Distribuição Normal

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Bioestatística 
Isadora Lessa Chaves 
Notas de Aula da Prof. Isabel Cristina 
Distribuição Normal 
Relembrando a matéria 
Experimento aleatório: são aqueles para os quais não 
conseguimos determinar o que vai acontecer, mas o 
que pode acontecer 
O conjunto dos resultados possíveis de um experimento 
aleatório é chamado de espaço amostral (Ω) 
Um evento é qualquer subconjunto de Ω 
Podemos calcular a probabilidade da ocorrência de 
um evento de várias formas, a mais utilizada é a 
abordagem frequentista 
Uma variável aleatória é uma variável cujo valor é um 
resultado numérico (pode ser o código de alguma 
característica) de um experimento aleatório 
Uma variável aleatória discreta é aquela que pode 
assumir um número finito de resultado, sejam eles 
numéricos ou não numéricos 
Um modelo probabilístico discreto é uma lei que 
permite determinar as probabilidades de cada valor 
assumido por uma variável aleatória discreta 
Em um modelo probabilístico discreto temos os valores 
que a variável pode assumir e a probabilidade de cada 
um deles sendo que a soma das probabilidade tem que 
ser igual a 1 
 
Modelos Probabilísticos Contínuos 
São as leis que permitem calcular a probabilidade de 
resultados obtidos pro variáveis aleatórias continuas 
 
Não é possivel calcular uma probabilidade para cada 
valor possivel assumido por uma variável como esta, 
pois uma variável continua pode assumir um número 
infinito de valores. Sendo assim a probabilidade de 
ocorrência de cada valor em particular ela seria igual a 
zero. 
É possivel calcular a probabilidade da variável 
pertencer a determinado intervalo, como P (1,5< X <1,7), 
P (X < 0), etc. 
 
curva de densidade | | 
Uma curva de densidade é uma curva ou função que 
“suaviza” o desenho de um histograma (com densidade 
no eixo das ordenadas). Outras características desse 
tipo de curva são: 
 Está sempre sobre o eixo horizontal ou acima 
dele (não existe densidade negativa) 
 A área sob a curva é exatamente igual a 1 
 Desenha o histograma por densidades 
no eixo das ordenadas para que 
garanta essa área. 
 
A área total sob a curva descreve a probabilidade de 
uma variável aleatória continua pertencer ao conjunto 
de valores apresentados no eixo das abscissas. Assim, 
para calcular a probabilidade da variável pertencer a 
um intervalo especifico, basta calcular a área sob a 
curva para o intervalo desejado 
 
Distribuição Normal ou Gaussiana 
A função de densidade f(x) que define a curva normal 
tem as seguintes características: 
 Se X ~ N (µ, σ2), então 
𝑓(𝑥) = 
1
√2𝜋𝜎2
𝑒
− 
(𝑥−𝜇)2
2𝜎2 , 𝑥 ∈ ℝ, 𝜇 ∈ ℝ, 𝜎2 > 0 
Essa formula tem a função de suavizar o histograma 
~ : tem/segue a distribuição normal 
 µ é a média e σ2 é a variância da distribuição 
 f(x) ≥ 0 e a total sob a curva é 1 
Variável aleatória continua: é aquela em que os 
resultados que ela pode assumir estão em um 
intervalo dos números reais 
 Ex.: X = altura de um adulto. Essa 
variável pode assumir qualquer valor 
no intervalo [1; 2] 
 
 
 
 
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Bioestatística 
Isadora Lessa Chaves 
Notas de Aula da Prof. Isabel Cristina 
 Tem forma de sino e é simétrica em torno da 
média µ 
 
 O parâmetro µ determina onde está centrada a 
curva 
Curvas normais: 𝜇1 < 𝜇2 𝑒 𝜎1
2 = 𝜎2
2 → se a média 
for menor e as duas curvas tiverem a mesma 
variância, elas possuem o tamanho do sino 
igual, porem se desloca para a esquerda do 
eixo cartesiano 
 
 A forma do sino (mais achatado ou alongado) 
será determinada pela variância 
Curvas normais: 𝜇1 = 𝜇2 𝑒 𝜎1
2 < 𝜎2
2 → se as curvas 
possuem a mesma media terão o mesmo 
parâmetro de centro. A variância da curva 
preta é menor que a da azul, sendo assim a 
preta está mais concentrada em torno da 
média e a azul tem uma dispersão maior 
 
 Para cada combinação se µ e σ2, existe uma 
curva diferente 
Curva normal: 𝜇1 < 𝜇2 𝑒 𝜎1
2 < 𝜎2
2 → a curva preta 
possui variância e media menor sendo mais 
deslocada para a esquerda e mais alongada. 
Já a curva azul possui media e variância maior 
estando mais deslocada para a direita e mais 
achatada 
 
A distribuição normal é bastante utilizada para 
descrever o comportamento de variáveis porque: 
 Assume que a possibilidade de uma variável 
aleatória contínua assumir um valor próximo à 
média é grande (a curva é concentrada em 
torno da media) 
 Valores muito distantes da media, para mais ou 
para menos, são improváveis 
 Quanto mais distante um possível valor estiver 
da media, menor probabilidade ele terá, 
 Essa “distância” em relação à média é 
determinada pela variância. Portanto, é uma 
distribuição flexível a mudanças nos dois 
parâmetros. 
Calculo de probabilidades | | 
O fato de a curva normal ser simétrica em torno da 
media µ significa que P (X < µ - a) = P (X > µ +a). 
Para qualquer distribuição normal N (µ, σ2), a área entre 
intervalos simétricos é fixa. 
 
Consideremos uma variável aleatória X com N (µ, σ2), ou 
seja, X ~ N (µ, σ2). 
A probabilidade de X estar no intervalo [a, b], P (a < X < 
b), é a área sob a curva normal entre a e b 
 
Porém, para cada combinação que tivermos de (µ, σ2), 
teremos uma curva diferente. 
E as curvas de parâmetros diferentes terão áreas 
diferentes. 
 
 
 
 
 
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 Exemplos: 
 
 
 
DISTRIBUICAO NORMAL PADRAO | | 
O cálculo de probabilidades para a distribuição Normal 
é feito com o auxílio de uma tabela 
Como não é viável termos uma tabela Normal para 
cada combinação possivel de µ e σ2, utilizamos 
somente a tabela da distribuição Normal Padrão, que é 
a Normal com média 0 e variância 1. N(0,1). 
Chamamos de Z a variável Normal Padrão. Assim Z ~N 
(0,1) 
Dada uma variável aleatória X com distribuição Normal 
qualquer, ou seja X~N (c), podemos transformá-la na 
variável Z ~ N (0,1), em um processo chamado 
padronização: 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
 
E a partir da tabela da variável Z podemos calcular 
qualquer probabilidade desejada. 
Em uma distribuição com média 0 e variância 1, a 
média vai ser 0. Os valores negativos são aqueles que 
estão a esquerda da média e os valores positivos estão 
a direita 
o 
 
A tabela tem valores de probabilidade do tipo P (Z<z) 
(ou seja, áreas à esquerda ou abaixo de um 
determinado valor), para z ≤ 0 (z negativo) 
 Linha: parte inteira e primeira casa decimal de 
z 
 Coluna: segunda casa decimal de z 
 
 
o 
 
A tabela tem valores de probabilidade do tipo P (Z<z) 
(ou seja, áreas à esquerda ou abaixo de um 
determinado valor), para z ≥0 (z positivo) 
 Linha: parte inteira e primeira casa decimal de 
z 
 Coluna: segunda casa decimal de z 
 
Exemplos: 
 Em todos os exemplos vale ressaltar que a tabela só nos da 
probabilidade relativas a áreas à esquerda 
 
 
 
 
 
 
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Observação desse exemplo: 
Para a variável continua não faz diferença o limite e 
intervalo, pois calcula-se a probabilidade da mesma 
forma independente de ser intervalo aberto ou fechado 
 
DISTRIBUICAO NORMAL qualquer | | 
O objetivo agora é utilizar a tabela normal padrão para 
calcular probabilidade para uma variável X ~N (µ, σ2). 
Já falamos que a variável normal padrão Z pode ser 
obtida através da padronização de X. Assim, se eu 
desejo calcular a probabilidade P (a < X ≤ b): 
𝑃 (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃 (
𝑎 − 𝜇
𝜎
<
𝑋 − 𝜇
𝜎
≤
𝑏 − 𝜇
𝜎
) 
 
 
 
 
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≡ 𝑃 (
𝑎 − 𝜇
𝜎
< 𝑍 ≤
𝑏 − 𝜇
𝜎
 ) 
Porque Z= 
𝑋−𝜇
𝜎
 .De modo que calcular P (a < X ≤ b) 
equivale a calcular P (
𝑎− 𝜇
𝜎
< 𝑍 ≤
𝑏− 𝜇
𝜎
); e probabilidade 
de Z conseguimos calcular com a tabela normal 
padrão. 
Exemplo: 
 
 
!!! CALCULO DE PERCENTIS | | 
O percentil de ordem k% é o valor da distribuição 
normal padrão que deixa uma área k abaixo dele, ou 
seja, é um valor z tal que P (Z<z) = k 
Para encontrar o percentil de ordem k% na tabela 
normal padrão é preciso encontrar a probabilidade 
referente à ordem do percentil no corpo da tabela e 
“montar” o valor “z” a partir das marginais de linha e 
coluna da tabela 
Vale observar se o percentil é de ordem menor ou maior 
que 50%, pois: 
 Se for menor a 50%: procurar a probabilidade 
na parte negativa da tabela normal padrão 
 Se for maior a 50%: procurar a probabilidade na 
parte positiva da tabela normal padrão 
 Se for igual a 50%: pode-se procurar tanto na 
parte negativa quanto na parte positiva da 
tabela normal padrão 
Exemplos: 
Percentil de ordem 2,5% 
 
Percentil de ordem 99%