Exercícios de funções de várias variáveis e Derivadas Parciais

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1 Revisão Funções de Várias Variáveis e Derivadas Parciais – Cálculo III 
1. Se 
22 24),( yxyxf 
, ache 
)1,1(xf
 e 
)4,3( yf
 
 
2. Determine 
zyx fff ,,
 se 
zezyxf xy ln),,( 
. 
 
3. Determine as derivadas parciais de segunda ordem de 
  2323 2, yyxxyxf 
. 
 
4. Determine a derivada parcial indicada. 
xy
z
xsenyzb
fyxyxyxfa xxx




2
3
432
;)
;2),()
 
 
5. Considere a função 
²²),( yxyxf 
, calcule a derivada de 
xf
 no ponto (3,4). 
 
yxxyyx ffffacharxxyyxfSe ,,, ,),( 6.
32 
 
 
7. Calcule 
x
f


 e 
y
f


 para cada uma das funções: 
a) 
 5314),(  yxyxf
 b) 
³²),( yxeyxf 
 
 
8. Seja 
xxyxyxf 23²),( 5 
, calcule: 
a) 
x
f


 
b) 
y
f


 
c) 
2
2
x
f


 
d) 
2
2
y
f


 
e) yx
f

 2
 
9. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função 
xyyxyxf 25),( 34 
. 
 
10. Seja 
yxyxyxf 23 43),( 
, calcule: 
a) 
 3,2
2
2
x
f


 b) 
 3,0
2



xy
f
 
 
11. Considere um pequeno negócio de impressão em que N é o número de empregados, V o valor do 
equipamento (em unidades de $ 25 000) e P é a produção medida em milhares de páginas por dia. 
Suponha que a função de produção para esta companhia seja dada por 
4,06,02),( VNVNfP 
. 
a) Se esta companhia tem uma força de trabalho de 100 empregados e tem um valor de 200 unidades de 
equipamento, qual é a produção da companhia? 
b) Ache 
)200,100(Nf
 e 
)200,100(Vf
. Interprete suas respostas em termos de produção. 
 
12. Se 
23 710²18),( yxyxyxf 
, determine as derivadas parciais de segunda ordem no ponto (4,-3). 
 
13. Dada a função 
²²
4
),(
ts
st
tsg


, determine o valor de 
 6,6g
. 
 
 
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2 Revisão Funções de Várias Variáveis e Derivadas Parciais – Cálculo III 
14. Calcule 
y
f


 da função 
²4ln
3
xyez yx 
. 
15. Suponha que uma pessoa em uma festa beba 
ttxx 8,0)( 
 litros de refrigerante e coma 
ttyy 2,0)( 
 quilogramas de bolo de chocolate após t horas. Com isso ela produz 
  yxyxE 3
2
1
, 
 
calorias de energia ao beber x litros de refrigerante e comer y quilogramas de bolo. Quanta energia ele 
produziu após 4 horas de festa? 
 
COMPLEMENTARES 
 
1) Se 
23 46²25),( yyxxyxf 
, determine as derivadas parciais de segunda ordem no ponto (-2,5). 
 
2) Dada a função 
²3²5³4),( yyxxyxf 
, determine 
x
f


 e 
.
y
f


 
 
 
3) Dada a função 
²²
2
),(
ts
st
tsg


, determine o valor de 
 5,5g
. 
 
4) A temperatura do ponto (x,y) de uma placa metálica plana é dada por 
²4²24340),( yxyxT 
, 
com T dado em oC, x e y em cm. 
A) Determine a temperatura no ponto (3,2). 
B) Qual é a taxa de variação da temperatura em relação a x e a y no ponto (3,2)? 
 
5) O volume de um tronco de cone reto, com altura h, raio da base (maior) R e raio menor r, é dado pela 
função 
²)²(
3
),,( RrRrhRrhV 
 . Em um determinado instante temos um tronco de cone de 
dimensões h = 10 cm, r = 2 cm e R = 5 cm. 
A) Qual é o volume tronco do cone? 
B) Se variarmos só a altura, qual é a variação do volume? 
 
