Introdução Cálculo integral

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Curso de Cálculo Integral – Prof. Flaudio – 2016.2 – Lista 1 
 
0 – UMA PEQUENA REVISÃO DE DERIVADAS 
0.1 – PROPRIEDADES DAS DERIVADAS 
[1] Se f(x) = c, x ∈! , onde c é uma constante real qualquer, então . 
[2] Se , x ∈! , então . 
[3] Se , , x ∈! , então . 
[4] Se f(x) = mx + n, então f '(x) = m. 
[5] Se , x ∈! , c constante, então . 
[6] (Regra da soma/diferença) Se . 
[7] (Regra do produto) Se . 
[8] (Regra do quociente) Se . 
[9] (Regra da potência) Se f(x) = [g(x)]
n , então f '(x) = n.[g(x)]
n−1.g'(x) , n∈!. 
[10] (Regra da cadeia) Se h(x) = f(g(x)) , então h'(x) = f '(g(x)).g'(x) . 
 
0.2 – DERIVADAS DAS FUNÇÕES: EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA, 
TRIGONOMÉTRICAS E TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. 
[1] Se f(x) = e
x , então f '(x) = e
x . 
[2] Se f(x) = e
g(x) , então f '(x) = e
g(x).g'(x). 
[3] Se f(x) = a
x , então f '(x) = a
x.Lna , desde que 0 < a ≠ 1. 
[4] Se f(x) = a
g(x) , então f '(x) = a
g(x).g'(x).Lna , desde que 0 < a ≠ 1. 
[5] Se f(x) = Lnx, então 
 
f '(x) = 1
x
. 
[6] Se f(x) = Ln[g(x)], então 
 
f '(x) = g'(x)
g(x)
. 
[7] Se f(x) = loga x , então 
f '(x) = 1
x.Lna
, desde que 0 < a ≠ 1. 
[8] Se f(x) = loga g(x) , então 
f '(x) = g'(x)
g(x).Lna
, desde que 0 < a ≠ 1. 
[9] Se f(x) = senx, então f '(x) = cosx 
[10] Se f(x) = cosx, então f '(x) = –senx 
[11] Se f(x) = tgx, então f '(x) = sec
2x 
[12] Se f(x) = cotgx, então f '(x) = –cossec
2x 
[13] Se f(x) = secx, então f '(x) = secx.tgx 
[14] Se f(x) = cossecx, então f '(x) = –cossecx.cotgx 
[15] Se f(x) = arcsenx, então 
 
f '(x) = 1
1− x2
. 
[16] Se f(x) = arccosx, então 
 
f '(x) = −1
1− x2
. 
[17] Se f(x) = arctgx, então 
 
f '(x) = 1
1+ x2
. 
[18] Se f(x) = arccotgx, então 
 
f '(x) = −1
1+ x2
. 
[19] Se f(x) = arcsecx, então 
 
f '(x) = 1
x x2 −1
. 
 
 f '(x) = 0
 f(x) = x ( )f ' x 1=
( ) nf x x= n∈Q ( ) n 1f ' x n x −= ⋅
 f(x) = c ⋅g(x) f '(x) = c ⋅g'(x)
 h(x) = f(x) ± g(x)⇒ h'(x) = f '(x) ± g'(x)
 h(x) = f(x) ⋅g(x)⇒ h'(x) = f '(x) ⋅g(x)+ f(x) ⋅g'(x)
 
h(x) = f(x)
g(x)
⇒ h'(x) = f '(x) ⋅g(x)− f(x) ⋅g'(x)
g(x)⎡⎣ ⎤⎦
2
 2 
[20] Se f(x) = arccossecx, então 
 
f '(x) = −1
x x2 −1
. 
 
