Variáveis Aleatórias Contínuas

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Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuições de Probabilidades
v.as. contínuas:
Se o seu conjunto de valores possíveis, consistir do intervalo completo de
todos os valores, isto é, para cada A < B, qualquer valor x entre A e B for
possível.
Seja X uma v.a. contínua. A “função densidade de probabilidade” ou
distribuição de probabilidade de X será uma função f(x) tal que, para
quaisquer dois números a e b com a < b, onde:
b
a
P(a X b) = f(x) dx≤ ≤ ∫
Isto é, a probabilidade de X ter um determinado valor no intervalo [a,b] é a
ÁREA contida entre o intervalo e abaixo da curva da função de densidade
(ilustrada no gráfico abaixo). O gráfico de f(x) normalmente é denominado
“Curva de Densidade”.
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Comentário Importante: O histograma é uma aproximação da função
densidade de probabilidade. 
Por quê? Para cada intervalo do histograma, a área da barra
(retângulo) é igual à freqüência relativa das medidas no intervalo. A
freqüência relativa é uma estimativa da probabilidade da medida cair
no intervalo. Similarmente, a área sob f(x) ao longo de qualquer
intervalo é igual a probabilidade verdadeira da medida cair no
intervalo.
Para que f(x) seja uma legítima função densidade de probabilidade, deve
satisfazer as duas condições a seguir:
-
f(x) 0 para todos os x
f(x) dx =1
∞
∞
≥



∫
Nosso modelo para o cálculo de probabilidade de uma v.a. contínua implica,
para qualquer x1 e x2, o seguinte:
1 2 1 2 1 2 1 2P(x X x ) = P(x < X x ) = P(x X < x ) = P(x < X < x )≤ ≤ ≤ ≤
1P(X = x ) = 0
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⇒⇒⇒⇒ Função de Distribuição Acumulada (cumulativa) ∴∴∴∴ F(x)
A F(x) de uma v.a. discreta X fornece, para qualquer número específico x, a
probabilidade )xX(P ≤ . Ela é obtida somando-se a f(x) para todos os valores
até x, onde:
ix x
F(x)=P(X x)= f(x)
≤
≤ ∑
A F(x) de uma v.a. contínua fornece as mesmas probabilidades )xX(P ≤ e é
obtida pela integração da função densidade de probabilidade f(x) entre os
limites -∞∞∞∞ e x. Então temos:
x
-
F(x)=P(X x)= f(y) dy
∞
≤ ∫
Para cada x, F(x) é a área abaixo da curva de densidade à esquerda de x.
Essa propriedade é ilustrada na figura abaixo, onde F(x) aumenta à medida
que x aumenta.
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⇒⇒⇒⇒ Uso da F(x) para calcular as probabilidades
A importância da função de distribuição acumulada é que as probabilidades
dos diversos intervalos podem ser calculadas por uma fórmula ou lidas de
uma tabela de F(x).
Seja X uma v.a. contínua com f(x) e F(x). Então, para qualquer número a,
temos:
P(X > a) = 1 - F(a)
e para quaisquer dois números a e b com a < b, temos :
P(a X b) = F(b) - F(a)≤ ≤
onde a representação gráfica é:
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⇒⇒⇒⇒ Obtendo Função Densidade de Probabilidade f(x) a partir da Função
de Distribuição Acumulada ∴∴∴∴ F(x)
Para X discreta, a função de probabilidade f(x) é obtida pela F(x)
calculando-se a diferença entre dois valores de F(x). 
A expressão contínua análoga de uma diferença é a derivada. O resultado a
seguir é uma conseqüência do “Teorema Fundamental do Cálculo”.
Se X for uma v.a. contínua com f(x) e F(x) então, para qualquer x em que a
derivada 'F (x) existir, tem-se:
dF(x)
F'(x) = f(x) ou seja f(x) = 
dx
Exemplo: O tempo (em milisegundos) até que uma reação química esteja
completa é aproximado pela função de distribuição acumulada.




≥
<
=
0x e-1
0x 
)x(F
0,01x-
0
Determine a função densidade de probabilidade de X.




