma linha com uma tensão de 
subtransmissão em 69 kV e 138 kV, ou em tensões mais elevadas, mas com o 
comprimento pequeno, até cerca de 240 km. 
Basicamente a linha média é representada pela resistência, reatância 
indutiva série e reatância capacitiva derivação do condutor ou pela resistência, 
indutância e capacitância, conforme mostra a Figura 2.4. 
 
Figura 2. 4 - Representações de uma linha média 
As equações que envolvem as tensões e as correntes em função das 
potências são também aproximadas, mas compatíveis com os resultados a serem 
obtidos. Normalmente são determinadas as quedas de tensão na linha e a 
regulação na carga, utilizando os parâmetros e variáveis em valores normais ou 
em por unidade (pu) e por cento (%), como nas linhas curtas, acrescentando-se 
porem a influência da carga capacitiva da linha, utilizando-se os modelos T ou π. 
É importante no caso das linhas médias a determinação da elevação da 
tensão da linha em vazio (sem carga), decorrente da potência capacitiva da linha. 
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Utilizando o modelo π, e desprezando a resistência em relação à reatância 
indutiva, tem-se para a tensão em vazio na linha média, em pu: 
 
 
 
 
Utilizando as reatâncias em por unidade de km, isto é, x (Ω/km) e x’ (Ω.km), 
tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Expressando o valor do comprimento l da linha como l’ em centenas de km, 
Istoé, l’ = l/100, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando, por exemplo, valores típicos para as reatâncias indutivas x em 
torno de 0,5 Ω/km e capacitivas x’ entre (0,25 a 0,3) MΩ.km, obtém-se: 
 
 
 
Variando os condutores e, portanto, os valores de x e x’, tem-se que ∆V% 
varia entre (0,8 e 1,0)l’2. Pode-se, então, considerar a seguinte regra prática: 
 “A elevação de tensão em linhas médias em vazio, em %, é da ordem 
do quadrado do comprimento da linha expresso em centenas de km”. 
Por exemplo, uma linha de 100 km de comprimento apresenta uma 
elevação de tensão da ordem de 1 %; para 200 km a elevação é de 4 %, e assim 
por diante. Essas elevações praticamente não dependem dos condutores e dos 
níveis de tensão, e podem ser aplicadas para linhas até comprimentos da ordem 
de 500 km. 
A carga ou carregamento da linha média Sc, devido à capacitância pode 
ser determinada a partir da tensão de fase VF ou tensão de linha VL e da corrente 
de carregamento IC ou reatância capacitiva XC, através das expressões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Isto é: a potência capacitiva da linha em MVAr é igual ao quadrado da 
tensão de linha em kV dividido pela reatância capacitiva por fase da linha XC. 
Em por unidade ou centenas de km, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando valores típicos para x’ obtém-se para Sc, por exemplo para 69 
kV, um valor da ordem de 1,5 MVAr/100 km. Para as demais tensões é só 
considerar que a potência reativa da linha varia com o quadrado da tensão. 
Assim, para cada 100 km de comprimento as linhas apresentam as potências 
capacitivas, ou carregamentos, indicados na Tabela 2.1. 
Tabela 2.1 - Potências capacitivas das para 100 km de comprimento 
Tensão (kV) 13,8 69 138 230 500 
 (MVAr/100km) 0,06 1,5 6.0 16,7 78,8 
A susceptância B de uma linha de comprimento l pode ser expressa na 
base de 100 MVA, em pu e %, da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resulta, portanto, que: 
 
 
 
 
 
Deste resultado pode-se observar que: 
”A susceptância da linha em % é igual à sua potência capacitiva em 
MVAr”. 
A potência natural da linha Pn é definida como a razão entre o quadrado da 
tensão da linha VL=V e sua impedância característica ZC, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo: 
 
 
 
 
20 
 
Pode-se verificar que, em geral, a impedância característica de linhas 
trifásicas são da ordem de 400 Ω, donde se pode determinar a ordem de 
grandeza da potência natural das linhas de transmissão. 
Por exemplo, a potência natural de uma linha de 69 kV é da ordem de 12 
MVA e de uma linha de 230 kV cerca de 132 MVA. 
Potência Transmitida Aproximada 
 A potência transmitida numa linha de transmissão pode ser determinada, 
de forma simplificada, para o caso de uma linha curta, conforme segue. 
A Figura 2.5 mostra a representação de uma linha média compreendida 
entre duas barras a e b, com indicação da sua impedância e das tensões, 
correntes e fluxos das potências envolvidas. 
 
Figura 2. 5 – Fluxos de potências em uma linha média 
A potência transmitida de a para b é dada pela expressão: 
 
 
 
 
 
Em termos das potências ativas e reativas, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De forma semelhante, a potência transmitida de b para a é dada por: 
 
 
 
 
 
Em termos das potências ativas e reativas, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
Tem-se a seguinte diferença de potências: 
 
A diferença Pab - Pba corresponde às perdas ativas e a diferença Qab - Qba 
corresponde à variação de reativos. 
Considerando as resistências desprezíveis, isto é R<<X, tem-se um 
resultado bastante simples, mas de importância muito grande, pois dá uma ideia 
aproximada da potência ativa transmitida nas linhas, conhecendo-se as tensões 
terminais. 
Tem-se, então: 
 
 
 
 
 
 
 
A Figura 2.6 mostra o gráfico representativo dessa função Pab = f(δ), 
chamada de curva de carga, destacando-se o valor máximo PM e as áreas em que 
a transmissão é estável, com δ < 900, e instável, com δ > 900: 
 
Figura 2. 6 – Curva de Carga em uma linha de transmissão 
Por exemplo, considerando um linha com uma reatância X = 50 Ω, tendo-
se as tensões terminais iguais e controladas em Va = Vb = 69 kV, a potência 
máxima transmitida é de PM = 95,2 MVA. Com metade dessapotência o ângulo 
de carga resultante é δ=300. 
Este caso em pu apresenta Va = Vb = 1 pu e X = 1,050 pu. A potência 
máxima transmitida resulta em PM = 0,952 pu, isto é de PM = 95,2 MVA. 
O gráfico da Figura 2.7 ilustra a variação da tensão em função da potência 
transmitida em linhas médias. São consideradas linhas de comprimentos entre 
200 a 800 km. Estão representadas as tensões na carga em relação à tensão da 
22 
 
fonte VR/ES (pu) em função das potências da carga em relação à potência natural 
PR/Pn (pu). 
 
