Matemática Avançada - Atividade 3

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introdução
Introdução
MATEMÁTICA MATEMÁTICA 
AVANÇADAAVANÇADA
Me. Tal i ta Druziani Marchior i
I N I C I A R
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Uma das primeiras pessoas a formular as ideias de derivada foi Isaac Newton (1643-1727). Na
mesma época, porém com trabalhos independentes, Gottfried Leibniz (1646-1716) também
desenvolveu esta teoria. No decorrer dos anos, muitas aplicações das derivadas foram
descobertas. Tais aplicações não se restringem apenas à Física. Elas estão presentes em diversas
áreas como nas engenharias, Economia, Biologia, Administração, dentre outras. Por exemplo,
podemos utilizar derivadas na construção de uma casa para decidir qual planta maximiza a área de
cada cômodo desejado.
Esta unidade será dedicada para estudarmos os conceitos de derivada. Primeiro, vamos considerar
sua interpretação geométrica como a inclinação de uma reta tangente a uma curva. Uma função
que tenha uma derivada será denominada derivável. Também, no primeiro tópico desta unidade,
veremos a relação entre diferenciabilidade e continuidade.
Na maioria dos casos, o processo de calcular a derivada de uma função por meio da de�nição
torna-se lento. O segundo e o terceiro tópicos desta unidade serão dedicados para aprendermos
regras de diferenciação. Estas fórmulas tornam o cálculo das derivadas mais rápido. Finalizaremos
nosso estudo com derivadas de ordem superior.
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Muitos dos problemas importantes de cálculo envolvem a determinação da reta tangente a uma
curva dada em um determinado ponto dela. Se uma curva tiver uma equação e
quisermos encontrar a tangente a em que um ponto , consideramos um ponto
vizinho , onde , e calculamos a inclinação da reta secante :
Então fazemos aproximar-se de ao longo da curva ao obrigar tender a . Se tender
a um número , então de�nimos a tangente como reta que passa por e tem inclinação . Ou
seja:
De�nição 1.1: A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta por 
que tem a inclinação
desde que esse limite exista.
Exemplo 1.1: A equação é uma equação da reta tangente da parábola no
ponto .
Solução: Neste caso, e e , logo a inclinação é dada por
Usando a forma ponto-inclinação da reta, encontramos que uma equação da reta tangente em 
 é
A Reta Tangente e a DerivadaA Reta Tangente e a Derivada
C y = f (x)
C P (a,  f (a))
Q (x, f (x)) x ≠ a PQ
= .mPQ
f (x) − f (a)
x − a
Q P C x a mPQ
m t P m
y = f (x) P (a,  f (a)) P
m =  
f (x) − f (a)
x − a
y = 2x − 1 y = x2
P (1, 1)
a = 1 f (x) = x2
m = = =   = (x + 1) =  2  .
f (x) − f (1)
x − 1
− 1x2
x − 1
(x + 1) (x − 1)
x − 1
(1, 1)
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    ou    
A parábola e sua tangente estão representadas no grá�co a seguir.
Considerando
temos que
Logo, quando conveniente, podemos expressar a inclinação da reta tangente da De�nição 1.1
como
De�nição 1.2: A derivada de uma função em um número , denotada por , é
se o limite existir.
Se escrevermos então . Consequentemente, uma maneira equivalente de
enunciar a de�nição da derivada é
Exemplo 1.2: Seja .Calcule:
y − 1 = 2  (x − 1)
y = 2x − 1.
Figura 1.1 - Grá�co da função 
Fonte: Elaborada pela autora.
y = x2
h = x − a
x = a + h.
            m = .  
f (a + h) − f (a)
h
f a (a)f ′
(a) =  f ′
f (a + h) − f (a)
h
x = a + h h = x + a
(a) = .  f ′
f (x) − f (a)
x − a
f (x) = x2
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a. 
b. 
Solução:
a) Pela De�nição 1.2, na verdade, pela fórmula equivalente,
Assim, a derivada de , em , é igual a 2. Observe que o resultado deste item e do
Exemplo 1.1 coincidem.
b) Pela De�nição 1.2,
Como
segue que
Portanto, 
Observe que é uma fórmula que nos fornece a derivada de , em todo 
real.
