Resoluções de aplicações geométricas

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CA P Í T U L O .
APLICAÇÕES
"GEOMETRICAS
Neste capítulo são apresentadas algumas aplicações
dos vetares à Geometria Euclidiana.
o objetivo deste capítulo é dar uma idéia de como os vetores podem ser úteis na obtenção ;>
resultados geométricos, e para isso faremos demonstrações de alguns fatos da Geometria Euclidiana
A técnica vetorial pode simplificar bastante a resolução de problemas geométricos, mas isso nã
acontece sempre. O ideal é conhecer suas virtudes e suas limitações, para utilizá-Ia em nos
benefício.
> Prove que as diagonais de um paralelo gramo têm o mesmo ponto médio.Exercicio
Resolvido
Resolução
Sendo ABCD um paralelogramo e M o ponto médio da diagonal AC (Figura 5-1 (a)).
valem as igualdades BC = AD e CM = .MÃ. Para concluir que M também é ponto
médio da diagonal DB, basta mostrar que lfM = MJ5:
c
Q7C
A B
Mr-------\
A
(a) (b)
Figura 5-1
B
-
Exercicio
Resolvido
Capítulo 5 - Aplicações geométricas - 27
Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao terceiro e tem a metade da sua medida.
Resolução
No triângulo ABC, sejam M o ponto médio de AC e N o de BC (Figura 5-1 (b)). Assim,
podemos escrever
MN=MC+ CN= ~AC+~ Bi =~(AC+ Bi) =~ Ali
2 2 2 2
Logo, MN//AB e IIMJVII= 11ÃB1I/2.
Em vários exercícios usaremos o conceito de razão em que um ponto P divide um segmen-
to orientado não-nulo (A,B), que é o número real r tal que AP = rjijj. É fácil ver que esse número
/. P 'AB P B S b di - IIAPII d Pso existe se pertence a reta e ;é . o essas con içoes, r = -=- quan o pertence ao
IIPBII
IIAPII _
segmento AB e r = - -=- quando nao pertence.
IIPBII
Exercicio
Resolvido
Exercicio
Resolvido
Seja r a razão em que o ponto P divide o segmento orientado não-nulo (A,B). Prove
- r-que r ;é -1 e que AP = -- AB.
1 + r
Resolução
Se r fosse igual a-I, AP seria o vetor oposto de PB e, portanto, AB = AP + jijj = 5,
contradizendo a hipótese de que o segmento orientado (A,B) é não-nulo. -<
Como AP = rPB, podemos escrever
AP = r(PÃ + Ali) = r(-AP + AB) = -rAP + rAB
--- -- -r-Logo, AP + rAP = rAB, ou seja, (1 + r)AP = rAB e, portanto, AP = -- AB.
1 + r
Sejam A, B e C pontos distintos e p um número real. Seja X o ponto tal que AX = pAB.
Exprima CX em função de CA, CB, p.
Resolução
CX= CÃ +AX= CÃ + pAli
= CA +p(AC + CB)
= CA + p(-CA + CB)
= CÃ - pCA + pCB
Logo,
·28 - Geometria Analítica - um tratamento vetorial
IIXERCÍCldS
CX = (1- p)CA +pCB
Faça figuras ilustrativas: uma, com A, B e C não-colineares, outras, com A, B e C
colineares e X ora interior, ora exterior ao segmento AB.
5-1 Considerando A, B, C e X como no exercício resolvido anterior, seja m a razão em que X divide
(A,B). Exprima CX em função de CA, CB, m. Exprima p em função de m.
5-2 Sejam OABC um tetraedro e X o ponto definido por BX = mBC. Exprima OX e AX em função de
6Ã,Oã,oc,m.
5-3 (a) No triângulo ABCda Figura 5-2 (a), Mdivide (A,B) eNdivide (C,B) na mesma razão r. Prove
IIMNII
que MN//ACe calcule-=-.
IIACII
(b) No quadrilátero ABCO (eventualmente reverso, como na Figura 5-2 (b)), M divide (A,B),
N divide (C,8), P divide (C,O) e Q divide (A,O), todos na razão r. Prove que o quadrilátero
MNPQ é um paralelogramo.
