lista 02

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO -DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
GEOMETRIA ANALI´TICA - 2015.2
PROFESSOR: EDGAR CORREˆA DE AMORIM FILHO
LISTA DE EXERCI´CIOS
1 Aplicac¸o˜es Geome´tricas
Q - 1) Dado Quadrila´tero ABCD , considere M , N , P e Q os pontos me´dios de AB , BC , CD e
AD , respectivamente. Mostre que o quadrila´tero MNPQ e´ um paralelogramo.
A
B
C
D
M
P
Q
N
Q - 2) Prove que o segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o paralelos de um trape´zio e´ paralelo a`s
bases, e sua medida e´ a semi-soma das medidas das bases.
Q - 3) Prove que o segmento que une os pontos me´dios das diagonais de um trape´zio e´ paralelo a`s bases, e sua
medida e´ a semi-diferenc¸a das medidas das bases.
Q - 4) Dado um triaˆngulo ABC qualquer, mostre que existe outro triaˆngulo com lados congruentes a`s medi-
anas do primeiro.
A
B
CM
N
P
~u
~v
~w
I
J
~u
K ~v
~w
Q - 5) Seja ABCD um quadrila´tero convexo. Se E e´ o ponto me´dio do lado AB e F e´ o ponto me´dio do
lado DC , prove que ~EF =
1
2
( ~AD + ~BC).
Q - 6) Seja P um ponto interior ao triaˆngulo ABC tal que ~PA+ ~PB + ~PC = 0 . Prove que as retas AP ,
BP e CP sa˜o as medianas de ABC , logo P e´ o baricentro desse triaˆngulo.
2 Vetores no Plano
Q - 7) Sabendo que ~u = 3~v , escreva treˆs expresso˜es diferentes para o vetor nulo como combinac¸a˜o linear de
~u e ~v .
Q - 8) Sendo ~u = (1;−1) , ~v = (2; 1) e ~w = (−1,−1) , Ache as coordenadas de:
a) ~u+ ~v ; b) ~u− 3~w ; c) −2~u+ ~v − 3~w .
Q - 9) Na questa˜o anterior, verifique se ~u e´ combinac¸a˜o linear de ~v e ~w .
Q - 10) Mostre que em qualquer conjunto {~u,~v, ~w} podemos escrever um dos vetores como combinac¸a˜o dos
outros dois.
Q - 11) Decida se ~u e ~v sa˜o paralelos.
a) ~u = (0; 1) e ~v = (1; 0) ;
b) ~u = (1; 1) e ~v = (3; 1) ;
c) ~u = (1/14; 1) e ~v = (1; 14) ;
d) ~u = (1;−2) e ~v = (−2;−4) .
Q - 12) Prove que ~u e ~v na˜o sa˜o paralelos se, e somente se, ~u+ ~v e ~u− ~v na˜o sa˜o paralelos.
Q - 13) Sendo E = {~e1;~e2} uma base, ~f1 = 2~e1 + ~e2 e ~f2 = ~e1 − 2~e2 , Mostre que F = {~f1; ~f2} e´ uma base
e encontre as coordenadas de ~v = (−3; 1)E na base F .
Q - 14) Encontre m para que ~u e ~v sejam na˜o paralelos.
a) ~u = (−1; 3) e ~v = (2; 1−m);
b) ~u = (2−m;−5) e ~v = (3m− 4; 1)
c) ~u = (1;m) e ~v = (−2m+ 1; 4);
d) ~u = (m2; 3) e ~v = (1; 0).
Q - 15) Seja E = {~e1;~e2} uma base ortonormal. Calcule ‖~u‖ nos casos abaixo:
a) ~u = (3;−4)E ; b) ~u = (−1; 5)E ; c) ~u = −~e1 + 2~e2 ; d) ~u = 4~e1 − 2~e2 .
Q - 16) Sejam ~u, ~v e ~w vetores tais que ~v e´ mu´ltiplo de ~u , mas ~w na˜o e´. Se α~u+ β~v + γ ~w = 0 , Prove
que γ = 0 e α~u+ β~v = 0
Outros Exerc´ıcios: (Vetores e Geometria Anal´ıtica - Paulo Winterle)
Paginas 40-42: Exerc´ıcios 1,2,4,16,17,18,22,23.