resolução exercícios cap 1 Oppemheim

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1.3 – e dos sinais ................................................................................................................ 2 
A- ................................................................................................................................................. 2 
C – ................................................................................................................................................ 3 
D – ............................................................................................................................................... 3 
E – ................................................................................................................................................ 3 
1.4 – ................................................................................................................................................. 4 
A – ................................................................................................................................................ 4 
1.5 – ................................................................................................................................................. 4 
D – ............................................................................................................................................... 4 
1.6 – ................................................................................................................................................. 4 
A – ................................................................................................................................................ 4 
B- ................................................................................................................................................. 4 
C – ................................................................................................................................................ 4 
1.8 – ................................................................................................................................................. 4 
D – ............................................................................................................................................... 4 
1.9 – ................................................................................................................................................. 5 
D – ............................................................................................................................................... 5 
1.10 – ............................................................................................................................................... 5 
1.11 – ............................................................................................................................................... 5 
1.16 – ............................................................................................................................................... 6 
A – ................................................................................................................................................ 6 
B – ................................................................................................................................................ 6 
C – ................................................................................................................................................ 6 
1.19 – ............................................................................................................................................... 6 
A- ................................................................................................................................................. 6 
B – ................................................................................................................................................ 6 
1.20 – ............................................................................................................................................... 7 
A – ................................................................................................................................................ 7 
B – ................................................................................................................................................ 7 
1.21 – ............................................................................................................................................... 7 
1.22 – ............................................................................................................................................... 8 
1.23 – ............................................................................................................................................... 8 
1.31 – ............................................................................................................................................... 9 
A – ................................................................................................................................................ 9 
B – ................................................................................................................................................ 9 
1.48 – ............................................................................................................................................... 9 
1.49 – ............................................................................................................................................... 9 
1.51 – ............................................................................................................................................. 10 
A – .............................................................................................................................................. 10 
B – .............................................................................................................................................. 10 
1.52 – ............................................................................................................................................. 10 
A- ................................................................................................................................................... 10 
C- ............................................................................................................................................... 10 
G – ............................................................................................................................................. 11 
1.54 – ............................................................................................................................................. 11 
1.55 – ............................................................................................................................................. 11 
A – .............................................................................................................................................. 11 
B – .............................................................................................................................................. 11 
E – .............................................................................................................................................. 11 
1.56 – ............................................................................................................................................. 11 
A – .............................................................................................................................................. 11 
D – .............................................................................................................................................11 
E – .............................................................................................................................................. 11 
 
1.3 – e dos sinais 
A- 
 ( ) 
 ( ) 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pois 
C – 
 ( ) ( ) 
 ∫ 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
∫
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(∫
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
)
 
 
 
A integral de uma senóide em um período é sempre zero, pois a parte positiva da senóide anula a 
parte negativa. 
 
 
 
 
(∫
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
D – 
 [ ] (
 
 
)
 
 [ ] 
 ∑(
 
 
)
 
 
 
Usando a equação da soma dos termos de um progressão geométrica 
∑ 
 
 
 
 para 
 
 
 
 
 
E – 
 [ ] 
 (
 
 
 
 ) 
 ∑ [ ] 
 
 
 
 
Pois o módulo da exponencial complexa é sempre igual a 1, logo o somatório é infinito. 
 
 
 
 
∑ [ ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
1.4 – 
A – 
O sinal [ ] equivale a descolar o sinal original de e unidades para a direita. Logo os intervalos 
também são deslocados pelo mesmo valor. Então: 
 [ ] 
 
1.5 – 
D – 
 (
 
 
) é obtido “alongando” o sinal ( ) por um fator de 3. Logo, (
 
 
) será zero para 
1.6 – 
A – 
 ( ) não é periódico, pois possui valor zero para 
B- 
 [ ] logo a função é periódica com período 1. 
C – 
 [ ] é mostrado na figura abaixo. De acordo com o figura a abaixo, o sinal é periódico com 
período fundamental de 4. 
 
