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Ponto Dos ConcursosMatematica Financeira2006

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Juros 
 C 
 
 
 
 
 
 
 Relembramos, portanto, uma fórmula nossa velha conhecida: 
J=M-C. 
 Já vimos que o capital vai ficar aplicado durante um período de 
tempo n. No desenho, este valor n surge no final da nossa “linha do tempo”. 
Vejamos: 
 
 M 
 Juros 
 C 
 
 
 
 
 n 
 
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 Vocês já estão percebendo que até o momento não houve uma só 
diferença entre o que estamos vendo aqui e o que aprendemos naquela 
primeira aula de Juros Simples! Ora, Capital, Juros, Montante e tempo de 
aplicação são precisamente os mesmos elementos que trabalhamos naquele 
primeiro regime. O que vai mudar, tão-somente, é o elemento TAXA. 
 Ou seja, é a natureza da taxa envolvida na operação de juros que 
vai determinar o regime em que estaremos trabalhando, se no Simples, ou se 
no Composto! 
 Se estivermos bem lembrados, a natureza de uma taxa de juros 
compostos é tal que, a cada período que passa, ela incidirá sempre sobre o 
resultado da operação no período anterior. Podemos relembrar um exemplo 
que usamos na primeira aula, em que tínhamos um capital de R$1000,00 e 
que seria aplicado durante um prazo de três meses, sob uma taxa de juros 
compostos de 10% ao mês. Naquela ocasião, encontramos que: 
 
 Æ No primeiro mês: 
 R$1.000,00 x (10/100) = 100,00 Æ R$1.100,00 ao final do 1º mês. 
 
 Æ No segundo mês: 
 R$1.100,00 x (10/100) = 110,00 Æ R$1.210,00 ao final do 2º mês. 
 
 Æ No terceiro mês: 
 R$1.210,00 x (10/100) = 121,00 Æ R$1.331,00 ao final do 3º mês. 
 
 Observemos que a cada novo período, a taxa incidirá sobre o resultado 
do período anterior! É justamente essa a natureza da taxa composta! 
 Por isso os juros compostos são também chamados de juros 
cumulativos ou juros sobre juros! 
 
# Fórmula Fundamental dos Juros Compostos: 
 
 Na hora de resolvermos uma questão de Juros Compostos, vamos nos 
lembrar de que há uma fórmula fundamental, que deverá sempre ser 
colocada no papel. Trata-se do seguinte: 
 
 
M = C (1+i)n 
 
 
 Vamos interpretar cada um desses elementos: 
 
Æ M é o Montante. É aquele valor que será resgatado ao final da operação de 
juros! É, por assim dizer, o resultado final da operação. 
 
Æ C é o Capital. Justamente aquele valor que é aplicado no início de tudo. É 
onde começa nossa operação de Juros. 
 
Æ (1+i)n : este parêntese, em função de sua enorme importância, vai ganhar 
um apelido! Doravante, iremos nos referir a ele como sendo o parêntese 
famoso da matemática financeira! “Famoso” por quê? Porque vai aparecer 
em quase todas as fórmulas do nosso regime composto! Certo? Então ficamos 
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assim: quando eu disser “o parêntese famoso”, já saberemos que estamos 
falando no (1+i)n. 
 
Æ n representa o tempo que vai durar a nossa operação de juros compostos! É 
o intervalo de tempo que vai da data do Capital (início) até a data do Montante 
(final da operação). 
 
Æ i é a nossa taxa de juros compostos. 
 
Obs. 1) A primeira forma que teremos para identificar que uma questão de 
juros ocorre no regime composto (ou seja, que se trata de uma questão de 
juros compostos) é justamente quando o enunciado falar expressamente: 
“...taxa de juros compostos de...”! Haverá ainda uma outra maneira de 
identificar o regime composto, que será vista ainda hoje. 
 
Obs. 2) Uma vez trabalhando no regime composto, sempre que formos 
colocar o valor da taxa em qualquer das fórmulas, teremos que utilizar essa 
taxa na chamada notação unitária. Ou seja, as taxas compostas serão 
expressas sempre em termos unitários! 
Exemplos: Æ se a taxa é de 15%, vai na fórmula como 0,15; 
Æ se a taxa é de 30%, vai como 0,30 na fórmula; 
Æ se é de 8%, aparece na fórmula como 0,08. 
 
