exercicios para revisao mf MD

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Qual o montante pago por uma pessoa que tomou R$ 7.500,00 emprestados a juros simples de 12% ao ano pelo prazo de 6 meses?
 
Na questão acima significa que uma pessoa se dirigiu a um banco e pegou 7.500 e deverá, obviamente, pagar juros por este recurso. Portanto, os 7.500 é o saldo inicial ou valor no presente (C) e o montante a ser pago será o valor futuro (FV). 
Assim:
J = PV  x  i  x  n
J = 7500 x 0,06 x 1
J = 450
 
Como o montante é dado pela soma do capital Inicial e os juros basta somar os 450 (J) aos 7.500 (PV)
M = PV + J
M = 7500 +450
M = 7950
 
Se uma pessoa deseja ter, ao final de dois anos e meio, R$ 4.500,00, quanto deverá aplicar numa opção de investimento que paga juros simples de 7,2% ao ano?
Se uma pessoa deseja ter ao final de dois anos e meio (30 meses) 4.500,00 e os juros são de 7,2%a.a. você pode calcular por meses ou ano, o que achar mais conveniente. O importante é equalizar prazo e taxas. Vou converter tudo em meses, ok ? Ou seja 7,2 dividido por 12 o que dá 0,6% a.m.
FV = PV  x  (1 + i  x  n) 
4500 = PV x (1 + 0,006 x 30)
4500 = PV x (1 + 0,18)
4500 = 1,18PV
PV = 3.813,56
 
 
Uma pessoa recebe R$ 500,00 de juros decorrentes de uma aplicação financeira que paga uma taxa de 1,5% ao mês. Sabendo-se que os recursos ficaram investidos durante nove meses, calcule o valor que foi aplicado.
Variáveis:
J = 500,00
n = 9 meses
i = 0,015 a.m. (taxa unitária de 1,5%a.m.)
PV = ?
 
Solução:
J = PV  x  i  x  n
500 = PV x 0,015 x 9
500 = 0,135PV
PV = 3.703,70
 
Quanto um investidor terá, ao final de dois anos e cinco meses, aplicando R$ 2.500 num investimento que paga juros simples de 4,56% ao ano?
Os dados são valor inicial de aplicação (PV) de 2.500, taxa (i) de 4,56% ao ano (0,0456) e prazo de aplicação de 2 anos e 5 meses (n).
Atenção !!!
É fundamental colocar na fórmula prazo e taxa em períodos semelhantes. A taxa informada foi anual e o período informado foi fracionado (2 anos e 5 meses). Vamos converter tudo para mês e nos juros simples é mais fácil.
Portanto primeiro passo é achar a taxa do período visto que foi informado a taxa anual. A equalização de taxa e prazo é fundamental na resolução de qualquer problema de matemática financeira.
Mes com Mes, Ano com Ano, Trimestre com Trimestre, Semestre com Semestre e assim em diante dependendo do que o problema pedir. A taxa de 4,56% ao ano (12 meses) equivale a 0,38% ao mes. Para tanto basta dividir 4,56 por 12. Como é um problema de Juros simples que quer identificar o montante (FV) ao final do prazo. 
 
Portanto:
J = PV x i x n
J = 2500 x 0,0038 x 29
J = 275,50 que somado ao Capital Inicial (2.500) formará um Montante de R$ 2.775,50.
 
 
A questão é a seguinte:
Qual o montante pago por uma pessoa que tomou R$ 7.500,00 emprestados a juros simples de 12% ao ano pelo prazo de 6 meses?
Para resolver esta questão você necessita equailizar TAXA e PRAZO.  A taxa informada foi ANUAL de 12% e o prazo informado foi de 6 meses que equivale a metade de um ano. Portanto, como se trata de JUROS SIMPLES, é necessário transformar a taxa anual para o periodo de sis meses ou transformar o prazo para o equivalente ao anual.
 
PRIMEIRA OPÇÃO 
J =  C  x  i  x  n
J = 7500 x 0,12 x 0,5
0,12 - relativo a 12% ao ano
0,5  - relativo a seis meses que é a metade de 1 ano ( 6/12 )
 
 
SEGUNDA OPÇÃO 
J =  C  x  i  x  n
J = 7500 x 0,06 x 1
0,06 - relativo a METADE da taxa dado que o periodo de emprestimo foi de 6 meses (metade do ano)
1,00  - relativo a UM PERIODO de seis meses informado pela quastão, dado que a taxa foi ajustada ao efetivo período
Olá amigos e amigas.
 
Vocês já devem ter percebido que nosso primeiro módulo trata-se de um aquecimento. Além de fazer uma revisão de assuntos e propriedades utilizadas na matemática, serve para "tirar a teia" do nosso cérebro em relação à matéria. Os conceitos abordados neste módulos, como LOGARÍTIMO, RADICIAÇÃO e POTENCIAÇÃO por exemplo, são muito importantes e serão utilizados ao longo do semestre na resolução de questões.
 
Outro ponto importante é falar sobre os regimes de capitalização. Apesar de pouco utilizado no mercado financeiro e de capitais, o Regime de Capitalização Simples (RCS - Juros Simples) estudado na Unidade 1 é importante para entenderem a mecânica do valor do dinheiro no tempo. Porém, é fundamental deixar claro que daqui em diante quando um problema, questão ou enunciado de prova NÃO mencionar qual o regime de capitalização, subentende-se que é COMPOSTO por convenção.  Quando se tratar de juros SIMPLES, o enunciado deverá citar o referido regime.
 
Neste primeiro contato vamos conversar um pouco sobre Juros Simples e aproveitar para resolver algumas questões a fim de sedimentar o conhecimento dos módulos. Apesar de pouco utilizados no mercado financeiro e de capitais, os JUROS SIMPLES são importantes para entenderem a mecânica do valor do dinheiro no tempo. 
 
Por isso é importante saber e deixar claro que daqui em diante quando um problema, questão ou enunciado de prova NÃO mencionar qual o regime de capitalização, subentende-se que é COMPOSTO por convenção.  Quando se tratar de juros SIMPLES, o enunciado deverá citar o referido regime. 
 
Os cálculos envolvendo juros e capitalização simples (RCS) são bastante básicos e utilizam a lógica da proporcionalidade.  Isto quer dizer o seguinte. Se uma taxa de juros de uma operação é de 12% ao ano, sua taxa mensal será de 1%,  ou 2% ao bimestre,  3% ao trimestre,  4% ao quadrimestre,  6% ao semstre  e assim sucessivamente.
 
Portanto, como afirmei anteriormente, apesar de muito pouco usado no mercado financeiro é importante entendermos sua lógica pois o mecanismo de tratamento do dinheiro no tempo é o mesmo.
 
Vamos a algumas questões para exercitar:
 
Uma loja anuncia a venda de um eletrodoméstico pelo preço de R$ 1.200,00 à vista ou 50% de entrada mais um pagamento de R$ 660,00 após 30 dias. Qual a taxa de juros cobrada pela loja na venda a prazo sabendo que o regime de capitalização é simples (RCS) ?
 
Se uma loja vende um bem no valor de 1.200,00 sendo 50% (600,00) pago na entrada, ou seja, à vista, o valor financiado foi de 600,00 (50% restante). Portanto o valor dos juros são de R$ 60,00 já que o pagamento após 30 dias foi de 660,00 (600,00 principal + 60,00 juros)
 
Usando a fórmula J = C x i x n temos:
60 = 600 x i x 1
60 = 600 i
i = 60 / 600
i = 0,10 ou seja, 10%a.m.
 
