lista 01 - sinais - solucao e respostas

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Universidade Federal da Grande Dourados
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia
Curso de Bacharelado em Engenharia de Computação
1) (1.3) Determine os valores de P∞ e E∞ para cada um dos seguintes sinais:
a) E∞=∫
0
∞
e−4 t dt=
1
4
, P∞=0, pois E∞<∞
b) 
x3=cos (t)
E∞=∫
−∞
∞
|x3(t)|
2
dt=∫
−∞
∞
|cos2(t)|dt=∞ ,
P∞=lim
T →∞
1
2T
∫
−T
T
cos2(t)dt=lim
T →∞
1
2T
∫
−T
T
1+cos(2 t)
2
dt=
1
2
c) 
x1[n]=(12 )
n
u [n]
|x1[n]|
2
=(14 )
n
u[n]
E∞= ∑
n=−∞
∞
|x1[n ]|
2
=∑
n=0
∞
(14 )
n
=
4
3
P∞=0, porque E∞<∞
d) 
x2[n]=e
j (πn2 +
π
8 )
|x2[n]|
2
=1, pois E∞= ∑
n=−∞
∞
|x2[n]|
2
=∞ ,
P∞= lim
N →∞
1
2N+1
∑
n=−N
N
|x2[n ]|
2
P∞= lim
N →∞
1
2N+1
∑
n=−N
N
1=1
2) (1.4) Suponhamos que x[n] seja um sinal com x[n]=0 para n < -2 e n>4. Para cada um dos sinais 
dados a seguir, determine os valores de n para os quais os sinais são garantidamente iguais a zero.
a) O sinal x[n] é deslocado por 3 unidades para a direita. O sinal deslocado será zero para n < 1 e 
n > 7.
b) O sinal x[n] é deslocado por 4 para a esquerda, O sinal será zero para x < -6 e n > 0.
c) O sinal x[n] é espelhado, O sinal espelhado será zero para n < -4 e n > 2.
d) O sinal x[n]será espelhado e o sinal espelhado é deslocado por 2 para a direita. Este novo sinal 
será zero para n < -2 e n > 4. .
e) O sinal x[n] é espelhado e o sinal espelhado é deslocado por 2 para a esquerda. Este novo sinal 
será zero para n < -6 e n > 0.
3) (1.5) Para cada um dos sinais x(t) seja um sinal com x(t) = 0 para t<3. Para os sinais dados a seguir, 
determine os valores de t para os quais eles são garantidamente iguais a zero.
a) x(3t) é obtido linearmente pela compressão de x(t) por um fator de 3. Portanto, x(3t) será zero para 
t < 1.
b) x(t/3) é obtido linearmente pela extensão de x(t) por um fator de 3. Portanto, x(t/3) será zero para t 
< 9.
4) (1.6) Determine se cada um dos sinais a seguir é ou não periódico.
a) x1(t) não é periódico porque não é nulo para t<0.
b) x2[n] = 1 para todo n e por este motivo é periódico com período fundamental 1.
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c) é periódico com T=4.
5) (1.8d) Expresse a parte real do sinal a seguir na forma Ae-atcos(ωt+φ), se A, a, ω e φ números reais 
com A>0 e -π<φ≤π. 
x(t) = j e(-2+j100) t
Re{x(t)} = -e-2t sen(100t) = e-2t sen(100t+π) = e-2t cos(100t + π/2) 
6) (1.9) Determine se cada um dos sinais é ou não é periódico. Se um sinal for periódico, especifique seu 
periódico fundamental.
a) x4[n]=3e
j 3π(n+1 /2)/5 
é um sinal periódico. O período fundamental é dado por N=m( 2π3π /5 )=m(
10
3 ) . Pela escolha 
de m=3, obtemos o período fundamental de 10.
b) x5[n ]=3e
j 3 /5 (n+1/2)
Não é periódico, x5 é uma exponencial complexa com ω0=3/5 . Não podemos achar um inteiro 
m tal que m (2πω0 ) é também inteiro. Portanto x5 não é periódico.
7) (1.10) Determine o período fundamental do sinal:
x (t)=2 cos (10 t+1)−sen(4 t−1)
O período fundamental do primeiro termo é 2π/10=π/5
O período fundamental do segundo termo é 2π/4=π/2 .
O sinal todo é periódico com um período que o menor múltiplo comum dos períodos do primeiro 
e segundo termos, que é π .
8) (1.11) Determine o período fundamental do sinal.
x [n]=1+e4 πn /7−e2πn /5
O período do primeiro termo é 1. O do segundo termo, m (2πω0 )=m(
2π
4 π/7 )=7, param=2. O 
terceiro termo tem período m (2πω0 )=m(
2π
2π/5 )=5, param=1.
O menor período que é múltiplo comum dos tres sinais é 35. Logo este é o período para este sinal.
9) (1.16) Considere um sistema de tempo discreto com entrada x[n] e saída y[n]. A relação entrada saída 
deste sistema é:
y[n] = x[n] x[n-2]
a) O sistema é sem memória? 
O sistema não é sem memória porque y[n] depende dos valores passados de x[n].
b) Determine a saída do sistema quando a entrada for A δ[n] , em que A é um número complexo 
ou real qualquer.
A saída do sistema será y [n]=δ[n]δ[n−2]=0 .
c) O sistema é invertível?
Do resultado do item b), podemos concluir que a saída do sistema é sempre zero para entradas da 
forma δ[n−k ] . Portanto o sistema não é invertível.
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10) (1.17) Considere um sistema de tempo contínuo com entrada x(t) e saída y(t) relacionado por
y (t)=x(sen (t))
a) O sistema é causal?
O sistema não causal porque a saída y(t) em algum tempo depende dos valores futuros de x(t). 
Pense com y (−π)=x (0) .
b) O sistema é linear?
Considere dois sinais de entradas x1 e x2, as saídas serão:
y1(t )=x1(sen(t ))
y2(t )=x2(sen(t ))
Se o sistema é linear a combinação linear é algo esperado. Vejamos:
x3(t)=ax1(t)+b x2(t)
A saída será:
y3(t)=x3(sen( t))
y3(t)=a x1(sen( t))+b x2(sen(t ))
y3(t)=a y1(t)+b y2(t)
Como uma entrada x3(t)=a x1(t)+b x2(t) produz uma saída y3(t)=a y1(t)+b y2(t) , temos 
um sistema linear.
11) (1.19) Para cada uma das relações de entrada e saída a seguir, determine se o sistema correspondente 
é linear, invariante no tempo ou ambos.
a) y (t)=t2 x (t−1)
Verificação da linearidade.
Considerando duas entradas x1 e x2:
y1(t)=t
2 x1(t−1)
y2(t)=t
2 x2(t−1)
Se o sistema é linear a combinação linear é algo esperado. Vejamos:
x3(t)=a x1(t)+b x2(t)
A saída será:
y3(t)=t
2 x3(t−1)
y3(t)=t
2
[a x1(t−1)+b x2(t−1)]
y3(t)=a t
2 x1( t−1)⏟
y1 (t)
+b t 2 x2(t−1)⏟
y2 (t )
y3(t)=a y1(t)+b y2(t)
Logo é linear.
Vamos verificar a invariância no tempo:
Considerando a entrada x1 e a saída y1, temos:
y1(t )=t
2 x1(t−1)
Considerando uma entrada x2(t) = x1(t-t0), a saída correspondente será:
y2(t)=t
2 x2(t−1)=t
2 x1(t−1− t0) .
A saída esperada para y1(t-t0) é:
y1(t−t 0)=(t−t 0)
2 x1( t−t0−1)
Observe que y2(t)≠ y1(t−t0) , logo não é invariante no tempo.
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b) y [n]=x ² [n−2]
Verificação da linearidade.
Considerando duas entradas x1 e x2:
y1[n]=x1
2
[n−2]
y2[n]=x2
2
[n−2]
Se o sistema é linear a combinação linear é algo esperado. Vejamos:
x3[n ]=a x1[n]+b x2[n]
A saída será:
y3[n]=x3
2
[n−2]
y3[n]=( a x1[n−2]+b x2[n−2])
2
Vemos que não teremos uma saída da forma:
y3[n]=a y i [n ]+b y2[n]
logo não é linear.
Vamos verificar a invariância no tempo:
Considerando a entrada x1 e a saída y1, temos:
y1[n]=x1
2
[n−2]
Considerando uma entrada x2[n] = x1[n-n0], a saída correspondente será:
y2[n]=x2
2
[n−2]=x1
2
[n−2−n0] .
A saída esperada para y1[n-n0]é:
y1[n−n0]=x1
2
[n−n0−2]
Observe que y2[n]= y1[n−n0] , logo é invariante no tempo.
12) (1.20) Um sistema linear de tempo contínuo S com entrada x(t) e saída y(t) possui os seguintes pares 
entrada-saída:
x (t)=e j 2t →
S
y ( t)e j 3t
x (t)=e− j 2 t →
S
y (t)e− j 3 t
a) Se x1(t) = cos(2t), determine a saída correspondente y1(t) para o sistema S.
Como o sistema é linear, temos:
x (t)=e j 2 t →
S
y (t)e j 3 t
x (t)=e− j 2 t →
S
y (t)e− j 3 t
e
x (t)=
1
2
( e j2 t+e− j 2 t ) →
S
y (t )=
1
2
(e j 3 t+e− j 3 t )
Portanto, podemos escrever que:
x1( t)=cos (2 t ) →
S
y1( t)=cos (3 t)
b) Se x2(t) = cos(2(t-1/2)), determine a saída correspondente y2(t) para o sistema S.
Sabemos que:
x2( t)=cos ( 2(t−t /2))=
e− je j 2 t+e j e− j 2 t
2
usando a linearidade, podemos notar:
x1( t)=
e− j e j 2 t+e j e− j2 t
2
=cos (2(t−t /2)) →
S
y1(t )=
e− j e j 3t +e j e− j 3 t
2
=cos (3 t−1)
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Portanto:
x1( t)=cos ( 2(t−t /2)) →
S
y1(t)=cos (3 t−1)
13) (1.21) Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado na figura abaixo. Esboce e coloque a escala 
cuidadosamente para cada um dos seguintes sinais:
a) x(t – 1)
b) x(2 – t)
c) x(2t + 1)
d) x(4 – t/2)
e) [ x(t) + x(-t) ] u(t)
f) x (t)[δ(t +3/2)−δ(t−3 /2)]
x(t-1) x(2-t) x(2t+1)
x(4 – t/2)
SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
14) (1.48) Suponhamos que z0 seja um númerocomplexo com coordenadas polares (r0,θ0) e coordenadas 
cartesianas (x0,y0). Determine expressões para as coordenadas cartesianas dos seguintes números 
complexos em termos de x0 e y0. Marque os pontos z0, z1, z2, z3, z4 e z5 no plano complexo quando 
r0=2 e θ0=π/4 e quando r0 = 2 e θ0=π/2. Indique nos seus gráficos as partes real e imaginária de cada 
ponto.
a) z1=r0 e
− jθ0 z1=x0− j y0
b) z2=r0 z2=√ x0
2
+ y0
2
c) z3=r0 e
j (θ0+π) z3=−x0− j y0=−z0
d) z4=r0 e
j(−θ0+π) z4=− x0+ j y0
e) z5=r0 e
j (θ0+2π) z5=x0+ j y0
t
t
0 1 2 3
-1
1
2
-1
0 1 2 3
4
2
1
-1 t-0.5 0 0.5
-1.5 
2
1
-1
-1
t4 6 8 10
2
1
12
t
3
 0 1 t
0.5
 -3/2 3/2
0.5
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15) (1.49) Expresse cada um dos números complexos a seguir na forma polar e represente-os 
graficamente no plano complexo, indicando o módulo e o ângulo de cada número:
a) 1+ j √3
b) −5
c) −5−5 j
d) 3+4 j
e) 1+ j √3
f) j(1+ j)e jπ/6
g) (√3+ j)2√2e− jπ/4
16) (1.51) Usando a relação de Euler, obtenha as seguintes relações.
a) cos (θ)=
1
2
(e jθ+e− jθ)
b) sen (θ)=
1
2 j
(e jθ−e− jθ)
c) cos2(θ)=
1
2
(1+cos (2θ))
17) (1.52) Suponhamos que z denote uma variável complexa, isto é z=x+ jy=r e jθ . O conjugado 
complexo de z é z*=x− jy=r e− jθ . Obtenha cada uma das relações a seguir, em que z, z1 e z2 são 
números complexos:
a) z z*=r 2
b)
z
z*
=e j 2θ
c) z+ z*=2ℜ[z ]
d) z−z*=2ℑ[z ]
e) (z1+z2)
*
=z1
*
+z2
*
f) (
z1
z2 )
*
=
z1
*
z2
*
18) Outros exercícios:
Lista capítulo 1: sobre a revisão sobre os números complexos
1.54: a), b); 1.55 a), b), e); 1.56 a), d), e);
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Outras questões do capítulo 1
1.9 d), e); 1.10 ; 1.11; 1.16; 1.17; 1.19 a), b); 1.20; 1.21; 1.22; 1.23 a), b); 1.31; 1.34;