Comparando as fórmulas apresentadas nas De�nições 1.1 e 1.2, observamos que a inclinação m da
reta tangente à curva no ponto é a mesma que a derivada de em . Então,
podemos dizer que: a reta tangente a em é a reta que passa em ,
cuja inclinação é igual a \)f'(a)\).
Se usarmos a forma ponto-inclinação da equação de uma reta, podemos escrever uma equação da
reta tangente à curva no ponto :
Exemplo 1.3: Encontre uma equação da reta tangente à parábola para qualquer real é 
. Portanto, a inclinação da reta tangente em é
Desta forma, uma equação da reta tangente é
(1)f ′
(x)f ′
(1) =   =   =   = (x + 1) =  2.f ′
f (x) − f (1)
x − 1
− 1x2
x − 1
(x + 1) (x − 1)
x − 1
f (x) = x2 a = 1
(x) =   =  .f ′
f (x + h) − f (x)
h
− x(x + h)2 2
h
= = = = 2x + h,       h ≠ 0,
− x(x + h)2 2
h
+ 2xh + h − xx2 2 2
h
2xh + h2
h
(2x + h) h
h
(x) =   =   (2x + h)   = 2x.f ′
f (x + h) − f (x)
h
(x) = 2x.f ′
(x) = 2x.f ′ f (x) = x2 x
y = f(x) P(a, f(a)) f a
y = f(x) (a, f(a)) (a, f(a))
y = f(x) (a, f(a))
y − f(a) = (a)(x − a).f ′
y = x2 x
(x) = 2xf ′ (3, 9)
(3) = 2.3 = 6.f ′
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ou
.
O processo de cálculo da derivada é chamado de derivação. Se uma função possui uma derivada
em , a função será derivável em . Isto é, a função é derivável em se existir. Uma
função será derivável em um intervalo aberto se ela for derivável em todo número no intervalo
aberto.
O seguinte teorema mostra como a continuidade e diferenciabilidade de uma função estão
relacionadas.
Teorema 1.1: Se for diferenciável em a, então é contínua em .
Então, se soubermos que uma função é derivável em um ponto , podemos a�rmar que é
contínua em . Ou seja, a continuidade é uma condição necessária para derivação. Mas como
veremos nas atividades, não é uma condição su�ciente.
Se usarmos a notação tradicional para indicar que a variável independente é enquanto
 é a variável dependente, então algumas notações alternativas para a derivada são:
y − (9) = 6(x − 3)
y = 6x − 9
a a f a (a)f ′
f f a
f a f
a
y = f(x) x
y
(x) = = = .f ′ y′
dy
dx
df
dx
reflitaRe�ita
Em matemática, a prova é um argumento válido que estabelece a verdade de sentenças matemáticas. Um
teorema é uma sentença que pode ser mostrada verdadeira.
Existem diversas formas de demonstrar que uma sentença é verdadeira. Por exemplo, na demonstração dreta
de uma sentença , assumimos que o antecedente é verdade e deduzimos o consequente . Já na
demonstração por absurdo, assumimos que q não ocorre e isso leva a uma contradição.
Como seria a prova do Teorema 1.1?
(Use a forma que achar mais apropriada. Caso não consiga, esta demonstração pode ser facilmente encontrada
no livro de cálculo, de James Stewart, indicado na dica de leitura abaixo).
p → q p q
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praticar
Vamos Praticar
Como sabemos, a derivada de uma função é de�nida como um limite. Utilizando o conteúdo aprendido
até aqui, analise cada alternativa abaixo e assinale a correta.
a) Se , o domínio de é maior que o domínio de .
b) Se , temos que .
c) A recíproca do Teorema 1.1 é válida, isto é, se é contínua em , então é diferenciável em .
d) A derivada de uma constante é zero.
e) Sendo é uma equação da reta tangente ao grá�co de no ponto 
f
f (x) = x + 1− −−−√ f ′ f
f (x) = − xx3 (x) = 3x − 1f ′
f a f a
f(x) = −7, y = x − 6 f
(−1, f(−1)).