0.3 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Usando as propriedades das derivadas, ache a derivada de cada função a seguir: 
a) f(x) = x28 
 
b) f(x) = 5x3 – 7x2 + 2x – 3 
 
c) f(x) = 5(x4 + 3x7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) f(x)= 1
x27
e) f(x)= x
f) f(x)= 1
x
g) f(x) = x
2
4
+ 4
x2
h) f(x) = 4
x2
− 3
x4
1 1
2 21i) f(x) 2x x
2
−
= −
 
j) f(x) = x
2 − 4x + 4
x −1
2 3
4 2
k) f(x) (3x 4).(4x x 1)
l) f(x) (x 2x).(4x 2x 5)
= − + −
= − + +
 
m) f(x) = x
3 +1
x3 −1
n) f(x) = x
2
x3 + 8
o) f(x) = (2x3 − 3x + 7)4
p) f(x) = (4x4 − 4x2 +1)
−1
3
q) f(x) = x3 +13
r) f(x)=(x2 + 4)−2
s) f(x) = (x4 − x)−3
 3 
2.Ache a derivada dy
dx
= y’ por derivação implícita. 
 
 
a) x2 + y2 = 25
b) 4x2 − 9y2 = 1
c) x3 + y3 = 2xy
d) x2 + y2 = 10xy
e) 1
x
+ 1
y
= 1
f) 3
x
− 3
y
= 2x
 
 
g) x + y = 4
h) 2x3y + 3xy3 = 5
i) x2y2 = x2 + y2
j) (2x + 3)4 = 3y4 + y3
k) x2 = x + 2y
 
 
3.Encontre as derivadas das funções a seguir: 
 
 
d) f(x) = ln(4 + 5x) 
 
e) f(x) = ln(1 + 4x2) 
 
f) f(x) = ln(8 – 2x) 
 
g) f(x) = ln 
 
h) f(x) = ln 
 
i) f(x) =ln(lnx) 
 
j) f(x) = x.lnx 
 
k) 
 
l) f(x) = 
 
m) f(x) = 3
5x 
 
a) f(x) = e3x
b) f(x) = ex
2−2x
c) f(x) = x.ex
21 4x+
3 24 x−
xf(x)
lnx
=
3 3lnx
 4 
n) f(x) = 10
x2−2x 
o) f(x) = log3(2x
2 +1) 
 
4. Encontre as derivadas das funções a seguir: 
 
 
 
 f) f(x) = x
2.cosx 
 g) f(x) = x.senx + cosx 
 h) f(x) = 3.senx − x.cosx 
 
 
 
 
5.Ache a derivada da função dada em cada item a seguir. 
 
 
 
 
0.4 – GABARITO DE 0.3 
1. a) 28x27 b) 15x2 −14x + 2 c) 5(4x
3 + 21x6) d) −27x−28 
 e) 
 
1
2
x
− 1
2 f) 
 
−1
2
x
−3
2 g) 
 
x
2
− 8x−3 h) −8x−3 +12x−5 
 i) 
 
x
− 1
2 + 1
4
x
−3
2 j) 
 
x2 − 2x
(x −1)2
 k) 60x4 − 39x2 − 6x − 4 
 l) 24x5 +10x4 + 20x3 − 24x2 − 8x −10 m) 
 
−6x2
(x3 −1)2
 n) 
 
−x4 +16x
(x3 + 8)2
 
 o) 4(2x
3 − 3x + 7)3.(6x2 − 3) p) 
 
− 1
3
(4x4 − 4x2 +1)
−4
3 .(16x3 − 8x) 
 q) x
2.(x3 +1)
−2
3 r) −4x(x
2 + 4)−3 s) −3(x
4 − x)−4.(4x3 −1) 
 
2. a) −x
y
 b) 
 
4x
9y
 c) 
 
2y − 3x2
3y2 − 2x
 d) 
 