1.8 – 
D – 
 ( ) pode ser reescrito como: 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ( ) 
( ) 
 
 
 ( ) 
 ( 
 
 ) 
 ( ) 
 ( ( 
 
 
) ( 
 
 
)) 
Assim: 
 { ( )} 
 ( 
 
 
) ( ) ( 
 
 
) 
1.9 – 
D – 
Usando e quação 1.58 do livro-texto (
 
 
) 
 [ ] 
 ( 
 
 )
 
 
 
1.10 – 
 Período do primeiro termo: 
 
 
 
 
 
 
 Período do segundo termo: 
 
 
 
 
 
 
 O sinal ( ) é periódico com período igual ao mínimo múltiplo comum dos dois períodos. 
Logo o período é igual a . 
1.11 – 
 O período do primeiro termo é 1 
 O período do segundo termo é: 
 
(
 
 
)
 (quando m=2) 
 O período do terceiro termo é : 
 
(
 
 
)
 (quando m=1) 
O sinal ( ) é periódico com período igual ao mínimo múltiplo comum dos três períodos. 
Logo o período é igual a . 
1.16 – 
A – 
 O sistema não é sem memória, pois ele depende de valores passados de [ ], que nesse 
caso é representado pelo termo [ ] na equação. 
B – 
 [ ] [ ] [ ] 
C – 
 Para o caso do item B a saída é sempre zero, esse caso prova que o sistema não é 
invertível. 
1.19 – 
A- 
Linearidade: considere duas entradas ( ), ( ) e ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ( ) ( )) ( ) ( ) 
Logo o sistema é linear. 
Invariância no tempo: considere as duas entradas ( ) e ( ) ( ). 
 ( ) 
 ( ( ) ) 
 ( ) ( ) ( ) 
Logo o sistema não é invariante no tempo. 
B – 
Linearidade: 
 [ ] [ ] 
 [ ] 
 [ ] [ ] 
 [ ] 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 [ ] 
 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 
Logo o sistema é não-linear. 
Invariância no tempo: 
 [ ] [ ] 
 [ ] 
 [ ] [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] 
 [ ] [ ] 
Logo o sistema é invariante no tempo. 
1.20 – 
A – 
 ( ) pode ser reescrito como: ( ) 
 
 
 
Como o sistema é linear e ( ) é uma combinação linear das entradas 
 e , a saída 
também será uma combinação linear das saídas. 
 ( ) 
 
 
 
Reescrevendo a equação acima: 
 ( ) ( ) ( ) 
B – 
 ( ) ( ( 
 
 
)) 
( )
 
 
Usando a propriedade de linearidade: 
 ( ) 
( )
 
 ( ) 
( )
 
 ( ) 
1.21 – 
 
1.22 – 
 
1.23 – 
 
1.31 – 
A – 
Note que ( ) ( ) ( ). Dessa forma, usando linearidade temos 
 ( ) ( ) ( ) 
B – 
Note que ( ) ( ) ( ). Dessa forma, usando linearidade temos 
 ( ) ( ) ( ) 
 
1.48 – 
Temos que: 
 ( ) ( ) 
 
1.49 – 
A – 
 √ ( ) 
 
 
 ( ) 
√ 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
1.51 – 
A – 
Usado as relações de Euler: 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
Somando as duas acima 
 ( ) 
 
 
 
B – 
Subtraindo as duas equações da relação de Euler. 
 ( ) 
 
 
 
1.52 – 
A- 
 
C- 
 { } 
G – 
(
 
 
)
 
 (
 
 
 
)
 
 (
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.54 – 
1.55 – 
A – 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B – 
∑(
 
 
)
 
 
 
 
 
 (
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E – 
∑ (
 
 
) 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
1.56 – 
A – 
∫ 
 
 (
 
 
 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
D – 
∫ ( ) (
 ( ) 
 ( )
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E –