Figura 2.7 - Variação da tensão em função da potência transmitida em linhas médias 
Esses gráficos ilustram, de forma aproximada, o comportamento de linhas 
de transmissão médias, como a potência transmitida e a capacidade de 
transmissão, e servem como ideia preliminar para avaliação do comportamento 
das linhas de transmissão em geral. 
 
23 
 
 
3. CONDUTORES E PARÂMETROS DAS LINHAS 
As linhas de transmissão de energia apresentam como parâmetros 
elétricos a resistência, a indutância, a condutância e a capacitância. Das 
indutâncias e capacitâncias resultam as reatâncias indutivas e capacitivas. 
A impedância série é a composição da resistência e reatância indutiva e a 
admitância derivação, ou shunt, é a composição da condutância e reatância 
capacitiva. A susceptância é a admitância derivação desprezando-se a 
condutância. 
O comportamento das linhas depende desses parâmetros, que por sua vez 
influenciam o comportamento do sistema de potência. Os parâmetros podem ser 
representados como concentrados ou distribuídos e considerados de forma 
completa ou de forma simplificada, dependendo do tipo de estudo a ser realizado. 
A resistência depende da resistividade elétrica do material condutor e de 
suas dimensões físicas, e está associada diretamente às perdas devido à 
condução da corrente. 
A resistência elétrica do condutor R, em ohm (Ω), varia diretamente com o 
comprimento l, em metro (m) e inversamente com a área da seção transversal A, 
em m2, sendo a resistividade ρ o fator de proporcionalidade, em (Ω.m). Tem-se, 
então: 
 
 
 
 
A condutância entre condutores e entre condutores e terra leva em conta 
basicamente a corrente de fuga dos isoladores das linhas aéreas ou da isolação 
nas linhas subterrâneas. No caso das linhas aéreas normalmente a condutância é 
desprezível pelo baixo valor relativo na composição da admitância. 
A indutância e a capacitância dependem das dimensões físicas dos 
afastamentos entre os condutores e às propriedades do meio, e estão associadas 
aos campos magnéticos e elétricos devido às correntes e às tensões, 
respectivamente. Dependem das propriedades do meio, expressas pela 
permeabilidade magnética e permissividade elétrica, respectivamente. 
24 
 
A indutância em um circuito, constituído de uma ou mais voltas de uma 
bobina percorridas por uma corrente elétrica, resulta da produção de um campo 
magnético em torno do circuito, campo este que cria um fluxo que as atravessa. 
Nas linhas de transmissão as correntes passam apenas por um circuito 
constituído de apenas uma volta. 
A indutância L é a relação entre o fluxo magnético Φ, em weber (Wb) e a 
corrente elétrica I, em ampère (A), sendo sua unidade Wb/A ou henry (H). 
Autoindutância ou indutância própria L de um condutor resulta da relação entre o 
fluxo em torno do condutor e a corrente que passa pelo próprio condutor. A 
indutância múrua M entre condutores resulta da relação entre o fluxo em torno de 
um condutor e a corrente que passa pelo outro condutor 
As indutâncias próprias de um condutor 1 e mútuas entre os condutores 1 e 
2 podem ser expressas, portanto, pelas relações: 
 
 
 
 
 
 
 
. Uma corrente elétrica variável em um condutor produz uma força 
eletromotriz no sentido contrário à variação de corrente à qual ele está submetido, 
tendendo a manter o fluxo devido ao campo magnético. A força eletromotriz ou 
tensão induzida e, em volt (V), é dada pela relação: 
 
 
 
 
A capacitância em um circuito, num conjunto de condutores, resulta da 
produção de um campo elétrico radialmente em torno do circuito, decorrente da 
da tensão elétrica no condutor, campo este que depende da carga elétrica 
resultante. 
Nas linhas de transmissão as capacitâncias aparecem entre os condutores 
e entre os condutores e a terra. 
A capacitância C é a relação entre a carga elétrica Q, em coulomb (C), e a 
tensão no condutor, em volt (V), sendo sua unidade (C/V) ou farad (F). É definida 
pela relação: 
 
 
 
 
25 
 
Tipos de Condutores 
Os condutores utilizados para transmissão de energia elétrica devem 
apresentar características mecânicas e elétricas específicas, que atendam os 
requisitos necessários à transmissão, como alta condutibilidade elétrica, baixo 
custo, boa resistência mecânica, baixo peso específico e elevada resistência a 
oxidação. 
Os condutores são predominantemente de alumínio, podendo-se usar 
também condutores de cobre em algumas situações, como em alguns casos nas 
linhas de distribuição. Os condutores de cobre são melhores condutores de 
eletricidade que os de alumínio, porem seu uso limitado deve-se ao seu custo 
mais elevado, como também ao seu maior peso. 
São utilizados normalmente como os seguintes tipos de condutores de 
alumínio: 
 CA – condutores de alumínio puro; 
 CAA - condutores de alumínio com alma de aço (ou ACSR - aluminium 
conductor steel reinforced); 
 CAAA - condutores de liga de alumínio (ou AAAC – all aluminium alloy 
conductors); 
 ACAR - condutores de alumínio com alma de liga de alumínio (aluminium 
conductor alloy reinforced). 
 A alma de aço ou de liga de alumínio serve para garantir maior resistência 
à tração aos condutores de alumínio. Normalmente os condutores são nus, mas 
podem também ter isolamento, como nas linhas subterrâneas e subaquáticas, ou 
serem semi-isolados em certos casos nas redes de distribuição aérea. 
Os condutores, também chamados de cabos condutores, são constituídos, 
em geral, de subcondutores formando camadas superpostas encordoadas, em 
sentido contrário e sob a forma helicoidal, fazendo com que o raio interno de uma 
camada seja praticamente o mesmo do raio externo da camada vizinha e evite 
que os fios se desenrolem e garanta sua flexibilidade. 
O número de subcondutores N de alumínio pode ser estimado em função 
do número de camadas n, de forma orientativa, através de relação: 
26 
 