5y − x
y − 5x
 
a) f(x) 3senx
b) g(x) senx cosx
=
= +
 c) f(x) = tgx + cotgx
d) f(x) 4sec x 2cossec x
e) f(x) xcos x
= −
=
 
i) f(x) = senx.cosx
j) f(x) = sen2x
k) f(x) = sen3x
l) f(x) = 4cos3x − 3sen4x
m) f(x) = senx2
2n) f(x) cos(3x 1)= +
 
o) f(x) = 1
3
sec3 2x − sec 2x
xa) f(x) arcsen
2
b) f(x) arccos3x
c) f(x) arctg2x
d) f(x) arccossec 2x
=
=
=
=
2
e) f(x) 2arccos x
1f ) f(x) arcsenx
2
=
=
2
g) f(x) arc sec5x arccossec5x
h) f(x) arccotg(2x )
= +
=
 5 
 e) 
 
−y2
x2
 f) 
 
2+ 3x−2
3y−2
 g) 
 
− y
x
 h) 
 
−6x2y − 3y3
2x3 + 9xy2
 
 i) 
 
x − xy2
x2y − y
 j) 
 
8(2x + 3)3
12y3 + 3y2
 k) 
 
2x −1
2
 
 
3. a) 3e3x b) (2x − 2)e
x2−2x c) (1+ x)e
x d) 
 
5
4 + 5x
 
 e) 
 
8x
1+ 4x2
 f) 
 
−1
4 − x
 g) 
 
4x
1+ 4x2
 h) 
 
−2x
12− 3x2
 
 i) 
 
1
x lnx
 j) 1 + lnx k) 
 
lnx −1
(lnx)2
 l) 
 
(lnx)
−2
3
x
 
 m) 35x.5.ln3 n) 10
x2−2x.(2x − 2).ln10 o) 
 
4x
(2x2 +1)ln3
 
 
4. a) 3cosx b) cosx – senx c) sec2x – cossec2x 
 d) 4secx.tgx + 2cossecx.cotgx e) cosx – x.senx f) x(2cosx – xsenx) 
 g) x.cosx h) 2cosx + x.senx i) cos2x j) sen2x 
 k) 3cos3x l) –12(sen3x + cos4x) m) 2x.cosx2 n) –6x.sen(3x2 + 1) 
 o) 2sec2x.tg32x 
 
5. a) 
 
1
4 − x2
 b) 
 
−3
1− 9x2
 c) 
 
2
1+ 4x2
 d) 
 
−1
x 4x2 −1
 
 e) 
 
−1
x − x2
 f) 
 
x
1− x4
 g) 0 h) 
 
−4x
1+ 4x4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
1 – A ANTIDERIVADA OU PRIMITIVA (INTEGRAL INDEFINIDA) 
Uma função F(x) é chamada de antiderivada de uma função f(x) se F’(x) = f(x) para todo x no domínio de f. 
 
EXEMPLO 1 
A função F(x) = x3 é uma antiderivada da função f(x) = 3x2, pois F’(x) = f(x). 
 
Observe que as funções G(x) = x3 + 5 e H(x) = x3 – 10 também são antiderivadas da função f(x) = 3x2. Veja que uma 
função tem mais de uma antiderivada. De um modo geral, toda função da forma x3 + C, onde C é um número real 
qualquer, é uma antiderivada de 3x2. 
 
EXEMPLO 2 
A função F(x) = x2 + 5x + 2 é uma antiderivada da função f(x) = 2x + 5. E mais uma vez, toda função da forma x2 + 5x 
+ C, onde C um número real qualquer, é uma antiderivada de f(x) = 2x + 5. 
 
 
 
 
 
A antidiferenciação é o processo de encontrar todas as antiderivadas de uma dada função. A antiderivada é também 
chamada de primitiva ou de integral indefinida. A notação usada para representar todas as antiderivadas de uma 
função f(x) é simbolizada por f(x)dx∫ , que se lê: integral indefinida de f(x) dx, e escrevemos 
 
f(x)dx F(x) C= +∫ 
 
onde F(x) é uma antiderivada de f(x), ou seja F’(x) = f(x), e C é uma constante real qualquer. 
 
 
Atenção! 
Ao escrevermos f(x)dx F(x) C= +∫ , estamos também dizendo que F'(x)dx F(x) C= +∫ , ou seja, a integral
da 
derivada de uma função é a própria função somada a uma constante real C qualquer. 
 