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O processo de cálculo da derivada de uma função, através de um limite, em geral, torna-se difícil e
trabalhoso. A partir de agora, vamos conhecer algumas regras que nos possibilitam encontrar a
derivada sem usar diretamente a de�nição. Essas regras de derivação nos ajudam calcular com
relativa facilidade as derivadas de polinômios, funções racionais, funções algébricas, funções
exponenciais e logarítmicas, além de funções trigonométricas.
REGRA DA POTÊNCIA: Se for um número real qualquer, então]
 
Exemplo 1.4: Derive:
a. 
b. 
c. 
Solução: Em cada caso, reescrevemos a função como uma potência de .
a. .
b. 
c. 
Ao multiplicarmos uma função por uma constante, obtemos uma nova função. Também de�nimos
novas funções quando somamos ou subtraímos funções antigas. Para estas novas funções, temos
as seguintes regras de derivação.
Regras de derivaçãoRegras de derivação
n
( ) = n .
d
dx
xn xn−1
f (x) = x8
g (t) = 1
t2
y = x2
−−√3
x
(x) = ( ) = 8. = 8f ′ d
dx
x8 x8−1 x7
(t) = ( ) = −2 = −  .g ′ d
dt
t−2 t−3 2
t3
= ( ) = ( ) = .dy
dx
d
dx
x2
−−√3 d
dx
x
2
3 2
3 x
−1/3
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REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE: Se for constante e uma função derivável, então
Exemplo 1.5: Se , então
pois, no item b) do exemplo anterior vimos que 
REGRA DA SOMA: Se e forem ambas deriváveis, então
Esta regra pode ser aplicada a um número qualquer �nito de funções. Ou seja, a derivada da soma
de um número �nito de funções é igual à soma de suas derivadas, se elas existirem.
Exemplo 1.6: Encontre se 
Solução: Temos que
Mas,
e
Logo, .
O número e é um número tal que
Sua derivada é dada pela fórmula
c f
[cf (x)] = c f (x) .
d
dx
d
dx
h (x) = 5 1
x2
(x) = 5. ( ) = 5. (− ) = − ,h′ d
dx
1
t2
2
x3
10
x3
(t) = −  .g ′ 2
t3
f g
[f (x) + g (x)] = f (x) + g (x) .
d
dx
d
dx
d
dx
(x)f ′ f (x) = 7 − 2 + 8x + 5.x4 x3
(x) = (7 ) + (−2 ) + (8x) + (5) .f ′
d
dx
x4
d
dx
x3
d
dx
d
dx
(7 ) = 7 ( ) = 7. 4  = 28 ,
d
dx
x4
d
dx
x4 x3 x3
(−2 ) = ((−2) ) = −2 ( ) = −2.3 = −6 ,
d
dx
x3
d
dx
x3
d
dx
x3 x2 x2
(8x) = 8 (x) = 8. = 8.1 = 8
d
dx
d
dx
x0
(5) = 0.
d
dx
(x) = 28 − 6 + 8f ′ x3 x2
= 1 .
− 1eh
h
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Assim, a função exponencial tem como propriedade o fato de que sua derivada é ela
mesma. O signi�cado geométrico desse fato é que a inclinação da reta tangente à curva é
igual à coordenada do ponto.
Já a derivada das funções logarítmicas naturais (os logaritmos com base e) é dada pela fórmula
Exemplo 1.7: Determine a derivada de:
a. 
b. 
Solução: Usando a regra da soma
a. 
b. 
Abaixo, resumimos todas as fórmulas de derivação para funções trigonométricas:
, 
, 
, .