 
Por exemplo, para n = 2 camadas, tem-se N = 19 subcondutores. No 
entanto, os condutores de 2 camadas podem apresentar número de 
subcondutores diferente desse resultado. 
A Figura 3.1 mostra o exemplo da seção transversal de um cabo com 7 fios 
de aço no núcleo em duas camadas e 24 fios de alumínio em duas camadas, 
designado como 24 Al / 7Aço, ou simplesmente 24 / 7, e o encordoamento de um 
condutor 6/1. 
 
Figura 3.1 – Ilustração da seção transversal e encordoamento de um cabo condutor 
O diâmetro do condutor D pode ser calculado, aproximadamente, a partir 
do diâmetro dos subcondutores através da expressão: 
 
A unidade mais usual para expressar o diâmetro do condutor é o circular 
mil (CM), que corresponde a uma área de um círculo com um diâmetro de um 
milésimo da polegada, chamada de (mil). A área do condutor em CM é igual ao 
quadrado do diâmetro do condutor em (mil), sendo tal que multiplicada por π/4 dá 
igual à área em (mil)2. Tem-se a seguinte correspondência com a área expressa 
em mm2: 
 
Normalmente utiliza-se a unidade MCM, que quer dizer “mil circular mil”,isto é , mil vezes o CM. Os condutores são designados por nomes códigos e por 
MCM. 
27 
 
Utiliza-se como padrão de condutividade, que é o inverso da resistividade, 
a do cobre recozido. A condutividade do cobre têmpera dura tem 97,3% do valor 
padrão e a do alumínio 61%. Têm-se os seguintes valores usuais de resistividade, 
a 200C: 
 Cobre têmpera dura: ρ = 1,17x10-8 Ω.m = 10,66Ω.CM/pé; 
 Alumínio: ρ = 2,83x10-8 Ω.m = 17,00 Ω.CM/pé. 
Resistência Elétrica 
A resistência elétrica dos condutores depende de alguns fatores, como o 
encordoamento, a temperatura e o tipo de corrente. O encordoamento aumenta o 
comprimento dos fios e sua resistência aumenta com isso cerca de 1% a 2%. 
A resistência varia com a temperatura praticamente de forma linear. A 
resistência do condutor R2 a uma temperatura T2 pode ser determinada em 
função da resistência R1 a uma temperatura T1 através da seguinte relação: 
 
 
 
 
 
 
O valor T é uma constante que depende do condutor, conforme indicado a 
seguir: 
 T= 234,5 para cobre recozido com 100 % de condutividade; 
 T= 241,0 para cobre têmpera dura com 97,3 % de condutividade; 
 T= 228,0 para alumínio têmpera dura com 61 % de condutividade. 
A variação da resistência dos condutores com a temperatura pode ser 
visualizada no gráfico apresentado na Figura 3.2. 
 
Figura 3.2 – Variação da resistência dos condutores com a temperatura 
28 
 
Por exemplo, se um condutor de alumínio têmpera dura com 61 % de 
condutividade apresenta um resistência R1 = 10 Ω a uma temperatura T1 = 20
0, a 
sua resistência em T2 = 40
0 resulta em R2 = 10,8 Ω. 
A distribuição uniforme de corrente nos condutores ocorre somente em 
corrente contínua. Na corrente alternada essa distribuição não é uniforme, 
crescendo, em geral, do interior para a superfície, o que provoca um fenômeno 
chamado de efeito pelicular, resultando em aumento da resistência elétrica. 
Verifica-se que a resistência à corrente alternada é da ordem de 2 % a 4 % 
da resistência à corrente contínua, isto é. 
 
Disposição dos Condutores 
Um condutor pode ser formado de apenas um fio, apresentando um 
determinado raio, que é o raio do próprio fio. Sendo constituído de dois ou mais 
fios ou subcondutores são chamados de condutores múltiplos e apresenta um raio 
que depende dos raios dos subcondutores. 
Numa linha monofásica o espaçamento entre os dois condutores é a 
distância entre os centros dos condutores. Numa linha trifásica simétrica o 
espaçamento entre os dois condutores é a distância entre os centros de cada um 
dos condutores para os demais. 
Numa linha trifásica assimétrica o espaçamento entre os dois condutores é 
uma distância equivalente à média geométrica das distâncias entre os centros de 
cada um dos condutores para os demais. Para os condutores 1, 2 e 3 de uma 
linha trifásica assimétrica, com espaçamentos D12, D23 e D31 tem-se para 
espaçamento equivalente Deq: 
 
 
 
Cada fase de uma linha é constituída geralmente de apenas um condutor, 
mas pode ser constituída de 2, 3, 4, ou mais subcondutores em paralelo, 
geralmente dispostos nos vértices de um polígono regular de lado d, cujo 
espaçamento é da ordem de 30 cm. 
29 
 
Esses condutores são chamados de condutores múltiplos e apresentam-se 
conforme as configurações mostradas na Figura 3.3. 
 