Voltando aos nossos primeiros exemplos, podemos escrever: 
 
2 33x dx x C= +∫ 
 
e 
 
2(2x 5)dx x 5x C+ = + +∫ 
 
 
Atenção! Decorre imediatamente da definição que: 
 
n 1
n xx dx C
n 1
+
= +
+∫ , onde n é um número racional, n ≠ –1. 
 
 
2 – PROPRIEDADES 
P1. [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx± = ±∫ ∫ ∫ 
P2. a.f(x)dx a. f(x)dx=∫ ∫ , onde a é uma constante real qualquer. 
P3. dx x C= +∫ 
 
EXEMPLO 
Usando as propriedades dadas acima, calcule 3 2(x 5x 4x 7)dx− + +∫ 
Explique porque o número 2 “desapareceu” ao escrevermos a expressão geral das antiderivadas. 
 
 7 
 
3 2 3 2(x 5x 4x 7)dx x dx 5 x dx 4 xdx 7 dx− + + = − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = 
4 3 2x x x5. 4. 7x C
4 3 2
− + + + 
 
E portanto, 
3 2(x 5x 4x 7)dx− + +∫ 
4 3
2x 5x 2x 7x C
4 3
= − + + + 
 
 
3 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Encontre as integrais indefinidas a seguir: 
a) 
 
(4x + 3)dx∫ 
b) 
 
(x4 − 3x3 +1)dx∫ 
c) 
 
(2+ 2t + 3t2)dt∫ 
d) 
 
(1+ 1
x2
+ 1
x3
)dx∫ 
e) 
 
x +1
x3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
dx∫ 
f) 
 
( x − 1
x
)dx∫ 
 
g)
 
x(x + 1
x
)dx∫ 
 
h)
 
2x2 + 5
x3
dx∫ 
 
4 – GABARITO DE 3 
1. a) 2x2 + 3x + C b) 
 
x5
5
− 3x
4
4
+ x +C c) 2t + t
2 + t3 +C d) 
 
x − 1
x
− 1
2x2
+C 
 
 e) 
 
−1
x
− 1
2x2
+C f) 
 
2x
3
2
3
− 2x
1
2 +C g) 
 
2x
5
2
5
+ 2x
1
2 +C h) 
 
3x
8
3
4
+ 15x
2
3
2
+C 
 
5 – INTEGRAIS DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES 
As integrais a seguir são decorrências imediatas da definição, e são extremamente importantes: 
 
(1) senxdx cosx C= − +∫ 
(2) cosxdx senx C= +∫ 
2(3) sec xdx tgx C= +∫ 
2(4) cossec xdx cotgx C= − +∫ 
(5) sec x.tgxdx sec x C= +∫ 
(6) cossecx.cotgxdx cossecx C= − +∫ 
2
dx(7) arcsenx C
1 x
= +
−
∫ 
2
dx(8) arctgx C
1 x
= +
+∫ 
 8 
2
dx(9) arcsec x C
x x 1
= +
−
∫ 
x x(10) e dx e C= +∫ 
x
x a(11) a dx C
lna
= +∫ , se 0 < a ≠ 1 
dx(12) ln | x | C
x
= +∫ 
 
6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Encontre as integrais indefinidas a seguir: 
a) 
 
3
4
⋅cosx∫ dx 
b) 
 
5
cossecx∫ dx 
c) 
 
sec x
cosx∫ dx 
d) 
 
cossecx.cotgx.secx∫ dx 
e) 
 
(4 + 4tg2x)∫ dx 
 
7 – GABARITO DE 6 
1.a) 
 
3
4
⋅senx +C b) − 5cosx +C c) tgx +C d) − cotgx +C e) 4tgx +C 
 
 
8 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
São equações que envolvem derivadas de uma função incógnita. 
 
EXEMPLO 1 
Resolva a equação diferencial f '(x) = 6x
2 + x − 5 sujeita à condição inicial f(0) = 2. 
 