Vamos exercitar o conceito utilizando outra questão 
Qual o prazo de um investimento que resultou em um montante de R$ 7.250,00, sabendo-se que o capital aplicado foi de R$ 500,00, a uma taxa de juros simples de 15% ao mês?
 
Usando a mesma fórmula, bastando calcular o valor implícito dos juros (7.250 - 500), tem-se:
6.750 = 500 x 0,15 x n
6.750 = 75n
n = 90
Anualizando o tempo, 90 meses representam 7 anos e 6 meses ou 7,5 anos
Vamos trabalhar agora algumas questões que envolvem os Juros Compostos e seu respectivo Regime de Capitalização (RCC). Como mencionei na mensagem anterior, quando a questão na PROVA não mencionar o regime, automaticamente entede-se que se trata de Juros Compostos.  Vamos a um exemplo e começemos com uma resolução que exige o uso das propriedades do LOGARITIMO para resolvê-la:
 
Uma pessoa deseja obter R$ 19.000,00 aplicando R$ 850,00 hoje, a uma taxa de juros de 15,168415% ao ano.Quantos semestres terá que esperar para atingir seu objetivo?
 
 Se uma pessoa deseja obter R$ 19.000,00 aplicando R$ 850,00 hoje, a uma taxa de juros de 15,168415% ao ano, temos os seguintes dados:
 
PV = 850
FV = 19.000
i = 15,168415
n = ?
 
Utlizando a formula tem-se:
FV = PV x (1 + i)n
19.000 = 850 x (1 + 0,15168415)n
(1,15168415)n = 19000 / 850
(1,15168415)n = 22,35294118
 
Aqui, necessitamos racionalizar a equação para calcularmos o valor de n (tempo). Só é possivel usando as propriedades do Logarítimo revisadas no módulo 1 da primeira unidade e utilizando uma  calculadora.
 
(1,15168415)n = 22,35294118
n x Log 1,15168415  =  Log 22,35294118
n = Log 22,35294118 / Log 1,15168415
n = 1,349334675 / 0,06133339
n = 22
 
Lembre que trabalhamos com a taxa anual e portanto a respostaé 22 anos. Como pede a resposta em semestre e o ano possui 2 semestre, a resposta correta é 44 semestres (22 x 2).
 
Vamos a mais uma questão
 
Qual o rendimento obtido por um capital de R$ 1.500,00 aplicado por sete meses a uma taxa de juros de 12% ao ano ?
Aqui é importante fazer a equalização das informações, pois a taxa é anual e o prazo é de 7 meses (mensal). Ou converte-se a taxa para mensal ou acha o período equivalente anual. Como são juros compostos, não deve-se apenas dividir a taxa por 12 pois o conceito de RCC (juros sobre juros) é diferente do RCS.  Vamos coverter o prazo em anual. Portanto 7 meses equivalem a 0,583333 anos. Sendo assim:
FV = PV x (1+i)n 
FV = 1.500 x (1 + 0,12)0,583333
FV = 1.500 x 1,06834248
FV = 1.602,51
 
Portanto o rendimento desta operação (J) é 102,51 equivalente a diferença entre 1.602,51 (FV) e 1.500,00 (PV).
 
Uma pessoa deseja obter R$ 19.000,00 aplicando R$ 850,00 hoje, a uma taxa de juros de 15,168415% ao ano. Quantos semestres terá que esperar para atingir seu objetivo?
Se uma pessoa deseja obter R$ 19.000,00 aplicando R$ 850,00 hoje, a uma taxa de juros de 15,168415% ao ano, temos os seguintes dados:
PV = 850
FV = 19.000
i = 15,168415
n = ?
 
Utlizando a formula tem-se:
FV = PV x (1 + i)n
 19.000 = 850 x (1 + 0,15168415)n
(1,15168415)n = 19000 / 850
(1,15168415)n = 22,35294118
Aqui, necessitamos racinalizar a equação para calcularmos o valor de n.  Isto é possivel utilizando as propriedades do Logarítimo e o uso de calculadora que, lembro,  será permitido no dia da prova.
 (1,15168415)n = 22,35294118
n x Log 1,15168415  =  Log 22,35294118
n = Log 22,35294118 / Log 1,15168415
n = 1,349334675 / 0,06133339
n = 22
Lembre que trabalhamos com a taxa anual e portanto a resposta é 22 anos. Se a resposta solicitar semestre basta multiplicar por 2 (1 ano possui 2 semestre), ou seja 44 semestres  e assim por diante.
Alguns de vocês já demonstraram algumas dúvidas relacionadas ao tema Equivalencia de Capitais, abordada no módulo 4, em especial o exemplo lá trabalhado. Porém, antes de falarmos sobre esta questão especificamente precisamos discutir um pouco mais os Regime de Capitalização SIMPLES e COMPOSTO. 
 
No RCC (Juros Compostos), diferentemente do RCS (Juros Simples), a capitalização ocorre em cima do capital aplicado e dos juros recebidos. É o efeito causado de Juros sobre Juros. A Equivalência de Capitais utilza este conceito e NÃO o de Juros SIMPLES. 
 
Exemplo:
Uma pessoa aplica 100,00 durante 6 meses a uma taxe de juros de 1% a.m.. Na capitalização Composta (RCC) os juros recebidos mensalmente são incorporados ao capital incial (100,00) para o cálculo dos juros do período seguinte.
Assim:
mês 1 - 100,00 x 1% = 1,00
mês 2 - 101,00 x 1% = 1,01
mês 3 - 102,01 x 1% = 1,02
mês 4 - 103,03 x 1% = 1,03
mês 5 - 104,06 x 1% = 1,04
mês 6 - 105,10 x 1% = 1,05
Final do mês 6, após a última capitalização o saldo é de 106,15 (105,10 + 1,05).
 
No RCS (Juros Simples) a base de cálculo mensal é a mesma, os seja o capital inicial que neste caso foi de 100,00. Assim:
mês 1 - 100,00 x 1% = 1,00
mês 2 - 100,00 x 1% = 1,00
mês 3 - 100,00 x 1% = 1,00
mês 4 - 100,00 x 1% = 1,00
mês 5 - 100,00 x 1% = 1,00
mês 6 - 100,00 x 1% = 1,00
No final do mês 6, após a última capitalização o saldo será de 106,00,ou seja 0,15 a menos que o RCC.
 
No cálculo da Equivalencia de Capitais a lógica segue o mesmo conceito do RCC, ou seja EXPONENCIAL e não LINEAR como o RCS. O exemplo trabalhado no módulo 4 mostra uma dívida de 30.000 a ser paga em duas vezes. 20.000 no mes 1 e 10.000 no mês 2.  No exemplo, em função de problemas financeiros, o devedor resolve propor pagar esta mesma dívida de forma diferente (3 vezes) num momento posterior (Meses 3, 4 e 5).
É importante entender que o dinheiro tem valor diferente no tempo em função da existência dos JUROS, que no caso deste EXEMPLO é de 3% ao mês. Não adianta pegar os 30.000 e dividir por 3 e propor pagar 10.000 a cada mês por que o poder de compra deste dinheiro estará menor nos meses subsequentes. É por isso que deve-se calcular valores que são EQUIVALENTES no tempo aos 20.000 (mês 1) e 10.000 (mês 2)
 