Figura 3.3- Configurações de condutores múltiplos 
Cada um desses condutores apresenta um raio equivalente, cujo centro 
está localizado no centro geométrico dos subcondutores, sendo dados pelas 
seguintes expressões: 
 Dois subcondutores: 
 Três subcondutores: 
 
 
 Quatro subcondutores: 
 
 
Algumas linhas trifásicas podem ser constituídas de circuitos simples, cada 
uma das três fases formada de condutores simples ou múltiplos. Outras linhas 
podem ser constituídas de circuitos em paralelo, como se fossem duas ou mais 
linhas numa mesma estrutura ou em estruturas distintas, também formadas de 
condutores simples ou múltiplos, e apresentando uma grande variedade de 
configurações. 
Campos Elétricos e Magnéticos 
Numa linha de transmissão a corrente elétrica cria um campo magnético 
que envolve o condutor e está concatenado com o circuito. A tensão no condutor 
cria um campo elétrico radial, com origem no condutor com carga elétrica positiva, 
terminando no condutor de carga negativa. 
A Figura 3.4 mostra uma representação dos campos magnéticos H e 
elétricos E presentes numa linha de transmissão monofásica, ou a dois fios, com 
a corrente entrando num circuito e retornando pelo outro: 
30 
 
 
Figura 3.4 - Representação dos campos magnéticos e elétricos 
Os campos magnéticos e elétricos dependem dos meios. As propriedades 
básicas desses campos são a permeabilidade magnética μ e a permissividade 
elétrica ξ, para o caso das linhas de transmissão os meios são o ar e os 
condutores. Observa-se que esses meios apresentam praticamente as mesmas 
propriedades que o vácuo, cujos valores são: 
 
 
 
 
Uso de Tabelas 
As características dos condutores podem ser encontradas em tabelas. 
Algumas dessas características estão apresentadas, de forma simplificada, nas 
tabelas seguintes, considerando valores típicos de espaçamentos equivalentes 
para alguns níveis de tensão e tipos de condutores. 
As Tabelas 3.1 a 3.4 mostram alguns dados relativos às características das 
linhas, dos condutores e espaçamentos usuais. 
Tabela 3.1 – Tensões, condutores e espaçamentos equivalentes 
Tensões 
(kV) 
Condutores 
(AWG, MCM) 
Espaçamento Equivalente 
(m) (pé) 
13,8 1/0, 4/0 1,35 4,40 
34,5 4/0, 336.4 1,58 5,18 
69 4/0, 336.4 3,60 11,81 
138 336.4, 636.0 5,10 16,73 
230 636.0 10,10 33,13 
31 
 
Tabela 3.2 - Características de condutores 
Condutor 
(AWG, MCM) 
Resistência 
(r, Ω/km - 500C) 
Reatância Indutiva 
(xa, Ω/km, 60Hz) 
(*) 
Reatância 
Capacitiva (xa´, 
MΩ.km, 60Hz) (*) 
1/0 0,696 0,408 0,196 
4/0 0,368 0,361 
0,179 
 
336.4 0,190 0,280 0,167 
636.0 0,100 0,256 0,152 
(*) - Para espaçamento de 1pé 
 Tabela 3.3 - Tensões e reatâncias para espaçamento de d pés 
(kV) xd (Ω/km) xd´ (MΩ.km) 
34,5 0,124 0,078 
69 0,187 0,118 
138 0,235 0,135 
230 0,264 0,168 
 
Tabela 3.4 - Resistências e reatâncias totais 
(kV) Condutor (r, Ω/km) (x, Ω/km) (x´, MΩ.km) 
13,8 1/0 0,696 0,520 0,227 
34,5 4/0 
336.4 
0,368 
0,190 
0,485 
0,404 
0,257 
0,245 
 
69 4/0 
336,4 
0,368 
0,190 
0,548 
0,467 
0,297 
0,285 
138 336,4 
636.0 
0,190 
0,100 
0,515 
0,491 
0,302 
0,287 
 
230 636.0 0,100 0,520 0,320 
Obs: x = xa + xd x´ = xa´ + xd´ 
Pode-se observar que reatâncias indutivas e capacitivas totais não variam 
muito com as tensões, com os condutores, nem com os espaçamentos. Pode-se 
verificar que a ordem de grandeza dessas reatâncias é a seguinte: 
x ≈ 0,5 Ω/km x´ ≈ 0,3 MΩ.km 
 
32 
 
 
4. INDUTÂNCIA DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 
A passagem da corrente elétrica no condutor de uma linha de transmissão 
produz em seu entorno um campo magnético como também um fluxo magnético 
concatenado. A variação da corrente, e consequentemente desse fluxo, produz 
uma tensão induzida ao longodo condutor. 
A tensão induzida, e em volt (V), pode ser determinada a partir da corrente 
i, em ampère (A) ou do fluxo concatenado τ, em weber.espira (Wb.e), através das 
seguintes expressões: 
 
 
 
 
 
 
 
A indutância L é o coeficiente de proporcionalidade entre a tensão induzida 
e a variação da corrente em relação ao tempo. Sua unidade é Wb.e/A ou Henry 
(H). 
A indutância representa a variação do fluxo concatenado em relação à 
variação da corrente. Porem, no meio em que a permeabilidade magnética é 
constante, há proporcionalidade entre o fluxo concatenado e a corrente e, 
portanto, a indutância L é constante, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
Em estado permanente o fluxo concatenado Ψ (ou λ) pode ser dado pela 
seguinte expressão: 
Ψ =LI 
Em corrente alternada com frequência ω tem-se para a tensão eficaz: 
V=jωLI V=jωΨ 
A indutância acima corresponde à autoindutância ou indutância própria, 
expressa também como: 
 
 
 
 
No caso da indutância mútua tem-se: 
 
 
 
 
33 
 
As indutâncias mútuas são consideradas particularmente nas influências 
entre linhas de transmissão em paralelo em linhas de comunição próximas as 
linhas de potência. 
Indutância de Condutor devido ao Fluxo Interno 
A indutância de um condutor apresenta duas parcelas, sendo uma devido 
ao fluxo interno e a outra devido ao fluxo externo. O fluxo interno é variável, 
dependendo do ponto em consideração, sendo função da corrente enlaçada até 
esse ponto. 
A Figura 4.1 mostra a seção transversal de um condutor cilíndrico com 
indicação do fluxo magnético interno e um condutor com a indicação do fluxo 
magnético externo. 
 