(c) Suponha que o quadrilátero ABCO do item anterior seja um paralelogramo. Mostre que as
quatro diagonais (as duas de ABCO e as duas de MNPQ) têm um ponto comum.
B
M N
A C
ngura 5-2
5-4 Sejam A, B e C pontos quaisquer, A ~ B. Prove que:
(a) X pertence à reta AB se, e somente se, existem a e fJ tais que CX = aCA + fJCB e a + fJ = 1;
(b) X pertence ao segmento AB se, e somente se, existem a e fJ tais que CX = aCA + fJCB, a ~ 0,
fJ~Oea+fJ=1;
(c) X é interior ao segmento AB (isto é, existe À tal que °< À < 1 e AX = ÀAB) se, e somente se,
XÃ e Xã são de sentido contrário.
5-5 • Prove que X é um ponto interior ao triângulo de vértices A, B e C se, e somente se, existem a
e fJ tais que a > 0, fJ > 0, a + fJ < 1 e CX = aCA + fJCB. (Um ponto é interior a um triângulo se
é interior a um segmento que tem por extremidades um vértice e um ponto interior ao lado
oposto.)
EJferdçio
Reso1lf.ido
:<-'5
Capítulo 5 - Aplicações geométricas - 29
5-6 Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não-paratelos de um trapézio é
paralelo às bases, e sua medida é a semi-soma das medidas das bases (Figura 5-3 (a)).
5-7 Prove que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às
bases, e sua medida é a semidiferença das medidas das bases (Figura 5-3 (b)).
D_~ C Dr-::- 7\C
Mf-----------\ N
BA I' B A
(a) (b)
Figura 5-3
5-8 Suponha que, no trapézio da Figura 5-3 (a), as razões em que M divide (D,A) e N divide (C,B)
são iguais a r.Mostre que MN = _r_ AB + _1_ OC. Deduza que MN// AB e que a medida de
1+r 1+r
MN é igual a rllABII + IIOCII
1 + r
Sejam M, N e P, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângu-
lo ABC (Figura 5-4).
(a) Exprima BP, AN e CM em função de CA, CB.
(b) Prove que as retas-suportes de duas medianas quaisquer do triângulo são concor-
rentes.
(c) Prove que as três medianas têm um único ponto comum, que divide (A,N), (B,P)
e (C,M) na razão 2 (conhecido como baricentro do triângulo).
c
p N
A L..- ~ -"" B
M
Figura 5-4
Resolução ,
(a) Comecemos por lfP. Note que CP = CÃ/2, pois P é o ponto médio de AC. Logo,
30 - Geometria Analítica - um tratamento vetorial
-- - 1-Analogamente se obtém, para AN, AN = - CA + - CB
2
Quanto a CM, trata-se de um caso particular do Exercício Resolvido 5-4, em que
X=Mep= 1/2:
CM= CA +AM= CÃ + -.LAB
2
= CA + -.L (AC + CiJ)
2
- 1 - -= CA + - (- CA + CB)
2
- 1- 1-= CA - - CA + - CB2 2
Portanto,
- 1- 1-CM= -CA+-CB2 2
(Note que, com procedimento e notação diferentes, já havíamos obtido esse re-
sultado no Exercício Resolvido 3-8.) -<
(b) Uma vez que as retas AN e BP são coplanares, para concluir que são concorrentes
basta provar que AN e BP não são paralelos (e o procedimento é análogo para os
outros pares de retas). Raciocinemos por redução ao absurdo: se esses vetores
fossem paralelos, existiria (Proposição 3-6) um número real À. tal que BP = À.AN.
Devido à parte (a), esta igualdade fornece
- 1- - 1- - ..1.-
-CB +- CA = À.(-CA + - CB) = -À.CA + - CB
2 2 2
Sendo CÃ e CiJnão-paralelos, isso acarreta, pelo Corolário 3-11,-2 = À. = -1/2, o
que é impossível. Concluímos que AR e BP não são paralelos. -<
(c) Chamemos G o ponto comum às retas AN e BP, e H o ponto comum às retas AN
e CM. Provaremos que G = H e que esse ponto pertence às três medianas, isto é,
aos segmentos AN, BP e CM.