DATA FOCAL 0
A primeira forma de resolver é trazer o primeiro fluxo de pagamentos (dívida original) para o momento 0. Para tanto temos que descapitalizar as prestações em função da distância existente entre a data do seu pagamento e a data focal.
20000/(1+0,03)1 + 10.000/(1+0,03)2  = x
19417,47 + 9425,96 = x
x = 28.843,43
Portanto, o valor de 28.843,43 EQUIVALE a divida original de 20.000 no mês 1 e 10.000 no mês 2. Percebam que o valor é MENOR que os 30.000 originais, isto porque você trouxe para o presente desconsiderando os juros aplicados (Custo do Dinheiro no tempo). De posse desta informação,deve-se calcular qual será o novo valor das 03 prestações a serem pagas pelo devedor que EQUIVALEM à dívida original.
Assim, monta-se uma EQUAÇÃO que reflita aquilo que deseja calcular levando em consideração o tempo (3, 4 e 5 meses) e a taxa de juros. Ou seja uma equação de EQUIVALENCIA DE CAPITAIS
Vamos lá:
20000/(1+0,03) + 10.000/(1+0,03)2  =  X/(1+0,03)3 + X/(1+0,03)4 + X/(1+0,03)5
 
Esta equação é a mesma coisa do que,
20000/(1+0,03)1 + 10.000/(1+0,03)2  =  X x 1/(1+0,03)3 + X x 1/(1+0,03)4 + X x 1/(1+0,03)5
28.843,43  =  X x 1/(1+0,03)3 + X x 1/(1+0,03)4 + X x 1/(1+0,03)5
 
Onde:
X - Variável
x - sinal de multiplicação
 
Ou você resolve por MMC ou calcula de forma direta como fiz abaixo.
Resolvendo temos:
28.843,43   =  (X x 1/1,092727) + (X x 1/1,1255088) + (X x 1/1,159274)
28.843,43  = (X x 0,915142) + (X x 0,888487) + (X x 0,862608)
28.843,43  =  0,915142X  +  0,888487X  +  0,862608X
28.843,43  =  2,666238X
X  =  28.843,43 / 2,666238
X = 10,818,02
 
Portanto o valor das 03 prestações no meses 3, 4 e 5  que EQUIVALE à divida original é de 10.818,02. Ou seja, ao pagarem 03 prestações de 10.818,02 nos meses 3, 4 e 5 estarão pagando os 28.843,43 nomomento inicial. Se vocês descapitalizarem estas parcelas para o mês inicial (data focal 0) a taxa de 3% ao mês e somá-las, acharão os mesmos 28.843,43.
A Equivalencia de Capitais nada mais é que identificar, por meio de cálculos matámticos, valor(es)  que corresponde(m) a outros em diferentes momentos sobr a influencia de uma determinada taxa de juros. Vamos a um exemplo para tentar evidenciar o conceito:
 
Uma empresa possui uma dívida composta de três pagamentos no valor de R$ 1.500,00, R$ 2.000,00 e R$ 2.500,00, vencíveis em 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo credor é de 2,5% ao mês, quanto deverá ser pago hoje para liquidar a dívida?
 
Portanto a empresa deseja TROCAR seus fluxos de pagamentos previstos (03) ao longo de 90 dias, por UM ÚNICO pagamento à vista. Como o dinheiro tem um custo no tempo, que é dado pela taxa de juros, não é justo pagar HOJE a mera soma de valores que estão no FUTURO. 
 
Os 2.500,00 daqui a 90 dias possui um valor de compra diferente do momento atual. Para calcular o valor justo, neste caso, deve-se descapitalizara as parcelas para o momento solicitado (hoje) à taxa de juros praticada (2,5% ao mes), conforme abaixo:
 
PV = 1500 / (1 + 0,025)1 + 2000 / (1+0,025)2 + 2500 / (1+0,025)3
PV = 1.463,41 + 1.903,63 + 2.321,50
PV = 5.688,54
 
Portanto, caso o devedor deseje pagar as 3 parcelas devidas, terá que desembolsar hoje 5.688,54
 
 
Vamos  a mais um exercicio envolvendo o conceito de EQUIVALENCIA DE CAPITAIS
Sabendo-se que uma televisão no valor de R$ 400,00 pode ser adquirida em três parcelas iguais, vencendo em 1,2,3, meses, qual o valor das  parcelas, considerando uma taxa de juros de 5.5.% ao mês?
A televisão custa 400,00 HOJE. No entanto, estes 400,00 deverão ser pagos ao longo dos próximos 3 meses num ambiente em que a taxa de juros é de 5,5% ao mês. Portanto, NÃO ADIANTA apenas dividir os 400,00 por 3 pois o valor nominal no mês 0 é diferente nos meses subsequentes em função da taxa de juros de 5,5% ao mês. Esse raciocínio só seria válido se a taxa de juros fosse de 0%.
 
Dados:
PV = 400,00
n = 3 meses
i  = 5,5% ao mês
 
Montandoa equação e resolvendo teremos:
400 = pmt / (1 + 0,055)1 + pmt / (1+0,055)2 + pmt / (1+0,055)3
400 = 0,94786729pmt + 0,8984524pmt + 0,851614pmt
400 = 2,697933pmt
pmt = 400 / 2,697933
pmt = 148,26
 
Portanto, o valor de 400,00 no mês zero (0),  EQUIVALEM a 3 parcelas iguais no valor de 148,26 dado que o juros é de 5,5% ao mês
 
Vamos trabalhar mais um exercício
Uma pessoa adquire um bem no valor de R$ 700,00, pagando 30% de entrada, R$ 250,00 daqui a um mês e o retante daqui a dois meses. Considerando que a taxa de juros do financiamento foi de 2,5 % a.m, qual o valor da última parcela?
 
vamos raciocinar:
30% de 700,00 é 210,00 que é pago à vista.
 
Portanto o valor financiado foi de 490,00 que é o valor no momento inicial (PV).  Dessa forma,  precisamos montar a equação a fim de calcularmos a segunda parcela (mes 2), que somada à primeira ( já que o problema já fornece a primeira - 250,00) formará os 490,0 no momento inicial a uma taxa (i) de 2,5% ao mês, assim:
 
490 = 250/(1+0,025) + pmt/(1+0,025)2
490 = 243,90 + pmt/1,050625
246,10 = pmt/1,050625
pmt = 258,56
 
Portanto, o valor da segunda prestação é 258,56.
Assim a soma dos 250,00 no mes 1 e de 258,56 no mës 2 EQUIVALEM aos 490,00 no mes 0 a uma taxa de 2,% que é o custo do dinheiro no tempo.
Vamos trabalhar agora algumas questões com o objetivo de revisarmos a matéria toda. Revisitaremos conceitos de Juros Simples, Juros Compostos e Equivalência de Capitais estudados nesta primeira Unidade
 
 
Vamos ao primeiro exercício
Qual o prazo de um investimento que resultou em um montante de $ 9.250,00, sabendo-se que o capital aplicado foi de $ 2.500,00, a uma taxa de juros simples de 15% ao mês?
 
Reparem no destaque que o enunciado menciona o Regime de Capitalização Simples. Dessa forma, usando a fórmula do Juros Simples, bastando calcular o valor implícito dos juros (9.250 - 2.500), tem-se juros recebidos de $ 6.750,00:
J = PV x i x n
6.750 = 500 x 0,15 x n
6.750 = 75n
n = 90
Portanto temos um periodo de 90 meses que também pode ser expresso em anos, por exemplo (7 anos e 6 meses ou 7,5 anos)
 
Vamos a mais um de Juros SImples
Uma loja anuncia a venda de um eletrodoméstico pelo preço de R$ 1.200,00 à vista ou 50% de entrada mais um pagamento de R$ 660,00 após 30 dias. Qual a taxa de juros simples cobrada pela loja na venda a prazo?
 