Figura 4.1 – Condutores e fluxos magnéticos internos e externos 
Pela lei de Ampère a força magnetomotriz (fmm) em A.e ao longo de 
qualquer contorno é igual á corrente envolvida I, em A, que atravessa a área 
delimitada por esse contorno, que é também igual à integral de contorno da 
componente tangencial da intensidade do campo magnético H, em A.e/m, ao 
longo do contorno s, em m, isto é: 
 
Tem-se então para a intensidade do campo magnético a uma distância x 
Hx, assim como para a densidade do fluxo magnético Bx = μHx, em Wb/m
2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
O fluxo magnético dΦ no elemento tubular de espessura dx é: 
 
 
 
 
A variação do fluxo concatenado dΨ é proporcional a dΦ, considerados por 
unidade de comprimento (m) sendo, portanto, igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 O fluxo concatenado entre dois pontos resulta em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para todo o condutor, em que D1 = 0 e D2 = r, e sendo μ = 4πx10
-7Wb/A.m 
tem-se para o fluxo total interno Ψi, em Wb.e/m: 
 
 
 
 
 
 
 
Resulta, então, para a indutância interna do condutor Li um valor constante, 
em unidade de comprimento H/m dado por: 
 
 
 
 
Indutância de Condutor devido ao Fluxo Externo 
Para a determinação da indutância externa a um condutor determina-se 
preliminarmente o fluxo concatenado entre dois pontos externos de um condutor 
isolado, conforme segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo magnético dΦ no elemento tubular de espessura dx é: 
 
 
 
 
A variação do fluxo concatenado dΨ é numericamente igual a dΦ, pois o 
fluxo externo concatena toda a corrente do condutor sendo, portanto, igual a: 
35 
 
 
 
 
 
 O fluxo concatenado entre dois pontos resulta em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resulta, então, para a indutância externa do condutor, entre os pontos D1 e 
D2, em H/m, dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
A partir desse resultado a indutância externa de condutores pode ser 
determinada para os diversos casos em que as linhas se apresentam. 
Linha Monofásica a Dois Fios 
Uma linha monofásica é constituída de dois condutores sendo o condutor 1 
o principal e o condutor 2 o de retorno, sendo I a corrente no condutor principal e 
-I a corrente no retorno, resultando uma corrente total nula enlaçada pela linha 
nos dois condutores. A Figura 4.2 mostra os dois condutores com representação 
do campo magnético relativo ao condutor 1. 
 
Figura 4.2 - Dois condutores e campo magnético relativo a um condutor 
A indutância externa do circuito devido à corrente no condutor 1 
corresponde à indutância entre os pontos em que D1 = 1 e D2 = D, sendo 
determinada por: 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
A indutância total do circuito devido à corrente no condutor 1 é igual à 
soma da indutância interna com a indutância externa do circuito, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
Essa expressão pode assumir uma forma mais compacta, resultando em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou ainda: 
 
 
 
 ´
 
Sendo definido: r’1 = r1 e
1/4 , com e1/4=0,7788. 
Observa-se que o valor r’1 corresponde, portanto, a um raio fictício ou 
equivalente para o condutor em que todo o fluxo é externo ao mesmo, e cuja 
indutância é a mesma do condutor de raio r1. Tem-se ainda que. 
A expressão correspondente a L1 pode assumir a seguinte forma: 
 
 
 
 ´
 
 
 
 
A primeira parcela resulta da corrente no condutor 1, sendo uma indutância 
própria, e a segunda resulta da corrente do condutor 2, sendo uma indutância 
mútua, Istoé: 
 
 
 
 ´
 
 
 
 
 
Da mesma forma, a indutância do condutor 2, de retorno é dada por: 
 
 
 
 ´
 
De outra forma tem-se também: 
 
 
 
 ´
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 ´
 
 
 
 
 
Observa-se que L12 = L21 e, se r1 = r2, tem-se L11 = L22. 
Para o circuito completo a indutância total é L = L1+L2, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considerando os raios dos condutores iguais, r1 = r2 = r, e 
consequentemente r’1 = r’2 = r’, tem-se então para a indutância total da linha a dois 
fios (H/m): 
 
 
 ´
 
Fluxo Concatenado de um Condutor em um Grupo de Condutores 
Para um grupo de condutores, conforme mostra a Figura 4.3, em que a 
soma das correntes seja nula, pode-se determinar a indutância de cada condutor 
a partir do fluxo concatenado nesse condutor e a corrente que passa por ele e 
pelos demais condutores. 
 
A Figura 4.3 – Grupo de condutores com a soma das correntes igual a zero 
Sendo os condutores 1, 2,... n e as correntes I1, I2,... In, respectivamente, tal 
que I1+I2 +... +In = 0, o fluxo concatenado Ψ1 com o condutor 1 até um ponto P, 
muito afastado, devido à corrente I1 e às correntes I2, ... In, é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Afastando indefinidamente o ponto P tem-se D1P ≈ D2P ≈... ≈ DnP, e 
considerando que I1+I2 +... +In = 0, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condutores Compostos 
Condutores compostos são os constituídos de dois ou mais subcondutores. 
A seguir são determinadas as indutâncias dos condutorescompostos formados 
de subcondutores ou fios iguais e, portanto, com igual distribuição de correntes. É 
considerado um condutor X com n subcondutores e um condutor Y de retorno 
com m subcondutores, conforme mostra a Figura 4.4. 
 
