1 Distribuicao Contínua Normal

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Profa Andreia Aparecida Costa Silva 
Estatística 
Distribuição Normal 
AACS 
Definições 
Variável aleatória é qualquer função definida sobre o 
espaço amostral W que atribui um valor real a cada 
elemento do espaço amostral. 
Uma variável aleatória é definida como sendo discreta 
quando o número de valores possíveis que a variável 
assume for finito ou infinito enumerável. 
Uma variável aleatória é definida como sendo contínua 
quando o número de valores possíveis que a variável 
assume for não enumerável. 
Função densidade de probabilidade 
Função densidade de probabilidade 
Função densidade de probabilidade 
Função densidade de probabilidade 
 1.  é o valor esperado (média) de X ( - <  < ); 
 
 2.  2 é a variância de X ( 2 > 0). 
 3. P(x < a) é obtido a partir de uma tabela de probabilidades 
normais. 
 
Notação : X ~ N( ;  2) 
2
1
21( ) e
2
x
f x
 
  
 
 
, –  < x < . 
Dizemos que v. a. X tem distribuição Normal, com parâmetros  e 
2, se sua função densidade de probabilidade é dada por: 
Distribuição Normal 
A distribuição normal é perfeitamente simétrica em torno de 
sua média . Sua dispersão é determinada pelo valor de seu 
desvio padrão . 
Distribuição normal 
Distribuição Normal 
Distribuições normais com diferente médias e desvios-padrão 
Propriedades de uma distribuição normal 
Uma distribuição normal tem as seguintes propriedades: 
 
1. A média, a mediana e a moda são iguais. 
2. Uma curva normal tem forma de sino e é simétrica em torno da 
média. 
3. A área total sob a curva normal é igual a um. 
4. À medida que a curva normal se distancia cada vez mais da 
média, ela se aproxima do eixo x, mas nunca o toca. 
5. Entre (no centro da curva), o gráfico se curva 
para baixo. O gráfico se curva para cima à esquerda de e à 
direita de . Os pontos nos quais a curva muda de crescente 
para decrescente são chamados de pontos de inflexão. 
 - e
 - 
 
Propriedades de uma distribuição normal 
Pontos de 
inflexão 
Distribuição normal padrão 
 A distribuição normal padrão é uma distribuição com  = 0 e 
 = 1. Uma variável aleatória com uma distribuição normal padrão 
denotada pelo símbolo z é chamada variável aleatória normal padrão. A 
fórmula para a distribuição de probabilidade de z é dada por: 
Distribuição Normal 
 Calcular a área sobre os intervalos sob a distribuição de 
probabilidades normal é uma tarefa difícil. Consequentemente, usamos as 
áreas calculadas listadas em uma tabela. Apesar de haver um número 
infinitamente grande de curvas normais – um para cada par de valores  e 
 – construíram uma tabela única que se aplicará a qualquer curva 
normal. A tabela em anexo é baseada em uma distribuição normal com 
média igual a zero e desvio padrão igual a um, chamado de distribuição 
normal padrão. 
Usando a tabela normal padrão para encontrar P(-zo < z < zo) 
 Encontre a probabilidade de que a variável aleatória normal 
padrão z fique entre -1,33 e 1,33. 
Usando a tabela normal padrão para encontrar P(z > zo) 
 Encontre a probabilidade de que a variável aleatória normal 
padrão z fique a esquerda de 0,67. 
Usando a tabela normal padrão para encontrar P(z > zo) 
 Encontre a probabilidade de que a variável aleatória normal 
padrão z fique a direita de 1,64. 
Usando a tabela normal padrão para encontrar P(IzI > zo) 
 Encontre a probabilidade de que a variável aleatória normal 
padrão z exceda 1,96 em valor absoluto. 
 Aplicações da distribuição normal 
Para aplicar a tabela em anexo a uma variável aleatória normal x 
com qualquer média μ e qualquer desvio padrão σ, primeiro 
precisamos converter o valor de x para uma pontuação de z. A 
pontuação z da população para uma medição é definida como 
sendo a distância entre a medição e a média da população, 
dividida pelo desvio padrão da população. Assim, a pontuação z 
dá a distância entre uma medição e a média em unidades iguais 
aos desvio padrão. A pontuação z para a mediação x é dada por: 
X
Z
 


Propriedades de distribuições normais 
Se x é uma variável aleatória normal com média m e desvio 
padrão s, então a variável aleatória z, definida pela fórmula 
abaixo tem uma distribuição normal padrão. 
X
Z
 


Se X ~ N( ;  ), 
0 z 
f(z) 
a –  
 
b –  
 
Z ~ N(0 ; 1) 
E(Z) = 0 
Var(Z) = 1 
a  b x 
f(x) 
X ~ N( ; 2) 
X
Z
 


definimos 
Problema 
Admita que o tempo x entre cargas de um telefone celular 
seja normalmente distribuído com média de 10 horas e 
desvio padrão de 1,5 horas. Encontre a probabilidade de 
que o celular durará entre 8 e 12 horas entre as cargas. 
Problema 
 Suponha que um fabricante de automóveis introduza 
um novo modelo que tenha uma média de milhagem na 
cidade de 27 milhas por litro. Apesar de esses anúncios 
raramente falarem sobre medidas de variabilidade, suponha 
que você escreva para o fabricante para saber os detalhes 
do teste e que descubra que o desvio padrão é de 3 milhas 
por litro. Essa informação leva você a formular um modelo 
de probabilidade para a variável aleatória x, a milhagem na 
cidade para esse modelo de carro. Você acredita que a 
distribuição de probabilidade par x pode ser aproximada por 
uma distribuição normal com média 27 e desvio padrão 3. 
Problema 
Se você comprar esse modelo de automóvel, qual a 
probabilidade de que compraria um com média menor que 
20 milhas por litro dentro da cidade? 
Encontrando valores de z a partir de áreas conhecidas 
 Em alguns casos a área é conhecida e devemos 
achar os valores relevantes (escores z). 
Problema: 
Encontre o valor de z, chamado zo, na distribuição normal 
padrão que será excedida apenas 10% do tempo – isto é, 
encontre zo de forma que P(z ≥ zo). 
Encontrando valores de z a partir de áreas conhecidas 
 Em alguns casos a área é conhecida e devemos 
achar os valores relevantes (escores z). 
Problema: 
Encontre o valor de zo de forma que 95% dos valores de z 
normais padrão fiquem entre –zo e zo, isto é, P(-zo < z < zo) 
0,95. 
Encontrando valores de z a partir de áreas conhecidas 
 Em alguns casos a área é conhecida e devemos 
achar os valores relevantes (escores z). 
Problema: 
Suponha que um fabricante de tintas tenha uma produção 
diária x, normalmente distribuída com média de 100.000 
galões e desvio padrão de 10.000 galões. A direção quer 
criar um bônus de incentivo para a mão-de-obra da produção 
quando a produção diária exceder o 90º percentil da 
distribuição, na esperança de que os trabalhadores se 
tornarão, em retorno, mais produtivos. Em que nível de 
produção a direção deveria pagar o bônus de incentivo? 
Valores da distribuição 
normal padrão. 
Exercícios Práticos: 
1) Calcule a partir da distribuição normal padronizada, as seguintes 
probabilidades: 
 
a) P (z < 1,15) 
b) P (z < -0,24) 
c) P (z > -2,19) 
d) P (z < 2,17) 
e) P ( -1,5 < z < 1,25) 
f) P ( 1,10 < z < 1,96) 
g) P ( z > -0,15)