Sendo A, G e N colineares, existe À.tal que AG = À.AN; logo, G = A + À.AN. Da
mesma forma, existe fl tal que G =B +flBP. Portanto, A +À.AN=B +flBP. Como
B = A + AB, podemos escrever
Usando PI e P2 (Proposição 4-2), concluimos que
Exercicio
Resolvido
Capítulo 5 - Aplicações geométricas - 31
Substituindo AB por CB- CAe AR e BP por suas expressões deduzidas na parte
(a), obtemos
Como CAe CBnão são paralelos, podemos aplicar o Corolário 3-11:
À-= 1-,u
2
Estas igualdades fornecem À = ,lI = 2/3 e, portanto,
2 - 2-G=A+-AN=B+ -BP
3 3
[5-1]
Quanto a H, existem a e (3 tais que H = A + aA.N = C + (3CM.Um procedimento
inteiramente análogo ao anterior leva à conclusão de que a = (3 = 2/3, de modo
que
[5-2]
Comparando [5-1]e [5-2],vemos que
2- 2- 2~G=H=A+ -AN=B+ -BP= C+ -CM
333
o que acarreta
[5-3]
Assim, podemos concluir que G pertence às três medianas, já que O< 2/3 < 1.
Além disso, da primeira igualdade de [5-3], obtemos
e, portanto, AG/3 = 2GN/3, ou seja,
Isto quer dizer que G divide (A,N) na razão 2. Analogamente, prova-se que G
divide (B,P) e (C,M) na razão 2, conforme foi enunciado. -(
Dado um triângulo ABC qualquer, mostre que existe outro com lados paralelos e
congruentes às medianas do primeiro.
Resoluçêo
Usaremos a notação do Exercício Resolvido 5-5 (acompanhe na Figura 5-5).
I I
32 - Geometria Analítica - um tratamento vetoria/
c
x
A~-----------L----------~B
M
Figura 5-5
Tomemos um ponto O qualquer. Sejam X = O + AN, Y = X + BP e Z = Y+ eM.
Inicialmente, mostremos que Z = O. Usando as expressões obtidas na parte (a) do
Exercício Resolvido 5-5 paraAN, ifP e eM, vemos facilmente queAN + ifP +EM= Õ.
Então,
Além disso, como XY =BP e YZ=eM, decorre do Exercício Resolvido 5-5 (b) que XV
e yz não são paralelos. Logo, X, Ye Z, ou seja, X, Ye O, não são colineares. Existe,
pois, um triângulo de vértices X, Ye O. Como OX =AN, XY = BP e YO = eM, os lados
do triângulo XYO são paralelos e congruentes a AN, BP e eM. -(
5-9 (a) Mostre que o baricentro de um triângulo ABC (ponto comum às três medianas do triângulo)
é também o baricentro dos pontos A, B, C, como foi definido no Exercício 4-13.
(b) Sejam OABC um tetraedro e X o baricentro do triângulo ABG. Exprima OX em função de OA,
OOe OCo
5-10 • Os segmentos AN, BP e CM são dois a dois não-paralelos. Dê uma condição sobre os vetores
AN, Bf3 e eM, que não envolva suas normas, para que exista um triângulo de lados paralelos e
congruentes a AN, BP e CM.
5-11 (a) Dado o triângulo ABC, sejam M, N e P pontos tais que 2AM = Aã, 2BN = 5BC e 2CP= CA.
Exprima AN, Bf3 e eM em função de CA e CB, e prove que existe um triângulo de lados
paralelos a AN, BP e CM.
• (b) Dado o triângulo ABC, sejam M, N e P pontos tais que AM = aAã, BN = j3BC e CP = yCA,
com a, 13 e y em [0,1]. Prove que existe um triângulo de lados paralelos e congruentes a AN,
BP e CM se, e somente se, a = 13 = y.