Exemplo 1.8: A derivada é .
praticar
Vamos Praticar
O cálculo da derivada de uma função pela de�nição pode ser trabalhoso por se tratar de um limite. Mas
existem regras de derivação que nos auxiliam a executar esses cálculos com mais facilidade. Com o auxílio
delas, assinale a alternativa correta.
a) A derivada da função é dada por 
b) é a derivada em relação a de 
( ) = .
d
dx
ex ex
f (x) = ex
y = ex
y
(lnln x ) = .
d
dx
1
x
f (x) = − xex
g (x) = 10 + lnln x 
(x) = ( ) − (x) = − 1.f ′ d
dx
ex d
dx
ex
(x) = (10) + (lnln x ) = 0 + = .g ′ d
dx
d
dx
1
x
1
x
(sinsin x ) = coscos x d
dx
(secsec x ) = secsec x d
dx
tantan x 
(coscos x ) = x d
dx
(csccsc x ) = −csccsc x d
dx
cotcot x 
(tantan x ) = x d
dx
(cotcot x ) = −x d
dx
y = 5sinsin x  + 2csccsc x = 5coscos x  − csccsc x y′ cotcot x 
f(x) = 186, 5 (x) = 0, 5.f ′
(y) = −3d
dx
t
2
5 x y = 5 .t−
3
5
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c) Se 
d) Considerando 
e) Se , temos que 
F (x) = $, $ (−1) = .( x)12
5
F ′ 532
g (x) = − 4xeh (x) = , (x) − (x) = 3 − 4 +   .x3 x5
−−√4 g ′ h′ x2 5
4
x4
g (u) =  u +    u2
–√ 3
–√ (u) = + .g ′ u
2√
u
3√
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Já comentamos algumas formas de obter uma nova função a partir das antigas funções. Novas
funções também podem ser formadas quando multiplicamos, dividimos ou compomos funções já
de�nidas. As fórmulas desta seção nos permitem derivar estas funções.
REGRA DO PRODUTO: Se e forem diferenciáveis, então
 
Em palavras: a derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira função
multiplicada pela segunda função mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda
função.
Exemplo 1.9: Se , encontre .
Solução: Pela regra do produto, temos
Mas,
     e      
então
A regra do produto, regra do quociente eA regra do produto, regra do quociente e
regra da cadeiaregra da cadeia
f g
= (x) g (x) + f (x) (x)  [(f .  g)   (x)]′ f ′ g ′
f (x) = xex (x)f ′
(x) = ( x) = ( )  x +   (x) .f ′
d
dx
ex
d
dx
ex ex
d
dx
( ) =
d
dx
ex ex
(x) = 1,
d
dx
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Logo, 
Exemplo 1.10: Sendo , onde , encontre .
Solução: Pela regra do produto, obtemos
Como
temos que,
REGRA DO QUOCIENTE: Se e forem deriváveis, então
Em palavras: a derivada de um quociente de duas funções é igual à derivada do numerador
multiplicada pelo denominador menos o numerador multiplicado pela derivada do denominador
sobre o quadrado do denominador.
Exemplo 1.11: Calcule onde 
Solução: Pela regra do quociente,
Mas,
e
Assim,
(x) = x + .1 = (x + 1) .f ′ ex ex ex
(x) =   (x + 1) .f ′ ex
g (x) = h (x) 1
x
h(4) = (4) = 4h′ (4)g ′
(x) = (x) . + h (x) .g ′ h′
1
x
( )1
x
′
= = −( )1
x
′
( )x−1
′ 1
x2
(4) = (4) . − h (4) = 1 − 2 = −1.g ′ h′
1
4
1
16
f g
$ = $[ ]f (x)
g (x)
′ (x) g (x)   −  f (x) (x)  f ′ g ′
[g (x)] 2
(x)f ′ f (x) = .2x+3
+1x2
(x) = [ ] =f ′ d
dx
2x + 3
+ 1x2
[2x + 3] ( + 1) − (2x + 3) [ + 1]  d
dx
x2 d
dx
x2
( + 1)x2 2
[2x + 3] = [2x] + [3] = 2 + 0 = 2
d
dx
d
dx
d
dx
e [ + 1] = [ ] + [1] = 2x + 0 = 2x.
d
dx
x2
d
dx
x2
d
dx
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Exemplo 1.12: Sendo e , determine 
Solução: Pela regra do quociente,
Como
      e      
Agora, imagine que precisamos derivar a função
As fórmulas de derivação aprendidas até aqui não permitem que calculemos 
Esta função é uma função composta pois, considerando e                
, podemos escrever
Por outro lado, sabemos como derivar e , então seria útil ter uma regra que nos dissesse como
achar a derivada de em termos das derivadas de e .