Figura 4.4 - Condutores compostos de uma linha monofásica 
 
A corrente I que circula no circuito é distribuída, portanto, em I/n em cada 
subcondutor de X e em I/m em cada subcondutor de Y. As indutâncias dos 
condutores X e Y são determinadas a partir da determinação dos fluxos e 
indutâncias dos seus subcondutores. 
Tem-se, portanto, para o condutor X e seus subcondutores, inicialmente o 
subcondutor a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultando em: 
 
 
 
 
 
 
 
A indutância do subcondutor a é: 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualmente são determinadas as indutâncias dos subcondutores b, c, ...n. A 
indutância média correspondente a cada subcondutor é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A indutância do condutor X resulta do paralelo das indutâncias médias dos 
subcondutores. Tem-se, então: 
 
 
 
 
Resulta, então: 
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se igualmente para Ly: 
 
 
 
 
 
 
 
As expressões dos numeradores são iguais e correspondem à média 
geométrica das distâncias entre todos os subcondutores do condutor x para os 
subcondutores do condutor y. É chamada de distância média geométrica Dm (ou 
DMG). 
As expressões dos denominadores correspondem às médias geométricas 
das distâncias entre todos os subcondutores do mesmo condutor, sendo r’ a 
distância própria de cada subcondutor. São chamadas de distância média 
geométrica própria Ds ou raio médio geométrico (RMG) de cada condutor. 
Dessa forma, têm-se as indutâncias por condutor (H/m): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A indutância total do condutor composto é, portanto: 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso dos condutores x e y serem iguais, resulta para a indutância total: 
 
 
 
 
 
A indutância por condutor é dada, portanto, por: 
 
 
 
 
Através dessa expressão são determinadas as indutâncias dos diversos 
tipos de condutores e circuitos das linhas de transmissão, conhecendo-se os raios 
dos condutores ou dos subcondutores e todas as distâncias entre eles, que 
permitem a cálculo de Ds e Dm. 
Linhas Trifásicas com Espaçamento Equilátero 
As linhas trifásicas apresentam-se com espaçamentos entre seus 
condutores em forma equilátera e não equilátera. 
Para o caso das linhas trifásicas com espaçamento equilátero, ou simétrico 
(Figura 4.5), e considerando que Ia + Ib + Ic = 0, tem-se as expressões dos fluxos e 
das indutâncias. 
 
Figura 4.5 – Disposição equilátera de uma linha trifásica 
Para o fluxo ψa na fase a, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
A indutância La da fase a é, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
Igualmente são determinados os fluxos e as indutâncias Lb e Lc para as 
fases b e c. Devido à simetria da linha tem-se que essas indutâncias são iguais. 
Tem-se então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na forma matricial a relação entre os fluxos e as correntes na linha trifásica 
com espaçamento equilátero tem a forma ψ = LI, isto é: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Linhas Trifásicas com Espaçamento não Equilátero 
Para o caso das linhas trifásicas com espaçamento não equilátero ou 
assimétrico tem-se uma representação conforme a Figura 4.6. 
 
Figura 4.6 – Ciclo de transposição de uma linha trifásica 
Considerando que Ia + Ib + Ic = 0, tem-se para cada uma das posições do 
condutor a, devido à transposição, as expressões dos fluxos e das indutâncias. 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo concatenado médio nas três posições do condutor a é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A indutância média da fase a, e portanto de cada uma da fases, é: 
 
 
 
 
 
 
 
No caso das linhas trifásicas a distância média geométrica, também 
chamada de espaçamento equivalente, é: 
 
 
 
Igualmente são determinados os fluxos e as indutâncias Lb e Lc para as 
fases b e c. Tem-se então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se considerar, então, a igualdade das indutâncias médias das três 
fases, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Na forma matricial a relação entre os fluxos e as correntes na linha trifásica 
com espaçamento assimétrico tem a forma ψ = LI, isto é: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cabos Múltiplos 
As indutâncias de linhas de transmissão com cabos ou condutores 
múltiplos, e consequentemente as reatâncias, podem ser determinadas a partir 
dos valores calculados para a distância geométrica própria Ds de cada condutor 
múltiplo e para a distância geométrica mútua Dm entre cada condutor múltiplo e os 
demais. 
Sendo r o raio de cada subcondutor e Ds0 = r’ a distância geométrica 
própria correspondente, ou seja, o raio geométrico médio de cada subcondutor, 
tem-se para a distância geométrica própria Ds dos condutores múltiplos: 
- 2 subcondutores: 
 
- 3 subcondutores: 
 
 
 
- 4 subcondutores: 
 
 
 
A distância geométrica mútua Dm entre cada condutor múltiplo e os demais 
pode ser determinada a partir das distâncias entre cada subcondutor de um 
condutor e os subcondutor dos demais condutores. Pode também ser calculada 
44 
 
considerando cada condutor com o raio igual a Ds tendo o seu centro no centro 
geométrico do condutor múltiplo. 
A Figura 4.7 mostra um exemplo de uma linha de transmissão com os 
condutores duplos, tendo-se como subcondutores aa’, bb’ e cc’, afastados de uma 
distância d, sendo D a distânciaentre os centros dos condutores duplos. 
 
Figura 4.7 - Condutores duplos de uma linha trifásica 
Por exemplo, para o caso da Figura 4.7 sendo conhecidos os raios dos 
subcondutores r = 1 cm (r’ = 0,7788x10-2 m), a distâncias entre eles d = 40 cm (0,4 
m) e a distância D = 10 m, tem-se: Ds = 5,58 cm (0,0558 m) e Dm = 12,57 m. A 
indutância por fase é L = 10,83x10-7 H/m. 
A Figura 4.8 mostra a configuração dos condutores de uma linha de 
potência natural elevada (LPNE). 
 
Figura 4.8 - Configuração dos condutores de uma LPNE. 
Nessa configuração procura-se aproximar as fases, através dos seus 
centros geométricos, e afastar os subcondutores de cada fase, de modo a reduzir 
a indutância da linha, assim como aumentar sua capacitância. Dessa forma, tem-
se o aumento da potência natural e, consequentemente, a capacidade de 
transmissão. 
Linhas Paralelas 
As linhas paralelas apresentam um grupo de condutores, com as três 
fases, próximo de outro grupo de condutores, de outras três fases, operando em 
paralelo. Podem estar na mesma estrutura ou em estruturas distintas. 
45 
 
A Figura 4.9 mostra um exemplo com os condutores de duas linhas de 
transmissão paralelas, a b c e a’ b’ c’. 
 