5-12 O ponto Xdivide (A, B) na razão a, Ydivide (B,C) na razão 13 e Zdivide (C,A) na razãoy. Exprima
CX, AV e BZ em função de CA, Cã, a, 13, y.
5-13 Dado o triângulo ABC, sejam X o ponto que divide (A,B) na razão 2 e Yo ponto que divide (B,C)
na razão 3.
,_\ Cv",.im", r.x e AV em função de Aã, AO.
•• Bxercicio"~Resolvido
Capítulo 5 - Aplicações geométricas - 33
(b) Prove que as retas CX e AY são concorrentes e exprima o ponto de concorrência P em
função de A, AB, AC.
5-14 Dado o triângulo ABC, sejam X e Yos pontos tais que BX = aBC e AV = f3AC (Figura 5-6).
(a) Prove que AX//BY se, e somente se, (a - 1)(/3- 1) = 1.
(b) Mostre que, se X é interior ao lado BC e Y é interior ao lado AC, então as retas AX e BY são
concorrentes.
A B
Figura 5-6
5-15 Dado o triângulo ABC, tome O na reta BC tal que C seja o ponto médio de BO e Y na reta AC tal
que as retas AO e BY sejam paralelas. Exprima AV em função de BA, BC e mostre que C é o
ponto médio de AY.
Dado o triângulo ABC, seja ü = CA/2 + CB/3 .
(a) Explique por que existe e é único o ponto X da reta AR tal que CX//ü (Figura 5-7).
(b) Mostre que X pertence ao segmento AB e exprima CX em função de CA, CB.
(c) Calcule IIAXII e a razão em que X divide (B,A).
11XE11
A B
Figura 5-7
Resolução
(a) O vetor ü não é paralelo a AJj pois, se fosse, existiria um número real À, tal que
CAI2 + CB/3 =ME =À,Ç4C+ CB) = -À,CA +À,CB, e então -1/2 =À,= 1/3, o que é
impossível. Conseqüentemente, a reta paralela a ü que contém C não é paralela à
34 - Geometria Analítica - um tratamento vetorial
m~~RGÍCIOS•.~~
retaAB. Como se trata de retas coplanares, concluímos que elas são concorrentes
e que, portanto, o ponto X existe e é único. «
(b) Como X, A e B são colineares, podemos escrever AX = aAB.Do Exercício Resol-
vido 5-4 resulta
cx= (l-a)CA +aCB [5-4]
Por outro lado, CX//ü;logo, existe À tal que
~-À~À-
CX= Àu = - CA+ - CB
2 3
[5-5]
De [5-4] e [5-5], obtemos
~ - ..1.- ..1.-
(1-a)CA +aCB= -CA + -CB
2 3
Como CAe CBnão são paralelos, concluímos que 1 - a =À/2 e a =À/3 (Corolário
3-11) e que, portanto, ..1.=6/5 e a = 2/5. Logo, AX = aAB e O< a < 1, o que garante
que X pertence ao segmento AB. Voltando a [5-5], obtemos
~ 3 ~ 2-
CX= -CA+ -CB
5 5
(c) Vimos em (b) que AX = 2AB/5. Logo, AX = 2(AX + XJJ)/5 e, portanto, 3AX/5 =
2XB/5, ou seja, M= 3XÃ/2. Isso quer dizer que X divide (B,A) na razão 3/2. «
Tomando normas, obtemos IIMII = 31tX4I1/2;logo,
2 _ IIXAII _ IIAXII
3 - IIMII - IIXBII
5-16 Sejam A, B e C vértices de um triângulo.
(a) Prove que, se m + n "#- O, então existe um ponto X na reta AB tal que CX seja paralelo a
mGA + nGB. Exprima CX em função de GA, GB, m, n.
(b) Relacione o caso particular em que m + n = 1 com o Exercício 5-4.
(c) Prove (algebricamente) que não existe o ponto X quando m + n = O. Interprete geometrica-
mente este caso.