≥
=
0x 0,01e
 
)x(f
0,01x-
0
⇒⇒⇒⇒ Média e Variância de uma v.a. contínua
Definidas de modo similar a uma v.a. discreta. A integração substitui a
soma nas definições.
-
µ=E(X)= x f(x) dx
∞
∞
∫
( ) ( )2 22
-
σ =V(X)= x-µ f(x) dx = E x-µ
∞
∞
 
 ∫ , que fornece uma medida da
dispersão da distribuição ou da população dos valores de x.
A forma mais fácil de calcular 2σ é usar novamente uma fórmula prática:
[ ]22 2σ = V(X) = E(X )- E(X)
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⇒⇒⇒⇒ Distribuição Uniforme Contínua
• É a distribuição contínua mais simples;
• Uma v.a. contínua tem uma distribuição uniforme X~Unif(a,b) se seus
valores se espalham uniformemente sobre a faixa de possibilidades
(“range definido”);
• Uma v.a. contínua X com distribuição uniforme apresenta a seguinte
fdp:
( )
1
f(x)= , a x b
b - a
≤ ≤
O gráfico de uma distribuição uniforme resulta em uma forma retangular.
A média e a variância de uma v.a. contínua uniforme X para a x b≤ ≤ são:
( ) ( )a + bµ = E X = 
2
( ) ( )
2
2 b - a
σ = V X = 
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Exemplo: Uma professora de estatística planeja as aulas tão
cuidadosamente, que a duração de suas aulas é distribuída uniformemente
entre 50 e 52 minutos. Isto é, qualquer tempo entre 50 e 52 minutos é
possível, e todos esses valores possíveis são igualmente prováveis. Se
selecionarmos aleatoriamente uma de suas aulas e designamos X a v.a.
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representativa do tempo de aula, então X tem uma distribuição uniforme
contínua.
Para calcular f(x) faremos:
(52-50) × f(x) =1 
1
f(x)=
2
continuando o exemplo....
Um aluno marcou uma entrevista de emprego imediatamente após sua aula
de estatística. Se a aula durar mais de 51,5 minutos, ele chegará atrasado
para a entrevista. Dada a distribuição uniforme deste exercício, ache a
probabilidade de uma aula, selecionada aleatoriamente, durar mais de 51,5
minutos.
P(aula com mais de 51,5 minutos) = base × altura do retângulo = 0,25
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⇒⇒⇒⇒ Distribuição Normal
Muitas populações numéricas possuem distribuições que podem ser
ajustadas aproximadamente por uma curva normal apropriada. 
Por exemplo: características físicas (altura, peso); erros de medida em
experimentos científicos; medidas de inteligência e aptidão; indicadores
econômicos.
Definição: um v.a. X com função densidade de probabilidade:
( )2
2
- x-µ
2σ1f(x)= e
2π σ
 para -∞ < x < ∞
tem distribuição normal,com parâmetros µµµµ e σσσσ, em que -∞<µ<∞ e σ>0,
onde:
( )µ = E X e 2V(X) = σ
e: base do sistema de logaritmos naturais (2,71828)
π: constante matemática (pi) com valor aproximado (3,14159)
Logo, podemos dizer que X~ N(µ,σ).
A seguir temos gráficos de f(x;µ,σ) para alguns pares (µ,σ).
Cada gráfico é simétrico em torno de µµµµ e tem forma de sino, de modo que o
centro do sino (Ponto de Simetria) é tanto a média como a mediana e a moda
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da distribuição. O valor de σσσσ é a distância de µµµµ até os pontos de inflexão da
curva (os pontos em que a curva muda de direção).
Obs: Valores grandes de σσσσ geram gráficos com grande dispersão em torno
de µµµµ, enquanto valores pequenos de σσσσ fornecem gráficos com picos altos
acima de µµµµ e a maior parte da área do gráfico é muito próxima de µµµµ.
Exemplo: Suponha que as medidas da corrente elétrica em um pedaço de fio
sigam a distribuição Normal com uma média de 10miliampéres e uma
variância de 4(miliampéres)2. Qual a probabilidade da corrente elétrica
exceder 13miliampéres?
X= medida da corrente elétrica em miliampéres
P(X>13) = é a área sombreada sob a função densidade de probabilidade
normal.
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Observação: 
Não há uma expressão exata para a integral de uma função densidade de
probabilidade Normal, então as probabilidades baseadas na Distribuição
Normal são encontradas a partir de tabela!!!!!!!!!!!!!
⇒⇒⇒⇒ Distribuição Normal Padrão
Contextualizando....
Para calcular P(a X b)≤ ≤ quando X é uma v.a. normal com parâmetros µ e
σ, devemos calcular:
( )2
2
- x-µb
2σ
a
1
 e dx
2π σ∫
No entanto, nenhuma das técnicas de integração-padrão pode ser usada para
calcular a expressão acima...
Em vez disso, quando µ = 0 e σ = 1 é chamada de v.a. normal padrão. Uma
v.a. normal padrão é denotada por Z. A f.d.p. de Z é:
( )
2-z
21f z,0,1 = e
2π
 ; -∞ < z < ∞
A função densidade acumulada (ou cumulativa) de Z é denotada por:
( ) ( )Φ z =P Z z≤ .
A Tabela II apresenta a probabilidade acumulada para uma v.a.normal
padrão ou seja, ( )Φ z para valores de Z. Essa tabela será usada para obter
probabilidades para este tipo de v.a.
Nota: As probabilidades que estão na forma ( )P Z z≤ são encontradas
usando as regras básicas de probabilidade e a simetria da distribuição normal
juntamente com a tabela a ser apresentada!!!!!
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Exemplos: Empregue a Tabela II e calcule as seguintes probabilidades.
(dado em sala de aula)
⇒⇒⇒⇒ Distribuição Normal Não-Padrão: aplicações da distribuição normal
Quando X~N(µ,σ) as probabilidades que envolvem X são calculadas por
“padronização”. Com isto, se X for uma v.a. normal com ( )µ=E X e
2V(X)=σ , então a v.a.
X - µ
Z = 
σ
será uma v.a. normal, ( )E Z =0 e V(Z)=1, ou seja, Z é uma v.a. normal
padrão. Graficamente temos:
Assim:
( ) a - µ b - µ b - µ a - µP a X b = P Z = Φ - Φ
σ σ σ σ
     ≤ ≤ ≤ ≤     
     
( ) a - µP X a = Φ
σ
 ≤  
 
( ) b - µP X b = 1 - Φ
σ
 ≥  
 
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Conclusão: Pela padronização qualquer probabilidade que envolve
X~N(µ,σ) é expressa como uma probabilidade que envolve uma v.a. normal
padrão Z, de forma que a tabela de “Distribuição Normal Padrão
Acumulada” pode ser usada!
Exemplo: O tempo que um motorista leva para reagir às luzes de freio em
um veículo em desaceleração é crucial para evitar colisões traseiras. Um
determinado artigo científico sugere que o tempo de reação de uma resposta
no trânsito a um sinal de freio com luzes convencionais pode ser modelado
com uma distribuição normal de média 1,25 segundo e desvio padrão 0,46
segundo. Qual é a probabilidade de que o tempo de reação esteja entre 1,00 e
1,75 segundo?
( ) ( )1-1,25 1,75-1,25P 1 X 1,75 = P Z = P -0,54 Z 1,09 =
0,46 0,46
 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 
 
( ) ( )=Φ 1,09 - Φ -0,54 = 0,8621 - 0,2946 = 0,5675
Observação: A padronização nada mais é que calcular uma distância em
relação à média e então expressar essa distância, novamente, como certo
número de desvio padrão. Exemplos:
1. Se µ = 100, σ = 15 e x = 130 ⇒ 
( )130 - 100
z = = 2
15
, isto é, 130
encontra-se a 2 desvios-padrão acima (à direita) da média.
2. Se µ = 100, σ = 15 e x = 85 ⇒ 
( )85 - 100
z = = -1
15
, isto é, 85
encontra-se a 1 desvio-padrão abaixo (à esquerda) da média.
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Regra Empírica: Se a distribuição de uma variável for Normal, então
temos:
• Cerca de 68% dos valores estão a 1 desvio-padrão da média;
• Cerca de 95% dos valores estão a 2 desvios-padrão da média;
• Cerca de 99% dos valores estão a 3 desvios-padrão da média.
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