P1_metodos_2S12_gabarito

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( )F620 ( )MS650 - Primeira Prova - 01/10/2012
RA: Nome:
(1) Considere a func¸a˜o f(x) = x+ x2. A se´rie de Fourier no intervalo [−pi, pi] de f(x) e´ dada por
pi2
3
+
∞∑
n=1
[
4
n2
(−1)n cosnx− 2
n
(−1)n sinnx
]
.
(i) Use esse resultado para calcular
∞∑
n=1
1
n2
;
(ii) Fac¸a um esboc¸o, para todo x ∈ R, do gra´fico das func¸o˜es representadas pelas se´ries nos casos:
(a) da se´rie acima; (b) da se´rie de Fourier em cossenos no intervalo [0, pi] de f(x); (c) da se´rie de
Fourier em senos no intervalo [−pi, 0] de f(x).
(2) Mostre que os coeficientes da expansa˜o da func¸a˜o
f(x) = x2
em uma se´rie de Fourier-Bessel de ordem zero no intervalo [0, 1] sa˜o dados por
cn =
2(α2n − 4)
α3nJ1(αn)
, n = 1, 2, 3 . . .
onde αn e´ o n-e´simo zero de J0(x).
(3) Mostre que a transformada de Fourier de
fa(x) =
1
pi
a
a2 + x2
, (a > 0)
e´ dada por
Fa(k) =
1√
2pi
e−a|k|.
Discuta e compare atrave´s do esboc¸o de gra´ficos o comportamento de fa(x) e Fa(k) para diferentes
valores de a e no limite em que a→ 0.
(4) Resolva, usando o me´todo da transformada de Fourier, a equac¸a˜o diferencial
y′′(x)− y(x) = e−|x|,
com as condic¸o˜es y(x)→ 0, y′(x)→ 0 para |x| → ∞.
i Valor das questo˜es: (1) 2,5 (2) 2,5 (3) 2,5 (4) 2,5.
Formula´rio Eventualmente U´til
Γ(z) =
∫ ∞
0
e−ttz−1 dt, Γ(z + 1) = zΓ(z), Jν−1(x) + Jν+1(x) =
2ν
x
Jν(x), Jν−1(x)− Jν+1(x) = 2J ′ν(x),
d
dx
(x−νJν(x)) = −x−νJν+1(x), d
dx
(xνJν(x)) = x
νJν−1(x),
∫ a
0
Jν
(
ανnt
a
)
Jν
(
ανmt
a
)
tdt = δmn
a2
2
J2ν+1(ανn).