Figura 4.9 - Condutores de duas linhas trifásicas paralelas 
A indutância dessas linhas paralelas pode ser obtida a partir do cálculo de 
Ds e Dm. O valor de Ds é a média geométrica das distâncias média geométrica 
própria Ds das fases aa’, bb’ e cc’, que consideram os raios dos condutores e a 
distância entre os condutores da mesma fase. O valor de Dm é a média 
geométrica das distâncias entre os condutores de uma linha e os condutores da 
outra linha de fases distintas. 
Como alternativa, a indutância de linhas paralelas pode ser determinada 
como a média das indutâncias de cada linha, consideradas separadamente. 
Esses resultados são aproximados, e tornam-se aguais ao obtido anteriormente 
se as linhas estiverem muito afastadas. 
Indutância de Linhas Hexafásicas 
A indutância de linhas hexafásicas pode ser determinada de forma 
semelhante às linhas trifásicas. 
Considerando como configuração básica que os condutores estão 
localizados nos vértices de um hexágono regular, conforme mostra a Figura 4.10, 
e a condição para as correntes: Ia +Ib +Ic +Id +Ie +If = 0, pode-se determinar a 
indutâncias de cada fase. 
46 
 
 
Figura 4.10 - Configuração dos condutores de uma linha hexafásica 
Considerando a fase a tem-se para o fluxo com ela concatenado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resulta para a indutância da fase a: 
 
 
 
 
 
 
 
De forma semelhante, são determinadas as indutâncias das demais fases. 
Devido à simetria da configuração as seis indutâncias são iguais. 
 
47 
 
 
5. CAPACITÂNCIA DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 A tensão elétrica no condutor de uma linha de transmissão, resultante da 
sua carga elétrica, produz um campo elétrico radial em torno do condutor, como 
também um fluxo elétrico. Entre dois pontos do campo elétrico fica estabelecida 
uma diferença de potencial que é função da carga elétrica. 
A Figura 5.1 mostra a representação de um condutor isolado, reto e longo, 
com uma carga elétrica q e o fluxo elétrico uniformemente distribuído em sua 
superfície, assim como a indicação do caminho de integração para determinação 
das diferenças de potencial. 
 
Figura 5.1 – Campo elétrico de condutor e caminho de integração para os potenciais 
Campo Elétrico e Diferença de Potencial 
A densidade de fluxo elétrico D (C/m2), a uma distância x (m) é dada pela 
expressão: 
 
 
 
 
A intensidade de campo elétrico E (V/m) depende da densidade do fluxo 
elétrica e da permissividade elétrica do meio ε = 8,85x10-12 F/m. Tem-se, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
Entre dois pontos no campo elétrico aparece uma diferença de potencial. A 
capacitância C entre esses pontos é o coeficiente de proporcionalidade entre a 
carga elétrica e a diferença de potencial entre os pontos, sendo expressa em C/V 
ou Farad (F). 
48 
 
 
A diferença de potencial entre os pontos 1 e 2 pode ser determinada, 
portanto, como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A capacitância é dada em F/m por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capacitância de uma Linha a Dois Condutores 
Para uma linha a dois condutores pode-se determinar a tensão entre eles 
em função das cargas envolvidas, sendo uma carga q em um dos condutores e 
uma carga –q no outro condutor, que é retorno, conforme mostra a Figura 5.2. 
 
Figura 5.2 - Linha a dois condutores 
Tem-se, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A primeira parcela decorre da carga qa no condutor a e a segunda devido à 
carga qb no condutor b. Tem-se ainda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
Admitindo os raios dos dois condutores iguais, ra = rb = r, resulta para a 
diferença de potencial: 
 
 
 
 
 
 
 
A capacitância entre os condutores a e b será, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa capacitância corresponde a uma capacitância de linha, isto é, entre 
fases. A capacitância por fase, ou entre cada fase e um ponto neutro n, pode ser 
determinada utilizando-se da representação conforme a Figura 5.3. 
 
Figura 5.3 – Representação das capacitâncias de linha e por fase 
Tem-se para capacitância de cada fase, ou capacitância para o neutro Cn: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Linhas Trifásicas com Espaçamento Equilátero 
As linhas trifásicas apresentam-se com espaçamentos entre seus 
condutores em forma equilátera e não equilátera. 
Para o caso das linhas trifásicas com espaçamento equilátero, conforme 
mostra Figura 5.4, podem-se determinar as expressões das tensões e das 
capacitâncias da linha. 
50 
 
 
Figura 5.4 – Configuração equilátera de linhas trifásicas 
Sendo os raios dos condutores iguais a r, tem-se para as diferenças de 
potencial entre as fases ab, ac e bc: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão Van = Va pode ser obtida a partir das tensões Vab e Vac, utilizando-
se do diagrama fasorial das tensões, representado na Figura 5.5. 
 
Figura 5.5. - Diagrama fasorial das tensões equilibradas 
Considerando que qa + qb + qc = 0, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
Resulta para a capacitância da fase a para as linhas trifásicas equiláteras, 
em F/m: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualmente são determinadas as tensões e as capacitâncias Cbn e Ccn para 
as fases b e c, cujos valores são os mesmos, devido à simetria da linha. Tem-se:Na forma matricial a relação entre as tensões e as cargas na linha trifásica 
com espaçamento equilátero tem a forma V= CQ, isto é: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Linhas Trifásicas com Espaçamento não Equilátero 
Para o caso das linhas trifásicas com espaçamento não equilátero, ou 
assimétrico, e considerando que Ia + Ib + Ic = 0, tem-se para cada uma das 
posições do condutor a devido a transposição, conforme mostra a Figura 5.6. 
 