Aqui precisamos fazer um pequeno raciocinio. Se uma loja vende um bem no valor de 1.200,00 sendo 50% (600,00) pago na entrada, ou seja, à vista, o valor financiado foi de 600,00  (50% restante). Portanto o valor dos juros são de $ 60,00 já que o pagamento após 30 dias foi de 660,00 (600,00 principal + 60,00 juros)
 
Usando a fórmula J = C x i x n mais uma vez teremos:
60 = 600 x i x 1
60 = 600 i
i = 60 / 600
i = 0,10 ou seja, 10%a.m.
 
 
Vamos agora trabalhar o conceito de JUROS COMPOSTOS começando com uma questão bem simples e direta
 
Qual será o rendimento e o montante de um capital de R$ 3.700,00 aplicado a uma taxa de juros de 12% ao ano, ao final de 4 meses
Perceba que não foi mencionado o Regime de Capitalização, dessa forma assumimos automaticamente que é o COMPOSTOS, portanto, a fórmula a ser utilizada é FV = PV x (1+i)n  
O mais importnate aqui é alinhar taxa e prazos no mesmo conceito. Se usar a taxa anual, é necessário ajustar o prazo ao mesmo conceito. Se usar o período mensal é necessário ajustar a taxa ao período mensal. Dessa forma vamos manter a taxa anual (12%) e vamos adequar o prazo que está em meses (4 meses equivalem a 0,333 ano):
 
FV = 3700 x (1 + 0,12) 0,3333
FV = 3700 x 1,03849878
FV = 3.842,45
 
Ou seja, 3.700 aplicados a uma taxa de 12% ao ano durante 4 meses retornarão um montante de 3.842,45 ao seu proprietario.
 
Vamos a mais uma envolvendo ainda o cálculo do prazo no RCC
 
Uma pessoa deseja obter R$ 19.000,00 aplicando R$ 850,00 hoje, a uma taxa de juros de 15,168415% ao ano. Quantos semestres terá que esperar para atingir seu objetivo?
 
Esta é uma questão que requer um pouco mais de trabalho pois necessita aplicar conhecimentos da matemática básica (propriedades do logarítimo) para resolvê-la. amos raciocinar antes. Se uma pessoa deseja obter R$ 19.000,00 aplicando R$ 850,00 hoje, a uma taxa de juros de 15,168415% ao ano temos os seguintes dados:
 
PV = 850
FV = 19.000
i = 15,168415
n = ?
 
Daí basta aplicar a fórmula do juros composto visto ser uma questão do terceiro módulo (RCC)
FV = PV x (1 + i)n
19.000 = 850 x (1 + 0,15168415)n
(1,15168415)n = 19000 / 850
(1,15168415)n = 22,35294118
 
A partir daqui temos que aplicar as propriedades do logaritimo revisadas no módulo 1 para racionalizarmos a equação.
 
n x Log 1,15168415 = Log 22,35294118
n = Log 22,35294118 / Log 1,15168415
n = 1,349334675 / 0,06133339
n = 22
Como trabalhamos com os dados no período ANUAL a resposta é 22 anos que pode ser convertido em outras unidades como semestre por exemplo (um ano possui 2 semestres portanto 22 anos possuem 44 semestres).
 
 
Vamos agora trabalhar o conceito de Equivalencia de Capitais, que nada mais é que, utilizando os conceitos do RCC, identificar valores que EQUIVALEM a outros dado prazos e taxas informados. Peguemos a questão abaixo:
 
Uma pessoa deve a instituição financeira 3 parcelas de R$ 2.500,00, decorrentes de um financiamento, vencíveis daqui a 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo-se que a taxa de juros desta operação foi de 5%a.m., quanto ele deverá desembolsar, caso deseje substituir os pagamentos originais por uma única parcela a ser paga daqui a 12 meses?
 
Portanto, um cliente possuia uma dívida num banco de 03 parcelas no valor de 2.500 cada e gostaria de pagar em uma ÚNICA parcela 1 ano depois (12 meses). Ou seja, o banco necessita identificar qual o valor EQUIVALENTE da divida no final do ano em relação a dívida original. A resolução desta questão passa pela capitalização de todas as 3 parcelas até o prazo focal 12. 
 
Montando a equação temos:
 
PV = 2500 x (1 + 0,05)11 + 2500 x (1+0,05)10 + 400 x (1+0,01)9
PV = 2500 x (1,05)11 + 2500 x (1,05)10 + 2500 x (1,05)9
PV = 2500 x 1,71034 + 2500 x 1,62889 + 2500 x 1,55133
PV = 4.275,85 + 4.072,23 + 3.878,33
PV = 12.226,40
 
Perceba que os expoentes são calculados pela diferença de períodos entre as dívidas originais e a futura. Os 11 refere-se a diferença entre 12 meses menos 1 mes (30 dias). Já os 10 refere-se  a diferença entre 12 meses menos 2 meses (60 dias). Por fim, o expoente 9 refere-se  a diferença entre 12 meses menos 3 meses (90 dias)
 
Assim, a dívida de 3 parcelas de 2.500,00 que deveriam ser pagas em 3 meses EQUIVALEM a um único pagamento no final do ano no valor de 12.226,40
 
 
Uma mesa custa $ 400,00, foi pago a entrada 20% e as duas restantes  parcelas iguais a serem pagas daqui a  2 a 6 meses. com uma taxa de juros cobrada a 3,3% ao mes , qual é valor da parcela?
 
Se uma loja vende um bem no valor de 400,00 e 20% foi pago na entrada, ou seja, à vista, o valor financiado foi de 320,00.  Além disso o problema menciona que as prestações foram iguais e pagas no 2o e 6o meses a uma taxa de 3,3% ao mes. Assim devemos montar a equação conforme modelos de capitalização/descapitalização estudados no módulo 4, conforme abaixo:
 
320 = x/(1+0,033)2 + x/(1+0,033)6
 
Resolvendo temos:
320 = x/1,1067089 + x/1,21507177
320 = 0,90357997x  + 0,82299665x
320 = 1,72657662x
x = 320 / 1,72657662
x = 185,34
FV = PV x (1+i)n 
FV = 3.700 x (1+0,12)0,5 
FV = 3.700 x (1,12)0,5
FV = 3.700 x (1,0583)
FV = 3.915,71
 
 
J = PV x ((1+i)n - 1)
J = 3.700 x ((1+0,12)0,5 - 1)
J = 3.700 x ((1,12)0,5 - 1)
J = 3.700 x ((1,0583) - 1)
J = 3.700 x (0,0583)
J = 215,71
20.000(1+0,03x5) + 10.000(1+0,03x4) professor, mas aqui a operação é mesma de somar 1 com 0,03 e multiplicar por 5 e 4 respectivamente? Eu estou a fazer assim: (1+0,03)= (1,03x5)= 5,15=20.000x 5,15 e isto está a dar 103.000asim como 10.000(1+0,03x4)=41.200. Por favor, quero saber onde estou a falhar!
 
responder citar responder privado
1724195 OUTRA DÚVIDA
por  Marcelo Dalmagro » 11/03/2017 às 11:19:35
porFRANCISCO KALIVE DOMINGOS»09/03/2017 16:05:16
20.000(1+0,03x5) + 10.000(1+0,03x4)professor, mas aqui a operação é mesma de somar 1 com 0,03 e multiplicar por 5 e 4 respectivamente? Eu estou a fazer assim: (1+0,03)= (1,03x5)= 5,15=20.000x 5,15 e isto está a dar 103.000asim como 10.000(1+0,03x4)=41.200. Por favor, quero saber onde estou a falhar!
 
