Modelos probabilísticos contínuos
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Modelos probabilísticos contínuos

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Modelos probabilísticos para

variáveis aleatórias contínuasvariáveis aleatórias contínuas

Prof. Carlos Amorim

Distribuição Uniforme

• Definição:

A v.a. X tem distribuição uniforme no intervalo

se sua f.d.p. é dada por

],[ βα

=βα
,

1

αβ −
βα ≤≤ xse

• Gráfico:

=),;( βαxf
αβ −

,0 caso contrário.

)(xf

xα β

)/(1 αβ −

0

Distribuição Uniforme

• Valor esperado e variância:

2
)(

βα +
=XE

2αβ −

• Notação:

12

)(
)(

2αβ −
=XV

),(~ βαUX

Distribuição Uniforme

• Ex: (relógio elétrico)

=)(xf

º0<x

º360º0 <≤ x

0, se

1/360, se

∫ ===
360

0

360

0

2

180
2360

1

360

1
)(

x
dxxXE

º360≥x0, se

2
)(

βα +
=XE

2

3600 +
= 180=

108003240043200)()()( 22 =−=−= XEXEXV

12

)(
)(

2αβ −
=XV

12

)0360( 2−
= 10800=

Distribuição Normal

• Definição:

A v.a. X tem distribuição normal se sua f.d.p. for da
forma

1
2

2

1





 −−

= σ
µx

Onde:

,
2

1
)( 2


−

= σ
πσ

exf ∞≤≤∞− x

...14159,3=π

...71828,2=e

∞<<∞− µ

0>σ

i) 0)( ≥xf x∀

ii) ∫
∞

∞−
=1)( dxxf

Distribuição Normal

• Gráfico: 2
2

1

2

1
)(






 −−

= σ
µ

πσ

x

exf
)(xf

x

1) 0)( →xf quando

µ=x

Propriedades:

2) µ=x é ponto de máximo.

±∞→x 3) )(xf é simétrica em relação à .µ=x

4) são pontos de inflexão.σµ ±=x

σµ − σµ +

Distribuição Normal

• Valor esperado e variância:

µ=)(XE

2)( σ=XV σ=

Os dois parâmetros e , que caracterizam a distribuição normal, são

o valor médio e a variância da variável aleatória X.

2)( σ=XV σ=padrãodesvião _

µ 2σ

• Notação:

),(~ 2σµNX

Distribuição Normal

Variando os parâmetros e :

)(xf

µ σ

),(~
2

xxNX σµ ),(~
2

yyNY σµ

µµ =

),(~
2

wwNW σµ

µ=

),(~
2

kkNK σµ

µ<)(xf

xxµxx σµ − xx σµ +

yx µµ =
xy σσ <

yµ

yy σµ − yy σµ +

wµ=
wσ<

kµ<
kσ=

Distribuição Normal

Calculando as Probabilidades:

),(~ 2σµNX

=<< )( bXaP
)(xf

dxe
b

a

x

∫





 −−
2

2

1

2

1 σ
µ

πσ)(xf

xµ a b

2πσ

Como calcular essa probabilidade ?

Distribuição Normal

Seja Z uma v.a., definida por:

),(~ 2σµNX,
σ

µ−
=

X
Z onde

(~ NZ ) Distribuição normal padrão.(~ NZ , )

=)(ZE =






 −
σ

µX
E ( )=− µ

σ
XE

1 [ ]=− µ
σ

)(
1

XE [ ]=− µµ
σ

1
0

=)(ZV =






 −
σ

µX
V ( )=− µ

σ
XV

2

1 ( )=XV
2

1

σ
=

2

2

σ
σ

1

0 1 Distribuição normal padrão.

Distribuição Normal

A f.d.p. da v.a. Z com distribuição normal padrão
reduz-se a

,
2

1
)(

2

2

1
Z

ez
−

=
π

ϕ ∞≤≤∞− z
2π

)(zϕ

z01− 1+

Qualquer variável normal com

média e variância pode ser

transformada em uma variável

normal padrão.

µ 2σ

Distribuição Normal

A tabela dá a área sob a curva normal padrão entre
Z=0 e qualquer valor positivo.

)(zϕ
)0( czZP <<

z0
cz

?)02,10( =<< ZP

Zc=1,02

)(zϕ

z0 02,1

)(zϕ

z0 02,1

P(0<Z<1,02)=34,614%

Distribuição Normal

Seja Calcule:).1,0(~ NZ

)10( << ZP

)73,10( ≤≤ ZP

3413,0=

4582,0=

a)

b) )73,10( ≤≤ ZP 4582,0=

)73,1( ≤ZP )73,10()0( ≤≤+≤= ZPZP 4582,05,0 += 9582,0=

)01( <<− ZP

)5,00()0( <<−>= ZPZP)5,0( >ZP

3413,0)10( =<<= ZP

)76,0( −>ZP =>+<<−= )0()076,0( ZPZP
=+<<= 5,0)76,00( ZP =+ 5,027637,0 77637,0

30854,019146,05,0 =−=

b)

c)

d)

e)

f)

Distribuição Normal

)53,1( −≤ZP

)2,155,2( ≤≤− ZP

)53,1( ≥= ZP

=<<+<<−= )2,10()055,2( ZPZP

g)

h)

=≤≤−= )53,10(5,0 ZP
43699,05,0 −= 06301,0=

=+<<= 38493,0)55,20( ZP

)12,248,0( ≤< ZP =<<−<<= )48,00()12,20( ZPZP

18439,048300,0 −= 29861,0=

i)