6) Achar o domínio da função 
xyyxf  2),(
. 
 
7) Ache o domínio da função 
xy
yx
yxf
42
4
),(
2


. 
 
8) Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície z = 4x2 y -xy3 , com o plano y = 5 no 
ponto (3,2). 
 
9) Determine o domínio das funções abaixo: 
a) 
16²²
2
),(


yx
yxf
 b) 
²²3
2
),(),(
yx
x
yxfyxf


 
c) 
 542ln),(  yxyxf
 
 
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3 Revisão Funções de Várias Variáveis e Derivadas Parciais – Cálculo III 
10) Quando injetamos um medicamento em um tecido musculoso, ele se espalha na corrente sanguínea. A 
concentração do medicamento no sangue aumenta até atingir um máximo, e depois decresce. A 
concentração C ( em mg por litro ) do medicamento no sangue é uma função de duas variáveis: q, a 
quantidade ( em mg ) do medicamento injetado, e t, o número de horas desde que a injeção foi 
administrada. A concentração pode ser modelada pela seguinte fórmula 
)5(.),( qtettqC 
. 
Calcule a concentração 2 horas e 30 minutos após a injeção de 2,4 mg do medicamento. 
 
11) Determine 
x
f


 e 
y
f


: 
a) 
43³2),(  yxyxf
 
b) 
 ³32),( yxyxf 
 
 
12) Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície z = 4x²y – xy3 , com o plano y = 6 no 
ponto (1,4). 
 
13) O Índice de Massa Corporal (IMC) é um índice do peso de uma pessoa em relação à sua altura. Se uma 
pessoa tem massa m, em quilogramas, e altura h, em metros, então 
²
),(
h
m
hmfIMC 
. Com o resultado 
do cálculo do IMC e por meio da tabela abaixo da Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade você 
pode saber como está seu índice. 
 
Qual é a altura de uma pessoa que pesa 80 kg e tem IMC igual a 23? 
 
PROVA SEMESTRE ANTERIOR 
 
(0,2) 1. A função g está definida por 
²4³),,( yzxzyxg 
. Determine o valor de: 
(A) 
)2,3,1( g
 
(B) 
),4,2( aaag 
 
 
 
(0,2) 2. Determine o domínio das funções dadas abaixo: 
(A) 
²²16),( yxyxf 
 
(B) 
xyyxf ln.),( 
 
 
 
 
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4 Revisão Funções de Várias Variáveis e Derivadas Parciais – Cálculo III 
(0,3) 3. Ache 
x
f


, 
2
2
y
f


 e 
yx
f

 2
 se 
².3²4³3),( xyyxxyxf 
 
 
 
(0,2) 4. Determine a inclinação da reta tangente à curva de intersecção da superfície 
²² yxz 
 com o 
plano 
1y
, no ponto (2, 1, 5). 
 
 
(0,4) 5. A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é T graus e 
²4
3
²2
54 y
x
T 
. Se a 
distância for medida em centímetros, ache a taxa de variação da temperatura em relação à distância 
movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos x e y, respectivamente no ponto (3, 1). 
 
 
(0,3) 6. Determine as derivadas parciais de 2º ordem na função 
³5³²3³ yyxxz 
 no ponto (2, 5). 
 
 
(0,2) 7. Quando injetamos um medicamento em um tecido musculoso, ele se espalha na corrente 
sanguínea. A concentração do medicamento no sangue aumenta até atingir um máximo, e depois 
decresce. A concentração C ( em mg por litro ) do medicamento no sangue é uma função de duas 
variáveis: q, a quantidade ( em mg ) do medicamento injetado, e t, o número de horas desde que a 
injeção foi administrada. A concentração pode ser modelada pela seguinte fórmula 
)5(.),( qtettqC 
. 
Calcule a concentração 2 horas e 30 minutos após a injeção de 2,4 mg do medicamento. 
 
 
(0,2) 8. Dada a função 
yx
yx
yxf



5²3
),(
. 
(A) Determine o domínio de 
f
. 
(B) Calcule 
)1,2(xf
.