Lógica Matemática: Tautologias, Contradições e Contingências

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LÓGICA MATEMÁTICA
TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS
Rafael D. Ribeiro, M.Sc.
rafaeldiasribeiro@gmail.com
http://www.rafaeldiasribeiro.com.br
Autora:
Prof. Dra. Denise Candal
AULA 1
DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição: Chama-se tautologiatautologiatautologiatautologia toda 
proposição composta em cuja última 
coluna da sua tabela verdade só aparece a 
letra V. 
Em outras palavras, tautologiatautologiatautologiatautologia é toda 
proposição composta P(p,q,r,s,...) cujo 
valor lógicovalor lógicovalor lógicovalor lógico é sempre verdadeverdadeverdadeverdade, quaisquer 
que sejam os valores lógicos das 
proposições simples componentes 
(p,q,r,s,...).
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AULA 1
p ∨ ~p
p ~p p ∨∨∨∨ ~p
V F
F V
AULA 1
p ∨ ~p
p ~p p ∨∨∨∨ ~p
V F V
F V V
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AULA 1
Definição:Definição:Definição:Definição: Chama-se contradiçãocontradiçãocontradiçãocontradição toda 
proposição composta em cuja última 
coluna da sua tabela verdade só aparece 
a letra F. Em outras palavras, contradiçãocontradiçãocontradiçãocontradição
é toda proposição composta P(p,q,r,s,...) 
cujo valor lógicovalor lógicovalor lógicovalor lógico é sempre falsofalsofalsofalso, 
quaisquer que sejam os valores lógicos 
das proposições simples componentes 
(p,q,r,s,...). 
AULA 1
p ∧ ~p
p ~p p ∧∧∧∧ ~p
V F
F V
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AULA 1
p ∧ ~p
p ~p p ∧∧∧∧ ~p
V F F
F V F
AULA 1
Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), 
a negação da tautologia é sempre falsa (F), ou 
seja, é uma contradição e vice versa.
p ~p p ∨∨∨∨ ~p ~(p ∨∨∨∨ ~p)
V F V
F V V
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AULA 1
Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), 
a negação da tautologia é sempre falsa (F), ou 
seja, é uma contradição e vice versa.
p ~p p ∨∨∨∨ ~p ~(p ∨∨∨∨ ~p)
V F V F
F V V F
AULA 1
DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição: Chama-se contingênciacontingênciacontingênciacontingência toda 
proposição composta em cuja última 
coluna da sua tabela verdade aparecem 
os valores V e F cada uma pelo menos 
uma vez . 
Em outras palavras, contingênciacontingênciacontingênciacontingência é toda 
proposição composta que não é 
tautologia nem contradição.
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AULA 1
p → q
p q p → q
V V
V F
F V
F F
AULA 1
p → q
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
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AULA 1
~(p ∧ ~p)
p ~p p ∧∧∧∧ ~p ~(p ∧∧∧∧ ~p)
V F
F V
AULA 1
~(p ∧ ~p)
Tautologia
p ~p p ∧∧∧∧ ~p ~(p ∧∧∧∧ ~p)
V F F V
F V F V
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AULA 1
p∨ ~(p ∧ q)
p q p ∧∧∧∧ q ~(p ∧∧∧∧ q) p∨	∨	∨	∨	~(p ∧∧∧∧ q)
V V
V F
F V
F F
AULA 1
p∨ ~(p ∧ q)
p q p ∧∧∧∧ q ~(p ∧∧∧∧ q) p∨	∨	∨	∨	~(p ∧∧∧∧ q)
V V
V F
F V
F F
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AULA 1
p∨ ~(p ∧ q)
p q p ∧∧∧∧ q ~(p ∧∧∧∧ q) p∨	∨	∨	∨	~(p ∧∧∧∧ q)
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V
Tautologia
AULA 1
)( qpqp ↔→∧
p q p ∧∧∧∧ q p ↔q p ∧∧∧∧ q→(→(→(→(p ↔q)
V V
V F
F V
F F
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AULA 1
)( qpqp ↔→∧
p q p ∧∧∧∧ q p ↔q p ∧∧∧∧ q→(→(→(→(p ↔q)
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F V V
Tautologia
AULA 1
p q p ∧∧∧∧ q p ∨∨∨∨q ~(p∨∨∨∨q) (p ∧∧∧∧ q)∧∧∧∧ ~(p∨∨∨∨q)
V V
V F
F V
F F
)(~)( qpqp ∨∧∧
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AULA 1
p q p ∧∧∧∧ q p ∨∨∨∨q ~(p∨∨∨∨q) (p ∧∧∧∧ q)∧∧∧∧ ~(p∨∨∨∨q)
V V V V F F
V F F V F F
F V F V F F
F F F F V F
)(~)( qpqp ∨∧∧
Contradição
AULA 1
p q p ∨∨∨∨ q p∧∧∧∧ q p∨∨∨∨q→	→	→	→	p∧∧∧∧ q
V V
V F
F V
F F
qpqp ∧→∨
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AULA 1
p q p ∨∨∨∨ q p∧∧∧∧ q p∨∨∨∨q→	→	→	→	p∧∧∧∧ q
V V V V V
V F V F F
F V V F F
F F F F V
qpqp ∧→∨
Contingência
AULA 1
p q ~ q p∧∧∧∧ ~q ~p ~p∧∧∧∧((((p∧∧∧∧ ~q)
V V
V F
F V
F F
)~(~ qpp ∧∧
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AULA 1
p q ~ q p∧∧∧∧ ~q ~p ~p∧∧∧∧((((p∧∧∧∧ ~q)
V V F F F F
V F V V F F
F V F F V F
F F V F V F
)~(~ qpp ∧∧
Contradição
AULA 1
p ~p p↔~p
V
V
F
F
pp ~↔
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AULA 1
p ~p p↔~p
V F F
V F F
F V F
F V F
pp ~↔
Contradição
AULA 1
p q q→p p→q (q→p) →(p→q)
V V
V F
F V
F F
)()( qppq →→→
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AULA 1
p q q→p p→q (q→p) →(p→q)
V V V V V
V F V F F
F V F V V
F F V V V
)()( qppq →→→
Contingência
AULA 1
p q ~q q∧∧∧∧~q p∨∨∨∨(q∧∧∧∧~q) p∨∨∨∨(q∧∧∧∧~q)↔p
V V
V F
F V
F F
pqqp ↔∧∨ )~(
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AULA 1
p q ~q q∧∧∧∧~q p∨∨∨∨(q∧∧∧∧~q) p∨∨∨∨(q∧∧∧∧~q)↔p
V V F F V V
V F V F V V
F V F F F V
F F V F F V
pqqp ↔∧∨ )~(
Tautologia