REGRA DA CADEIA: se for derivável em e for derivável em , então a função composta 
, de�nida por será derivável em e será dada pelo produto
Ou, em outra notação, se e forem funções deriváveis, então
Esta regra é uma das mais importantes regras de derivação.
Exemplo 1.13: Encontre se 
(x) = = .f ′
2 ( + 1) − (2x + 3) 2x x2
( + 1)x2 2
−2 − 6x + 2x2
( + 1)x2 2
f (x) = 2 +x3 ex g (x) = − 4x + 1x2 .[ ]f(x)
g(x)
′
= .[ ]f (x)
g (x)
′
(x) g (x) − f (x) (x)f ′ g ′
[g (x)] 2
(x) = 2.3 + = 6 +f ′ x2 ex x2 ex (x) = 2x − 4,g ′
=[ ]
f (x)
g (x)
′
(6 + ) ( − 4x + 1) − (2 + ) (2x + 4)x2 ex x2 x3 ex
[ − 4x + 1]x2 2
= .
2 − 32 + 6 + ( + 2x + 5)x4 x3 x2 ex x2
[ − 4x + 1]x2 2
h (x) = sinsin  ( + 1)  .x2
(x).h′
h y = f (u) = sinsin u 
u = g (x) = + 1x2
y = h (x) = f (g (x)) .
f g
h = f ∘ g f g
g x f g(x)
h = f ∘ g h(x) = f(g(x)) x h′
(x) = (g(x)). (x).h′ f ′ g ′
y = f(u) u = g(x)
=   .
dy
dx
dy
du
du
dx
(x)h′ h (x) = sinsin  ( + 1)  .x2
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Solução: Como vimos acima, , onde  e    
 Uma vez que
       e       
temos
=
Exemplo 1.14: Derive as funções abaixo.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
Solução:
a) Considere e . Pela regra da cadeira,
Como
 e ,
resulta
b) Denote , onde 
Assim 
Porém,
   e    
onde
Ou seja,
h(x) = (f ∘ g)(x) = f(g(x)) f(u) = sin sin u
g(x) = + 1.x2
(u) = cos cos u f ′ (x) = 2xg ′
(x) = (g (x))  . (x)h′ f ′ g ′   = 2x coscos  ( + 1) .x2
y = e3x
f (x) = (3 + 1)x2 3
z (s) = lnln  ( + 3)  s2
g (t) = ( )t−22t+1
9
y = (2x + 1)5( − x + 1)x3
4
F (t) = ecoscos t 
y = eu u = 3x
=   .
dy
dx
dy
du
du
dx
=dy
du
eu fracdudx = 3
=  .   3 = 3 .
dy
dx
eu e3x
f (x) = u3 u = 3 + 1.x2
(x) = [ ]    .f ′ d
du
u3 du
dx
[ ] = 3udu
dx
u3 2 = 6xdu
dx
(x) = 3 .  6x = 3  6x .f ′ u2 (3 + 1)x2
2
(x) = 18x .f ′ (3 + 1)x2
2
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c) A função é uma função composta, pois, considerando e           
, podemos escrever . Consequentemente, pela regra da cadeia
Mas, sabemos que
     e     ,
então
d) Combinando a regra potência, da cadeia e do quociente, obtemos
 
e) Neste exemplo, devemos usar a regra do produto antes de usar a regra da cadeia. Temos que:
                         
f) Considere e . Então, pela regra da cadeia,
z f (u) = lnln u 
g  (s) = + 3s2 z (s) = f (g (s))
(s) = (g (s)) (s) .z ′ f ′ g ′
(u) =f ′ 1
u
(s) = 2xg ′
(s) =  2s =  .z ′
1
u
2s
+ 3s2
       (t) = 9    ( )g ′ ( )t − 2
2t + 1
8
d
dt
t − 2
2t + 1
                                     = 9   ( )t − 2
2t + 1
8 1  (2t + 1) − (t − 2) 2
(2t + 1)2
=   .