Olá Francisco
Não sei se entendi bem sua duvida, mas na matematica uma das regras basicas é fazer a multiplicação e divisão antes da soma e subtração.
Assim, no seu exemplo acima teremos:
20.000(1+0,03x5) + 10.000(1+0,03x4)
20.000 x (1+0,15) + 10.000 x (1+0,12)
20.000 x (1,15) + 10.000 x (1,12)
23.000  + 11.200
34.200
A partir de hoje vamos abordar akguns temas da UNidade 2. Na dica de hoje vamos falar um pouco sobre as diferenças entre as taxas Proporcionais e Equivalentes. 
 
Primeiro temos diferenciá-las conceitualmente.
 
A TAXA PROPORCIONAL é empregada apenas em operações envolvendo o Regime de Capitalização Simples (RCS). Ou seja, basta dividir ou multiplicar pelo período proposto. O cálculo é direto e linear
 
Já a  TAXA EQUIVALENTE refere-se às operações envolvendo o Regime de Capitalização Composto em função da sua periodicidade de capitalização (período em que incide os juros sobre o capital). Ou seja, NÃO basta dividir ou multiplicar pelo período proposto. Dessa forma, as taxas referentes a prazos distintos são equivalentes quando, para o mesmo prazo de aplicação, for indiferente aplicar certo capital a qualquer uma das duas taxas só que sob o RCC.
A fórmula básica é:   i = ( ( 1 + ik )k  - 1 ) x 100
 
Vamos a um Exemplo:  12% ao ano
 
Taxa proporcional
1% ao mes,  2% ao bimestre,  3% ao trimestre,  6% ao semstre,  24% ao biênio (2 anos), etc..
 
Taxa equivalente
0,948% ao mes(ccm),  1,907% ao bimestre(ccb),  2,874% ao trimestre(cct),  5,830% ao semstre(ccs),  25,44% ao biênio (cca), etc..
 
Os critérios para saber qual a taxa maior (i) ou qual a taxa menor (ik) vai depender da interpretação de cada problema. Tenham calma para identificar em cada problema qual a taxa e os prazos fornecidos, e qual a taxa e os prazos desejados.
 
Assim a taxa EQUIVALENTE mensal de 24% ao ano calcula-se da seguinte forma:
i mensal = ( ( 1 + ik )k  - 1 ) x 100
i mensal = ( ( 1 + (24/100) )1/12 - 1 ) x 100
i mensal = ( (1 + 0,24)  1/12 - 1 )  x 100
i mensal = ( (1,24)1/12 - 1 ) x 100
i mensal = (1,01808758 - 1)  x 100
i mensal = 0,01808758 x 100
i mensal = 1,808758% ao mes
 
Já a taxa PROPORCIONAL mensal de 24% ao ano calcula-se da seguinte forma:
i mensal = ik / n
i mensal = 24 / 12
i mensal = 2% ao mes
porCARLOS COIMBRA PEDRO»11/03/2017 14:47:28
Boa tarde
 
Professor
Desculpe-me por favor a ignorância mas não entendi como o professor achou o resultado da do passo a seguir:
i mensal = ( (1,24)1/12 - 1 ) x 100
e dar este valor
i mensal = (1,01808758 - 1)  x 100
 sendo que para mim esta a dar 
i mensal = (0,103)
Prezado Carlos Coimbra
Só posso te dizer que (1,24) elevado a 1/12 é 1,01808758.
Aconselho a utilizar um calculadora para lhe auxiliar
i mensal = ( (1,24)1/12 - 1 ) x 100
i mensal = ( (1,24)0,08333 - 1 ) x 100
i mensal = ( 1,01808758 - 1 ) x 100
i mensal = ( (0,01808758 ) x 100
i mensal = 1,808758 %
Vamos resolver mais algumas questões envolvendo equivalência de taxas, taxas média, taxa acumulada e taxa real a fim de exercitarmos os conceios aborados nos módulos da Unidade 2
 
Questão 1 - Calcule a taxa efetiva semestral de uma opção de investimento que paga 3% a.t. ccm
A informação fornecida é uma taxa de 3% ao TRIMESTRE com capitalização mensal (ccm). O problema pede a taxa semestral efetiva. Dessa forma, o primeiro passo e achar a taxa mensal proporcianal que é calculada de forma simples e direta. Basta dividir a taxa trimestral (3,0% ou 0,03) por 3 (quantidade de meses num trimestre)
i taxa mensal porporcional  =  0,03 / 3
i taxa mensal porporcional  =  0,01 ou seja 1,0% ao mês
 
Depois basta capitalizar esta taxa por 6 meses, da seguinte forma;
i taxa efetiva semestral = ((1+0,01)6- 1) x 100
i taxa efetiva semestral = ((1,01)6 - 1) x 100
i taxa efetiva semestral = (1,0615201 - 1) x 100
i taxa efetiva semestral = 0,0615201 x 100
i taxa efetiva semestral = 6,15201% a.s.
 
Vamos a mais uma questão
Questão 2 - Encontre a taxa efetiva de 1% a.m., para um prazo de 15 meses
Como a taxa fornecida foi mensal e solicita a taxa efetiva para 15 meses, você deve capitalizar a taxa mensal para o período solicitado, da seguinte forma:
i 15 meses = ((1 + 1/100)15 - 1) x 100
i 15 meses = (1,01)15 -1) x 100
i 15 meses = (1,16096896 - 1) x 100
Ou seja, 16,096896% para o período de 15 meses
 
Vamos a mais uma questão
Questão 3 - Sabendo-se que a TR dos dois primeiros meses de um determinado ano foram 0,4553% e 0,6722%, calcule o rendimento da poupança para aquele bimestre
Conforme mencionado nos módulos da Unidade II, a remuneração da POUPANÇA é composta da TR mais uma taxa de juros de 0,5% ao mês . Nesta questão a informação fornecida foi somente a TR portanto temos que adicionar o 0,5% em cada uma delas.  Relembrado esta informação, vamos ao problema
Como a poupança remunera TR + 0,5%, basta, portanto, acrescentar a correção monetária de 0,5% em cada mês e capitalizar as taxa sob o RCC, assim:
i poupança 2 meses = (((1+0,4553/100) x (1+0,50/100)) x ((1+0,6722/100) x (1+0,50/100))) -1
i poupança 2 meses = (1,009575765 x 1,01175561) - 1
i poupança 2 meses = 1,021443944 - 1
i poupança 2 meses = 0,021443944 ou seja 2,1443944%
 
Questão 4 - Supondo que a inflação verificada nos três primeiros meses do ano seja de 0,5%, 0,6% e 0,7%,respectivamente, calcule a taxa média mensal de inflação ocorrida no período.
i inflação 3 meses = [((1+0,5/100) x (1+0,6/100) x (1+0,7/100))] -1 x 100
i inflação 3 meses = [((1,005) x (1,006) x (1,007))] -1 x 100
i inflação 3 meses = ( 1,01810721 -1 ) x 100ou seja uma taxa de 1,810721%
i inflação 3 meses = 1,810721 ou seja uma taxa de inflação no periodo de 3 meses de 1,810721%
 
Portanto taxa de inflação acumulada dos 3 meses foi de 1,810721%. Contudo esta é a taxa acumulada. Para se achar a taxa média mensal, que é o que o problema solicita, temos que proceder da seguinte maneira:
i inflação média = [ (1,01810721)1/3 ] -1 x 100
i inflação média = 1,005999669 ou seja  0,59966% ao mês
 
