DERIVADAS e INTEGRAIS

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FÍSICA GERAL I – PROFESSOR GIL MARCOS JESS 
 
 
ORIGEM DO CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 
O conceito de função que hoje pode parecer simples é o resultado de uma lenta e 
longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos 
Babilônios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os 
Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma 
tensão com o seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente 
definido: as relações entre as variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas 
verbalmente ou por um gráfico. 
Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas 
cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos 
e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso, 
nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam, a partir de 
observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que 
relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno das 
propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar 
o estudo de curvas já conhecidas permitiu a "criação" de novas curvas, imagens 
geométricas de funções definidas por relações entre variáveis. 
Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu 
conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela 
que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal 
conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - 
esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o "Problema da 
Tangente". 
Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar 
uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; 
considerou a reta PQ secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em 
direção a P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat 
chamou a reta tangente à curva no ponto P. 
Ele notou que para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores 
extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor 
assumido pela função num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto 
Q(x+E, f(x+E)) próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era muito pequena, quase 
nula, quando comparada com o valor de E, diferença das abcissas de Q e P. Assim, o 
problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar 
intimamente relacionados. 
Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a 
considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial". Contudo, Fermat não 
dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente 
definido. 
No séc.XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos 
de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar "a menor 
possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática 
conhecido hoje como " Cálculo Diferencial ". 
Assim, embora só no século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o 
conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial 
torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais 
diversos campos da Ciência. 
Uma das mais importantes aplicações do cálculo à Física (senão a mais importante), é o 
conceito de "derivada temporal"--- a taxa de mudança ao longo do tempo --- que é 
necessário para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as 
derivadas temporais da posição de um objecto são importantes na física newtoniana: 
 Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior ao 
cálculo) é a DERIVADA (com respeito ao tempo) da posição do objeto. 
 Aceleração é a DERIVADA (com respeito ao tempo) da velocidade de um objeto. 
Apesar da "derivada tempo" poder ser escrita como "d/dt", também existe uma notação 
especial: um ponto colocado sobre o símbolo do objeto cuja DERIVADA é calculada. Esta 
notação deve-se a Newton, foi a sua maneira original de escrever. (ela foi abandonada na 
maioria das outras situações em favor da notação de Leibniz, que usa d/dx). 
Por exemplo, se a posição de um objeto é p(t) = - 16t2 + 16t + 32; então, a 
velocidade do objeto é p'(t) = - 32t + 16; a aceleração do objeto é p''(t) = - 32. 
 Se a velocidade de um automóvel é dada como função do tempo, então a 
DERIVADA dessa função em relação ao tempo descreve a aceleração desse automóvel, 
como função do tempo. 
 
A DERIVADA de uma função pode ser escrita de várias formas. Por exemplo: 
f ’(x) (lê-se éfe linha de xis) 
 ou 
dx
xfd )( (lê-se dê éfe dê xis de xis) 
 Ou seja a derivada da função f(x) em relação à variável x. 
 
 
 
Derivadas de ordem superior 
Quando obtemos a DERIVADA de uma função o resultado é também uma função 
de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a DERIVADA novamente 
obtemos então a derivada segunda da função f(x). De forma semelhante, a DERIVADA 
da segunda DERIVADA é chamada de terceira DERIVADA e assim por diante. Podemos 
nos referir à derivadas subseqüentes de f por: 
 
e assim por diante. 
Às vezes para se simplificar a notação, as seguintes opções são freqüentemente utilizadas: 
 
ou alternativamente, 
 
ou ainda 
 
Manipulação algébrica 
Complexos cálculos de limites podem ser evitados, em certos casos, com recurso a 
regras de derivação que nos permitem encontrar derivadas por via de manipulação 
algébrica, em vez da aplicação direta do quociente de diferença de Newton. Não devemos 
concluir que a definição de derivadas em termos de limites seja desnecessária. Pelo 
contrário, essa definição é o meio de "provar" as seguintes "regras de diferenciação 
potente"; estas regras são originadas do quociente de diferença: 
 Regra da Constante: A DERIVADA de qualquer função constante é zero. 
o Regra do múltiplo da constante: Se c é um número real; então, a 
DERIVADA de cf(x) é igual a c multiplicado pela DERIVADA de f(x) 
(uma consequencia da linearidade abaixo) 
 Linearidade: (af + bg)' = af ' + bg´ para todas as funções f e g e todos os números 
reais a e b. 
 Regra da potência Geral (Regra Polinomial): Se mxxf )( , para qualquer número 
real m; 1.)('  mxmxf 
 Regra do produto:   ''' gfgffg  para todas as funções f e g. 
 