SOLUÇÃO 
Basta usar a definição de integral definida: 
 
f '(x)∫ dx = (6x2 + x − 5∫ )dx = 2x3 + x
2
2
− 5x +C , para obter a função 
 
f(x) = 2x3 + x
2
2
− 5x +C e usar a condição f(0) = 2, para descobrir que C = 2. Logo, a solução do nosso problema é 
dada pela função 
 
f(x) = 2x3 + x
2
2
− 5x + 2. 
 
Atenção! 
A equação do exemplo anterior também pode ser escrita como 
 
dy
dx
= 6x2 + x − 5 ou dy = (6x
2 + x − 5)dx . Neste caso, 
integramos assim: 
 
dy∫ = (∫ 6x2 + x − 5)dx e concluímos que y = 2x3 +
x2
2
− 5x +C . Para encontrar o valor de C, 
fazemos x = 0 e encontramos C = 2. 
 
Atenção! 
Se tivermos uma segunda derivada f ''(x) , devemos fazer duas integrações indefinidas sucessivas para achar f(x). 
 
 
 
 9 
EXEMPLO 2 
Resolva a equação diferencial f ''(x) = 5cosx + 2senx sujeita às condições iniciais f(0) = 2 e f '(0) = 4. 
 
SOLUÇÃO 
Temos que 
 
f∫ ''(x)dx = (∫ 5cosx + 2senx)dx = 5senx − 2cosx +C1 . Com isso, descobrimos que 
 f '(x) = 5senx − 2cosx +C1 . Como f '(0) = 4, temos que f '(0) = 5sen0 − 2cos0 +C1 = −2+C1 = 4⇒C1 = 6. 
Logo, f '(x) = 5senx − 2cosx + 6 e 
 
f(x) = f∫ '(x)dx = (∫ 5senx − 2cosx + 6)dx = −5cosx − 2senx + 6x +C2 . 
Usando a condição de que f(0) = 2, temos que C2 = 8, e portanto f(x) = –5cosx – 2senx + 6x + 8. 
 
9 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1.Resolva as equações diferenciais a seguir sujeita às condições dadas. 
a) f '(x) = 12x
2 − 6x +1, f(1) = 5 
b) 
 
dy
dx
= 4 x x = 4, y = 21 
c) f ''(x) = 4x −1 f '(2) = −2, f(1) = 3 
d) 
 
d2y
dx2
= 3senx − 4cosx y ' = 2 e y = 7 para x = 0 
 
 
10 – GABARITO DE 9 
1.a) f(x) = 4x3 – 3x2 + x + 3 b) 
 
y = 8
3
x
3
2 − 1
3
 c) 
 
f(x) = 2
3
x3 − x
2
2
− 8x + 65
6
 
 d) y = −3senx + 4cosx + 5x + 3 
 
11 – MUDANÇA DE VARIÁVEL 
A mudança de variável é algumas vezes chamada de regra da cadeia para a antidiferenciação. De um modo bem 
simples, ela diz que: se F(x) é tal que = +∫ f ( x )dx F( x ) C , então f (g( x)) ⋅∫ g'( x)dx = F(g( x))+C 
 
Ela é usada para encontramos a integral de 
 
f(g(x)).g'(x)dx∫ a partir da f(x)dx∫ . 
 
Na prática, fazemos g(x) = u, e consequentemente g'(x)dx = du . 
 
EXEMPLO 
Achar a integral 
 
2xdx
x2 −1∫ 
 
SOLUÇÃO 
Faça x2 – 1 = u e em seguida derive implicitamente, 2xdx = du. 
 