 
Questão 5 - Em determinado ano, a inflação verificada nos três primeiros meses ficou em 1%, 2% e 1,3%, respetivamente. Calcule a taxa média mensal de inflação ocorrida no período?
i inflação 3 meses = [((1+1/100) x (1+2/100) x (1+1,3/100))] -1 x 100
i inflação 3 meses = [((1+0,01) x (1+0,02) x (1+0,013))] -1 x 100
i inflação 3 meses = [((1,01) x (1,02) x (1,013))] -1 x 100
i inflação 3 meses = ( 1,0435926 -1 ) x 100 
i inflação 3 meses =  0,0435926 x 100 
Ou seja uma taxa de inflação de 4,35926% no periodo de 3 meses
 
Portanto taxa de inflação acumulada dos 3 meses foi de 4,35926%. Contudo esta é a taxa acumulada. Para se achar a taxa média mensal, que é o que o problema solicita, temos que proceder da seguinte maneira:
 
i inflação média = [ (1,0435926)1/3 ] -1 x 100
i inflação média = ( 1,01432469 -1 ) x 100
i inflação média =  0,01432469  x 100
i inflação média = 1,432469% ao mês
 
Vamos trabalhar uma questão de Taxa Real agora
Questão 6 - Uma pessoa adquire um título pelo valor de R$ 900,00 e o vende um mês após por R$ 990,00. Caso a inflação do período tenha sido de 5%, qual o ganho real obtido no investimento?
 
Se uma pessoa vende um título de 900,00 por 990,00, obteve um ganho percentual de 10%, correto ? Para calcular esta taxa basta dividir os juros do período (90,00) pelo capital aplicado (900.00).
A questão ainda informa que a inflação do período foi de 5%, assim,  basta achar a taxa real da operação utilizando a equação de FIsher, trabalhada na Unidade 2,  procedendo da seguinte forma:
i real = ((1+(Taxa Remuneração Nominal/100) / (1+(Taxa de Inflação/100))) -1) x 100
i real = (((1+(10/100)) / (1+(5/100))) -1) x 100
i real = ((1,10 / 1,05) -1) x 100
i real = (1,047619 -1) x 100
i real = 0,047619 x 100
i real = 4,7619%
Portanto, apesar do título ter sido remunerado em 10%, sua remuneração efetiva (ganho real) foi de 4,76%, ou sejamenor do que a taxa de juros nominais, em função da ação da inflação sobre o poder de compra da moeda.
 
 
Ainda sobre Taxa Real
Questão 7 - Se a inflação verificada em um determinado período foi de 10% e a taxa real de uma operação 5%, qual foi a taxa nominal dessa operação?
Taxa Real = Taxa Nominal / Taxa Inflação
Para calculara taxa nominal basta substituir:
(1 + (5/100)) = i nominal / (1 + (10/100)
(1 + 0,05) = i nominal / (1 + 0,10)
1,05 = i nominal / 1,10
i nominal = (1,05 x 1,10)
i nominal = (1,05 x 1,10)
i nominal = 1,1550
 
Para  demostrar no formato de taxa basta diminuir 1 e multiplicar por 100, assim:
i nominal = (1,1550 -1) x 100
i nominal = 0,1550 x 100
i nominal = 15,5%
 
Para finalizar vamos trabalhar uma questão que confunde muitas pessoas apenas por não trazer no texto a taxa de forma explícita.
Questão 8 - Se uma pessoa deseja duplicar seu capital após um ano, qual a taxa de juros mensal que deverá render sua aplicação para que sua vontade seja atendida ?
Vamos raciocinar. Se uma pessoa deseja duplicar seu capital após um ano, ele obterá uma taxa de 100%, concordam ? Senão vejamos. Se você tem 100,00 e duplica este valor, você terá 200,00, concorda ? Portanto seu capital foi acrescido em 100,00 que corresposnde aos juros recebidos.Para se achar a taxa basta dividir os juros recebido (100,00) pelo capital (100,00) e chegará a uma taxa de 100% no período informado, que no caso foi de 1 ano (12 meses).
 
Portanto, para se achar a taxa de juros mensal, conforme solicitado pelo problema, basta mensalizar os juros de 100%. Assim:
i mensal = (1 + 100/100) 1/12
i mensal = (2,0)1/12
i mensal = 1,059463 ou 5,9463%
Vamos as suas questoes:
 
01 - Encontre a taxa equivalente a 0,5% ao mês, para um prazo de 12 meses.
Esta é uma questão clássica pois a poupança remunera 0,5% ao mês e muitas pessoas tendem a apenas multiplicar 0,5% por 12 meses, o que daria 6,0% ao ano. Contudo temos que nos lembrar que é juros sobre juros, ou seja capitalização composta, portanto:
i anual = ((1 + (0,5/100))12 ) - 1
i anual = ((1 + 0,005)12 ) - 1
i anual = ( 1,00512 ) - 1
i anual = ( 1,0616778 - 1)
i anual = 0,0616778 ou seja 6,16778% a.a.
 
02 - Qual será a taxa proporcional anual de juros de uma operação cotada a 7% ao semestre?
A taxa proporcinal é direta. Assim, se a operação é cotada a 7% ao sesmtre, neste caso basta calcular quantos quantos semestres tem no ano e achar a respostas. A lógica aplicada quando falamos de taxa proporcional á a do Regime de Capitalização SImples (RCS).
i proporcional anual  = 7 x 2
i proporcional anual = 14,0%
Portanto, de forma direta e SIMPLES, 14% ao ano.
 
03 - Se a taxa de juros de um banco, para operações do RCS, é de 2% ao trimestre, quanto pagarei por um empréstimo efetuado pelo prazo de 45 dias? (Dica : calcule primeiro a taxa proporcional ao dia e depois calcule para 45 dias)
Mais uma vez, a taxa proporcional tem como base o Regime de Capitalização Simples (RCS), portanto é calculada de forma direta. Se a taxa de juros de um banco é de 2% ao trimestre no RCS (1 trimestre = 3 meses = 90 dias),  para se calcular a taxa de 45 dias basta proceder de forma direta, da seguinte forma:
i 45 dias = (0,02 / 90) x 45
i 45 dias = 0,0002222 x 45
i 45 dias = 0,01 ou seja 1,0%
 
As outras 2 questoes seguintes tambem referem-se a TAXA PROPORCIONAL, portanto basta raciocinar da mesma maneira para calculá-las.
Se uma pessoa deseja duplicar seu capital após um ano, qual a taxa de juros mensal que deverá render sua aplicação para que sua vontade seja atendida ?
Vamos raciocinar. Se uma pessoa deseja duplicar seu capital após um ano, ele obterá uma taxa de 100%, concorda ? Senão vejamos. Se você tem 100,00 e duplica este valor, você terá 200,00, concorda ? Portanto seu capital foi acrescido em 100,00 que corresposnde aos juros recebidos.
Para se calcular a taxa basta dividir os juros recebido (100,00) pelo capital (100,00) e chegará a uma taxa de 100% no período informado, que no caso foi de 1 ano (12 meses). Portanto, para se calcular a taxa de juros mensal, conforme solicitado pelo problema, basta mensalizar os juros de 100%. Assim:
 i mensal = (1 + 100/100) 1/12
i mensal = (2,0)1/12
i mensal = 1,059463 ou 5,9463%
A unidade 3 marca a passagem da metade do conteúdo. Neste momento do curso é importante lembrar que a Matemática, assim como quase tudo em nossa vida, é CUMULATIVA. Mas, o que isso significa?  Significa dizer que tudo que se aprendeu até o momento poderá e deverá ser utilizado nas atividades, exercícios, problemas de matemática financeira.
 