 Regra do quociente: 2
'
''
g
gfgf
g
f 






 se 0g 
 
Cabe ressaltar que isso exprime somente um conjunto básico de regras de derivação. O 
aprofundamento desse tema se dará no desenvolvimento do P.A. de Cálculo Diferencial e 
Integral. 
As Integrais: 
No Cálculo a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área 
sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas 
de Física, como por exemplo na determinação da posição de um móvel em qualquer 
instante ao longo de seu movimento bastando para isso que seja conhecida a sua 
velocidade instantânea. 
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração. 
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a 
integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a 
limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. No entanto 
todas estas definições dão a mesma resposta para o resultado final de uma integração. 
A integral também é conhecida comoantiderivada. Uma definição também 
conhecida para integral indefinida é: 
se e somente se 
Para se descrever a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, 
b] utiliza-se a notação: 
 
A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. 
Isto porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos 
retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. A soma 
de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma: 
 
onde: 
 
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais se divide o intervalo (b-a), f(xi) é o 
valor da função em algum ponto deste intervalo. O que se espera é que quando N for muito 
grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da 
integral de f(x) no intervalo. Ou seja, que o limite 
 
esteja definido. O problema é que este raciocínio intuitivo é difícil de colocar em 
linguagem matemática precisa. Por isto existem várias formas de se definir a integração de 
maneira formal. O resultado, entretanto é coerente entre elas. 
A manipulação algébrica: 
 
 De todo o conjunto de integrais ditas imediatas no estudo do cálculo no presente momento 
necessitaremos fazer uso de apenas uma delas associada a um conjunto de propriedades 
também bastante simples. 
 
C
n
uduu
n
n 



 1
1
 integral indefinida. 
 
 No entanto para o Física as integrais úteis são as ditas integrais definidas. Procure entender 
melhor durante a resolução dos exemplos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXEMPLOS – DERIVADAS E INTEGRAIS: 
 
1) Calcular as seguintes derivadas: 
 
a) y = 12 t3 – 24 t2 + 6t –5 
 
b) x = 12 – 3 t4 + 4 t6 
 
c) y= 15 – t + 4 t2 – 5 t4 
 
d) z = 
4
3
7
2
3
4
5
3 24

ttt
 
 
e) y = 4 t3 + 21 t2 – 24 t + 11 
 
2) Calcular as seguintes integrais: 
 
 
 a)  
5
2
)34( dxx b) 


2
1
2 )349( dttt 
 
 
 c)  
3
1
2 )184( dxxx d)  
5
0
23 )732( dtttt 
 
 
 e)  
2
0
3 )635( dxxx f) dttt )492( 2
4
1
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – DERIVADAS E INTEGRAIS: (LISTA 2) 
 
1) Calcular as seguintes derivadas: 
 
a) y = 18 t5 – 4 t3 +16t2 –35 (R. 90t4-12t2+32t) 
 
b) z = 2 – 5 t6 + 7 t3 (R. -30t5+21t2) 
 
 
c) y= 25 – 5t + 6 t4 – 25 t2 (R. -5+24t3-50t) 
 
 
d) r = 
5
6
3
6
7
3
5
9 23

ttt
 (R. 
3
6
7
6
5
27 2

tt
) 
 
 
e) y = 14 t3 + 2 t2 – 4 t + 1 (R. 42t2+4t-4) 
 
 
 
2) Calcular as seguintes integrais: 
 
 
 a)  
7
3
)23( dxx (R. 68) b) 


5
3
4 )653( dttt (R. 2028,8) 
 
 c)  
5
2
26 )375( dxxx (R. 55448,14286) d)  
3
0
23 )8435( dtttt (R.68,25) 
 
 
 e)  
5
0
3 )3132( dxxx (R.165) f) dttt )532( 3
7
2
2  (R.-3306,25)