45(t − 2)8
(2t + 1) 2
            = +  
dy
dx
d
dx
(2x + 1)5( − x + 1)x3
4
(2x + 1)5
d
dx
( − x + 1)x3
4
                                   = 5 (2x + 1)  (2x + 1)4
d
dx
( − x + 1)x3
4
                          +   4 ( − x + 1)(2x + 1)5 ( − x + 1)x3
3 d
dx
x3
                                  = 5  2  + 4   (3 − 1)(2x + 1)4 ( − x + 1)x3
4
(2x + 1)5 ( − x + 1)x3
3
x2
                                  = 10   + $4   (3 − 1)(2x + 1)4 ( − x + 1)x3
4
(2x + 1)5 ( − x + 1)x3
3
x2
= 2 (17 + 6 − 9x + 3) .(2x + 1)4( − x + 1)x3
3
x3 x2
g(t) = cos cos t f (t) = et
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De
 e ,
concluímos que
praticar
Vamos Praticar
Quando multiplicamos, dividimos ou compomos funções, obtemos novas funções a partir de funções
antigas. Para estas novas funções, existem regras de derivação que ajudam a realizar seu cálculo.
Utilizando a regra apropriada  para cada item abaixo, assinale a alternativa correta.
a) Diferenciando obtemos 
b) Sendo , temos que .
c) Derivando obtemos 
d) Se temos que 
e) Diferenciando obtemos 
(t) = (g (t)) (t) .F ′ f ′ g ′
(t) =f ′ et (t) = −sinsin t g ′
(t) =   −   sinsin t.  F ′ ecoscos t 
y = ln  ( + 1)  x3 = .y ′ 3x
2
+1x3
f (x) = 1
+x+1x2√3
(x) =f ′ − 13 ( + x + 1)x
2 −
4
3
y = esinsin x  = −cos cos x .y ′ esinsin x 
h (x) = ,  ( )2
x−1
5
(x) = − .h′ 160
(x−1)4
g (x) = x
3
3 −1x2√3
(x) = .g ′
(3 −1)x2 x2
(3 −1)x2 2/3
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Se a função for derivável, então , que também é uma função, será chamada a derivada
primeira de . Logo, poderia ter sua própria derivada. Se a derivada de existir, ela será
chamada de derivada segunda de , ou de função derivada segunda e poderá ser denotada por 
(lemos f duas linhas). Como é uma função, também podemos derivá-la. A derivada terceira de f,
ou a função derivada terceira, é de�nida como a derivada de se ela existir. A derivada terceira
de é denotada por (lemos f três linhas).
Seguindo este pensamento, a derivada enésima da função , onde é um número inteiro positivo
maior do que 1, é a derivada primeira da derivada (n-1)ésima de . Denotamos a derivada enésima
de por . Assim se for a derivada enésima da função, podemos escrever como
sendo .
Gra�camente, podemos interpretar como a inclinação da curva no ponto 
. Em outras palavras, é a taxa de variação da inclinação da curva original . Já a
derivada terceira é a derivada da derivada segunda: . Logo pode ser
interpretada como a inclinação da curva 
Exemplo 1.15: Ache todas as derivadas da função de�nidas por
[f\left( x \right)=8{{x}^{4}}+5{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+7.\]
;
Exemplo 1.16: Encontre a 27ª derivada de 
Derivadas de ordem superiorDerivadas de ordem superior
f f ′
f f ′ f ′
f f ′′
f ′′
f ′′
f f ′′′
f n
f
f f((n)) f((n)) f
f((0))
(x)f ′′ y = (x)f ′
x,f^' (x) y = f(x)
f ′′′ = ( )f ′′′ f ′′ (x)f ′′′
y = (x).f ′′
f
(x) = 96 + 30x − 2;f ′′ x2
(x) = 192x + 30f ′′′
(x) = 192;f (4)
(x) = 0;f (5)
cos cos x .
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Solução: Note que se 
Ou seja, as derivadas sucessivas possuem um ciclo de período 4. Então não precisamos calcular as
27 derivadas para responder ao exemplo.