Em suma, taxa unitária é aquela notação para a qual 100%=1. 
 
Portanto, NÃO ESQUEÇA: No regime composto (questões de juros 
compostos, desconto composto, equivalência composta, rendas certas e 
amortização) trabalharemos sempre com taxas unitárias! Não há exceção 
para essa regra. 
 
 Observando bem essa fórmula fundamental dos juros compostos, 
percebemos que os juros (os donos desta aula) não aparecem nela. Como é 
possível isso? Se foi dito que esta é a fórmula dos juros, como pode não haver 
juros na fórmula? 
 
 Ora, embora os juros não apareçam diretamente na relação acima, 
haverá como determinarmos seu valor de forma indireta. 
 
 Sabemos desde o início que Juros=Montante-Capital. Daí, se 
conhecermos os valores de Capital e Montante, então saberemos também o 
valor dos juros! 
 
 
 
# Exigência da Fórmula dos Juros Compostos: 
 
 Já vimos em diversas ocasiões que a Matemática Financeira traz consigo 
uma exigência universal, de que taxa e tempo estejam sempre na mesma 
unidade. Todos lembrados disso? Pois bem! Aqui, repete-se a exigência: basta 
termos taxa e tempo na mesma unidade, e já poderemos aplicar os dados do 
enunciado na nossa fórmula fundamental dos juros compostos! 
 
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# Resolvendo os Primeiros Exemplos de Juros Compostos: 
 
 Na seqüência, trabalharemos uma seqüência de exemplos bem fáceis de 
ser trabalhados, e em cujas resoluções iremos acrescendo novas e importantes 
informações e conceitos. É a forma mais fácil de irmos aprendendo. 
 
Exemplo 01) Um capital de R$1.000,00 é aplicado à taxa de juros 
compostos de 10% ao mês, durante um prazo de três meses. Qual o 
valor do montante e dos juros obtidos nesta operação? 
 
Sol.: Trata-se do exemplo mais fácil possível. Primeiro, identificaremos o 
assunto da questão. Ora, o enunciado veio nos falar em “capital”, em 
“montante”, em “juros”, em “tempo de aplicação”. Todos elementos de uma 
operação de juros! Resta-nos identificar o regime da questão. E o enunciado 
foi explícito quando disse “taxa de juros compostos”. Pronto! Não resta 
qualquer dúvida: estamos diante de uma questão de juros compostos. E se a 
questão é de juros compostos, imediatamente nos lembraremos da fórmula 
fundamental. Teremos: 
 
M=C(1+i)n 
 
 Para podermos lançar nesta equação acima os dados da questão, 
teremos que verificar se está cumprida a única exigência desta fórmula. Taxa 
e tempo já estão na mesma unidade? Sim: a taxa é mensal e o tempo de 
aplicação está também em meses. Daí, passamos ao velho “copiar-colar”, e 
teremos: 
 
M=C(1+i)n Æ M=1000 (1+0,10)3 
 
 Vejamos aí que o expoente do nosso parênteses famoso é apenas 
três. É um expoente baixo. Dá para se calcular na mão. Então, não haverá 
problemas para fazermos essa conta. Teremos: 
 
 Æ M=1000x1,331 Æ E: M=1.331,00 Æ Resposta! 
 
Esse exemplo 01 é exatamente o mesmo que resolvemos de outra forma 
na página dois desta nossa aula. É o exemplo mais simples de ser resolvido. 
Adiante! 
 
Exemplo 02) Um capital de R$1.000,00 é aplicado à taxa de juros 
compostos de 10% ao mês, durante um prazo de uma ano e meio. Qual 
o valor do montante e dos juros obtidos nesta operação? 
 
Sol.: Identificando o assunto: novamente foram fornecidos elementos típicos 
de uma questão de juros (capital, taxa, tempo de aplicação...). 
E novamente o enunciado disse expressamente que a taxa envolvida na 
operação é uma taxa de juros compostos. Daí, não resta dúvida: trata-se de 
uma questão de juros compostos. 
 Constatado isso, sem demora colocaremos no papel a fórmula 
fundamental dos juros compostos: 
 
M=C(1+i)n