Figura 5.6 - Transposição de uma linha trifásica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão média para Vab, no ciclo da transposição, é: 
 
 
 
 
Tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que resulta em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se que Deq para as linhas trifásicas não simétricas corresponde à 
distância média geométrica ou espaçamento equivalente, isto é: 
 
 
 
De forma semelhante pode-se obter Vac e Vbc: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão Van=Va pode ser obtida a partir das tensões Vab e Vac, conforme 
segue, e considerando que qa + qb + qc = 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde se obtém para a capacitância da fase a para as linhas trifásicas, e 
de forma semelhante às capacitâncias das fases b e c. 
53 
 
Resulta, então para a capacitância da fase a para as linhas trifásicas 
assimétricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se, da mesma forma, a determinação das capacitâncias Cbn e Ccn para 
as fases b e c, cujos valores médios são os mesmos. Tem-se, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
Na forma matricial a relação entre as tensões e as cargas na linha trifásica 
com espaçamento equilátero tem a forma V= C-1Q, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Efeito da Terra sobre a Capacitância 
O campo elétrico na linha de transmissão considerado anteriormente não 
levou em conta a influência da terra. No entanto, o campo elétrico em torno dos 
condutores sofre modificações com essa influência de forma que ele é 
perpendicular à terra nas suas proximidades. 
A Figura 5.7 ilustra essa situação numa linha trifásica, representando o 
efeito da terra pelos efeitos dos condutores imagens, em que as suas cargas são 
de sinais contrários às dos condutores das fases. 
54 
 
 
Figura 5.7 Representação de uma linha trifásica e seus condutores imagens 
 A diferença de potencial entre as fases a e b é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Através das transposições pode-se determinar o valor médio para Vab. 
Igualmente podem ser determinadas as tensões Vac e Vbc. A partir de Vab e Vac 
obtém-se Van. e consequentemente Vn e Cn: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em função das configurações dos condutores nas estruturas das linhas e 
dos valores alturas e das distâncias entre os condutores e suas imagens a 
segunda parcela do denominador torna-se desprezível. Tem-se, portanto, o 
mesmo valor sem considerar a influência da terra, isto é: 
 
 
 
 
 
 
55 
 
Cabos Múltiplos 
As capacitâncias de linhas de transmissão com cabos ou condutores 
múltiplos podem ser determinadas a partir dos valores calculados para a distância 
geométrica própria Ds de cada condutor múltiplo e para a distância geométrica 
mútua Dm entre cada condutor múltiplo e os demais. 
O cálculo é semelhante ao caso das indutâncias, com a diferença essencial 
de que a distância geométrica própria de cada subcondutor é o próprio raio do 
subcondutor, isto é, Ds0=r, e não o raio geométrico médio, como no caso das 
indutâncias. 
Sendo r o raio de cada subcondutor e Ds0 = r, a distância geométrica 
própria correspondente, ou seja, o raio geométrico médio de cada subcondutor, 
tem-se para a distância geométrica própria Ds dos condutores múltiplos: 
- 2 subcondutores: 
- 3 subcondutores: 
 
 
- 4 subcondutores: 
 
 
A distância geométrica mútua Dm entre cada condutor múltiplo e os demais 
pode ser determinada a partir das distâncias entre cada subcondutor de um 
condutor e os subcondutor dos demais condutores. Pode também ser calculada 
considerando cada condutor com o raio igual a Ds tendo o centro no centro 
geométrico do condutor múltiplo. 
Por exemplo, para o caso de condutores duplos como da Figura 4.7 em 
que r = 1 cm (0,01 m), d = 40 cm (0,4 m) e D = 10 m, tem-se: Ds = 6,32 cm 
(0,0632 m) e Dm = 12,57 m. A capacitância por fase é C = 7,79x10
-12 F/m. 
Linhas Paralelas 
As capacitâncias de linhas paralelas podem ser determinadas de forma 
semelhante ao caso das indutâncias de linhas paralelas. Neste caso das 
capacitâncias as distâncias geométricas médias próprias consideram os raios dos 
condutores e não os raios geométricos médios. 
56 
 
Na alternativa de se calcular a capacitância das linhas paralelas de forma 
aproximada, como o paralelo das capacitâncias de cada uma das linhas, a 
capacitância total é a soma das capacitâncias individuais. 
Por exemplo, se a capacitância de cada uma de duas linhas A e B em 
paralelo são CA = CB = 7,8x10-12 F/m a capacitância das duas linhas em paralelo é 
C =15,6x10-12 F/m . 
 
 
 
 
57 
 
 
6. CÁLCULO DAS IMPEDÂNCIAS EM LINHAS TRIFÁSICAS 
Reatância Indutiva e Uso de Tabelas 
Nas linhas trifásicas, a partir dos valores das indutâncias determinam-se os 
valores das reatâncias indutivas por fase, conforme segue. 
Na frequência de 60 Hz tem-se que (em Ω/m): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em Ω/km e Ω/mi tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 Ω/km 
 
 
 
 
 
 
 
 Ω/mi 
Tem-se ainda que: 
 
 
 
 
 Ω/mi 
Para espaçamentos expressos em pés, como é muito usual, a primeira 
parcela corresponde à reatância indutiva Xa para um pé de espaçamento e a 
segunda parcela à reatância indutiva Xd devido ao espaçamento equivalente d 
(pés), sendo chamada de fator de espaçamento indutivo. 
Tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
Os valores dessas reatâncias, para os diversos condutores, podem ser 
encontrados em tabelas, em Ω/mi. São encontradas também tabelas com valores 
em Ω/km. 
Reatância Capacitiva e Uso de Tabelas 
Nas linhas trifásicas, a partir dos valores das capacitâncias determinam-se 
os valores das reatâncias capacitivas, conforme segue. 
58 
 
Na frequência de 60 Hz tem-se, em Ω.m: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em Ω.km e Ω.mi tem-se: