Modelos probabilísticos contínuos

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Modelos probabilísticos para 
variáveis aleatórias contínuasvariáveis aleatórias contínuas
Prof. Carlos Amorim
Distribuição Uniforme
• Definição:
A v.a. X tem distribuição uniforme no intervalo 
se sua f.d.p. é dada por
],[ βα
=βα
,
1
αβ −
βα ≤≤ xse
• Gráfico:
=),;( βαxf
αβ −
,0 caso contrário.
)(xf
xα β
)/(1 αβ −
0
Distribuição Uniforme
• Valor esperado e variância:
2
)(
βα +
=XE
2αβ −
• Notação:
12
)(
)(
2αβ −
=XV
),(~ βαUX
Distribuição Uniforme
• Ex: (relógio elétrico)
=)(xf
º0<x
º360º0 <≤ x
0, se
1/360, se
∫ ===
360
0
360
0
2
180
2360
1
360
1
)(
x
dxxXE
º360≥x0, se
2
)(
βα +
=XE
2
3600 +
= 180=
108003240043200)()()( 22 =−=−= XEXEXV
12
)(
)(
2αβ −
=XV
12
)0360( 2−
= 10800=
Distribuição Normal
• Definição:
A v.a. X tem distribuição normal se sua f.d.p. for da 
forma
1
2
2
1



 −−
= σ
µx
Onde:
,
2
1
)( 2

−
= σ
πσ
exf ∞≤≤∞− x
...14159,3=π
...71828,2=e
∞<<∞− µ
0>σ
i) 0)( ≥xf x∀
ii) ∫
∞
∞−
=1)( dxxf
Distribuição Normal
• Gráfico: 2
2
1
2
1
)(



 −−
= σ
µ
πσ
x
exf
)(xf
x
1) 0)( →xf quando
µ=x
Propriedades:
2) µ=x é ponto de máximo.
±∞→x 3) )(xf é simétrica em relação à .µ=x
4) são pontos de inflexão.σµ ±=x
σµ − σµ +
Distribuição Normal
• Valor esperado e variância:
µ=)(XE
2)( σ=XV σ=
Os dois parâmetros e , que caracterizam a distribuição normal, são
o valor médio e a variância da variável aleatória X.
2)( σ=XV σ=padrãodesvião _
µ 2σ
• Notação:
),(~ 2σµNX
Distribuição Normal
Variando os parâmetros e :
)(xf
µ σ
),(~
2
xxNX σµ ),(~
2
yyNY σµ
µµ =
),(~
2
wwNW σµ
µ=
),(~
2
kkNK σµ
µ<)(xf
xxµxx σµ − xx σµ +
yx µµ =
xy σσ <
yµ
yy σµ − yy σµ +
wµ=
wσ<
kµ<
kσ=
Distribuição Normal
Calculando as Probabilidades:
),(~ 2σµNX
=<< )( bXaP
)(xf
dxe
b
a
x
∫



 −−
2
2
1
2
1 σ
µ
πσ)(xf
xµ a b
2πσ
Como calcular essa probabilidade ?
Distribuição Normal
Seja Z uma v.a., definida por:
),(~ 2σµNX,
σ
µ−
=
X
Z onde
(~ NZ ) Distribuição normal padrão.(~ NZ , )
=)(ZE =




 −
σ
µX
E ( )=− µ
σ
XE
1 [ ]=− µ
σ
)(
1
XE [ ]=− µµ
σ
1
0
=)(ZV =




 −
σ
µX
V ( )=− µ
σ
XV
2
1 ( )=XV
2
1
σ
=
2
2
σ
σ
1
0 1 Distribuição normal padrão.
Distribuição Normal
A f.d.p. da v.a. Z com distribuição normal padrão 
reduz-se a
,
2
1
)(
2
2
1
Z
ez
−
=
π
ϕ ∞≤≤∞− z
2π
)(zϕ
z01− 1+
Qualquer variável normal com
média e variância pode ser
transformada em uma variável
normal padrão.
µ 2σ
Distribuição Normal
A tabela dá a área sob a curva normal padrão entre 
Z=0 e qualquer valor positivo.
)(zϕ
)0( czZP <<
z0
cz
?)02,10( =<< ZP
Zc=1,02
)(zϕ
z0 02,1
)(zϕ
z0 02,1
P(0<Z<1,02)=34,614%
Distribuição Normal
Seja Calcule:).1,0(~ NZ
)10( << ZP
)73,10( ≤≤ ZP
3413,0=
4582,0=
a)
b) )73,10( ≤≤ ZP 4582,0=
)73,1( ≤ZP )73,10()0( ≤≤+≤= ZPZP 4582,05,0 += 9582,0=
)01( <<− ZP
)5,00()0( <<−>= ZPZP)5,0( >ZP
3413,0)10( =<<= ZP
)76,0( −>ZP =>+<<−= )0()076,0( ZPZP
=+<<= 5,0)76,00( ZP =+ 5,027637,0 77637,0
30854,019146,05,0 =−=
b)
c)
d)
e)
f)
Distribuição Normal
)53,1( −≤ZP
)2,155,2( ≤≤− ZP
)53,1( ≥= ZP
=<<+<<−= )2,10()055,2( ZPZP
g)
h)
=≤≤−= )53,10(5,0 ZP
43699,05,0 −= 06301,0=
=+<<= 38493,0)55,20( ZP
)12,248,0( ≤< ZP =<<−<<= )48,00()12,20( ZPZP
18439,048300,0 −= 29861,0=
i)
=+<<= 38493,0)55,20( ZP
=+= 38493,049461,0 87954,0
j) 19215,0)( => cZZP ?=cZ
19215,05,0)0( −=<< cZZP 30785,0= 87,0=cZ
Distribuição Normal
• Ex: Dado Calcule).100,50(~ NX ).6045( << XP
X: Distribuição Normal 
Z: Distribuição 
Normal Padronizada
x5045 60 z0
=<< )6045( XP X45 60µ−< < µ−µ−P
σ σσ
=




 −<<
−
=
10
5060
10
5045
ZP ( )=<<− 15,0 ZP
=
5,0− 1
=+ 34134,019146,0
5328,0=
Distribuição Normal
• Ex2: Dado Calcule).16,3(~ NX ).52( << XP
2902,02902,0
x32 5 z0
σ
µ−
=
2
1z
1z 2z
4
32 −
= 25,0−=
σ
µ−
=
5
2z
4
35−
= 5,0=
)52( << XP =<<−= )5,025,0( ZP
=<<+<<−= )5,00()025,0( ZPZP
=<<+<<= )5,00()25,00( ZPZP
=+= 1915,00987,0 2902,0
Questão
• As alturas dos alunos de determinada escola
são normalmente distribuídas com média
1,60m e desvio-padrão 0,30m. Encontre a
probabilidade de um aluno medir:
a) entre 1,50 e 1,80m;
b) mais de 1,75m;
c) menos de 1,48m;
d) Qual deve ser a medida mínima para escolhermos
10% dos mais altos?
Distribuição t (de Student)
• Definição:
A v.a. t tem uma distribuição “t” (de Student) se sua 
f.d.p. for do tipo:
]2/)1[(
2/)1(
2
+−
+Γ
v
tv
Onde:
,1
)2/(
]2/)1[(
)(
2/)1(
2
+−






+
Γ
+Γ
=
v
v
t
vv
v
tf
π
∞<<∞− t
...14159,3=π
=v
∫
∞ −−=Γ
0
1 ,)( dxxe x αα (função gama)0>α
graus de liberdade
Distribuição t (de Student)
• Valor esperado e variância:
0)( =tE
,)( =
v
tV 2>v,
2
)(
−
=
v
v
tV 2>v
• Notação:
)(~ vtt
Distribuição t (de Student)
• Gráfico:
distribuição t
com v=4
distribuição normal
padrão
distribuição t
com v=35
Quanto maior for o valor de
“v” mais a distribuição t se
aproxima da distribuição
normal padrão.
t0
com v=4
Variância:
Para v = 4:
2
)(
−
=
v
v
tV
41,1
24
4
)( 4 =−
=tσ
2
)(
−
=
v
v
tσ
Para v = 35:
03,1
235
35
)( 35 =−
=tσ
Para v = 60:
02,1
260
60
)( 60 =−
=tσ
Distribuição t (de Student)
• Usando a tabela:
A tabela fornece os valores tais que ct .1)( ptttP cc −=<<−
t0
ct
p−1
ct−
2/p2/p
%95)( =<<− cc tttP
tc=?9=v
t0
ct
p−1
ct−
2/p2/p
t0
ct
p−1
ct−
2/p2/p
%95=
%5=p
%5,2=%5,2=
P(-2,262<t<2,262)=95%
Distribuição t (de Student)
Ex :
a)
%.90)( =<<− cc tttPct
Seja t uma v.a. com distribuição t e 25 graus de liberdade.
Calcule os valores de tais que
%90
t0
ct
%90
ct−
%5%5
%10=p
25=v
7081,1=ct
b)
%.80)( =<<− cc tttPct
Seja t uma v.a. com distribuição t e 30 graus de liberdade.
Calcule os valores de tais que
%208,01 =−=p
30=v
31,1=ct
Distribuição Qui-Quadrado
• Definição:
A v.a. Y tem uma distribuição qui-quadrado se sua 
f.d.p. for do tipo:
,
2)2/(
1 2/1)2/(
2/
yv
v
ey
v
−−
Γ
0>y
=)(yf
.0<y,0
Distribuição Qui-Quadrado
• Valor esperado e variância:
vYE =)(
vYV 2)( = vYV 2)( =
• Notação:
)(~ 2 vY χ
Distribuição Qui-Quadrado
• Gráfico:
)(yf
y0
v=1
v=10
v=5
y0
)( yf
Distribuição Qui-Quadrado
• Usando a tabela:
A tabela fornece os valores tais que cy .)( pyYP c =>
)( yf
cy
p
y0
)( yf
%5)( => cyYP
yc=?9=v
cy
p
y0
)( yf
cy
p
y0
)( yf
y0
)( yf
%5=
P(Y>16,919)=5%
Distribuição Qui-Quadrado
Ex :
a)
infy
Seja Y uma v.a. com distribuição e 25 graus de liberdade.
Considerando o gráfico abaixo, calcule os valores de e
25=v 646,40=y
2χ
.supy
)(yf
%5,2
%5,2=p
25=v 646,40sup =y
b)
%.20)( =< cyYPcy
Seja Y uma v.a. com distribuição e 15 graus de liberdade.
Calcule o valor de tal que
)(1)( cc yYPyYP <−=>
15=v
307,10=cy
supy
%5,2
y0
%5,2
infy %5,97=p
25=v12,13inf =y
2χ
2,01−= 8,0=
Distribuição F (de Snedecor)
• Definição:
A v.a. W tem uma distribuição F (de Snedecor) se 
sua f.d.p. for do tipo:
2/v
Onde:
,
)/1()2/()2/(
)2/)((
)(
2/)(
21
2/)2(
2/
2
1
21
21
21
1
1
vv
v
v
vwv
w
v
v
vv
vv
Wf +
−
+






ΓΓ
+Γ
= .0>w
=1v graus de liberdade do numerador;
=2v graus de liberdade do denominador.
Distribuição F (de Snedecor)
• Valor esperado e variância:
,
2
)(
2
2
−
=
v
v
WE 22 >v
,
)4()2(
)2(2
)(
2
2
21
21
2
2
−−
−+
=
vvv
vvv
WV
• Notação:
),(~ 21 vvFW
42 >v
Distribuição F (de Snedecor)
• Gráfico:
)(Ff
F0
Distribuição F (de Snedecor)
• Usando a tabela:
A tabela fornece os valores tais que cf %.5)( => cfFP
)(Ff
cf
%5
F0
)(Ff
fc=?
%5)( => cfFP
51 =v 72 =v
P(F>3,97)=5%
Distribuição F (de Snedecor)
Ex :
a) .cfSeja Considerando o gráfico abaixo, calcule o valor de
),(
1
),(
12
21
vvF
vvF =
).7,5(~ FF
)(Ff
(identidade)
 1  1
b) %.95)( =< cfFP
)(1)( cc fFPfFP <−=>
81 =v95,01−= 05,0=
cf
%5
F0
))7,5((%5 cfFP <= =





<= cf
F
P
)5,7(
1






>
cf
FP
1
)5,7(
71 =v 52 =v
88,4
1
=
cf
205,0=cf
Seja Calcule o valor de tal que).10,8(~ FF cf
102 =v
07,3=cf
Relações entre as variáveis
• Distribuição qui-quadrado:
),1,0(~ NZ i .,...,2,1 vi =
~2χ ∑
v
Z 2~2 )(vχ ∑
=i
iZ
1
2
Uma v.a com distribuição qui-quadrado pode ser vista como a soma
de v normais padrões ao quadrado, independentes.
2
)(vχ
• Distribuição t:
)1,0(~ NZ
2
)(~ vY χ vY
Z
t
/
= )(~ vt
Relações entre as variáveis
• Distribuição F:
2
)( 1
~ vY χ
2
1
/
/
vV
vY
W = ),(~ 21 vvF2
)( 2
~ vV χ
Identidade:
2)( 2v
),(
1
),(
12
21
vvF
vvF =
2
1
/
/
vV
vY
W = ),(~ 21 vvF
1
2
/
/
'
vY
vV
W = ),(~ 12 vvF
=
'
1
W
W=
2
1
/
/
vV
vY