Como, temos 
Exemplo 1.17: Se encontre 
Solução: Usando a regra do produto, temos que
Logo, pela regra da soma e do produto
y = coscos x  :
= −sinsin x ,    = −coscos x ,       = sinsin x ,     = coscos x ,     = −sinsin x y′ y′′ y′′′ y(4) y(5)
= y = coscos x y(24) = = sinsin x .y(27) y′′′
f (x) = xcoscos x ,   (x) .f ′′
(x) = −xsinsin x + coscos x.   f ′
(x) = −sinsin x − xcoscos x − sinsin x = −2sinsin x − xcoscos x.      f ′′
saiba mais
Saiba mais
Em geral, podemos interpretar uma derivada segunda como uma taxa de variação. O exemplo mais
conhecido disso é a aceleração que de�nimos a seguir.
Se é a função posição de um objeto que se move ao longo de uma linha reta, sabemos que sua
primeira derivada representa a velocidade do objeto como uma função do tempo: 
.
A taxa de variação instantânea da velocidade em relação ao tempo é denominada aceleração do
objeto. Assim, .
Por exemplo, se a posição de uma partícula é dada pela equação
onde t é medido em segundos e s, em metros, a aceleração no instante é dada por
Fonte: Stewart (2006).
Para saber mais, acesse. 
Acesso em: 17 ago. 2019.
ACESSAR
s = s (t)
v (t)
v (t) = (t) =s′ ds
dt
a (t)
a (t) = (t) = (t)v′ s′′
s = f (t) = − 6 + 9t,t3 t2
t
a (t) = (t) = 6t − 12.s′′
http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo1/modulo5/topico5.php
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praticar
Vamos Praticar
Como a derivada de uma função f é uma função, podemos derivá-la. Seguindo este raciocínio, podemos
derivar n vezes uma função, caso as derivadas existam. Calcule as derivadas indicadas e assinale a
alternativa correta.
a) Sendo , temos que .
b) A função é a derivada terceira da função 
c) Sabendo que temos que 
d)Sendo obtemos que 
e) Se , a décima derivada de em relação a é 
y = 3 − 6x + 2x3 = 9xy ′′
f (t) = 6t g (t) = t .3
g (s) = ,1
s
(x) = −5 .f (5) x−6
f (x) = xsinsin x ,    (x) = −2sinsin x +  xcoscos x .f ′′
h (x) = ex h  x    .ex
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indicações
Material Complementar
LIVRO
Cálculo
James Stewart
Editora: Cengage Learning
ISBN: 8522112584
Comentário: Este livro traz os conceitos do cálculo diferencial e
integral de forma rígida, mas também contém muitos exemplos e
aplicações, proporcionando clareza e motivação para os leitores e
estudantes.
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FILME
Uma Mente Brilhante
Ano: 2001
 Comentário: Este �lme conta a história de um matemático, John Nash,
que enfrentou os efeitosda esquizofrenia para estudar conceitos da
Economia. John venceu o prêmio Nobel por criar a Teoria dos Jogos.
Para conhecer mais sobre o �lme, assista ao trailer.
T R A I L E R
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conclusão
Conclusão
Dedicamos esta unidade para o estudo dos conceitos de derivada. Iniciamos de�nindo a reta
tangente de uma curva e a derivada de uma função em um ponto. Relacionamos os conceitos e
interpretamos a derivada como a inclinação de uma reta tangente a uma curva. Finalizamos o
primeiro tópico discutindo que a continuidade é uma condição necessária para derivação, mas não
su�ciente.
Pudemos perceber que, quase sempre, o processo de calcular a derivada de uma função por
de�nição é demorado. Então, aprendemos regras de diferenciação que auxiliam a agilizar esses
cálculos. Como vimos, se é uma função, sua derivada é também uma função. Logo   poderia
ter sua própria derivada. O mesmo raciocínio se aplica para e assim por diante. Isto �nalizou
nossos estudos, as derivadas de ordem superior.
f f ′ f ′
f ′′
referências
Referências Bibliográ�cas
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2001. v. 1.
LEITHOULD, L. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Cálculo: funções de uma e várias variáveis. 2. ed. São
Paulo: Saraiva, 2010. [Disponível na Biblioteca Virtual].
SILVA, L. M. O.; MACHADO, M. A. S. Matemática aplicada à administração, economia e
contabilidade: funções de uma e mais variáveis.1. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2006. v. 1.
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