Nesta próxima unidade (Unidade 3) estudaremos a aplicação da matemática financeira em operações usualmente utilizadas por bancos. Os Descontos de Titulos (Notas Promissórias e Cheques) são instrumentos financeiros bastante comuns e muito utilizados pelas empresas como Capital de curto prazo (Capital de Giro). Seus cálculos envolvem a utilização da matemática financeira em sua essência como veremos nos 3 módulos.
 
Vamos exercitar alguns exemplos para sedimentar os conhecimentos estudados começando com o mais básico que é o  DESCONTO SIMPLES
 
Calcule o valor do desconto racional, de uma duplicata com valor nominal de R$ 10.000,00, descontada a uma taxa de 5,1% a.m., 75 dias antes de seu vencimento.
Esta é uma questão do Módulo DESCONTO SIMPLES e relativa ao desconto RACIONAL. Portanto deve utilizar os conceitos de RCS para resolve-lá. Atenção para equalizar taxa e prazo. A taxa é mensal e o período é diário. 75 dias equivale exatamente a 2 meses e meio (2,5), assim basta substituir na fórmula
Dr = Vn x i x n / 1 + i x n
Dr = 10.000 x 0,051 x 2,5 / 1 + (0,051 x 2,5)
Dr = 26.275 / 1,1275
Dr = 1.130,82
 
PODE-SE CALCULAR TAMBÉM DA SEGUINTE FORMA
Vr = N / (1 + i x n)
Vr = 10.000 / 1 + (0,051  x  2,5)
Vr = 10.000 / 1,1275
Vr = 8.869,18
A diferença entre o Valor Nominal e o Valor Liquido calculado (10.000 - 8.869,18) é o valor de Desconto, ou seja 1,130,82
 
Vamos a mais uma questão
 
Calcule o valor do desconto comercial, no regime de juros simples, de uma duplicata com valor  nominal de R$ 7.000,00, decontada a uma taxa de 1,5% a.m., 57 dias antes de seu vencimento
A questão quer saber qual o Valor do Desconto COMERCIAL de um título no valor (N) de R$ 7.000,00 que vencerá daqui a 57 dias (n). O banco que antecipará os recursos trabalha com uma taxa (d) de 1,5% ao mês (30 dias). Assim, mais uma vez, atente para a diferença e equalização de taxa e prazos. 
 
Subistituindo na fórmula tem-se
Dc = 7.000 x 57 x 0,0005
Dc = 199,50
por  Marcelo Dalmagro » 23/03/2017 às 23:04:41
porFRANCISCO KALIVE DOMINGOS»22/03/2017 15:25:27
Profosser, pude achar a taxa Nominal, da seguite forma:
· ik= i/k--------------6/12=0,5. Mas agora acho a taxa Efetiva ?
 
 
 
i efetiva mensal = (1 + (6/100)) 1/12
i efetiva mensal = (1 + 0,06) 1/12
i efetiva mensal = (1,06) 1/12
i efetiva mensal = 1,00486755
i efetiva mensal = 0,486755%
1725947 ECLARECIMENTO
por  Marcelo Dalmagro » 24/03/2017 às 13:55:04
porFRANCISCO KALIVE DOMINGOS»24/03/2017 03:53:02
Pretendo saber o significado de TR.
TR significa Taxa de Referencia ou Taxa Referencial. Como o próprio nome diz, é uma taxa que serve de referencia de juros para corrigir alguns tipos de empréstimos e aplicações no Brasil, como a POUPANÇA por exemplo.
Vamos abordar agora algumas questões envolvendo mais um tema da terceira Unidade. O Desconto Composto que como o próprio nome já faz referencia, tem como base utilizara o regime de capitalização composto. Vamos a alguns exercicios resolvidos:
 
Um título foi descontado por R$840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Qual o valor do desconto obtido sabendo que a modalidade de desconto utilizada pelo banco foi o composto racional e a taxa foi de 3% ao mês?
Na questão acima temos os seguintes dados fornecidos:
Vrc = 840,00
n = 4
i = 0,03
 
Usando a fórmula de desconto composto racional temos:
Vrc =  Vn / (1+i)n
840 = Vn / (1+0,03)4
840 = Vn / (1,03)4
840 = Vn / 1,12551
Vn = 945,43
 
Para achar o valor do desconto basta diminuir 945,43 dos 840,00 o que corresponde a 105,43
Desconto= Vn - Vrc
Desconto = 945,43 - 840,00
Desconto = 105,43
 
 
Calcule o prazo (n)  de uma operação de desconto racional, efetuada em um título de R$ 4.000,00, a uma taxa de 25% a.a.,sabendo que o valor do desconto foi de R$ 1.137,83.
Estamos falando do Desconto Racional, portanto temos que usar a seguinte fórmula relativa aos DESCONTO RACIONAL COMPOSTO
 Vrc = N / (1+i)n
 
Substituindo, temos:
2862,17 = 4.000 /  ( 1 + 0,25) n
 
Reparem que a incógnita que se quer calcular é a n,
2862,17 x (1 + 0,25)n = 4000
2862,17 x (1,25)n  = 4000
(1,25)n  = 4000/2862,17
(1,25)n  = 1,397541
 
Neste exemplo teremos que aplicar as propriedades do Logarítimo nas parcelas para racionalizarmos a equação. Assim temos:
n x Log 1,25 = Log 1,397541
n x 0,09691 = 0,145365
0,09691n = 0,145365
n =  0,14536 / 0,09691
n = 1,5
Ou seja 1,5 anos que equivale a 18 meses
 
 
Vamos trabalhar agora outro instrumento matemático importante na simplificação de equações.  A radiciação.
Calcule a taxa mensal empregada numa operação de desconto racional, cujo desconto foi de R$ 727,00, sobre um título de R$ 3.000,00, descontado 15 meses antes de seu vencimento 
Dc : 727,00
Vn : 3.000,00
n : 15 meses
Vrc : 2.273,00
 
Esta é uma questão que requisita conhecimento de radiciação, visto em nossa revisão. Vamos pegar a fórmula seguinte:
Vrc = Vn / (1 + i)n
 
Substituindo e resolvendo  teremos:
2273 = 3.000 / (1 + i)15
2273 x (1 + i)15 = 3000
3000/2273 = (1 + i)15
1,3198416 = (1 + i)15
 
Racionalizando-se a equação, tirando-se a raíz 15 dos fatores teremos:
1,31984161/15 = 1 + i
1,01867298 = 1 + i
i = 0,01867298,  portanto uma taxa mensal de 1,867298%
Estamos chegando nos módulos finais da nossa matéria Matemática Financeira. Parabéns pelo esforço, dedicação, empenho e participação de todos.
 
Nestas últimas 2 unidades aglutinaremos todos nossos conhecimentos adquirido para abordar a utilização dos conceitos de matemática financeira na gestão com foco em análise de investimentos e metodologias de amortização de financiamentos. Vamos começar nossas discussões com exercícios resolvidos envolvendo o conceito de VPL. Para tanto vamos pegar um exercício para ilustrar.
 