Agora, substituindo os novos valores na integral 
 
2x.dx
x2 −1∫ , obtemos: 
 
 
 
2xdx
x2 −1∫ =
du
u∫ = Ln |u | +C = Ln | x2 −1| +C 
 
 
 
 10 
12 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Nos exercícios a seguir, encontre a integral indefinida. 
 
 
a) 2(2x − 4)5 dx∫
b) 1
6x +1
dx∫
 
 
 
c) x
2
(x3 +1)2
dx∫
 
 
d) (x +1)(x − 2)9 dx∫
e) x 1+ x dx∫
 
 
f) (senx)10(cosx)dx∫
g) (cos2 x)∫ (senx)dx
h) (tgx)7(sec2 x)dx∫
i) (sec2 x)(tgx)dx∫
 
 
j) e2−5x dx∫
k) 1+ e
2x
ex
dx∫
l) x2e2x
3
dx∫
m) e
xdx
1+ ex∫
 
 
n) 32x dx∫
o) x210x
3
dx∫
 
 11 
 
p) x
2dx
x3 +1∫
q) x
2 + 2
x +1∫ dx
r) lnx
x
dx∫ 
 
s) 3e
2x
1+ e2x∫
dx
t) e2x
2−4x(x −1)∫ dx 
 
 
2. Calcule a integral indefinida. 
2
2
2
2
dxa) 
1 4x
dxb) 
x 25
dxc) 
9x 16
dxd) 
1 16x
−
+
+
−
∫
∫
∫
∫
 
 
2
2
2
dxe) 
4 (x 1)
dxf ) 
9 (3 x)
dxg) 
4x x 16
+ −
+ −
−
∫
∫
∫
 
 
4
xdxh) 
x 16+∫
 
2
dxi) 
2 5x−
∫ 
 
 12 
2
4
2
x
2x
3dxj) 
x x 9
xdxk) 
16 9x
dxl) 
x 16x 9
e dxm) 
7 e
−
−
−
+
∫
∫
∫
∫
 
 
2
senxdxn) 
2 cos x
dxo) 
(1 x) x
−
+
∫
∫
 
 
3. O valor da integral 
 
senx.cosx.dx∫ é: 
a) −cosx + c 
b) 
 
− 1
4
cos2x + c 
c) 
 
− 1
2
cosx + c 
d) 
 
+ 1
4
cosx + c 
e) 
 
+ 1
2
cos2x + c 
 
13 – GABARITO DE 12 
1. a) 
 
(2x − 4)6
6
+C b) 
 
6x +1
3
+C c) 
 
−1
3(x3 +1)
+C 
 d) 
 
(x − 2)11
11
+ 3(x − 2)
10
10
+C e) 
 
2
5
(1+ x)
5
2 − 2
3
(1+ x)
3
2 +C f) 
 
(senx)11
11
+C 
 g) 
 
−(cosx)3
3
+C h) 
 
(tgx)8
8
+C i) 
 
(tgx)2
2
+C 
 j) 
 
−1
5
.e2−5x +C k) −e
−x + ex +C l) 
 
1
6
.e2x
3
+C 
 m) Ln(1+ e
x)+C n) 
 
1
2ln3
.32x +C o) 
 
1
3ln10
.103x
2
+C 
 p) 
 
1
3
.Ln | x3 +1| +C q) 
 
(x +1)2
2
− 2(x +1)+ 3Ln | x +1| +C 
 r) 
 
(Lnx)2
2
+C s) 
 
3
2
.Ln(1+ e2x)+C t) 
 
1
4
.e2x
2−4x +C 
2. a) 
 
1
2
arcsen2x +C b) 
 
1
5
arctg x
5
+C c) 
 
1
12
arctg 3x
4
+C 
 d) 
 
1
4
arcsen4x +C e) 
 
1
2
arctg x −1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+C f) 
 
−1
3
arctg 3 − x
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+C 
 13 
 g) 
 
1
16
arcsec x
4
+C h) 
 
1
8
arctg x
2
4
+C 
 
i) 
 
1
5
.arcsen x 5
2
+C j) 
 
arcsec x
3
+C k) 
 
1
6
.arcsen 3x
2
4
+C l) 
 
1
3
.arcsec 4x
3
+C 
 
m) 
 
7
7
.arctg e
x
7
+C n) 
 
−arcsen cosx
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+C o) 2.arctg x +C 
 
03. b