5-17 No triângulo ABC, sejam ü = GA, v = GB, W = ü - 2v. Calcule a para que X = C + aw pertença à
reta AB.
5-18 Dado o triângulo ABC, seja X a interseção do lado AB com a bissetriz do ângulo interno de
vértice C (Figura 5-8) e sejam a = IIGBII e b = IlGAII.
3
Capítulo 5 - Aplicações geométricas - 35
(a) Explique geometricamente por que CX é paralelo a CÃlb + Cãla.
(b) Exprima CX em função de CÃ, Cã, a, b. Exprima AX em função de AB, a, b.
. . _ IIAXII 11§XII
(c) Mostre que X divide (A,B) na razao bla e conclua que -- = --.
b a
<.
y A x B
Figura 5-8
5-19 No triângulo da Figura 5-8, sejam a = llCãll e b = llCÃII; suponhamos que a ;é b. Seja Ya
interseção da reta AB com a bissetriz do ângulo externo de vértice C.
(a) Explique geometricamente por que CY é paralelo a CÃlb - Cãla.
(b) Exprima CY em função de CÃ, Cã, a, b. Exprima AV em função de AB, a, b.
. . _ IIAVII IIavll
(c) Mostre que Y divide (A,B) na razao -bla e conclua que -- = --.
b a
(d) O que ocorreria se llCÃII e llCãll fossem iguais?
5-20 • Prove que existe um único ponto comum às bissetrizes internas de um triângulo e que esse
ponto, conhecido como incentro do triângulo, é interior a ele.
5-21 Dado o triângulo ABC não-retângulo, sejam a = tgÂ, b = tg8 e c = tgê.
(a) Sendo CX a altura relativa ao vértice C, prove que aAX = bXB e exprima CX em função de
CÃ, Cã, a, b.
(b) Sendo AYa altura relativa ao vértice A e BZ a altura relativa ao vértice B, exprima AV em
função de CÃ, Cã, b, c, e BZ em função de CÃ, Cã, a, c.
• (c) Mostre que as retas-suportes das três alturas do triângulo ABC têm um único ponto comum
(ortocentro). Sendo P este ponto, mostre que
CP= a+ b CX
a+b+c
AP= b+ c AV
a+ b+ c
BP= a+ c BZ
a+b+c
• (d) Prove que o ortocentro é interior ao triângulo se, e somente se, ele for acutângulo.
(No caso em que o triângulo é retângulo, é imediato verificar que as três alturas têm um único
ponto comum, que é o vértice do ângulo reto.)
5-22 Na Figura 5-9, IIAMII = 211Mãll e 311ANII = IINell. Exprima X em função de A, AB, AC.
1 5-23 Sejam A, B, C e O vértices de um quadrado, E um ponto de AO e F um ponto de CO, tais que o
triângulo BEF seja eqüilátero. Calcule a razão em que E divide (A,O) e a razão em que F divide
(O,C).
36 - Geometria Analítica - um tratamento vetorial
c
N
AL-----------------~----~==~B
M
Figura 5-9
5-24 (a) Dado o triângulo ABC, sejam P, O e R pontos tais que AB = aP8, AC = (3QC,aPR = (30R.
Prove que, se a ~ 1, então B, C e R são colineares .
•• (b) Sejam s, e t, duas retas concorrentes em B, tangentes à circunferência de centro A e raio r,
(Figura 5-10). Com centro em um ponto P da sem i-reta de origem B que contém A, traça-se
a circunferência de raio r2 (menor que r,), tangente às retas s, e t,. Sejam $2 e ~ duas retas
tangentes à segunda circunferência, concorrentes em R. Com centro em um ponto Q da
semi-reta de origem R que contém P, traça-se a circunferência de raio r3 (menor que r2),
tangente às retas $2 e t2. Sejam $3 e t3 as retas tangentes comuns à primeira e à terceira
circunferências que tenham em comum um ponto C da reta AO, exterior ao segmento AO.
Prove que B, C e R são colineares.
t,
~.""",----j'-::>'r~.------------:::;,....:='----=------t3
A
B
S2
t2
Figura 5-10
S,