=+<<= 38493,0)55,20( ZP
=+= 38493,049461,0 87954,0

j) 19215,0)( => cZZP ?=cZ

19215,05,0)0( −=<< cZZP 30785,0= 87,0=cZ

Distribuição Normal

• Ex: Dado Calcule).100,50(~ NX ).6045( << XP

X: Distribuição Normal
Z: Distribuição

Normal Padronizada

x5045 60 z0

=<< )6045( XP X45 60µ−< < µ−µ−P
σ σσ

=






 −<<
−

=
10

5060

10

5045
ZP ( )=<<− 15,0 ZP

=

5,0− 1

=+ 34134,019146,0
5328,0=

Distribuição Normal

• Ex2: Dado Calcule).16,3(~ NX ).52( << XP

2902,02902,0

x32 5 z0

σ
µ−

=
2

1z

1z 2z

4

32 −
= 25,0−=

σ
µ−

=
5

2z
4

35−
= 5,0=

)52( << XP =<<−= )5,025,0( ZP

=<<+<<−= )5,00()025,0( ZPZP

=<<+<<= )5,00()25,00( ZPZP

=+= 1915,00987,0 2902,0

Questão

• As alturas dos alunos de determinada escola

são normalmente distribuídas com média

1,60m e desvio-padrão 0,30m. Encontre a

probabilidade de um aluno medir:

a) entre 1,50 e 1,80m;

b) mais de 1,75m;

c) menos de 1,48m;

d) Qual deve ser a medida mínima para escolhermos

10% dos mais altos?

Distribuição t (de Student)

• Definição:

A v.a. t tem uma distribuição “t” (de Student) se sua
f.d.p. for do tipo:

]2/)1[(
2/)1(

2
+−

+Γ
v

tv

Onde:

,1
)2/(

]2/)1[(
)(

2/)1(
2

+−









+

Γ

+Γ
=

v

v

t

vv

v
tf

π
∞<<∞− t

...14159,3=π

=v

∫
∞ −−=Γ

0

1 ,)( dxxe x αα (função gama)0>α

graus de liberdade

Distribuição t (de Student)

• Valor esperado e variância:

0)( =tE

,)( =
v

tV 2>v,
2

)(
−

=
v

v
tV 2>v

• Notação:
)(~ vtt

Distribuição t (de Student)

• Gráfico:

distribuição t

com v=4

distribuição normal

padrão

distribuição t

com v=35

Quanto maior for o valor de

“v” mais a distribuição t se

aproxima da distribuição

normal padrão.

t0

com v=4

Variância:

Para v = 4:

2
)(

−
=

v

v
tV

41,1
24

4
)( 4 =−

=tσ

2
)(

−
=

v

v
tσ

Para v = 35:

03,1
235

35
)( 35 =−

=tσ

Para v = 60:

02,1
260

60
)( 60 =−

=tσ

Distribuição t (de Student)

• Usando a tabela:

A tabela fornece os valores tais que ct .1)( ptttP cc −=<<−

t0
ct

p−1

ct−

2/p2/p

%95)( =<<− cc tttP

tc=?9=v

t0
ct

p−1

ct−

2/p2/p

t0
ct

p−1

ct−

2/p2/p

%95=
%5=p

%5,2=%5,2=

P(-2,262<t<2,262)=95%

Distribuição t (de Student)

Ex :

a)

%.90)( =<<− cc tttPct
Seja t uma v.a. com distribuição t e 25 graus de liberdade.

Calcule os valores de tais que

%90

t0
ct

%90

ct−

%5%5
%10=p

25=v
7081,1=ct

b)

%.80)( =<<− cc tttPct
Seja t uma v.a. com distribuição t e 30 graus de liberdade.

Calcule os valores de tais que

%208,01 =−=p
30=v

31,1=ct

Distribuição Qui-Quadrado

• Definição:

A v.a. Y tem uma distribuição qui-quadrado se sua
f.d.p. for do tipo:

,
2)2/(

1 2/1)2/(
2/

yv

v
ey

v

−−

Γ
0>y

=)(yf
.0<y,0

Distribuição Qui-Quadrado

• Valor esperado e variância:

vYE =)(

vYV 2)( = vYV 2)( =

• Notação:

)(~ 2 vY χ

Distribuição Qui-Quadrado

• Gráfico:

)(yf

y0

v=1

v=10

v=5

y0

)( yf

Distribuição Qui-Quadrado

• Usando a tabela:

A tabela fornece os valores tais que cy .)( pyYP c =>

)( yf

cy

p

y0

)( yf

%5)( => cyYP

yc=?9=v

cy

p

y0

)( yf

cy

p

y0

)( yf

y0

)( yf

%5=

P(Y>16,919)=5%

Distribuição Qui-Quadrado

Ex :

a)

infy
Seja Y uma v.a. com distribuição e 25 graus de liberdade.

Considerando o gráfico abaixo, calcule os valores de e

25=v 646,40=y

2χ
.supy

)(yf
%5,2

%5,2=p
25=v 646,40sup =y

b)

%.20)( =< cyYPcy
Seja Y uma v.a. com distribuição e 15 graus de liberdade.

Calcule o valor de tal que

)(1)( cc yYPyYP <−=>
15=v

307,10=cy

supy

%5,2

y0

%5,2

infy %5,97=p
25=v