1 - Espera-se que um determinado investimento gere, para os próximos três anos, R$ 15.000,00; R$ 16.000,00; R$ 17.000,00, respectivamente. Com base nessas informações e, sabendo que o custo inicial desse investimento é de R$ 34.000,00, calcule o VPL para uma taxa de atratividade de 20% a.a.
 
O VPL (Valor Presente Liquido) trata-se de uma metodologia para avaliar a atratividade/retorno de um investimento. Para tanto ela usa o conceito do valor do dinheiro no tempo estudado por nós ao longo deste semestre. O cálculo do VPL consiste em trazer os FLUXOS DE CAIXA futuro para o dia presente a fim de compará-lo com o investimento realizado.
 
Para calcular questões de VPL basta montar o fluxo conforme exercício resolvido na página 02, do módulo 2 da Unidade 4, numa equação tal como abaixo.
VPL = 15000/(1,20)1 + 16000/(1,20)2 + 17000/(1,20)3  - 34000
VPL = 12500  + 11111,11 + 9.837,96 - 34000
VPL = -550,93
 
Portanto, resolvendo esta equação chegaremos a conclusão que o projeto  NÃO gerará fluxos de caixa suficientes no futuro para compensar os 34.000 investidos. Teremos um DÉFICIT de 550,93 (negativo)
 
 
Vamos a uma outra questão ainda envolvendo o conceito de VPL
 
2 - Qual será o VPL de um projeto de investimento, que custa R$ 8.900,00, se os fluxos de benefícios previstos para o mesmo for de: R$ 2.000,00 no primeiro ano; R$ 7.500,00 no oitavo ano e R$ 12.500,00 para o décimo ano. Considere que a taxa de atratividade definida para o projeto é de 25% a.a.
 
Para calcular questões de VPL basta mais uma vez montar o fluxo conforme exercício resolvido na página 02, do módulo 2 da Unidade 4, numa equação tal como abaixo. Perceba que é importante atentar para os prazos dos fluxos.
 
VPL = 2000 / (1,25)1 + 7500/(1,25)8 + 12500/(1,25)10 -  8900
VPL = 2000 / 1,25  +  7500 / 5,960464  +  12500 / 9,313225746  - 8900
VPL = 1.600,00 + 1.258,29 + 1.342,17 - 8900
VPL = - 4.699,54
 
Ou seja, o VPL foi negativo o que denota INVIABILIADADE econômica-financeira do projeto.
 
Curiosidade:
O cálculo do VPL pode ser realizado utilizando a HP12C. Para tanto precisamos utilizar as mesmas teclas para cálculo de Valor Preseste (PV), Valor Futro (FV) e Prestação (PMT), porém as funções são as AZUIS e AMARELAS acionadas pelas teclas "g"  e "f" . 
 
CÁLCULO HP12C
Utilizando os dados fornecidos pelo problema na HP12C temos:
f  REG  g  END (Função de limpeza da memória e capitalização ao final do período)
8900 CHS g CF0 (CF0 é função em AZUL na tecla PV acionada pela tecla AZUL g - CF0 significa Cash Flow - Fluxo de Caixa - no momento 0)
2000 g CFj (CFj é função em AZUL na tecla PMT acionada pela tecla AZUL g - CFj significa Cash Flow - Fluxo de Caixa - no momento seguinte - no caso primeiro ano)
0 g CFj (CFj é função em AZUL na tecla PMT acionada pela tecla AZUL g - CFj significa Cash Flow - Fluxo de Caixa - no momento seguinte - no caso segundo ano)
0 g CFj (CFj é função em AZUL na tecla PMT acionada pela tecla AZUL g - CFj significa Cash Flow - Fluxo de Caixa - no momento seguinte - no caso terceiro ano)
0 g CFj (CFj é função em AZUL na tecla PMT acionada pela tecla AZUL g - CFj significa Cash Flow - Fluxo de Caixa - no momento seguinte - no caso quarto ano)
0 g CFj (CFj é função em AZUL na tecla PMT acionada pela tecla AZUL g - CFj significa Cash Flow - Fluxo de Caixa - no momento seguinte - no caso quinto ano)
0 g CFj (CFj é função em AZUL na tecla PMT acionada pela tecla AZUL g - CFj significa Cash Flow - Fluxo de Caixa - no momento seguinte - no caso sexto ano)
0 g CFj (CFj é função em AZUL na tecla PMT acionada pela tecla AZUL g - CFj significa Cash Flow - Fluxo de Caixa - no momento seguinte - no caso sétimo ano)
7500 g Cfj (CFj é função em AZUL na tecla PMT acionada pela tecla AZUL g - CFj significa Cash Flow - Fluxo de Caixa - no momento seguinte - no caso OIITAVO ano)
0 g CFj (CFj é função em AZUL na tecla PMT acionada pela tecla AZUL g - CFj significa Cash Flow - Fluxo de Caixa - no momento seguinte - no caso nono ano)
 12500 g CFj (CFj é função em AZUL na tecla PMT acionada pela tecla AZUL g - CFj significa Cash Flow - Fluxo de Caixa - no momento seguinte - no caso DÉCIMO ano)
25 i
f  NPV (NPV é função em AMARELO acima da tecla PV acionada pela tecla AMARELA f)
No visor da HP12C aparecerá o valor de -4.699,54 que refere-se ao Valor Presente Liquido (VPL) da operação, que no caso foi negativo
 
Vamos a uma ultima questão relacionada ao VPL para consolidarmos o tema
3 - Qual será o VPL de um projeto que custa R$ 15.000,00 e rende R$ 5.000,00 no terceiro ano, R$ 32.000 no sexto ano e R$ 18.000,00 no décimo ano, considerando uma taxa de atratividade de 20% a.a.
 
Como vimos anteriormente, para calcular questões com VPL sem o uso da HP12C basta montar o fluxo conforme exercício resolvido na página 02, do módulo 2 da Unidade 4, numa equação tal como abaixo.
 
VPL = 5000 / (1,20)3 + 32000/(1,20)6 + 18000/(1,20)10 - 15000
VPL = 5000 / 1,728  +  32000 / 2,985984  +  18000 / 6,1917364 - 15000
VPL = 2.893,52 + 10.716,74 + 2.907,10 - 15000
VPL = 1.517,35
Portanto o valor do VPL é 1.517,35. É positivo e indica que o projeto é VIÁVEL
Caro Colega também estou com dificuldades mas penso que a ideia é usarmos os procedimentos para cálculos de Juros da Unidade 2 mais ou menos assim, na questão
1 - Qual o rendimento nominal acumulado da poupança no ano passado e qual o rendimento médio mensal?
Tabela de Rendimento 2016
	JAN
	JAN
	FEV
	MAR
	ABR
	MAI
	JUN
	JUL
	AGO
	SET
	OUT
	NOV
	DEZ
	2016
	0,7261
	0,6327
	0,5962
	0,7179
	0,6311
	0,6541
	0,7053
	0,6629
	0,7558
	0,6583
	0,6609
	0,6435
	ACUMUL
	0,7261
	1,3634
	1,9677
	2,6997
	3,3479
	4,0239
	4,7576
	5,4520
	6,2490
	6,9484
	7,6553
	8,3480
Cálculos dos Rendimentosacumulados seria assim:
iu=(1+i1)x(1+i2)x...x(1+in)-1
iu=(1+0,007261)x(1+0,006327)x(1+0,005962)x(1+0,007179)x(1+0,006311)x(1+0,006541)x(1+0007053)
(1+0,006629)x(1+0,007558)x(1+0,006583)x(1+0,006609)x(1+0,006435)-1iu=1,083480-1
iu=0,083480*100
iu=8,348%